Bac M1 2011, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2011 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M1, în sesiunea iunie-iulie 2011 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. În 2011, profilul se numea încă „M1" în documentele oficiale.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din iunie 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere reale și încadrări cu radicali: încadrarea unui radical între doi întregi consecutivi — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: abscisa vârfului parabolei ca axă de simetrie — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație trigonometrică: forma generală a soluțiilor lui $\sin t=\frac{1}{2}$ și selecția celor din interval — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: formulele lui $A_n^2$ și $C_n^2$ și o ecuație în $n$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția de paralelism a două drepte date prin ecuații generale — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: identitatea fundamentală și formula sinusului unghiului dublu — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice triunghiulare cu parametru: o familie stabilă la înmulțire, o diferență nilpotentă și inversa scrisă tot în familie — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame cu coeficienți complecși: rădăcina evidentă, legătura dintre rădăcinile complex conjugate și coeficienții reali, apoi determinarea parametrului — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unei diferențe de logaritmi, asimptotele verticale și orizontale, o limită de tip $\frac{0}{0}$ rezolvată cu regula lui l'Hospital — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: o integrală cu substituție, aria dintre un grafic și axa $Ox$ pentru o funcție negativă, apoi o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie 2011. Subiectul I este scurt, dar fiecare cerință are un pas de justificare care se uită ușor: încadrarea radicalilor între întregi, condiția de paralelism scrisă ca proporție de coeficienți, trecerea de la $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ la $\sin 2x$. Subiectul al II-lea este integral de demonstrație: prima problemă cere manevrarea unei familii de matrice ca pe un obiect unic (produs, putere, inversă), iar a doua leagă rădăcinile complex conjugate de realitatea coeficienților — un raționament, nu un calcul. Subiectul al III-lea este cel mai greu al probei: subpunctul $10\text{c})$ cere o relație de recurență între integrale, obținută printr-o integrare prin părți în care factorul $1$ se rescrie ca $\frac{(2x-3{)}^{\prime }}{2}$ — o idee care nu se ghicește, ci se învață.

Notă de programă. Problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame cu coeficienți complecși, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame". Dacă înveți pe programa nouă și dai examenul într-una dintre aceste sesiuni, capitolul îți este necesar; fără această notă, ai crede că ai sărit o lecție.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ pentru Subiectul al II-lea, $60$ pentru al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire — acest subiect are cel mai greu Subiect al III-lea din anii $2010$–$2011$.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{3}{2}-2\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații trigonometrice date fără selecția celor din intervalul cerut; „dreptele sunt paralele" fără condiția pe coeficienți; asimptotele enumerate fără limitele care le justifică; aria scrisă fără discuția semnului funcției; „este inversabilă" fără verificarea determinantului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ când $a<b$; încadrarea se face comparând cu pătrate perfecte, $1<\sqrt{2}<2$ pentru că $1<2<4$. Parabola: vârful lui $y=a{x}^2+bx+c$ are abscisa $x_V=-\frac{b}{2a}$, iar dreapta $x=x_V$ este axa de simetrie. Ecuația $\sin t=\frac{1}{2}$: $t\in \left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Combinatorică: $A_n^2=n(n-1)$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Paralelism: dreptele $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ și $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ sunt paralele când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; la o matrice triunghiulară, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. O matrice $N$ cu $N^3=O_3$ se numește nilpotentă, iar atunci $N^k=O_3$ pentru orice $k\ge 3$.
• Polinoame: dacă $x_1=u+iv$ și $x_2=u-iv$ sunt rădăcinile lui $X^2+pX+q$, relațiile lui Viète dau $p=-2u$ și $q=u^2+v^2$, amândouă reale; reciproc, o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are rădăcini complexe conjugate distincte exact când $\Delta <0$, adică $p^2<4q$.
• Derivate și asimptote: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; dreapta $x=a$ este asimptotă verticală când o limită laterală în $a$ este infinită; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finit. Regula lui l'Hospital, pentru $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$: $\lim \frac{u}{v}=\lim \frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$, dacă a doua limită există.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; aria dintre graficul unei funcții negative și axa $Ox$ este $\mathcal{S}=-{\int }_a^{b}f(x)dx$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v$, este instrumentul standard pentru relații de recurență între integrale.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Notația $f^n(x)$ de la itemul $10$, subpunctul c), înseamnă puterea a $n$-a a valorii funcției, adică $(f(x){)}^n$ — nu compunerea de $n$ ori a funcției cu ea însăși. Este convenția obișnuită în problemele cu șiruri de integrale, iar aici baremul o confirmă: în calculul oficial apare derivata $(f^n{)}^{\prime }=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }$, care este regula pentru putere, nu pentru compunere.
• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x^2-3x+2$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $x$ este, la itemul $7$, parametrul familiei de matrice $A(x)$, iar la itemii $9$ și $10$ variabila funcțiilor; la itemul $6$ este necunoscuta unei ecuații trigonometrice. Litera $\alpha$ de la itemul $8$ este un număr complex, nu real — de aceea subpunctul c) trebuie să arate separat că partea imaginară se anulează.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\sqrt{2},\sqrt{5}\right)\cap \mathbb{Z}=\{2\}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $x=2$ este axa de simetrie a parabolei $y=x^2+mx+4$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea $[0,2\pi )$ ecuația $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2+A_n^2=18$.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $d_1:ax+y+2011=0$ și $d_2:x-2y=0$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Fie $x$ un număr real care verifică egalitatea $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=2$. Arătați că $\sin 2x=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 0& 1& 2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $(A(x)-A(y){)}^{2011}=O_3$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(x)$, unde $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră $\alpha \in \mathbb{C}$ și polinomul $f=X^3+(1-\alpha )X^2+(\alpha -2)iX+\alpha +(\alpha -2)i\in \mathbb{C}[X]$.

a) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ are rădăcina $-1$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă $p,q$ sunt numere complexe și polinomul $g=X^2+pX+q\in \mathbb{C}[X]$ are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci $p$ și $q$ sunt numere reale și $p^2<4q$.

c) (5 puncte) Determinați $\alpha \in \mathbb{C}$ pentru care polinomul $f$ are două rădăcini distincte, complex conjugate.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați asimptotele graficului funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{4}f\left(\sqrt{x}\right)dx$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ și de axa $Ox$.

c) (5 puncte) Arătați că $(4n+2){\int }_1^2{f}^n(x)dx+n{\int }_1^2{f}^{n-1}(x)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — încadrarea radicalilor între numere întregi.

Se încadrează fiecare capăt al intervalului între doi întregi consecutivi, comparând cu pătrate perfecte. Din $1<2<4$ rezultă $$1<\sqrt{2}<2\text{(2 p)},$$ iar din $4<5<9$ rezultă $$2<\sqrt{5}<3\text{(2 p)}.$$ Prin urmare intervalul $\left(\sqrt{2},\sqrt{5}\right)$ este cuprins în $(1,3)$ și îl conține pe $2$; singurul număr întreg strict între $\sqrt{2}$ și $\sqrt{5}$ este $2$, deci $\left(\sqrt{2},\sqrt{5}\right)\cap \mathbb{Z}=\{2\}$ (1 p).

(Control numeric: $\sqrt{2}\approx 1,414$ și $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci intervalul este aproximativ $(1,41;2,24)$ — în el încape un singur întreg. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „intervalul este $(1,41;2,24)$, deci conține pe $2$", fără încadrarea prin pătrate perfecte — la examen, aproximarea zecimală nu ține loc de justificare, pentru că nu se poate folosi calculatorul.)

Itemul 2. (5 p) — axa de simetrie a parabolei.

Graficul funcției de gradul al doilea $y=a{x}^2+bx+c$ este o parabolă simetrică față de dreapta verticală care trece prin vârf, adică $$x=x_V=-\frac{b}{2a}\text{(2 p)}.$$ Aici $a=1$ și $b=m$, deci axa de simetrie este $x=-\frac{m}{2}$. Condiția din enunț cere ca această dreaptă să fie $x=2$: $$-\frac{m}{2}=2⟹\mathbf{m}=-4\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $m=-4$ parabola este $y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, evident simetrică față de $x=2$. Verificare directă a simetriei: $y(2+t)=t^2=y(2-t)$, pentru orice $t$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula vârfului și iese $m=4$; sau se caută ordonata vârfului, care nu are nicio legătură cu axa de simetrie.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Ecuația $\sin t=\frac{1}{2}$ are, pe toată axa reală, mulțimea de soluții $t\in \left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Aplicând-o pentru $t=x-\frac{\pi }{6}$: $$x-\frac{\pi }{6}\in \left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\text{(3 p)}.$$ Se adună $\frac{\pi }{6}$ și se rețin doar valorile din intervalul cerut. Pentru $k=0$ se obține $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$; pentru $k=1$, $x=-\frac{\pi }{6}+\pi +\frac{\pi }{6}=\pi$; celelalte valori ale lui $k$ ies din $[0,2\pi )$. Așadar $$x\in \left\{\frac{\pi }{3},\pi \right\}\text{(2 p)}.$$ (Control: $\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ — amândouă convin. Unde se greșește de obicei: se dă doar soluția „principală" $x=\frac{\pi }{3}$, uitând că sinusul ia aceeași valoare și în al doilea cadran; sau se scriu toate soluțiile familiei, fără selecția celor din $[0,2\pi )$.)

Itemul 4. (5 p) — aranjamente și combinări.

Se scriu cele două expresii cu formulele lor. Aranjamentele de $n$ luate câte $2$ sunt $$A_n^2=n(n-1)\text{(2 p)},$$ iar combinările sunt jumătate din ele, pentru că ordinea nu contează: $$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\text{(2 p)}.$$ Ecuația din enunț devine $\frac{n(n-1)}{2}+n(n-1)=18$, adică $\frac{3n(n-1)}{2}=18$, deci $n(n-1)=12$; cum $12=4\cdot 3$, rezultă $\mathbf{n}=4$ (1 p).

(Control: $C_4^2=6$ și $A_4^2=12$, iar $6+12=18$. De ce soluția este unică: funcția $n\mapsto n(n-1)$ este strict crescătoare pe $\{2,3,4,\dots \}$, deci ecuația $n(n-1)=12$ are cel mult o soluție naturală. Unde se greșește de obicei: se confundă $A_n^2$ cu $C_n^2$, ceea ce schimbă coeficientul; sau se rezolvă $n^2-n-12=0$ și se păstrează și rădăcina negativă $n=-3$, care nu este număr natural.)

Itemul 5. (5 p) — paralelismul a două drepte.

Două drepte date prin ecuații generale sunt paralele exact când coeficienții lui $x$ și $y$ sunt proporționali. Pentru $d_1:ax+y+2011=0$ și $d_2:x-2y=0$, condiția se scrie $$\frac{a}{1}=\frac{1}{-2}\text{(3 p)},$$ de unde $\mathbf{a}=-\frac{1}{2}$ (2 p).

(Același rezultat, pe drumul pantelor: $d_1$ are panta $-a$, iar $d_2$, scrisă ca $y=\frac{x}{2}$, are panta $\frac{1}{2}$; egalitatea $-a=\frac{1}{2}$ dă tot $a=-\frac{1}{2}$. Control: pentru $a=-\frac{1}{2}$, dreapta $d_1$ devine $-\frac{x}{2}+y+2011=0$, adică $y=\frac{x}{2}-2011$ — aceeași pantă ca $d_2$, dar alt termen liber, deci chiar paralele, nu confundate. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{a}{1}=\frac{1}{2}$, uitând semnul lui $-2$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie: de la tangentă și cotangentă la sinusul unghiului dublu.

Se aduc cele două funcții la același numitor, folosind $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$: $$\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}=2\text{(2 p)}.$$ Numărătorul este $1$, din identitatea fundamentală, deci $$1=2\sin x\cdot \cos x\text{(2 p)}.$$ Membrul drept este chiar formula sinusului unghiului dublu, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, deci $\sin 2x=1$ (1 p).

(Observație: din $\sin 2x=1$ rezultă $2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ — într-adevăr, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1+1=2$. Enunțul nu cere valorile lui $x$, ci doar egalitatea. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea ecuației în $\mathrm{tg}x$ — ceea ce merge, dar e mai lung; sau se scrie $\sin 2x=\sin x\cos x$, fără factorul $2$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice triunghiulare cu parametru.

a) (5 p) Se scrie produsul celor două matrice: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 0& 1& 2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& y& y^2\\ 0& 1& 2y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(1 p)}.\end{array}$$ Se înmulțește „linie pe coloană". Pe poziția $(1,2)$ iese $y+x$; pe poziția $(1,3)$, $y^2+2xy+x^2=(x+y{)}^2$; pe poziția $(2,3)$, $2y+2x=2(x+y)$; restul rămân $1$ și $0$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x+y& (x+y{)}^2\\ 0& 1& 2(x+y)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(x+y)\text{(4 p)}.\end{array}$$ (Pătratul perfect de pe poziția $(1,3)$ este cheia: tocmai el face ca produsul să rămână în familie. Control numeric: pentru $x=1$ și $y=2$, produsul are pe poziția $(1,3)$ valoarea $4+4+1=9=3^2$, exact cât cere $A(3)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, ca la adunare.)

b) (5 p) Se scade element cu element; pe diagonală totul se anulează, deci diferența este o matrice strict superior triunghiulară: $$\begin{array}{rl}& A(x)-A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& x-y& x^2-y^2\\ 0& 0& 2(x-y)\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(1 p)}.\end{array}$$ Ridicând la pătrat, rămâne un singur element nenul, în colțul din dreapta sus: $$\begin{array}{rl}& (A(x)-A(y){)}^2\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2(x-y{)}^2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Înmulțind încă o dată cu diferența, și acest element dispare, deci $(A(x)-A(y){)}^3=O_3$. Cum $2011>3$, se scrie $(A(x)-A(y){)}^{2011}=(A(x)-A(y){)}^3\cdot (A(x)-A(y){)}^{2008}=O_3$ (2 p).

(Matricele strict superior triunghiulare de ordinul al treilea sunt nilpotente de indice cel mult $3$: la fiecare ridicare la putere, diagonala nenulă se deplasează cu un pas spre colțul din dreapta sus și, după trei pași, iese din matrice. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul direct al puterii a $2011$-a, sau se crede că $A(x)-A(y)=A(x-y)$ — fals, pentru că $A(x-y)$ are $1$ pe diagonală, iar diferența are $0$.)

c) (5 p) Matricea $A(x)$ este triunghiulară, cu toate elementele de pe diagonala principală egale cu $1$, deci $\det (A(x))=1\ne 0$ și matricea este inversabilă (1 p).

Din subpunctul a), $A(x)\cdot A(-x)=A(x-x)=A(0)=I_3$, deci inversa se citește direct din familie: $$\begin{array}{rl}(A(x){)}^{-1}& =\left(\begin{array}{ccc}1& -x& x^2\\ 0& 1& -2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(-x)\text{(4 p)}.\end{array}$$ (Atenție la elementul din colț: $(-x{)}^2=x^2$, deci acolo semnul nu se schimbă — este singurul loc unde intuiția „schimb toate semnele" greșește. Control: produsul $A(x)A(-x)$ are pe poziția $(1,3)$ valoarea $x^2+x\cdot (-2x)+1\cdot x^2=0$, exact cât trebuie pentru $I_3$. Unde se greșește de obicei: se calculează inversa prin matricea adjunctă, ceea ce este corect, dar de câteva ori mai lung decât folosirea relației de la subpunctul a).)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți complecși și rădăcini complex conjugate.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $-1$ în expresia polinomului: $$f(-1)=(-1{)}^3+(1-\alpha )(-1{)}^2+(\alpha -2)i\cdot (-1)+\alpha +(\alpha -2)i=-1+1-\alpha -i(\alpha -2)+\alpha +(\alpha -2)i\text{(2 p)}.$$ Se reduc termenii doi câte doi: $-1+1=0$, apoi $-\alpha +\alpha =0$, apoi $-(\alpha -2)i+(\alpha -2)i=0$. Prin urmare $f(-1)=0$, oricare ar fi numărul complex $\alpha$, deci $-1$ este rădăcină a lui $f$ (3 p).

(De ce se reduce totul: polinomul a fost construit anume așa, cu termenii grupați în perechi care se anulează în $-1$. Control pe un caz: pentru $\alpha =3$, polinomul este $X^3-2X^2+iX+3+i$, iar $f(-1)=-1-2-i+3+i=0$. Unde se greșește de obicei: se uită că $(-1{)}^2=1$ și $(-1{)}^3=-1$, deci se pierde un semn.)

b) (5 p) Fie $x_1$ și $x_2$ cele două rădăcini, distincte și complex conjugate. Ele se scriu $$x_1=u+iv,x_2=u-iv,\text{ unde }u,v\in \mathbb{R}\text{(1 p)},$$ iar $v\ne 0$, pentru că altfel rădăcinile ar coincide. Din relațiile lui Viète pentru $g=X^2+pX+q$: $$x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q\text{(1 p)}.$$ Calculând cele două expresii, suma este $2u$, iar produsul este $u^2-(iv{)}^2=u^2+v^2$, deci $$p=-2u\in \mathbb{R}\text{ și }q=u^2+v^2\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Coeficienții fiind reali, discriminantul $\Delta =p^2-4q$ este un număr real, iar o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are rădăcini distincte, complex conjugate, nereale exact când $\Delta <0$; prin urmare $p^2<4q$ (1 p).

(Control direct, fără Viète: $p^2-4q=4u^2-4u^2-4v^2=-4v^2<0$, pentru că $v\ne 0$ — aceeași concluzie, cu un calcul în plus. Unde se greșește de obicei: se sare peste observația $v\ne 0$; fără ea, rădăcinile ar putea fi egale și reale, iar inegalitatea ar deveni $\Delta =0$, nu $\Delta <0$.)

c) (5 p) Din subpunctul a) știm că $-1$ este rădăcină, deci $X+1$ divide polinomul. Efectuând împărțirea: $$f=(X+1)(X^2-\alpha X+\alpha +(\alpha -2)i)\text{(2 p)}.$$ Polinomul $f$ este de gradul al treilea, deci are trei rădăcini; una este $-1$, număr real. Cele două rădăcini distincte și complex conjugate cerute de enunț trebuie, așadar, să fie rădăcinile factorului de gradul al doilea, $h=X^2-\alpha X+\alpha +(\alpha -2)i\in \mathbb{C}[X]$ (1 p).

Conform subpunctului b), aplicat lui $h$ cu $p=-\alpha$ și $q=\alpha +(\alpha -2)i$, cei doi coeficienți trebuie să fie numere reale. Din $-\alpha \in \mathbb{R}$ rezultă $\alpha \in \mathbb{R}$; atunci $\alpha +(\alpha -2)i$ este real exact când partea lui imaginară se anulează, adică $\alpha -2=0$, deci $\alpha =2$ (2 p).

(Verificarea, obligatorie, pentru că am lucrat cu o condiție necesară: pentru $\alpha =2$ avem $h=X^2-2X+2$, cu $\Delta =4-8=-4<0$ și rădăcinile $1\pm i$ — într-adevăr distincte și complex conjugate, deci valoarea convine. Unde se greșește de obicei: se oprește raționamentul la „$\alpha$ real", fără a doua condiție; sau se caută rădăcinile lui $f$ direct, ceea ce duce la o ecuație de gradul al treilea cu parametru complex.)

Itemul 9. (15 p) — monotonie, asimptote și o limită de tip $\frac{0}{0}$.

a) (5 p) Funcția este o diferență de doi logaritmi, deci se derivează termen cu termen, cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2}{x^2-1}\text{(3 p)}.$$ Pentru orice $x>1$ avem $x^2-1>0$, deci $f^{\prime }(x)<0$; prin urmare funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ (2 p).

(Control numeric: $f(2)=\ln 3\approx 1,099$ și $f(5)=\ln \frac{6}{4}\approx 0,405$ — valorile chiar scad. Verificare a derivatei: raportul incremental în $x=2$, cu pas $10^{-6}$, dă $-0,6667$, iar formula dă $\frac{-2}{3}=-0,6667$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$ și se derivează ca $\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}$, uitând factorul $u^{\prime }$; rescrierea este utilă la subpunctele următoare, dar derivarea rămâne cu regula lanțului.)

b) (5 p) Asimptota verticală. Capătul din stânga al domeniului este $1$, unde $\ln (x-1)\to -\infty$, iar $\ln (x+1)\to \ln 2$; prin urmare $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=+\infty ,\text{ deci }x=1\text{ este asimptota˘ verticala˘}\text{(2 p)}.$$ Funcția este continuă pe tot intervalul $(1,+\infty )$, fiind o diferență de funcții elementare, deci nu are alte asimptote verticale (1 p).

Asimptota orizontală. Grupând cei doi logaritmi într-unul singur, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{x+1}{x-1}=\ln 1=0,\text{ deci }y=0\text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty \text{(2 p)}.$$ (Existența asimptotei orizontale spre $+\infty$ exclude automat una oblică spre același capăt — cele două nu pot coexista. Control numeric: $f(1,000000001)\approx 21,4$, iar $f\left(10^8\right)\approx 2\cdot 10^{-8}$, foarte aproape de zero. Unde se greșește de obicei: se enumeră asimptotele fără limitele care le justifică, sau se uită propoziția despre continuitate, care garantează că nu mai există altă verticală.)

c) (5 p) Produsul $xf(x)$ este de forma $\infty \cdot 0$; se rescrie ca un raport, ca să se poată aplica regula lui l'Hospital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x+1)-\ln (x-1)}{x^{-1}}\text{ — nedeterminare de forma }\frac{0}{0}\text{(2 p)}.$$ Se derivează separat numărătorul și numitorul: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x+1{)}^{-1}-(x-1{)}^{-1}}{-x^{-2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=2\text{(3 p)}.$$ (Calculul intermediar: numărătorul derivat este $\frac{-2}{x^2-1}$, iar împărțit la $-x^{-2}$ dă $\frac{2x^2}{x^2-1}$; la infinit, raportul a două polinoame de același grad tinde la raportul coeficienților dominanți, adică la $2$. Control numeric: $10^7\cdot f\left(10^7\right)=1,99999999$. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hospital fără să se verifice că avem într-adevăr o nedeterminare — regula nu se folosește niciodată „din reflex".)

Itemul 10. (15 p) — integrală cu substituție, arie și o relație de recurență.

a) (5 p) Se înlocuiește argumentul: $f\left(\sqrt{x}\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-3\sqrt{x}+2=x-3\sqrt{x}+2$, iar pentru $x\in [1,4]$ avem $\sqrt{x}\in [1,2]$, adică exact domeniul funcției $f$. Se integrează termen cu termen, folosind $\int x^{1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$: $${\int }_1^4\left(x-3\sqrt{x}+2\right)dx=\left(\frac{1}{2}{x}^2-3\cdot \frac{2}{3}\cdot x\sqrt{x}+2x\right){|}_1^4\text{(4 p)}.$$ Înlocuind capetele: în $4$ se obține $8-16+8=0$, iar în $1$ se obține $\frac{1}{2}-2+2=\frac{1}{2}$; diferența este $${\int }_1^{4}f\left(\sqrt{x}\right)dx=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Rezultatul negativ nu este o greșeală: pe $[1,4]$ funcția $x\mapsto x-3\sqrt{x}+2$ este negativă pe cea mai mare parte a intervalului, iar integrala măsoară arie cu semn. Control numeric: integrala calculată numeric dă $-0,500000$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\sqrt{x}$ ca și cum ar fi $\frac{x^{3/2}}{3/2}$ scris greșit, sau se păstrează capetele $1$ și $2$ ale domeniului lui $f$ în loc de capetele $1$ și $4$ ale integralei.)

b) (5 p) Se studiază întâi semnul funcției. Trinomul $f(x)=x^2-3x+2$ are rădăcinile $1$ și $2$, deci este negativ între ele: $f(x)\le 0$ pe $[1,2]$. Cum $x>0$ pe acest interval, și $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ este negativă acolo, iar aria se obține integrând funcția cu semn schimbat: $$\mathcal{S}={\int }_1^2\left|\frac{f(x)}{x}\right|dx=-{\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx,\text{ deoarece }f\le 0\text{ pe }[1,2]\text{(2 p)}.$$ Se împarte termen cu termen: $\frac{x^2-3x+2}{x}=x-3+\frac{2}{x}$, deci $$\mathcal{S}=-{\int }_1^{2}xdx+3{\int }_1^{2}dx-{\int }_1^2\frac{2}{x}dx\text{(1 p)}.$$ Cele trei integrale sunt $\frac{x^2}{2}{|}_1^2=\frac{3}{2}$, apoi $x{|}_1^2=1$ și $2\ln x{|}_1^2=2\ln 2$, deci $$\mathcal{S}=-\frac{3}{2}+3-2\ln 2=\frac{3}{2}-2\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{3}{2}-2\ln 2\approx 0,1137$ — pozitiv, cum trebuie să fie o arie; integrala calculată numeric dă $0,113706$. Unde se greșește de obicei: se scrie aria direct ca ${\int }_1^{2}g$, fără minus, și iese un număr negativ — semn sigur că discuția semnului a fost sărită. A doua capcană: $\int \frac{2}{x}dx=2\ln |x|$, nu $\frac{2}{\ln x}$.)

c) (5 p) Trucul este să scrii factorul $1$ de sub integrală ca derivata unei funcții potrivite: $1=\frac{(2x-3{)}^{\prime }}{2}$. Cu integrarea prin părți, luând $u=f^n(x)$ și $v=\frac{2x-3}{2}$, și folosind $(f^n{)}^{\prime }=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }=n{f}^{n-1}(2x-3)$: $${\int }_1^2{f}^n(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_1^2(2x-3{)}^{\prime }{f}^n(x)dx=\frac{1}{2}(2x-3)f^n(x){|}_1^2-\frac{n}{2}{\int }_1^2(2x-3{)}^2{f}^{n-1}(x)dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei este nul, pentru că $f(1)=f(2)=0$, deci $f^n$ se anulează la ambele capete. Mai departe se observă că $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9=4(x^2-3x+2)+1=4f(x)+1$, deci $${\int }_1^2{f}^n(x)dx=-\frac{n}{2}{\int }_1^2(4f(x)+1)f^{n-1}(x)dx=-2n{\int }_1^2{f}^n(x)dx-\frac{n}{2}{\int }_1^2{f}^{n-1}(x)dx,$$ de unde, trecând totul într-un membru și înmulțind cu $2$, se obține concluzia $(4n+2){\int }_1^2{f}^n(x)dx+n{\int }_1^2{f}^{n-1}(x)dx=0$ (2 p).

(Aici notația $f^n(x)$ înseamnă $(f(x){)}^n$, nu compunerea funcției cu ea însăși — baremul oficial o confirmă, folosind regula de derivare a puterii. Control numeric pentru $n=1$: ${\int }_1^{2}f=-\frac{1}{6}$ și ${\int }_1^2{f}^0=1$, iar $6\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)+1=0$; pentru $n=2$: ${\int }_1^2{f}^2=\frac{1}{30}$ și $10\cdot \frac{1}{30}+2\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)=0$. Unde se greșește de obicei: se uită că termenul $uv$ dintre capete se anulează — el se anulează pentru că $1$ și $2$ sunt chiar rădăcinile lui $f$, nu din întâmplare. A doua capcană: se sare peste rescrierea $(2x-3{)}^2=4f(x)+1$, fără de care recurența nu se închide.)