Bac M1 2011, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2011 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M1, în sesiunea august-septembrie 2011 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. În 2011, profilul se numea încă „M1" în documentele oficiale; denumirea „M_mate-info" a apărut abia cu modelul publicat în toamna anului 2012.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: termenul general $b_n=b_1{q}^{n-1}$ și scoaterea rației dintr-o relație între sume — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: când o funcție $f(x)=mx+n$ este constantă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Inecuație exponențială: aceeași bază pe ambii membri și monotonia funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Binomul lui Newton: termenul general al dezvoltării și condiția de raționalitate — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația unei drepte prin două puncte și distanța de la un punct la o dreaptă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Produsul scalar a doi vectori: formula cu unghiul dintre ei — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Mulțimi de matrice: matricele idempotente, $A^2=A$, stabilitatea la puteri și o familie infinită de exemple — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame cu coeficienți complecși: restul împărțirii la $X-i$ prin teorema lui Bézout, dezvoltarea binomială, realitatea coeficienților și localizarea rădăcinilor cu modulul — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate: derivata ca limită a raportului incremental, punctul de inflexiune din semnul derivatei a doua, numărul de soluții citit din tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și șiruri de integrale: formula Leibniz–Newton, schimbarea de variabilă, integrarea prin părți și teorema lui Weierstrass pentru șiruri monotone și mărginite — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2011. Subiectul I este alcătuit din șase cerințe scurte, fiecare cu un singur pas ascuns: rația se scoate raportând cele două sume, nu rezolvând sistemul; inecuația exponențială se rezolvă abia după ce ambii membri ajung pe aceeași bază; termenii raționali ai dezvoltării se numără după paritatea indicelui, nu calculându-i. Subiectul al II-lea este, la ambele probleme, de demonstrație, nu de calcul: mulțimea $H$ a matricelor idempotente cere un raționament cu puteri, iar polinomul $(X+i{)}^{10}+(X-i{)}^{10}$ cere două idei distincte — dezvoltarea binomială pentru coeficienți și modulul unui număr complex pentru rădăcini. Subiectul al III-lea este cel mai apropiat de un subiect modern: derivate, inflexiune, tablou de variație, apoi trei integrale în care dificultatea stă în recunoașterea schimbării de variabilă, nu în tehnică.

Notă de programă. Problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame". Dacă înveți pe programa nouă și dai examenul într-una dintre aceste sesiuni, capitolul îți este necesar; fără această notă, ai crede că ai sărit o lecție.

Un al doilea avertisment de programă, mai blând: punctul de inflexiune și derivata a doua (itemul $9$, subpunctul b) sunt materie de clasa a XI-a în forma veche a programei. Ele apar și astăzi la studiul funcțiilor, dar dacă nu le-ai întâlnit, subpunctul se învață în zece minute din lecția de convexitate.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{e-1}{e}$ și $\frac{e-2}{3e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rația unei progresii geometrice scrisă fără să se arate că este pozitivă; inecuația exponențială rezolvată fără să se spună de ce sensul se păstrează; „mulțimea este infinită" fără o familie efectivă de elemente; „coeficienții sunt reali" fără formula lor; „este punct de inflexiune" fără schimbarea de semn a derivatei a doua; „șirul este convergent" fără ambele ipoteze, monotonie și mărginire.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_n=b_1{q}^{n-1}$; de aici $b_3+b_4=q^2(b_1+b_2)$ — raportul a două sume „decalate cu doi" dă direct $q^2$. Funcția de gradul întâi: $f(x)=mx+n$ este constantă exact când $m=0$. Inecuații exponențiale: $a^u<a^v$ înseamnă $u<v$ dacă $a>1$ și $u>v$ dacă $0<a<1$; util: ${\left(\frac{p}{q}\right)}^x={\left(\frac{q}{p}\right)}^{-x}$. Binomul lui Newton: $(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{y}^k$, cu termenul general $T_{k+1}=C_n^k{x}^{n-k}{y}^k$. Geometrie analitică: dreapta prin $B(x_B,y_B)$ și $C(x_C,y_C)$, apoi $d(A,d)=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Produsul scalar: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A$.
• Matrice: o matrice cu $A^2=A$ se numește idempotentă; din $A^2=A$ se deduce $A^k=A$ pentru orice $k\ge 1$, deci $(A^n{)}^2=A^{2n}=(A^2{)}^n=A^n$. O mulțime este infinită dacă i se dă o familie cu un parametru real de elemente distincte.
• Polinoame: teorema lui Bézout — restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; dezvoltarea binomială a lui $(X\pm i{)}^n$; iar pentru rădăcini, egalitatea de module $|z+i|=|z-i|$ înseamnă geometric „punctul de afix $z$ este egal depărtat de afixele $i$ și $-i$", adică stă pe axa reală.
• Derivate: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$ — definiția derivatei într-un punct; $x_0$ este punct de inflexiune dacă $f^{\prime \prime }$ se anulează în $x_0$ și își schimbă semnul acolo; numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$ se citește din tabloul de variație, comparând $m$ cu valorile extremelor locale.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; schimbarea de variabilă $t=\phi (x)$, cu $dt={\phi }^{\prime }(x)dx$ și capetele transformate; integrarea prin părți $\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v$; teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=(1-a^2)x+4$ de la itemul $2$, polinomul $f=(X+i{)}^{10}+(X-i{)}^{10}$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=x^5-5x+4$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ (numărul real căutat) și indice de coeficient la itemul $8$ ($a_0,a_1,\dots ,a_{10}$ sunt coeficienții polinomului). Litera $i$ este unitatea imaginară peste tot, iar litera $e$ apare doar la itemul $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.
• Notația $A^n\in H$ de la itemul $7$, subpunctul b), se citește „puterea a $n$-a a matricei $A$", nu „$A$ înmulțit cu $n$". În aceeași problemă, litera $H$ denumește o mulțime de matrice, nu o matrice.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, cu termeni pozitivi, dacă $b_1+b_2=6$ și $b_3+b_4=24$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(1-a^2)x+4$ este constantă.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x<{\left(\frac{2}{3}\right)}^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^{10}$.

Itemul 5 (5 puncte)

Calculați distanța de la punctul $A(2,2)$ la dreapta determinată de punctele $B(1,0)$ și $C(0,1)$.

Itemul 6 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ are măsura unghiului $A$ de $60^{\circ }$, $AB=4$ și $AC=5$. Calculați $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră mulțimea $H=\left\{A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})|A^2=A\right\}$.

a) (5 puncte) Arătați că $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\in H$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $A\in H$, atunci $A^n\in H$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Arătați că mulțimea $H$ este infinită.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=(X+i{)}^{10}+(X-i{)}^{10}$, având forma algebrică $f=a_{10}{X}^{10}+a_9{X}^9+\dots +a_{1}X+a_0$, unde $a_0,a_1,\dots ,a_{10}\in \mathbb{C}$.

a) (5 puncte) Determinați restul împărțirii polinomului $f$ la $X-i$.

b) (5 puncte) Arătați că toți coeficienții polinomului $f$ sunt numere reale.

c) (5 puncte) Demonstrați că toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5-5x+4$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) (5 puncte) Arătați că graficul funcției $f$ are un punct de inflexiune.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice $m\in (0,8)$, ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^{-x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}g(x)dx$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{x}^{5}g\left(x^3\right)dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $I_n={\int }_1^{n}g\left(x^3\right)dx$ este convergent.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține din primul înmulțind cu rația la puterea potrivită: $$b_3=b_1{q}^2,b_4=b_1{q}^3\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $b_3+b_4=b_1{q}^2+b_1{q}^3=q^2(b_1+b_2)$, pentru că $b_1+b_2=b_1+b_{1}q$. Înlocuind datele din enunț: $$24=6q^2\text{(2 p)}.$$ De aici $q^2=4$, deci $q=2$ sau $q=-2$; cum toți termenii progresiei sunt pozitivi, rația trebuie să fie pozitivă, deci $\mathbf{q}=2$ (1 p).

(Control: din $b_1+2b_1=6$ iese $b_1=2$, deci progresia este $2,4,8,16,\dots$, iar $b_3+b_4=8+16=24$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă sistemul complet în $b_1$ și $q$, cu o ecuație de gradul al treilea inutilă; și se uită condiția „termeni pozitivi", care elimină rația negativă.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

O funcție de forma $f(x)=mx+n$ este constantă exact când coeficientul lui $x$ este nul, deci condiția din enunț se scrie $$1-a^2=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația $a^2=1$ are soluțiile $\mathbf{a}=1$ sau $\mathbf{a}=-1$ (2 p).

(Control: pentru $a=\pm 1$ funcția devine $f(x)=0\cdot x+4=4$, deci într-adevăr constantă. Unde se greșește de obicei: se dă doar soluția pozitivă, uitând că $a^2=1$ are două rădăcini; sau se pune $1-a^2=4$, confundând „constantă" cu „egală cu termenul liber".)

Itemul 3. (5 p) — inecuație exponențială.

Cei doi membri au baze diferite, dar inverse una alteia, deci se aduc la aceeași bază: $${\left(\frac{2}{3}\right)}^x={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-x}\text{(1 p)}.$$ Inecuația devine ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x<{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-x}$. Baza $\frac{3}{2}$ este supraunitară, deci funcția exponențială de această bază este strict crescătoare și sensul inegalității se păstrează la trecerea de la puteri la exponenți: $$x<-x\text{(2 p)}.$$ Din $2x<0$ rezultă mulțimea soluțiilor $\mathbf{S}=(-\infty ,0)$ (2 p).

(Control numeric: pentru $x=-1$ avem $\frac{2}{3}<\frac{3}{2}$, adevărat; pentru $x=1$ avem $\frac{3}{2}<\frac{2}{3}$, fals; pentru $x=0$ ambii membri sunt $1$, deci inegalitatea strictă nu are loc — capătul se exclude. Unde se greșește de obicei: se compară direct bazele și se scrie „$3/2>2/3$, deci nu are soluții", fără să se observe că exponentul poate fi negativ.)

Itemul 4. (5 p) — binomul lui Newton.

Termenul general al dezvoltării lui ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^{10}$ este $$T_{k+1}=C_{10}^k\cdot 1^{10-k}\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^k=C_{10}^k{\left(\sqrt{2}\right)}^k,k\in \{0,1,\dots ,10\}\text{(2 p)}.$$ Coeficientul binomial este întreg, deci termenul este rațional exact când ${\left(\sqrt{2}\right)}^k$ este rațional, adică exact când $k$ este par (2 p).

Valorile pare ale lui $k$ din mulțimea $\{0,1,\dots ,10\}$ sunt $0,2,4,6,8,10$, deci dezvoltarea are $6$ termeni raționali (1 p).

(De ce „exact când $k$ este par": pentru $k=2p$ avem ${\left(\sqrt{2}\right)}^{2p}=2^p\in \mathbb{Q}$, iar pentru $k$ impar apare factorul $\sqrt{2}$, care este irațional, înmulțit cu un întreg nenul — deci rezultatul rămâne irațional. Unde se greșește de obicei: se numără $5$ termeni, uitând că indicele $k$ pleacă de la $0$; sau se calculează efectiv toți cei $11$ termeni, ceea ce este corect, dar lung.)

Itemul 5. (5 p) — distanța de la un punct la o dreaptă.

Dreapta $BC$ trece prin $B(1,0)$ și $C(0,1)$, adică taie axele în $1$ și $1$; ecuația ei prin tăieturi este $\frac{x}{1}+\frac{y}{1}=1$, adică $$BC:x+y-1=0\text{(2 p)}.$$ Cu formula distanței de la punctul $A(2,2)$ la o dreaptă de ecuație $ax+by+c=0$: $$d(A,BC)=\frac{|2+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ (Control: $\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$. Verificare geometrică: piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $x+y=1$ este mijlocul dintre $A$ și simetricul lui, adică punctul $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, iar $A\left(2,2\right)$ se află la distanța $\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ de el. Unde se greșește de obicei: se uită modulul de la numărător, sau se scrie ecuația dreptei ca $x+y=0$, ignorând termenul liber.)

Itemul 6. (5 p) — produsul scalar a doi vectori.

Unghiul dintre vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ este chiar unghiul $A$ al triunghiului, iar $$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Produsul scalar se calculează cu formula „produsul lungimilor ori cosinusul unghiului dintre ei": $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=4\cdot 5\cdot \frac{1}{2}\text{(2 p)},$$ deci $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se folosește $\sin 60^{\circ }$ în loc de cosinus — acela apare la aria triunghiului, nu la produsul scalar; sau se calculează lungimea lui $BC$, care nu este cerută. Control de bun-simț: produsul scalar este pozitiv exact când unghiul este ascuțit, ceea ce se potrivește cu $60^{\circ }$.)

Itemul 7. (15 p) — mulțimea matricelor idempotente.

a) (5 p) Se ridică matricea la pătrat, înmulțind-o cu ea însăși după regula „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 0& 1\cdot 2+2\cdot 0\\ 0\cdot 1+0\cdot 0& 0\cdot 2+0\cdot 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\text{(4 p)}.\end{array}$$ Pătratul coincide cu matricea însăși, adică este verificată condiția $A^2=A$ din definiția mulțimii, așadar $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\in H$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element în parte, ceea ce ar da $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$ — dar puterea unei matrice este produsul ei cu ea însăși, nu ridicarea element cu element. Observație: matricea are determinantul nul, deci nu este inversabilă; o matrice idempotentă inversabilă ar fi obligatoriu $I_2$.)

b) (5 p) Fie $A\in H$, deci $A^2=A$. Puterile matricei se pot regrupa, pentru că înmulțirea matricelor este asociativă: $$(A^n{)}^2=A^{2n}=(A^2{)}^n\text{(2 p)}.$$ Cum $A^2=A$, ultima expresie este chiar $A^n$, deci $(A^n{)}^2=A^n$, adică $A^n$ verifică ea însăși condiția din definiția mulțimii: $A^n\in H$ (3 p).

(Cel mai scurt drum este exact acesta: nu se face inducție, ci se folosește o singură dată regula $A^{mn}=(A^m{)}^n$. Un al doilea drum, tot corect: din $A^2=A$ rezultă prin inducție $A^k=A$ pentru orice $k\ge 1$, deci $A^n=A\in H$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(A^n{)}^2=A^{n^2}$ — regula corectă înmulțește exponenții, nu îi ridică la putere.)

c) (5 p) Este de ajuns o familie cu un parametru real de elemente distincte, toate în $H$. Pentru orice număr real $x$, $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 0\end{array}\right),\text{ deci }\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 0\end{array}\right)\\ & \in H\text{(4 p)}.\end{array}$$ La valori diferite ale lui $x$ se obțin matrice diferite, iar $x$ parcurge mulțimea infinită $\mathbb{R}$; prin urmare mulțimea $H$ este infinită (1 p).

(Verificare pe un caz: pentru $x=7$, produsul are pe poziția din dreapta sus $1\cdot 7+7\cdot 0=7$, iar restul pozițiilor rămân $1$, $0$, $0$ — exact matricea de plecare. Unde se greșește de obicei: se dau două-trei exemple concrete și se conchide „deci $H$ este infinită" — trei exemple nu fac o mulțime infinită; e nevoie de o familie parametrizată, ca aici. Alt drum valid: matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ y& 1\end{array}\right)$, $y\in \mathbb{R}$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți complecși.

a) (5 p) Împărțitorul este de gradul întâi, deci restul este o constantă, iar teorema lui Bézout spune că restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este chiar valoarea $f(a)$. Aici $a=i$, deci $$r=f(i)\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește: $f(i)=(i+i{)}^{10}+(i-i{)}^{10}=(2i{)}^{10}+0=2^{10}\cdot i^{10}$. Cum $i^{10}=(i^2{)}^5=(-1{)}^5=-1$, $$f(i)=-2^{10}=-1024\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $(2i{)}^{10}=2^{10}$, uitând puterea unității imaginare; sau se face împărțirea efectivă a unui polinom de gradul al zecelea, ceea ce este corect, dar de zece ori mai lung. Control: $i^{10}=i^8\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$.)

b) (5 p) Se dezvoltă ambele puteri cu binomul lui Newton și se adună termen cu termen: $$f=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{X}^{10-k}{i}^k+\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{X}^{10-k}(-i{)}^k=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{X}^{10-k}{i}^k(1+(-1{)}^k)\text{(2 p)}.$$ Pentru $k$ impar factorul $1+(-1{)}^k$ este nul, deci $$a_{2p+1}=0\in \mathbb{R},\text{ pentru orice }p\in \{0,1,2,3,4\}\text{(1 p)}.$$ Pentru $k=2p$ par factorul este $2$, iar $i^{2p}=(-1{)}^p$, deci $$a_{2p}=2C_{10}^{2p}\cdot (-1{)}^p\in \mathbb{R},\text{ pentru orice }p\in \{0,1,2,3,4,5\}\text{(2 p)}.$$ Toți coeficienții sunt, așadar, numere reale.

(Atenție la indici: coeficientul $a_{10-k}$ însoțește puterea $X^{10-k}$; parametrizarea de mai sus urmează baremul oficial, care numerotează coeficienții după paritatea lor. Control numeric: coeficienții efectivi sunt $2,0,-90,0,420,0,-420,0,90,0,-2$, citiți de la $X^{10}$ spre termenul liber — toți reali, cei de rang impar nuli. Un al doilea drum, mai scurt: $\overline{f(z)}=f\left(\overline{z}\right)$ pentru că cele două paranteze sunt conjugate una alteia, iar un polinom care ia valori reale în orice punct real are coeficienți reali.)

c) (5 p) Fie $z$ o rădăcină a lui $f$. Atunci $(z+i{)}^{10}+(z-i{)}^{10}=0$, deci $(z+i{)}^{10}=-(z-i{)}^{10}$; luând modulul în ambii membri și folosind $|w^{10}|=|w{|}^{10}$, obținem $|z+i{|}^{10}=|z-i{|}^{10}$, de unde $$|z+i|=|z-i|\text{(3 p)}.$$ Ultima egalitate spune că punctul de afix $z$ este egal depărtat de punctele de afixe $i$ și $-i$, adică se află pe mediatoarea segmentului determinat de ele — care este chiar axa reală. Prin urmare $z$ este număr real, deci toate rădăcinile polinomului $f$ sunt reale (2 p).

(De ce modulele sunt egale: modulul unui număr complex este nenegativ, iar din $u^{10}=v^{10}$ cu $u,v$ complexe rezultă $|u{|}^{10}=|v{|}^{10}$, iar funcția $t\mapsto t^{10}$ este injectivă pe $[0,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea efectivă a ecuației de gradul al zecelea. Control numeric: rădăcinile sunt $\mathrm{tg}\frac{(2k+1)\pi }{20}$, $k=0,1,\dots ,9$ — toate reale, așa cum prezice raționamentul.)

Itemul 9. (15 p) — derivate, inflexiune și numărul de soluții.

a) (5 p) Expresia din enunț este chiar raportul incremental al funcției $f$ în punctul $2$, deci limita lui este derivata: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)\text{(2 p)}.$$ Derivând termen cu termen, $$f^{\prime }(x)=5x^4-5\text{(2 p)},$$ de unde $f^{\prime }(2)=5\cdot 16-5=75$ (1 p).

(Se poate și direct, prin factorizare: $f(x)-f(2)=x^5-32-5(x-2)=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16-5)$, iar limita raportului este valoarea parantezei în $2$, adică $16+16+16+16+16-5=75$ — aceeași valoare, obținută fără derivate. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=2$ și se scrie „$\frac{0}{0}$, deci limita nu există"; nedeterminarea $\frac{0}{0}$ este exact semnalul că raportul este unul incremental.)

b) (5 p) Punctele de inflexiune se caută printre zerourile derivatei a doua. Derivând încă o dată, $$f^{\prime \prime }(x)=20x^3,\text{ care se anuleaza˘ ıˆn }x=0\text{(3 p)}.$$ Cum $x^3$ este negativ la stânga lui zero și pozitiv la dreapta, derivata a doua își schimbă semnul în $x=0$: funcția este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$. Prin urmare graficul lui $f$ are un punct de inflexiune, anume punctul de abscisă $x=0$, adică $(0,f(0))=(0,4)$ (2 p).

(Schimbarea de semn este obligatorie, nu decorativă: funcția $x\mapsto x^4$ are derivata a doua $12x^2$, care se anulează în zero, dar nu-și schimbă semnul — și acolo nu există punct de inflexiune. Control numeric: $f^{\prime \prime }(-1)=-20<0$ și $f^{\prime \prime }(1)=20>0$. Unde se greșește de obicei: se anulează derivata întâi în loc de a doua, ceea ce dă puncte de extrem, nu de inflexiune.)

c) (5 p) Se studiază variația funcției. Din $f^{\prime }(x)=5(x^4-1)=0$ rezultă $$x^4-1=0,\text{ deci }x=-1\text{ sau }x=1\text{(1 p)}.$$ Semnul derivatei: $f^{\prime }>0$ pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(1,+\infty )$, iar $f^{\prime }<0$ pe $(-1,1)$. Așadar $f$ este strict crescătoare, apoi strict descrescătoare, apoi din nou strict crescătoare, cu maximul local $f(-1)=-1+5+4=8$ și minimul local $f(1)=1-5+4=0$; la capete, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (2 p).

Pe fiecare dintre cele trei intervale de monotonie strictă funcția este injectivă și continuă, deci ecuația $f(x)=m$ are pe fiecare cel mult o soluție — și are exact una atunci când $m$ se află strict între valorile de la capetele intervalului. Pentru $m\in (0,8)$, adică strict între minimul local și maximul local, condiția este îndeplinită pe toate trei intervalele deodată, deci ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții reale distincte (2 p).

(Control numeric: pentru $m=4$ ecuația $x^5-5x+4=4$ are soluțiile $0$ și $\pm \sqrt[4]{5}\approx \pm 1,495$ — trei, cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se scriu extremele fără capetele de infinit, și atunci nu se poate justifica de ce pe intervalele nemărginite există soluție; sau se ia $m$ egal cu $0$ ori cu $8$, valori pentru care una dintre soluții devine dublă și rămân doar două soluții distincte — de aceea enunțul cere intervalul deschis.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale.

a) (5 p) O primitivă a funcției $x\mapsto e^{-x}$ este $-e^{-x}$, pentru că derivata acesteia din urmă este chiar $e^{-x}$. Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele: $-e^{-1}-(-e^0)=1-\frac{1}{e}$, adică $${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{\mathbf{e}-1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{e-1}{e}\approx 0,6321$, iar integrala calculată numeric dă $0,632121$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $e^{-x}$ fără semnul minus — verificarea este imediată, derivând înapoi.)

b) (5 p) Sub integrală apare $g\left(x^3\right)=e^{-x^3}$, deci se încearcă schimbarea de variabilă $x^3=t$, cu $3x^{2}dx=dt$. Factorul $x^5$ se rupe convenabil: $x^{5}dx=x^3\cdot x^{2}dx=t\cdot \frac{dt}{3}$, iar capetele $x=0$ și $x=1$ devin $t=0$ și $t=1$: $${\int }_0^1{x}^{5}g\left(x^3\right)dx=\frac{1}{3}{\int }_0^{1}t{e}^{-t}dt\text{(2 p)}.$$ Ultima integrală se calculează prin părți, cu $u=t$ și $v^{\prime }=e^{-t}$, deci $v=-e^{-t}$: $$\frac{1}{3}{\int }_0^{1}t{e}^{-t}dt=-\frac{1}{3}t{e}^{-t}{|}_0^1+\frac{1}{3}{\int }_0^1{e}^{-t}dt=-\frac{1}{3e}+\frac{1}{3}\cdot \frac{e-1}{e}=\frac{\mathbf{e}-2}{3e}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{e-2}{3e}\approx 0,08808$, iar integrala inițială calculată numeric dă $0,088080$. Unde se greșește de obicei: se scrie $g\left(x^3\right)=(e^{-x}{)}^3=e^{-3x}$ — greșit, pentru că $g\left(x^3\right)$ înseamnă „înlocuiesc argumentul cu $x^3$", adică $e^{-x^3}$. A doua capcană: se uită transformarea capetelor la schimbarea de variabilă; aici ele rămân întâmplător aceleași, ceea ce ascunde eroarea.)

c) (5 p) Monotonia. Diferența a doi termeni consecutivi este o integrală pe intervalul dintre ei: $$I_{n+1}-I_n={\int }_n^{n+1}g\left(x^3\right)dx={\int }_n^{n+1}{e}^{-x^3}dx\ge 0,\text{ pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },$$ pentru că integrandul este strict pozitiv, deci șirul este crescător (2 p).

Mărginirea. Pe intervalul $[1,n]$ avem $x^3\ge x$, deci $e^{-x^3}\le e^{-x}$, iar integrala păstrează inegalitatea: $$0\le I_n\le {\int }_1^n{e}^{-x}dx=\frac{1}{e}-\frac{1}{e^n}<\frac{1}{e},\text{ pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },$$ deci șirul este mărginit (2 p).

Fiind monoton și mărginit, șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este convergent, conform teoremei lui Weierstrass (1 p).

(Control numeric: $I_1=0$, $I_2\approx 0,08544$, $I_5\approx 0,08547$, $I_8\approx 0,08547$ — șirul urcă și se oprește sub $\frac{1}{e}\approx 0,3679$. Unde se greșește de obicei: se arată doar mărginirea și se conchide convergența — un șir mărginit poate foarte bine să oscileze; sunt necesare amândouă ipotezele. A doua capcană: inegalitatea $x^3\ge x$ este adevărată pe $[1,+\infty )$, dar falsă pe $(0,1)$ — de aceea capătul de jos al integralei, egal cu $1$, contează.)