Bac M1 2010, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2010 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M1, înaintea sesiunilor de bacalaureat din 2010. Fiind un model, documentul nu poartă număr de variantă — pe el scrie doar „MODEL"; variantele numerotate apar abia la sesiunile propriu-zise. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării și Inovării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare în Învățământul Preuniversitar — instituția emitentă a acelui an, alta decât Centrul Național de Evaluare și Examinare, care a preluat rolul din 2010 încolo. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe în formă trigonometrică: scrierea unui număr complex sub forma $r(\cos t+i\sin t)$ și formula lui Moivre — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)$ pentru o funcție cu radical de ordinul al treilea — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație trigonometrică: formula $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ și rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea în $\sin x$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu șase elemente — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două drepte paralele, calculată ca distanța de la un punct al uneia la cealaltă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Produsul scalar și regula paralelogramului: descompunerea unui vector-diagonală și formula cu cosinusul — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare simetrice: un determinant circulant factorizat prin sumarea coloanelor, cazul compatibil determinat și cazul cu o infinitate de soluții — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Matrice cu elemente în ${\mathbb{Z}}_4$: numărarea elementelor unei mulțimi de matrice, divizorii lui zero din inelul ${\mathbb{Z}}_4$ și o ecuație matriceală rezolvată element cu element — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: asimptota oblică prin cele două limite, derivata unui cât și concavitatea din semnul derivatei a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: integrala unui modul de sinus, majorarea și minorarea unei integrale prin compararea integranzilor, apoi o sumă armonică parțială — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2010. Acesta este primul model publicat pentru formatul unic al probei M1, iar mesajul lui este limpede: Subiectul I rămâne de „mână", Subiectele al II-lea și al III-lea urcă mult. La Subiectul al II-lea, prima problemă cere un determinant simetric în trei parametri, factorizat prin sumarea coloanelor — o tehnică, nu un calcul —, iar a doua lucrează în inelul ${\mathbb{Z}}_4$, unde există divizori ai lui zero și unde intuiția din $\mathbb{R}$ nu mai funcționează. Subiectul al III-lea, problema a doua, este cea mai grea cerință a modelului: un șir de integrale cu $|\sin nx|$, în care subpunctul c) cere descompunerea intervalului în $n$ bucăți de lungime $\pi$ și o minorare pe fiecare. Cine parcurge modelul până la capăt știe exact unde se pierde examenul.

Notă de programă. Problema a doua a Subiectului al II-lea este despre matrice cu elemente în ${\mathbb{Z}}_4$, adică despre inelul claselor de resturi — capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame". Dacă înveți pe programa nouă și dai examenul într-una dintre aceste sesiuni, capitolul îți este necesar; fără această notă, ai crede că ai sărit o lecție.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $55$ pentru Subiectul al II-lea, $60$ pentru al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\sqrt{5}}{10}$ și $\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe baremul acestui model — și diferite de cele ale sesiunilor: se punctează oricare alte formulări sau modalități de rezolvare corectă a cerințelor; nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate explicit prin barem; nu se acordă fracțiuni de punct; se acordă $10$ puncte din oficiu, iar nota finală se obține împărțind la zece punctajul total. A doua regulă este mai aspră decât la sesiunile propriu-zise, unde baremele permit punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.
• Se depunctează, ca la examen: forma trigonometrică scrisă fără modulul $r$; ecuația trigonometrică rezolvată fără ambele familii de soluții; distanța dintre drepte paralele calculată fără să se aleagă întâi un punct pe una dintre ele; „sistemul are o infinitate de soluții" fără parametrizarea lor; „matricea este concavă" — adică o concluzie de convexitate scrisă fără semnul derivatei a doua.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: forma trigonometrică $z=r(\cos t+i\sin t)$, cu $r=|z|$; formula lui Moivre, $z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt)$. Radicali de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{512}=8$, iar $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$. Trigonometrie: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$; ecuația $\sin x=a$ are soluțiile $x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$. Combinatorică: numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k$. Distanța de la un punct la o dreaptă: $d(A,d)=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Regula paralelogramului: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, iar $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta$.
• Determinanți și sisteme: într-un determinant, se poate aduna o coloană la alta fără a-i schimba valoarea, iar un factor comun pe o coloană se scoate în față — cele două tehnici împreună factorizează determinanții simetrici. Un sistem liniar este compatibil determinat exact când determinantul lui este nenul, iar atunci soluția găsită prin orice mijloc, inclusiv prin inspecție, este cea unică.
• Inelul ${\mathbb{Z}}_4$: are patru elemente, $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}$; nu este corp, pentru că $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{0}$ — deci $\hat{2}$ este divizor al lui zero. Determinantul unei matrice cu elemente în ${\mathbb{Z}}_4$ se calculează cu aceeași formulă, dar în aritmetica modulo $4$.
• Asimptota oblică spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi dreapta $y=mx+n$. Derivata unui cât: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. Concavitate: $f^{\prime \prime }<0$ pe un interval înseamnă că funcția este concavă acolo.
• Integrale: o funcție cu modul se integrează spărgând intervalul acolo unde expresia își schimbă semnul; monotonia integralei, $u\le v$ pe $[a,b]$ implică ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$; schimbarea de variabilă $t=nx$; iar ${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin t|dt=2$, pentru orice $k$ natural.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ de la itemul $9$ și șirul de funcții $f_n(x)=|\sin nx|$ de la itemul $10$. La itemul $10$, indicele $n$ face parte din numele funcției, nu este o putere.
• Literele $a$, $b$, $c$ sunt, la itemul $7$, parametri reali nenuli ai unui sistem, iar la itemul $8$ elemente din ${\mathbb{Z}}_4$, adică clase de resturi. Semnul de „căciulă" din $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$ este esențial: el arată că lucrăm în inelul claselor de resturi modulo $4$, unde $\hat{2}+\hat{2}=\hat{0}$.
• Litera $I$ apare la itemul $10$ atât ca valoarea unei integrale concrete (subpunctul a), cât și ca notație pentru termenul general al șirului, $I_n$ (subpunctele b și c). La itemul $7$, litera $\alpha$ (și, la subpunctul c, $\beta$) sunt parametri reali care descriu o infinitate de soluții, nu necunoscute noi.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați partea reală a numărului complex ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^6$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$. Calculați $(f\circ f)(512)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\cos 2x+\sin x=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $M=\{0,1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul tripletelor $(a,b,c)$ cu proprietatea că $a,b,c\in M$ și $a<b<c$.

Itemul 5 (5 puncte)

Calculați distanța dintre dreptele paralele de ecuații $x+2y=6$ și $2x+4y=11$.

Itemul 6 (5 puncte)

Paralelogramul $ABCD$ are $AB=1$, $BC=2$ și $m(\sphericalangle BAD)=60^{\circ }$. Calculați produsul scalar $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}ax+by+cz=b\\ cx+ay+bz=a\\ bx+cy+az=c\end{array},x,y,z\in \mathbb{R}.$$

a) (5 puncte) Arătați că determinantul sistemului este $\Delta =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$.

b) (5 puncte) Rezolvați sistemul în cazul în care este compatibil determinat.

c) (5 puncte) Știind că $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$, arătați că sistemul are o infinitate de soluții $(x,y,z)$, astfel încât $x^2+y^2=z-1$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră mulțimea $G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ \hat{0}& c\end{array}\right)|a,b,c\in {\mathbb{Z}}_4\right\}$.

a) (5 puncte) Determinați numărul elementelor mulțimii $G$.

b) (5 puncte) Dați un exemplu de matrice $A\in G$ cu proprietatea că $\det A\ne \hat{0}$ și $\det A^2=\hat{0}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul soluțiilor ecuației $X^2=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{0}\end{array}\right)$, $X\in G$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(-\infty ,-1)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ se consideră funcțiile $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=|\sin nx|$ și numerele $I_n={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{f_n(x)}{x}dx$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{\pi }{f}_2(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_n\le \ln 2$.

c) (5 puncte) Arătați că $I_n\ge \frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă trigonometrică.

Modulul numărului este $\left|\sqrt{3}+i\right|=\sqrt{3+1}=2$, deci se scoate factor comun $2$ și se recunoaște un unghi remarcabil: $$z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\text{(2 p)}.$$ Cu formula lui Moivre, ridicarea la putere înmulțește argumentul și ridică modulul: $$z^6=2^6\left(\cos \frac{6\pi }{6}+i\sin \frac{6\pi }{6}\right)=2^6(\cos \pi +i\sin \pi )=-2^6⟹\mathrm{Re}{z}^6=-64\text{(3 p)}.$$ (Control prin desfacere: ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^2=3+2\sqrt{3}i-1=2+2\sqrt{3}i$, iar ridicând la cub acest număr se ajunge tot la $-64$. Unde se greșește de obicei: se scrie forma trigonometrică fără modulul $2$ în față, deci se pierde factorul $2^6$; sau se confundă $\cos \frac{\pi }{6}$ cu $\frac{1}{2}$ — corect este $\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\frac{1}{2}$ este sinusul.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară. Cum $512=8^3$, rădăcina de ordinul al treilea este $8$, deci $$f(512)=\frac{1}{\sqrt[3]{512}}=\frac{1}{8}\text{(2 p)}.$$ Rezultatul intră ca argument în a doua aplicare a funcției; cum $\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, avem $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$ și $$(f\circ f)(512)=f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\text{(3 p)}.$$ (Control: $\frac{1}{8}$ chiar aparține domeniului $(0,\infty )$, deci compunerea are sens. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(512)\cdot f(512)$ în loc de compunere; sau se scrie $\sqrt[3]{512}=512^3$ — exponentul este $\frac{1}{3}$, nu $3$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Se aduce totul la aceeași funcție, folosind $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Ecuația devine $1-2{\sin }^{2}x+\sin x=0$, adică $$2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0,\text{ cu soluțiile }\sin x=-\frac{1}{2}\text{ și }\sin x=1\text{(3 p)}.$$ Fiecare valoare a sinusului dă o familie de soluții: $$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z},\text{ sau }x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$ (Notând $s=\sin x$, trinomul $2s^2-s-1$ are discriminantul $1+8=9$ și rădăcinile $\frac{1\pm 3}{4}$, adică $1$ și $-\frac{1}{2}$ — amândouă în intervalul $[-1,1]$, deci amândouă convin. Control: pentru $x=\frac{\pi }{2}$, $\cos \pi +\sin \frac{\pi }{2}=-1+1=0$; pentru $x=-\frac{\pi }{6}$, $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, ceea ce lasă în ecuație și sinus, și cosinus; sau se dă doar una dintre cele două familii.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Cele trei numere trebuie să verifice $a<b<c$, deci sunt distincte, iar ordinea lor este unic determinată de valorile alese: odată alese trei elemente din $M$, există exact un mod de a le aranja crescător. Prin urmare $$\text{numa˘rul cerut}=\text{numa˘rul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii }M\text{(3 p)}.$$ Mulțimea $M$ are șase elemente, deci acest număr este $$C_6^3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}=20\text{(2 p)}.$$ (Control prin numărare directă: pentru $a=0$ rămân $C_5^2=10$ perechi, pentru $a=1$ rămân $C_4^2=6$, apoi $3$ și $1$; totalul este $10+6+3+1=20$. Unde se greșește de obicei: se numără aranjamente, $A_6^3=120$ — dar aranjamentele socotesc și ordinea, care aici este fixată de condiția $a<b<c$.)

Itemul 5. (5 p) — distanța dintre două drepte paralele.

Distanța dintre două drepte paralele se măsoară alegând un punct oarecare pe una dintre ele și calculând distanța de la el la cealaltă. Pe prima dreaptă, $x+2y=6$, se vede imediat un punct cu coordonate întregi: $$A(0,3)\text{ se afla˘ pe prima dreapta˘, pentru ca˘ }0+2\cdot 3=6\text{(2 p)}.$$ A doua dreaptă se scrie $2x+4y-11=0$, deci $$d(A,d_2)=\frac{|2\cdot 0+4\cdot 3-11|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}\text{(3 p)}.$$ (Raționalizarea numitorului: $\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,2236$. Control cu alt punct de pe prima dreaptă, $B(6,0)$: $\frac{|12-11|}{\sqrt{20}}$ — aceeași valoare, cum și trebuie, distanța dintre drepte paralele fiind constantă. Unde se greșește de obicei: se aplică formula distanței dintre puncte, deși nu avem două puncte; sau se compară direct termenii liberi $6$ și $11$, deși cele două ecuații nu au coeficienți egali — trebuie întâi aduse la aceeași formă.)

Itemul 6. (5 p) — produs scalar într-un paralelogram.

Diagonala se descompune după regula paralelogramului, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, iar produsul scalar este distributiv: $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}& =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\\ & =\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$ este chiar $\sphericalangle BAD$, iar $AD=BC=2$ (laturi opuse ale paralelogramului), deci $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=1\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=1\text{(1 p)}.$$ Cum ${\overrightarrow{AD}}^2=A{D}^2=4$, rezultă $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=1+2^2=5\text{(1 p)}.$$ (Control în coordonate: cu $A$ în origine, $\overrightarrow{AB}=(1,0)$ și $\overrightarrow{AD}=\left(1,\sqrt{3}\right)$, deci $\overrightarrow{AC}=\left(2,\sqrt{3}\right)$ și produsul scalar este $2\cdot 1+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=5$. Unde se greșește de obicei: se ia $AD=AB=1$, confundând laturile; într-un paralelogram, $AD$ este egală cu $BC$, nu cu $AB$.)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar simetric cu trei parametri.

a) (5 p) În determinantul sistemului se adună coloana a doua și a treia la prima; valoarea nu se schimbă, dar pe prima coloană apare de trei ori aceeași sumă, care se scoate factor: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a+b+c& b& c\\ a+b+c& a& b\\ a+b+c& c& a\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& a& b\\ 1& c& a\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Determinantul rămas se dezvoltă (de pildă după prima coloană) și se obține $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& a& b\\ 1& c& a\end{array}\right|\\ & =a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc,\\ & \text{ de unde rezulta˘ concluzia}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control numeric pe un caz: pentru $a=1$, $b=2$, $c=3$, determinantul inițial este $6\cdot (1+4+9-2-3-6)=6\cdot 3=18$; calculat direct cu regula lui Sarrus, iese tot $18$. Unde se greșește de obicei: se adună liniile în loc de coloane — merge și așa, dar atunci factorul comun apare pe o linie; sau se scoate factorul $(a+b+c)$ fără să se fi făcut întâi sumarea, ceea ce nu are nicio justificare.)

b) (5 p) Sistemul este compatibil determinat exact când $\Delta \ne 0$, iar atunci are o singură soluție. Se caută una prin inspecție și se observă că tripletul cel mai simplu funcționează: $$x=0,y=1,z=0\text{ verifica˘ sistemul}\text{(3 p)},$$ pentru că înlocuind se obține $b=b$, $a=a$ și $c=c$ — cele trei ecuații devin identități.

Cum, în cazul compatibil determinat, soluția este unică, tripletul găsit este soluția căutată: $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=(0,1,0)$ (2 p).

(Argumentul de unicitate este esențial: fără el, „am găsit o soluție" nu înseamnă „am rezolvat sistemul". Observația care duce la ea: coloana termenilor liberi este $(b,a,c)$, adică exact coloana a doua a matricei sistemului — de aceea $y=1$ și restul zero. Unde se greșește de obicei: se pornește regula lui Cramer cu trei determinanți de ordinul al treilea, fiecare cu parametri — corect, dar de zece ori mai lung.)

c) (5 p) Condiția din enunț se rescrie ca sumă de pătrate, înmulțind cu $2$: $$\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\\ & =0\\ & ⟺(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(c-b{)}^2\\ & =0⟺a=b=c\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu $a=b=c\ne 0$, toate cele trei ecuații devin $a(x+y+z)=a$, adică $x+y+z=1$; sistemul are, așadar, o infinitate de soluții, de forma $$x=\alpha ,y=\beta ,z=1-\alpha -\beta \text{(2 p)}.$$ Mai rămâne de arătat că printre ele sunt o infinitate care verifică și $x^2+y^2=z-1$. Condiția devine ${\alpha }^2+{\beta }^2=-\alpha -\beta$, adică ${\beta }^2+\beta +{\alpha }^2+\alpha =0$, o ecuație de gradul al doilea în $\beta$; putem lua $$\begin{array}{rl}\beta & =\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{1-4{\alpha }^2-4\alpha }\right),\\ & \text{ cu }4{\alpha }^2+4\alpha -1\\ & \le 0\text{(1 p)}.\end{array}$$ (Condiția $4{\alpha }^2+4\alpha -1\le 0$ înseamnă $\alpha \in \left[\frac{-1-\sqrt{2}}{2},\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right]$ — un interval nedegenerat, deci $\alpha$ poate lua o infinitate de valori, fiecare dând o soluție. Control numeric: pentru $\alpha =-\frac{1}{2}$ iese $\beta =\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\approx 0,207$ și $z=1,293$, iar ${\alpha }^2+{\beta }^2\approx 0,293=z-1$. Unde se greșește de obicei: se sare peste rescrierea ca sumă de pătrate și se încearcă rezolvarea directă a ecuației în trei parametri; sau se scrie „infinitate de soluții" fără parametrizare, ceea ce nu demonstrează nimic despre condiția suplimentară.)

Itemul 8. (15 p) — matrice cu elemente în inelul ${\mathbb{Z}}_4$.

a) (5 p) O matrice din $G$ este determinată de trei elemente libere, $a$, $b$ și $c$; elementul din colțul din stânga jos este fixat, egal cu $\hat{0}$. Fiecare dintre cele trei $$\begin{array}{rl}& a,b,c\text{ poate lua caˆte }4\text{ valori, pentru ca˘ }{\mathbb{Z}}_4\\ & =\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\right\}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Alegerile fiind independente, prin regula produsului se obțin $$4^3=64\text{ matrice}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $4\cdot 3\cdot 2=24$, ca și cum elementele ar trebui să fie distincte — enunțul nu cere așa ceva; sau se socotesc patru elemente libere, uitând că poziția din stânga jos este fixată.)

b) (5 p) Se caută o matrice al cărei determinant să fie nenul în ${\mathbb{Z}}_4$, dar al cărei pătrat să aibă determinantul nul. Un exemplu este $$A=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Într-adevăr, determinantul ei este $\hat{1}\cdot \hat{2}-\hat{0}\cdot \hat{0}=\hat{2}\ne \hat{0}$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{0}\end{array}\right)$, cu determinantul $\hat{0}$: $$\det A=\hat{2},\det \left(A^2\right)=\hat{0}\text{(2 p)}.$$ (De ce așa ceva este posibil în ${\mathbb{Z}}_4$ și imposibil în $\mathbb{R}$: din $\det \left(A^2\right)=(\det A{)}^2$ ar rezulta, peste numere reale, că un pătrat nenul nu poate fi nul. În ${\mathbb{Z}}_4$ însă $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{0}$ — clasa $\hat{2}$ este divizor al lui zero, iar inelul ${\mathbb{Z}}_4$ nu este corp. Aici stă toată ideea subpunctului. Unde se greșește de obicei: se dă o matrice cu $\det A=\hat{1}$ sau $\hat{3}$, adică inversabil — atunci pătratul lui rămâne inversabil și nu se anulează niciodată.)

c) (5 p) Fie $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ \hat{0}& c\end{array}\right)\in G$. Ridicând la pătrat, matricea rămâne în aceeași formă: $$X^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& b(a+c)\\ \hat{0}& c^2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalând cu matricea din enunț, element cu element, ecuația devine sistemul $$a^2=\hat{1},b(a+c)=\hat{0},c^2=\hat{0}\text{(1 p)}.$$ În ${\mathbb{Z}}_4$, pătratele sunt ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{0}$, ${\hat{3}}^2=\hat{1}$; deci prima ecuație dă $a\in \left\{\hat{1},\hat{3}\right\}$, iar a treia dă $c\in \left\{\hat{0},\hat{2}\right\}$. În fiecare dintre aceste patru combinații suma $a+c$ este $\hat{1}$ sau $\hat{3}$, adică inversabilă, deci a doua ecuație forțează $b=\hat{0}$. Rezultă $$\begin{array}{rl}a& \in \left\{\hat{1},\hat{3}\right\},c\in \left\{\hat{0},\hat{2}\right\},\\ b& =\hat{0},\text{ deci exista˘ }4\text{ soluții}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cele patru matrice sunt $\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{0}\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}\hat{1}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{2}\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}\hat{3}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{0}\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}\hat{3}& \hat{0}\\ \hat{0}& \hat{2}\end{array}\right)$; verificarea prin ridicare la pătrat a fiecăreia confirmă rezultatul. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $a^2=\hat{1}$ ca peste numere reale și se dau doar $a=\hat{1}$ — în ${\mathbb{Z}}_4$ și $\hat{3}$ verifică, pentru că ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$; sau se conchide din $b(a+c)=\hat{0}$ că „$b=\hat{0}$ sau $a+c=\hat{0}$", uitând că într-un inel cu divizori ai lui zero produsul nul nu forțează un factor nul — aici concluzia $b=\hat{0}$ vine din faptul că $a+c$ s-a dovedit inversabil.)

Itemul 9. (15 p) — asimptotă oblică, derivată și concavitate.

a) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x+1}{x(x+1)}=1⟹m=1\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber: $$\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x+1-x(x+1)}{x+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ (3 p).

(Același rezultat, mai repede, prin împărțire cu rest: $f(x)=x+\frac{1}{x+1}$, iar al doilea termen tinde la zero la infinit — de aici se citesc direct și panta, și termenul liber. Control numeric: $f(1000)-1000=\frac{1}{1001}\approx 0,000999$. Unde se greșește de obicei: se calculează termenul liber înaintea pantei, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul.)

b) (5 p) Se aplică regula de derivare a câtului, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u=x^2+x+1$ și $v=x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând numărătorul: $(2x+1)(x+1)=2x^2+3x+1$, din care se scade $x^2+x+1$ și rămâne $x^2+2x$. Prin urmare $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2},x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $\frac{3}{4}=0,75$, iar raportul incremental cu pas $10^{-6}$ dă tot $0,75$. Verificare pe drumul scurt: din $f(x)=x+\frac{1}{x+1}$ rezultă $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$ — aceeași expresie. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea la numărător, scriind $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$.)

c) (5 p) Concavitatea se citește din semnul derivatei a doua. Cel mai comod este să se pornească de la forma $f^{\prime }(x)=1-(x+1{)}^{-2}$, care se derivează imediat: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^3}\text{(3 p)}.$$ Pentru $x<-1$ avem $x+1<0$, deci $(x+1{)}^3<0$, o putere impară a unui număr negativ; prin urmare $$f^{\prime \prime }(x)<0,\forall x\in (-\infty ,-1),\text{ deci }f\text{ este concava˘ pe }(-\infty ,-1)\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f^{\prime \prime }(-2)=\frac{2}{-1}=-2<0$, iar diferența a doua a valorilor lui $f$ în jurul lui $-2$, cu pas $10^{-4}$, dă tot $\approx -2$. Observație: pe cealaltă ramură, $(-1,+\infty )$, aceeași formulă dă $f^{\prime \prime }>0$, deci funcția este convexă acolo — dar $-1$ nu aparține domeniului, deci nu există punct de inflexiune. Unde se greșește de obicei: se conchide concavitatea din semnul derivatei ÎNTÂI; derivata întâi dă monotonia, nu convexitatea.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu modul de sinus.

a) (5 p) Pe intervalul $[0,\pi ]$, expresia $\sin 2x$ este pozitivă pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și negativă pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$, deci modulul se desface spărgând intervalul în punctul în care se schimbă semnul: $$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }|\sin 2x|dx\\ & ={\int }_0^{\pi /2}\sin 2xdx-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\sin 2xdx\text{(2 p)}.\end{array}$$ O primitivă a lui $\sin 2x$ este $-\frac{\cos 2x}{2}$, deci $$I=-\frac{\cos 2x}{2}{|}_0^{\pi /2}+\frac{\cos 2x}{2}{|}_{\pi /2}^{\pi }\text{(2 p)}.$$ Prima bucată dă $-\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}=1$, a doua dă $\frac{1}{2}-\frac{-1}{2}=1$, deci $$I=2\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată numeric dă $2,000000$. Un al doilea drum: funcția $|\sin 2x|$ are perioada $\frac{\pi }{2}$, iar pe o perioadă integrala este ${\int }_0^{\pi /2}\sin 2xdx=1$; pe $[0,\pi ]$ încap două perioade, deci rezultatul este $2$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\sin 2x$ ignorând modulul, ceea ce dă $0$ — semn sigur că discuția de semn a fost sărită.)

b) (5 p) Pe intervalul de integrare, funcția $f_n$ este mărginită de $1$, pentru că modulul unui sinus nu depășește niciodată $1$; iar $x>0$ acolo, deci împărțirea păstrează inegalitatea. Prin monotonia integralei, $$I_n={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{f_n(x)}{x}dx\le {\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{1}{x}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală se calculează direct: $$\begin{array}{rl}& {\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{1}{x}dx\\ & =\ln x{|}_{\pi }^{2\pi }=\ln 2\pi -\ln \pi \\ & =\ln 2,\text{ deci }{I}_n\le \ln 2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Marginea nu depinde de $n$ — exact ce cere enunțul. Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$, iar $I_1\approx 0,434$, $I_{10}\approx 0,441$, $I_{25}\approx 0,441$ — toate sub margine, și chiar destul de departe de ea. Unde se greșește de obicei: se majorează $\frac{1}{x}$ prin $\frac{1}{\pi }$, ceea ce dă marginea $1$, mai slabă decât $\ln 2$ și insuficientă pentru cerință.)

c) (5 p) Se face schimbarea de variabilă $t=nx$, cu $dt=ndx$; atunci $\frac{f_n(x)}{x}dx=\frac{|\sin t|}{t/n}\cdot \frac{dt}{n}=\frac{|\sin t|}{t}dt$, iar capetele $\pi$ și $2\pi$ devin $n\pi$ și $2n\pi$: $$I_n={\int }_{n\pi }^{2n\pi }\frac{|\sin t|}{t}dt\text{(1 p)}.$$ Intervalul $[n\pi ,2n\pi ]$ are lungimea $n\pi$, deci se sparge în exact $n$ bucăți de lungime $\pi$: $$\begin{array}{rl}& I_n\\ & ={\int }_{n\pi }^{n\pi +\pi }\frac{|\sin t|}{t}dt+{\int }_{n\pi +\pi }^{n\pi +2\pi }\frac{|\sin t|}{t}dt+\dots +{\int }_{2n\pi -\pi }^{2n\pi }\frac{|\sin t|}{t}dt\text{(2 p)}.\end{array}$$ Pe bucata a $k$-a, cu $k$ de la $1$ la $n$, avem $t\le (n+k)\pi$, deci $\frac{1}{t}\ge \frac{1}{(n+k)\pi }$; scoțând de fiecare dată această constantă în față: $$\begin{array}{rl}& I_n\\ & \ge \frac{1}{\pi (n+1)}{\int }_{n\pi }^{n\pi +\pi }|\sin t|dt+\frac{1}{\pi (n+2)}{\int }_{n\pi +\pi }^{n\pi +2\pi }|\sin t|dt+\dots +\frac{1}{2n\pi }{\int }_{2n\pi -\pi }^{2n\pi }|\sin t|dt\text{(1 p)}.\end{array}$$ Fiecare dintre aceste integrale este aceeași, pentru că ${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin t|dt=2$ pentru orice $k$ natural — o „arcadă" de sinus are aria $2$. Înlocuind, rezultă concluzia: $$I_n\ge \frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}\right)\text{(1 p)}.$$ (Control numeric pentru $n=10$: membrul drept valorează $\approx 0,4258$, iar $I_{10}\approx 0,4412$ — inegalitatea se verifică, și este destul de strânsă. Observație: suma din paranteză tinde la $\ln 2$, deci minoranta și majoranta de la subpunctul b) se apropie una de alta, iar $I_n\to \frac{2\ln 2}{\pi }$. Unde se greșește de obicei: se majorează $\frac{1}{t}$ în loc să se minoreze — la minorare se ia capătul cel mai MARE al bucății, pentru că $\frac{1}{t}$ este descrescătoare; sau se uită factorul $\pi$ din numitor, care vine din lungimea bucății.)