Bac M1 2010, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2010 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M1, în sesiunea iunie-iulie 2010 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de corectare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul. (Pe documentul acestei sesiuni scrie „barem de corectare și de notare"; formularea „barem de evaluare și de notare", folosită azi, apare în anii următori.)

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. Este prima sesiune dată pe formatul unic al probei M1, cel anunțat de modelul publicat în 2010.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din iunie 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: un produs care se simplifică la $2i$ și puterile unității imaginare — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Paritatea funcțiilor: verificarea relației $f(-x)=-f(x)$, cu proprietatea $\ln \frac{1}{u}=-\ln u$ — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: semnul trinomului și soluțiile întregi ale unei inecuații — clasa a IX-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică și divizibilitate: principiul includerii și excluderii, „sau" înseamnă reuniune — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția vectorială de paralelogram, $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: formula lui Heron și aria scrisă în două feluri, pentru a scoate o înălțime — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Rangul unei matrice și sisteme liniare: determinant nul, minor principal de ordinul al doilea, sistem compatibil nedeterminat cu o necunoscută secundară, apoi numărarea soluțiilor naturale — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Matrice cu elemente în ${\mathbb{Z}}_5$: numărarea elementelor unei mulțimi de matrice, o matrice neinversabilă care anulează un produs (atenție: ${\mathbb{Z}}_5$ este corp și nu are divizori ai lui zero, dar inelul matricelor peste el are) și o ecuație matriceală rezolvată element cu element — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: asimptota orizontală a unei arctangente, monotonia pe fiecare ramură a domeniului și punctul de inflexiune din derivata a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: calculul termenului general prin împărțire cu rest, monotonia din diferența a doi termeni, mărginirea prin încadrarea logaritmului și o limită de tip $e$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie 2010. Prima sesiune pe formatul unic a fost grea la Subiectul al II-lea și tehnică la al III-lea. La Subiectul al II-lea, prima problemă cere tot lanțul rang $\to$ compatibilitate $\to$ soluție generală $\to$ numărare în $\mathbb{N}$ — patru pași diferiți într-un singur subpunct de $5$ puncte —, iar a doua lucrează în ${\mathbb{Z}}_5$, unde toate elementele nenule sunt inversabile, dar unde ecuațiile de gradul al doilea au totuși rădăcini surprinzătoare ($\hat{4}$ este pătrat perfect, ca și $\hat{1}$). Subiectul al III-lea nu are nicio idee spectaculoasă, dar cere precizie: monotonia se enunță pe fiecare ramură separat, iar limita finală se recunoaște ca fiind cea care definește numărul $e$. Cine se grăbește pierde puncte pe formulări, nu pe calcule.

Notă de programă. Problema a doua a Subiectului al II-lea este despre matrice cu elemente în ${\mathbb{Z}}_5$, adică despre corpul claselor de resturi — capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame". Dacă înveți pe programa nouă și dai examenul într-una dintre aceste sesiuni, capitolul îți este necesar; fără această notă, ai crede că ai sărit o lecție.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru Subiectul al II-lea, $50$ pentru al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{4\sqrt{14}}{5}$ și $\frac{\pi }{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: „rangul este $2$" fără un minor nenul efectiv; soluția generală a unui sistem scrisă fără să se spună care este necunoscuta secundară; „funcția este crescătoare pe domeniu" când domeniul are două ramuri disjuncte; „este punct de inflexiune" fără schimbarea de semn a derivatei a doua; „șirul este mărginit" fără margini explicite.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$, iar puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i^4=1$. Funcții impare: $f$ este impară dacă $f(-x)=-f(x)$ pe tot domeniul; util aici, $\ln \frac{1}{u}=-\ln u$. Semnul trinomului: $a{x}^2+bx+c$ are semnul contrar lui $a$ între rădăcini și semnul lui $a$ în afara lor. Principiul includerii și excluderii: $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-\mathrm{card}(A\cap B)$; „divizibil cu $4$ și cu $5$" înseamnă „divizibil cu $20$". Paralelogram în reper: $MNPQ$ este paralelogram exact când $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$. Formula lui Heron: $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, cu $p$ semiperimetrul; iar $\mathcal{S}=\frac{\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}}{2}$ dă înălțimea.
• Rang și sisteme: rangul unei matrice este ordinul celui mai mare minor nenul; un sistem cu $\mathrm{rang}A=2$ și cu minorul caracteristic nul este compatibil nedeterminat, iar necunoscuta rămasă în afara minorului principal devine secundară și se notează cu un parametru.
• Corpul ${\mathbb{Z}}_5$: are cinci elemente, $\hat{0},\dots ,\hat{4}$, și toate cele nenule sunt inversabile — spre deosebire de ${\mathbb{Z}}_4$. Pătratele sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{4},\hat{1}$, deci ecuația $x^2=\hat{1}$ are soluțiile $\hat{1}$ și $\hat{4}$, iar $y^2=\hat{4}$ are soluțiile $\hat{2}$ și $\hat{3}$.
• Arctangentă și derivate: $\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\mathrm{arctg}t=\pm \frac{\pi }{2}$; $(\mathrm{arctg}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$; $x_0$ este punct de inflexiune dacă $f^{\prime \prime }$ se anulează acolo și își schimbă semnul.
• Integrale și limite: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$; un șir monoton și mărginit este convergent; iar $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ — de unde $\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=1$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește în această probă trei obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$ de la itemul $4$, matricea sistemului de la itemul $7$ și mulțimea de matrice $A$ de la itemul $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; în rezolvarea itemului $8$ merită să reiei definiția mulțimii la început, ca să nu o confunzi cu matricea de la itemul precedent.
• Literele $a$ și $b$ sunt coordonatele unui punct la itemul $5$ ($Q(a,b)$) și elemente din ${\mathbb{Z}}_5$ la itemul $8$. Semnul de „căciulă" din $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$ este esențial: el arată că lucrăm cu clase de resturi modulo $5$, unde $\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}$ și $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{4}$.
• Litera $n$ este indicele șirului la itemul $10$, iar în același item apare și numărul $e$, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci $e$ nu înseamnă nicăieri element neutru. La itemul $9$, notația $\mathrm{arctg}$ este cea folosită în manualele românești pentru funcția arctangentă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați $((1-i)(i-1){)}^4$.

Itemul 2 (5 puncte)

Arătați că funcția $f:(-3,3)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \frac{3-x}{3+x}$ este impară.

Itemul 3 (5 puncte)

Determinați soluțiile întregi ale inecuației $x^2+2x-8<0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Câte elemente din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$ sunt divizibile cu $4$ sau cu $5$?

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctele $M(1,-2)$, $N(-3,-1)$ și $P(-1,2)$. Determinați coordonatele punctului $Q$ astfel încât $MNPQ$ să fie paralelogram.

Itemul 6 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ are $AB=6$, $AC=3$ și $BC=5$. Calculați lungimea înălțimii $[AD]$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Fie sistemul $$\{\begin{array}{l}x-2y-8z=-65\\ 3x+y-3z=22\\ x+y+z=28\end{array},$$ unde $x,y,z\in \mathbb{R}$, și matricea asociată sistemului $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -8\\ 3& 1& -3\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că rangul matricei $A$ este egal cu $2$.

b) (5 puncte) Rezolvați sistemul în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\times \mathbb{N}$.

Itemul 8 (15 puncte)

Fie mulțimea de matrice $A=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in {\mathbb{Z}}_5\right\}$.

a) (5 puncte) Determinați numărul elementelor mulțimii $A$.

b) (5 puncte) Arătați că există o matrice nenulă $M\in A$ astfel încât $\left(\begin{array}{cc}\hat{3}& \hat{1}\\ -\hat{1}& \hat{3}\end{array}\right)\cdot M=\left(\begin{array}{cc}\hat{0}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{0}\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea $A$ ecuația $X^2=I_2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{arctg}\frac{x}{x+1}$.

a) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Studiați monotonia funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Fie șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$, $I_n={\int }_n^{n+1}\frac{2x-1}{x}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este strict crescător.

b) (5 puncte) Arătați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este mărginit.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }n(2-I_n)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de corectare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desface întâi produsul din paranteză. Cei doi factori sunt opuși unul altuia până la un semn: $i-1=-(1-i)$, deci produsul este $-(1-i{)}^2=-(1-2i+i^2)=-(-2i)=2i$. Prin urmare $$((1-i)(i-1){)}^4=(2i{)}^4\text{(3 p)}.$$ Ridicând la putere, $2^4=16$ și $i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$, deci $$((1-i)(i-1){)}^4=16\text{(2 p)}.$$ (Control: modulul lui $2i$ este $2$, deci modulul puterii a patra este $2^4=16$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2i{)}^4=2^{4}i=16i$, uitând să se ridice și unitatea imaginară la putere; sau se desface produsul termen cu termen și se pierde un semn.)

Itemul 2. (5 p) — funcție impară.

Domeniul $(-3,3)$ este simetric față de origine, deci are sens să vorbim despre paritate. Se înlocuiește $x$ cu $-x$ în formula funcției: $$f(-x)=\ln \frac{3+x}{3-x}\text{(2 p)}.$$ Raportul obținut este inversul celui inițial, iar logaritmul unui invers este opusul logaritmului, $\ln \frac{1}{u}=-\ln u$: $$f(-x)=\ln {\left(\frac{3-x}{3+x}\right)}^{-1}=-\ln \frac{3-x}{3+x}\text{(2 p)},$$ adică $f(-x)=-\mathbf{f}(\mathbf{x})$, pentru orice $x\in (-3,3)$; prin urmare funcția $f$ este impară (1 p).

(Control numeric: $f(1)=\ln \frac{2}{4}=-\ln 2\approx -0,693$, iar $f(-1)=\ln \frac{4}{2}=\ln 2\approx 0,693$ — într-adevăr opuse. Unde se greșește de obicei: se verifică pe o singură valoare și se conchide paritatea — un exemplu nu demonstrează o identitate; sau se uită să se spună că domeniul este simetric, fără de care noțiunea de funcție impară nici nu are sens.)

Itemul 3. (5 p) — inecuație de gradul al doilea.

Trinomul se descompune căutând două numere cu suma $2$ și produsul $-8$: $$x^2+2x-8=(x-2)(x+4)\text{(2 p)}.$$ Coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini: $$x\in (-4,2)\text{(1 p)}.$$ Se rețin apoi doar numerele întregi din interval, cu capetele excluse: $$(-4,2)\cap \mathbb{Z}=\{-3,-2,-1,0,1\}\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=-3$ avem $9-6-8=-5<0$, iar pentru $x=2$ avem $4+4-8=0$, deci capătul chiar nu convine — inegalitatea este strictă. Unde se greșește de obicei: se includ capetele $-4$ și $2$; sau se scrie soluția ca reuniune de intervale la infinit, ceea ce ar fi răspunsul pentru inecuația cu semnul „mai mare".)

Itemul 4. (5 p) — principiul includerii și excluderii.

Se numără separat cele două categorii. Multiplii lui $4$ din mulțime sunt $4,8,\dots ,100$, deci $$25\text{ numere sunt divizibile cu }4\text{(1 p)}.$$ Multiplii lui $5$ sunt $5,10,\dots ,100$, deci $$20\text{ numere sunt divizibile cu }5\text{(1 p)}.$$ Numerele divizibile și cu $4$, și cu $5$ sunt multiplii lui $20$, adică $20,40,60,80,100$: $$5\text{ numere sunt divizibile cu }4\text{ și cu }5\text{(1 p)}.$$ Cuvântul „sau" înseamnă reuniune, iar reuniunea se numără scăzând intersecția, ca să nu fie socotită de două ori: $$25+20-5=40\text{ numere sunt divizibile cu }4\text{ sau cu }5\text{(2 p)}.$$ (De ce $20$, și nu $4\cdot 5=20$ „din întâmplare": numărul căutat este cel mai mic multiplu comun al lui $4$ și $5$, iar cele două fiind prime între ele, el este chiar produsul. Dacă în loc de $5$ ar fi fost $6$, intersecția ar fi fost dată de $12$, nu de $24$. Unde se greșește de obicei: se adună $25+20=45$, numărând de două ori multiplii lui $20$.)

Itemul 5. (5 p) — condiția vectorială de paralelogram.

Fie $Q(a,b)$. Patrulaterul $MNPQ$ are laturile $MN$, $NP$, $PQ$ și $QM$, deci laturile opuse sunt $MN$ cu $PQ$ și $NP$ cu $QM$; condiția de paralelogram se scrie cel mai comod ca egalitate de vectori între $\overrightarrow{MQ}$ și $\overrightarrow{NP}$: $$\overrightarrow{MQ}=(a-1,b+2),\overrightarrow{NP}=(-1-(-3),2-(-1))=(2,3)\text{(2 p)}.$$ Doi vectori sunt egali când au ambele componente egale, deci $$MNPQ\text{ paralelogram}⟺\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}⟺a-1=2\text{ și }b+2=3\text{(2 p)}.$$ Rezolvând cele două ecuații, punctul căutat este $\mathbf{Q}(3,1)$ (1 p).

(Control: mijlocul diagonalei $MP$ este $\left(\frac{1-1}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=(0,0)$, iar mijlocul diagonalei $NQ$ este $\left(\frac{-3+3}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=(0,0)$ — diagonalele au același mijloc, deci patrulaterul chiar este paralelogram. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$ cu ordinea literelor greșită, ceea ce dă alt punct; ordinea $M$, $N$, $P$, $Q$ din numele patrulaterului fixează care laturi sunt opuse.)

Itemul 6. (5 p) — aria și înălțimea unui triunghi.

Cu formula lui Heron, semiperimetrul este $p=\frac{6+3+5}{2}=7$, iar aria $${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{7(7-6)(7-3)(7-5)}=\sqrt{7\cdot 1\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\text{(3 p)}.$$ Aceeași arie se scrie și cu baza $BC$ și înălțimea $AD$ corespunzătoare ei, ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{BC\cdot AD}{2}$, de unde $$AD=\frac{2{\mathcal{S}}_{ABC}}{BC}=\frac{4\sqrt{14}}{5}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{4\sqrt{14}}{5}\approx 2,993$, iar înălțimea trebuie să fie mai mică decât ambele laturi care pleacă din $A$, adică decât $3$ și $6$ — se potrivește, și este chiar aproape de $3$, semn că unghiul $C$ este aproape drept. Unde se greșește de obicei: se ia drept bază latura greșită — înălțimea $[AD]$ pleacă din $A$, deci este perpendiculară pe $BC$, latura opusă lui $A$; sau se aplică teorema lui Pitagora, deși triunghiul nu este dreptunghic.)

Itemul 7. (15 p) — rangul unei matrice și un sistem compatibil nedeterminat.

a) (5 p) Se calculează întâi determinantul de ordinul al treilea. Dezvoltând după prima linie, $$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ & =1(1+3)+2(3+3)-8(3-1)\\ & =4+12-16=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul fiind nul, rangul este cel mult $2$; ca să fie exact $2$, este de ajuns un minor de ordinul al doilea nenul: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 1\end{array}\right|\\ & =1+6=7\\ & \ne 0\text{ (sau orice alt minor de ordinul al doilea nenul), deci }\mathrm{rang}A\\ & =2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Ambii pași sunt necesari: determinantul nul singur ar da doar „rangul este cel mult $2$", iar minorul nenul singur ar da „rangul este cel puțin $2$". Control: și minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|$ este nul, deci alegerea minorului contează — trebuie găsit unul nenul, nu oricare.)

b) (5 p) Cu $\mathrm{rang}A=2$, sistemul are două ecuații principale (cele care intră în minorul ales) și una secundară. Calculând minorul caracteristic al ecuației rămase, el iese nul, deci prin teorema lui Rouché $$\text{sistemul este compatibil nedeterminat}\text{(2 p)}.$$ Necunoscuta care nu intră în minorul principal devine secundară; luând $z=\alpha$, primele două ecuații se rezolvă în $x$ și $y$: $$\begin{array}{rl}x& =2\alpha -3,y=31-3\alpha ,\\ z& =\alpha ,\text{ cu }\alpha \text{ numa˘r real}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare în toate cele trei ecuații: $x-2y-8z=2\alpha -3-62+6\alpha -8\alpha =-65$; $3x+y-3z=6\alpha -9+31-3\alpha -3\alpha =22$; $x+y+z=2\alpha -3+31-3\alpha +\alpha =28$. Toate se verifică pentru orice $\alpha$, deci soluția generală este corectă. Unde se greșește de obicei: se scrie soluția fără să se spună care necunoscută a fost declarată secundară — atunci cititorul nu poate verifica nimic.)

c) (5 p) Se cere ca toate trei coordonatele să fie numere naturale, deci nenegative: $$\begin{array}{rl}x& =2\alpha -3\ge 0,y=31-3\alpha \\ & \ge 0,z=\alpha \ge 0⟹\text{(1 p)}\end{array}$$ $$\frac{3}{2}\le \alpha \le \frac{31}{3}\text{(2 p)}.$$ Cum $z=\alpha$ trebuie să fie el însuși număr natural, iar intervalul de mai sus conține numerele naturale de la $2$ până la $10$: $$\alpha \in \{2,3,4,\dots ,10\}\text{(1 p)},$$ deci sistemul are $9$ soluții în $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ (1 p).

(De ce toate valorile naturale ale lui $\alpha$ din interval convin: pentru $\alpha$ natural, $x=2\alpha -3$ și $y=31-3\alpha$ sunt automat întregi, iar inegalitățile le fac nenegative. Control pe capete: pentru $\alpha =2$ iese $(1,25,2)$, iar pentru $\alpha =10$ iese $(17,1,10)$ — amândouă verifică sistemul. Unde se greșește de obicei: se rezolvă doar inegalitățile și se răspunde cu lungimea intervalului; sau se uită că $\alpha$ trebuie să fie natural, nu doar cuprins între $\frac{3}{2}$ și $\frac{31}{3}$.)

Itemul 8. (15 p) — matrice cu elemente în corpul ${\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 p) O matrice din mulțimea $A$ este determinată complet de perechea $(a,b)$; celelalte două poziții se completează singure, cu $-b$ și $a$. Prin urmare $$a,b\in {\mathbb{Z}}_5\text{ și }\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_5=5\text{(2 p)},$$ iar alegerile fiind independente, prin regula produsului $$\text{mulțimea }A\text{ are }5\cdot 5=25\text{ elemente}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără patru poziții libere, deci $5^4$ — dar două dintre ele sunt copii ale celorlalte. Observație: mulțimea $A$ de aici nu are nicio legătură cu matricea $A$ de la itemul $7$; subiectul oficial refolosește litera.)

b) (5 p) Fie $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\in A$. Se face produsul, în aritmetica modulo $5$: $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}\hat{3}& \hat{1}\\ -\hat{1}& \hat{3}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\hat{3}a-b& \hat{3}b+a\\ -a-\hat{3}b& -b+\hat{3}a\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Produsul este matricea nulă exact când toate cele patru elemente se anulează, adică $$\hat{3}a=b\text{ și }\hat{3}b=-a\text{(1 p)}.$$ Prima condiție dă $b$ în funcție de $a$; a doua devine atunci $\hat{3}\cdot \hat{3}a=\hat{9}a=\hat{4}a=-a$, adevărată pentru orice $a$, pentru că $\hat{4}=-\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_5$. Luând $a=\hat{1}$ se obține $b=\hat{3}$, deci $$\text{un exemplu este }M=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{3}\\ -\hat{3}& \hat{1}\end{array}\right)\ne O_2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{1}-\hat{3}=\hat{0}$ și $\hat{3}\cdot \hat{3}+\hat{1}=\hat{9}+\hat{1}=\widehat{10}=\hat{0}$ — ambele elemente ale primei linii sunt nule, iar linia a doua se anulează prin același calcul. De ce este posibil: determinantul matricei din enunț este $\hat{3}\cdot \hat{3}+\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{9}+\hat{1}=\hat{0}$, deci ea nu este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_5$, iar o matrice neinversabilă poate avea „divizori la dreapta". Unde se greșește de obicei: se caută $M$ prin încercări, fără să se scrie condițiile — cu $25$ de candidați, încercarea este posibilă, dar nepunctată.)

c) (5 p) Fie $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -y& x\end{array}\right)\in A$. Ridicând la pătrat, $$\begin{array}{rl}& X^2\\ & =\left(\begin{array}{cc}{x}^2-y^2& \hat{2}xy\\ -\hat{2}xy& x^2-y^2\end{array}\right)=I_2\\ & ⟺x^2-y^2=\hat{1}\text{ și }xy=\hat{0}\text{(1 p)},\end{array}$$ unde condiția a doua s-a simplificat prin $\hat{2}$, element inversabil în ${\mathbb{Z}}_5$. Cum ${\mathbb{Z}}_5$ este corp, produsul $xy$ este nul doar dacă un factor este nul, deci se ramifică în două cazuri: $$\begin{array}{rl}\text{daca˘ }x& =\hat{0}\Rightarrow -y^2=\hat{1}\Rightarrow y^2=\hat{4}\Rightarrow y\\ & \in \left\{\hat{2},\hat{3}\right\};\text{daca˘ }y=\hat{0}\Rightarrow x^2\\ & =\hat{1}\Rightarrow x\in \left\{\hat{1},\hat{4}\right\}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Rezultă patru soluții: $$\begin{array}{rl}& X\\ & \in \left\{\left(\begin{array}{cc}\hat{0}& \hat{2}\\ -\hat{2}& \hat{0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\hat{0}& \hat{3}\\ -\hat{3}& \hat{0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\hat{4}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{4}\end{array}\right)\right\}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Pătratele din ${\mathbb{Z}}_5$ sunt ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{4}$, ${\hat{4}}^2=\hat{1}$ — de aici ies cele două perechi de soluții. Control pe prima matrice: ${\left(\begin{array}{cc}\hat{0}& \hat{2}\\ -\hat{2}& \hat{0}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}-\hat{4}& \hat{0}\\ \hat{0}& -\hat{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{1}\end{array}\right)$, pentru că $-\hat{4}=\hat{1}$. Unde se greșește de obicei: se dau doar $\pm I_2$, uitând soluțiile cu $x=\hat{0}$; sau se rezolvă $x^2=\hat{1}$ ca peste numerele reale și se scrie doar $x=\hat{1}$, deși și $\hat{4}$ convine.)

Itemul 9. (15 p) — asimptotă, monotonie și punct de inflexiune.

a) (5 p) Argumentul arctangentei tinde la $1$, iar arctangenta este continuă, deci $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, graficul are asimptotă orizontală, nu oblică: $$\text{deci }y=\frac{\pi }{4}\text{ este asimptota orizontala˘ spre }+\infty \text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f\left(10^8\right)\approx 0,78539816$, iar $\frac{\pi }{4}\approx 0,78539816$. Unde se greșește de obicei: se caută o asimptotă oblică, deși limita funcției este finită — cele două se exclud reciproc spre același capăt; sau se scrie $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{2}$, confundând valoarea în $1$ cu limita la infinit a arctangentei.)

b) (5 p) Se derivează cu formula $(\mathrm{arctg}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$, unde $u(x)=\frac{x}{x+1}$ are derivata $u^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Aducând la același numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{(x+1{)}^2}}{1+\frac{x^2}{(x+1{)}^2}}=\frac{1}{(x+1{)}^2+x^2}=\frac{1}{2x^2+2x+1}\text{(2 p)}.$$ Numitorul este un trinom cu $\Delta =4-8=-4<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci $$2x^2+2x+1>0\text{ pentru orice }x\text{ real, deci }{f}^{\prime }(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\text{(2 p)}.$$ Domeniul are însă două ramuri separate de punctul $-1$, iar monotonia se enunță pe fiecare în parte: $$\text{funcția }f\text{ este strict cresca˘toare pe }(-\infty ,-1)\text{ și pe }(-1,+\infty )\text{(1 p)}.$$ (Precizarea nu este pedanterie: pe $(-\infty ,-1)$ funcția crește către $\frac{\pi }{2}$, iar imediat la dreapta lui $-1$ o ia de la $-\frac{\pi }{2}$, deci pe reuniunea celor două intervale funcția nu este crescătoare. Control numeric: $f(-2)=\mathrm{arctg}2\approx 1,107$, iar $f(0)=0$ — o valoare din stânga este mai mare decât una din dreapta. Unde se greșește de obicei: se scrie „crescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$", ceea ce este fals.)

c) (5 p) Se derivează încă o dată, scriind $f^{\prime }(x)=(2x^2+2x+1{)}^{-1}$: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2(2x+1)}{(2x^2+2x+1{)}^2},x\ne -1\text{(2 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci semnul derivatei a doua este dat de $-(2x+1)$, care se anulează într-un singur punct: $$f^{\prime \prime }(x)=0⟺x=-\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ La stânga lui $-\frac{1}{2}$ avem $2x+1<0$, deci $f^{\prime \prime }>0$, iar la dreapta $f^{\prime \prime }<0$: derivata a doua își schimbă semnul, deci funcția trece de la convexă la concavă. Din tabelul de variație rezultă că $$x=-\frac{1}{2}\text{ este punct de inflexiune al funcției }f\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f^{\prime \prime }(-1,5)=\frac{4}{6,25}=0,64>0$ și $f^{\prime \prime }(0)=-2<0$ — semnele chiar sunt opuse. Atenție: punctul $-1$ nu aparține domeniului, deci nu poate fi punct de inflexiune, deși derivata a doua își schimbă semnul „prin" el la nivel de formulă. Unde se greșește de obicei: se anulează derivata întâi, care nu se anulează niciodată aici; sau se enumeră $-\frac{1}{2}$ și $-1$ ca puncte de inflexiune.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale.

a) (5 p) Se împarte întâi cu rest sub integrală: $\frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}$. Cu formula Leibniz–Newton, $$I_n={\int }_n^{n+1}\left(2-\frac{1}{x}\right)dx=(2x-\ln x){|}_n^{n+1}=2-\ln \frac{n+1}{n}\text{(2 p)}.$$ Pentru monotonie se scade un termen din următorul: $$I_{n+1}-I_n=\ln \frac{n+1}{n}-\ln \frac{n+2}{n+1}\text{(1 p)}.$$ Diferența de logaritmi este logaritmul câtului, iar câtul se simplifică într-o expresie evident supraunitară: $$=\ln \frac{(n+1{)}^2}{n(n+2)}=\ln \frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\ln \left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right)>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ deci șirul este strict cresca˘tor}\text{(2 p)}.$$ (Argumentul de la final: $\frac{1}{n^2+2n}>0$, deci argumentul logaritmului depășește $1$, iar logaritmul unui număr supraunitar este strict pozitiv. Control numeric: $I_1=2-\ln 2\approx 1,3069$, $I_2=2-\ln \frac{3}{2}\approx 1,5945$, $I_3\approx 1,7123$ — șirul chiar urcă. Unde se greșește de obicei: se compară direct $I_{n+1}$ cu $I_n$ „din formă", fără calculul diferenței.)

b) (5 p) Se încadrează raportul de sub logaritm. Pentru orice $n\ge 1$ avem $1<\frac{n+1}{n}\le 2<e$, iar logaritmul fiind strict crescător, rezultă $$0<\ln \frac{n+1}{n}<1\text{(2 p)}.$$ Înmulțind cu $-1$ și adunând $2$, inegalitățile se răstoarnă: $$1<2-\ln \frac{n+1}{n}<2\text{(2 p)},$$ adică $$1<I_n<2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ deci șirul este ma˘rginit}\text{(1 p)}.$$ (Marginile nu depind de $n$ — exact ce cere noțiunea de șir mărginit. Control numeric: $I_1\approx 1,307$ este cel mai mic termen, iar șirul crește către $2$ fără să-l atingă. Observație: fiind monoton și mărginit, șirul este și convergent, cu limita $2$ — dar enunțul nu cere asta la acest subpunct. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln \frac{n+1}{n}\le \ln 2$ și se lasă marginea $2-\ln 2$, corectă dar mai greu de justificat ca strictă; încadrarea prin $e$ este drumul din barem.)

c) (5 p) Se înlocuiește $I_n$ cu expresia găsită la subpunctul a). Termenii $2$ se reduc: $$\underset{n\to \infty }{\lim }n(2-I_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln \frac{n+1}{n}\text{(2 p)}.$$ Coeficientul $n$ intră în logaritm ca exponent, iar expresia obținută este chiar cea care definește numărul $e$: $$=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\ln e=1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $n=1000$ produsul dă $0,9995$, iar pentru $n=10^7$ dă $0,99999995$ — se apropie de $1$. Un al doilea drum: nedeterminarea $\infty \cdot 0$ se rescrie ca $\frac{\ln (1+1/n)}{1/n}$ și se aplică regula lui l'Hospital, cu același rezultat. Unde se greșește de obicei: se conchide că limita este $0$, pentru că paranteza tinde la zero — dar factorul $n$ tinde la infinit, deci produsul este o nedeterminare; sau se scrie $\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=n^n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$, confundând exponentul cu un factor.)