Formule: Dreapta în plan

Geometrie cu coordonate: panta, ecuația dreptei, coliniaritate, intersecții și simetrii. 16 formule, clasele 9–11.

Panta unei drepte — clasa 9
Ecuația dreptei: punct și pantă — clasa 9
Ecuația dreptei prin două puncte — clasa 9
Forma generală a ecuației dreptei — clasa 9
Coliniaritatea a trei puncte — clasa 9
Intersecția a două drepte — clasa 9
Simetricul unui punct față de un punct — clasa 9
Distanța dintre două puncte — clasa 11
Mijlocul unui segment — clasa 11
Panta ca tangentă a unghiului cu axa Ox — clasa 11
Ecuația dreptei prin două puncte, cu determinant — clasa 11
Paralelism și perpendicularitate — clasa 11
Unghiul a două drepte — clasa 11
Distanța de la un punct la o dreaptă — clasa 11
Piciorul perpendicularei — clasa 11
Aria triunghiului cu determinant — clasa 11

Panta unei drepte — clasa 9

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x_{1} \neq = x_{2})

$A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ sunt două puncte distincte ale dreptei, iar $m$ este panta — raportul dintre variația pe verticală și variația pe orizontală. Panta nu depinde de perechea de puncte aleasă pe dreaptă, dar ordinea trebuie respectată la fel la numărător și la numitor. Semnul dă sensul: $m > 0$ dreapta urcă, $m < 0$ coboară, $m = 0$ este orizontală; cu cât $∣ m ∣$ este mai mare, cu atât dreapta este mai abruptă. Capcană: dreapta verticală nu are pantă (ar însemna împărțire la zero) — a nu se confunda cu panta $0$ a orizontalei.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 8)$ : $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ . • Din ecuația $y = - 3 x + 5$ panta se citește direct, $m = - 3$ , deci dreapta coboară. • Citită ca rată de variație: când $x$ crește cu $1$ , $y$ scade cu $3$ .

Ecuația dreptei: punct și pantă — clasa 9

y - y_{0} = m (x - x_{0})

$A (x_{0}, y_{0})$ este un punct al dreptei, iar $m$ este panta ei. Scrii întâi formula cu paranteze, apoi înlocuiești. Desfăcând paranteza obții forma explicită $y = m x + n$ , cu $n = y_{0} - m x_{0}$ (numit ordonata la origine). Un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația. Cazuri speciale: panta $0$ dă dreapta orizontală $y = y_{0}$ , iar dreapta verticală, care nu are pantă, se scrie direct $x = x_{0}$ și nu se obține din formulă.

Exemplu: Dreapta prin $A (2, 3)$ cu panta $m = 4$ : $y - 3 = 4 (x - 2)$ , deci $y = 4 x - 5$ . • Prin $A (- 1, 5)$ cu $m = - 2$ : $y - 5 = - 2 (x + 1)$ , deci $y = - 2 x + 3$ .

Ecuația dreptei prin două puncte — clasa 9

\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}

$A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ sunt punctele date; formula, scrisă ca proporție, este valabilă când $x_{1} \neq = x_{2}$ și $y_{1} \neq = y_{2}$ . Rețeta echivalentă, în doi pași: calculezi panta $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , apoi scrii $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ cu oricare dintre cele două puncte — rezultatul nu depinde de alegere. Cazuri speciale: ordonate egale dau dreapta orizontală $y = y_{1}$ , abscise egale dau verticala $x = x_{1}$ . Verifică întotdeauna ambele puncte în ecuația găsită.

Exemplu: Prin $A (1, 2)$ și $B (3, 6)$ : $m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$ , deci $y - 2 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x$ . Verificare pentru $B$ : $6 = 2 \cdot 3$ ✓ • Prin $A (2, 5)$ și $B (2, - 1)$ : abscisele sunt egale, deci dreapta este $x = 2$ .

Forma generală a ecuației dreptei — clasa 9

a x + b y + c = 0, m = - \frac{a}{b} (b \neq = 0)

Orice dreaptă din plan are o ecuație de această formă, cu $a$ și $b$ nu amândoi nuli; o obții mutând totul într-un membru și înmulțind cu numitorul comun, ca să ai coeficienți întregi. Citirea rapidă a poziției: dacă lipsește $x$ (adică $a = 0$ ) dreapta este orizontală, dacă lipsește $y$ ( $b = 0$ ) este verticală, iar dacă apar amândouă este oblică, cu panta $m = - \frac{a}{b}$ . Axa $O x$ are ecuația $y = 0$ , iar axa $O y$ are ecuația $x = 0$ .

Exemplu: $2 x + 3 y - 6 = 0$ : panta este $m = - \frac{2}{3}$ , iar izolând $y$ obții $y = - \frac{2}{3} x + 2$ . • $3 y - 9 = 0$ înseamnă $y = 3$ : dreaptă orizontală. • $x + 4 = 0$ înseamnă $x = - 4$ : dreaptă verticală, fără pantă.

Coliniaritatea a trei puncte — clasa 9

(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})

$A$ , $B$ , $C$ sunt trei puncte date prin coordonate; dacă egalitatea se verifică, ele se află pe aceeași dreaptă. Este varianta fără fracții a condiției $m_{A B} = m_{A C}$ și funcționează în toate cazurile, inclusiv când două puncte au aceeași abscisă. Alternativă: scrii ecuația dreptei $A B$ și verifici dacă $C$ o satisface — are avantajul că îți lasă în mână și ecuația. Capcană: dacă egalitatea nu se verifică, punctele nu sunt coliniare, deci formează un triunghi.

Exemplu: $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ , $C (5, 10)$ : $(3 - 1) (10 - 2) = 2 \cdot 8 = 16$ și $(5 - 1) (6 - 2) = 4 \cdot 4 = 16$ — egale, deci punctele sunt coliniare. • $A (0, 0)$ , $B (1, 2)$ , $C (2, 3)$ : $1 \cdot 3 = 3$ , dar $2 \cdot 2 = 4$ , deci punctele formează un triunghi.

Intersecția a două drepte — clasa 9

{y = m_{1} x + n_{1} y = m_{2} x + n_{2} \Rightarrow m_{1} x + n_{1} = m_{2} x + n_{2}

Punctele comune a două drepte sunt exact soluțiile sistemului format din ecuațiile lor: când ambele sunt scrise sub forma $y = m x + n$ , egalezi expresiile, afli $x$ , apoi $y$ . Poziția relativă se citește din pante: $m_{1} \neq = m_{2}$ — drepte secante (o singură soluție); $m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} \neq = n_{2}$ — paralele distincte (sistem fără soluții); $m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} = n_{2}$ — drepte confundate (o infinitate de soluții). În problemele practice, punctul de intersecție înseamnă egalitatea celor două mărimi: pragul de la care o ofertă devine mai bună, momentul întâlnirii.

Exemplu: $y = 2 x + 1$ și $y = - x + 7$ : din $2 x + 1 = - x + 7$ rezultă $3 x = 6$ , deci $x = 2$ și $y = 5$ ; punctul de intersecție este $(2, 5)$ . • $y = 3 x + 1$ și $y = 3 x - 4$ au aceeași pantă, dar ordonate la origine diferite: sunt paralele, deci nu se intersectează.

Simetricul unui punct față de un punct — clasa 9

A^{'} (2 x_{P} - x_{A}, 2 y_{P} - y_{A})

$A$ este punctul dat, $P$ este centrul de simetrie, iar $A^{'}$ este simetricul lui $A$ față de $P$ ; astfel $P$ devine mijlocul segmentului $A A^{'}$ . Regula: dublezi coordonatele centrului și scazi coordonatele punctului. Aceeași formulă rezolvă problema inversă „știu mijlocul și un capăt, aflu celălalt capăt”. Față de origine, simetricul lui $A (x_{A}, y_{A})$ este $A^{'} (- x_{A}, - y_{A})$ . Aplicație: într-un paralelogram $A B C D$ diagonalele au același mijloc, deci $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D}$ și $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$ — de aici afli al patrulea vârf.

Exemplu: Simetricul lui $A (1, 2)$ față de $P (4, 3)$ este $A^{'} (2 \cdot 4 - 1, 2 \cdot 3 - 2) = A^{'} (7, 4)$ . Verificare: mijlocul lui $A A^{'}$ este $(\frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (4, 3) = P$ ✓ • În paralelogramul $A B C D$ cu $A (0, 0)$ , $B (4, 1)$ și $C (6, 5)$ : $x_{D} = 0 + 6 - 4 = 2$ și $y_{D} = 0 + 5 - 1 = 4$ , deci $D (2, 4)$ .

Distanța dintre două puncte — clasa 11

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

$A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ sunt două puncte din reperul cartezian $x O y$ . Formula este teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele: una măsoară $∣ x_{B} - x_{A} ∣$ , cealaltă $∣ y_{B} - y_{A} ∣$ . Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat. Cazuri particulare: dacă $y_{A} = y_{B}$ , segmentul este orizontal și $A B = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ ; dacă $x_{A} = x_{B}$ , este vertical. Distanța de la origine: $O A = x_{A}^{2} + y_{A}^{2}$ . Se folosește pentru natura unui triunghi (isoscel, dreptunghic prin reciproca lui Pitagora) și pentru ecuația unui cerc.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ : $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ . • Triunghiul cu vârfurile $O (0, 0)$ , $P (3, 0)$ , $Q (0, 4)$ are laturile $3$ , $4$ și $P Q = 5$ , deci este dreptunghic în $O$ .

Mijlocul unui segment — clasa 11

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

$M$ este mijlocul segmentului $A B$ : fiecare coordonată a lui este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor. Formula se citește și invers — dacă se cunosc $M$ și un capăt, celălalt capăt este $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ , adică simetricul lui $A$ față de $M$ . Aplicații imediate: centrul de greutate al triunghiului $A B C$ este $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ ; într-un paralelogram $A B C D$ diagonalele au același mijloc, deci $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D}$ și $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$ — de aici se află al patrulea vârf.

Exemplu: Mijlocul segmentului cu capetele $A (1, 2)$ și $B (5, 8)$ este $M (3, 5)$ . • În paralelogramul $A B C D$ cu $A (0, 0)$ , $B (4, 1)$ , $C (6, 5)$ : $D (0 + 6 - 4, 0 + 5 - 1) = D (2, 4)$ .

Panta ca tangentă a unghiului cu axa Ox — clasa 11

m = tg α, α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}), m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} (x_{A} \neq = x_{B})

$α$ este unghiul format de dreaptă cu semiaxa pozitivă $O x$ , măsurat în sens trigonometric; $m$ este panta. Cele două scrieri sunt aceeași mărime: raportul creșterilor este chiar tangenta unghiului. Semnul spune sensul: $α$ ascuțit dă $m > 0$ (dreapta urcă), $α$ obtuz dă $m < 0$ (coboară), $α = 0^{\circ}$ dă $m = 0$ (orizontală). Cazul vertical: pentru $α = 9 0^{\circ}$ panta nu este definită — nu se spune „panta este infinită”, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există; dreapta se scrie $x = a$ . Panta este și panta tangentei la un grafic: $f^{'} (x_{0}) = tg α$ .

Exemplu: Dreapta $y = x + 1$ are $m = 1 = tg 4 5^{\circ}$ . • Prin $A (1, 2)$ și $B (4, 8)$ : $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = 2$ . • Dreapta prin $A (2, 5)$ și $B (2, - 1)$ este verticală, $x = 2$ , și nu are pantă.

Ecuația dreptei prin două puncte, cu determinant — clasa 11

x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0

$A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ sunt două puncte distincte, iar $(x, y)$ sunt coordonatele punctului curent al dreptei $A B$ . Dezvoltând determinantul după prima linie se obține direct ecuația generală $a x + b y + c = 0$ , cu $a = y_{A} - y_{B}$ , $b = x_{B} - x_{A}$ și $c = x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}$ . Avantajul față de forma cu proporții este că funcționează fără nicio excepție, inclusiv când dreapta este verticală sau orizontală — nu apare niciun numitor. Verificarea este imediată: înlocuind $(x, y)$ cu $A$ sau cu $B$ , două linii devin identice, deci determinantul se anulează.

Exemplu: Prin $A (1, 2)$ și $B (3, 6)$ : $x 13 y 26 111 = x (2 - 6) - y (1 - 3) + (6 - 6) = - 4 x + 2 y = 0$ , adică $y = 2 x$ . • Prin $A (3, - 1)$ și $B (3, 6)$ se obține $- 7 x + 21 = 0$ , adică verticala $x = 3$ .

Paralelism și perpendicularitate — clasa 11

d_{1} ∥ d_{2} (sau confundate) ⟺ m_{1} = m_{2} ⟺ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0 d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ m_{1} m_{2} = - 1 ⟺ a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

$d_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ și $d_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ sunt dreptele, iar $m_{1}$ , $m_{2}$ pantele lor. Criteriul cu pante funcționează doar pentru drepte neverticale; cel cu coeficienți este general și se folosește ori de câte ori nu se știe dacă vreuna dintre drepte este verticală. Cazurile care scapă criteriului cu pante, de spus în cuvinte: două verticale sunt paralele între ele; o verticală $x = a$ și o orizontală $y = b$ sunt perpendiculare, deși produsul pantelor nici nu se poate scrie. Pentru a distinge paralelele distincte de cele confundate se verifică dacă un punct al uneia aparține celeilalte.

Exemplu: $d_{1} : 2 x - 3 y + 1 = 0$ și $d_{2} : 4 x - 6 y - 5 = 0$ : $2 \cdot (- 6) - 4 \cdot (- 3) = 0$ , deci $d_{1} ∥ d_{2}$ (distincte, căci $A (1, 1) \in d_{1}$ nu verifică $d_{2}$ ). • $d_{1}$ și $d_{3} : 3 x + 2 y - 7 = 0$ : $2 \cdot 3 + (- 3) \cdot 2 = 0$ , deci $d_{1} ⊥ d_{3}$ .

Unghiul a două drepte — clasa 11

tg θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}, θ \in [0^{\circ}, 9 0^{\circ}], 1 + m_{1} m_{2} \neq = 0

$m_{1}$ și $m_{2}$ sunt pantele celor două drepte, iar $θ$ este unghiul ascuțit dintre ele (două drepte concurente formează două perechi de unghiuri suplementare; se reține cel ascuțit, de aceea modulul). Condiția $1 + m_{1} m_{2} \neq = 0$ este esențială: dacă $m_{1} m_{2} = - 1$ , dreptele sunt perpendiculare și $θ = 9 0^{\circ}$ , caz în care formula nu se scrie. Dacă una dintre drepte este verticală, formula nu se aplică; atunci $tg θ = \frac{1}{∣ m ∣}$ , unde $m$ este panta celeilalte ( $m \neq = 0$ ). Când valoarea obținută nu este remarcabilă, răspunsul se lasă sub forma $θ = arctg (\dots)$ .

Exemplu: Pentru $m_{1} = \frac{1}{2}$ și $m_{2} = 3$ : $tg θ = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{5/2}{5/2} = 1$ , deci $θ = 4 5^{\circ}$ . • Pentru $m_{1} = 1$ și $m_{2} = - 3$ : $tg θ = \frac{- 3 - 1}{1 - 3} = 2$ , deci $θ = arctg 2$ .

Distanța de la un punct la o dreaptă — clasa 11

d (M_{0}, h) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}, h : a x + b y + c = 0

$M_{0} (x_{0}, y_{0})$ este punctul, iar $h$ dreapta scrisă obligatoriu sub forma generală — dacă este dată explicit, se aduce întâi la $a x + b y + c = 0$ , altfel formula dă alt număr. Distanța se măsoară pe perpendiculara din $M_{0}$ pe $h$ și este cea mai mică dintre distanțele de la $M_{0}$ la punctele dreptei. Modulul de la numărător garantează un rezultat pozitiv; el se anulează exact când $M_{0} \in h$ . Cazuri utile: pentru forma explicită $y = m x + n$ se obține $d = \frac{∣ m x _{0} - y _{0} + n ∣}{m ^{2} + 1}$ ; distanța de la origine este $d (O, h) = \frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ ; pentru verticala $x = a$ , $d = ∣ x_{0} - a ∣$ .

Exemplu: Distanța de la $M_{0} (2, 1)$ la $h : 3 x - 4 y + 5 = 0$ este $\frac{∣ 6 - 4 + 5 ∣}{9 + 16} = \frac{7}{5} = 1, 4$ . • Distanța de la origine la $3 x - 4 y + 5 = 0$ este $\frac{5}{5} = 1$ .

Piciorul perpendicularei — clasa 11

N (x_{0} - ak, y_{0} - bk), k = \frac{a x _{0} + b y _{0} + c}{a ^{2} + b ^{2}}

$N$ este piciorul perpendicularei duse din $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ pe dreapta $h : a x + b y + c = 0$ , adică proiecția lui $M_{0}$ pe $h$ ; $k$ este un număr auxiliar care se calculează o singură dată. Formula scutește de rezolvarea sistemului format din $h$ și perpendiculara prin $M_{0}$ . Verificarea, obligatorie: coordonatele lui $N$ trebuie să verifice ecuația lui $h$ . Legături: $d (M_{0}, h) = M_{0} N$ , iar simetricul lui $M_{0}$ față de dreapta $h$ este $M_{0}^{'} (x_{0} - 2 ak, y_{0} - 2 bk)$ , pentru că $N$ este mijlocul segmentului $M_{0} M_{0}^{'}$ . Când $M_{0} \in h$ se obține $k = 0$ și $N = M_{0}$ .

Exemplu: Din $M_{0} (2, 1)$ pe $h : 3 x - 4 y + 5 = 0$ : $k = \frac{6 - 4 + 5}{25} = \frac{7}{25}$ , deci $N (2 - \frac{21}{25}, 1 + \frac{28}{25}) = N (\frac{29}{25}, \frac{53}{25})$ . Probă: $3 \cdot \frac{29}{25} - 4 \cdot \frac{53}{25} + 5 = \frac{87 - 212 + 125}{25} = 0$ ✓

Aria triunghiului cu determinant — clasa 11

Δ S_{A B C} = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111 = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣

$A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ sunt vârfurile, iar $S_{A B C}$ este aria triunghiului. Cele două scrieri ale lui $Δ$ sunt egale — a doua, forma scurtă, se obține din prima scăzând prima linie din celelalte două și este de preferat în calcul rapid. Determinantul $Δ$ are semn, aria nu: de aceea apare modulul. Condiția de coliniaritate a celor trei puncte este exact $Δ = 0$ , adică „triunghi de arie nulă” — se verifică întotdeauna înainte de a vorbi despre un triunghi. Legături utile: $d (C, A B) = \frac{∣ Δ ∣}{A B}$ , iar dacă un vârf este originea, $S = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣$ .

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ , $B (6, 3)$ , $C (4, 7)$ : $Δ = (6 - 1) (7 - 2) - (4 - 1) (3 - 2) = 25 - 3 = 22$ , deci $S_{A B C} = 11$ . • Pentru $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ , $C (5, 10)$ : $Δ = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 = 0$ , deci punctele sunt coliniare.