Ecuația dreptei prin două puncte, cu determinant

Formulă din tema Dreapta în plan, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ sunt două puncte distincte, iar $(x,y)$ sunt coordonatele punctului curent al dreptei $AB$. Dezvoltând determinantul după prima linie se obține direct ecuația generală $ax+by+c=0$, cu $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$ și $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$. Avantajul față de forma cu proporții este că funcționează fără nicio excepție, inclusiv când dreapta este verticală sau orizontală — nu apare niciun numitor. Verificarea este imediată: înlocuind $(x,y)$ cu $A$ sau cu $B$, două linii devin identice, deci determinantul se anulează.

Exemplu: Prin $A(1,2)$ și $B(3,6)$: $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 6& 1\end{array}\right|=x(2-6)-y(1-3)+(6-6)=-4x+2y=0$, adică $y=2x$. • Prin $A(3,-1)$ și $B(3,6)$ se obține $-7x+21=0$, adică verticala $x=3$.