Bac M1 2012, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2012 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2012 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma a doi logaritmi de aceeași bază și produsul conjugatelor — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția parabolei cu axa $Ox$ și distanța dintre două puncte de pe axă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială rezolvată prin factor comun și substituție — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Binomul lui Newton: termenul general și rangul termenului cu o putere dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte din ecuația generală și dreapta paralelă printr-un punct — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Teorema sinusurilor și discuția celor două unghiuri posibile — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sistem liniar cu parametru: un determinant de gradul al treilea în parametru, condiția de compatibilitate determinată și rezolvarea unui caz particular — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinom peste ${\mathbb{Z}}_5$: mica teoremă a lui Fermat pe ${\mathbb{Z}}_5$, o descompunere prin grupare și inexistența rădăcinilor — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Limită-derivată, asimptotă oblică și ecuație cu soluție unică: recunoașterea unei derivate într-o limită, procedura în trei pași a asimptotei oblice și bijectivitatea — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: o integrală directă, o recurență obținută prin integrare prin părți și o sumă Riemann recunoscută ca integrală — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2012. Subiectul I este mai variat decât la sesiunea din vară: apar logaritmi cu radicali, binomul lui Newton și teorema sinusurilor — trei capitole care la iunie lipsiseră. Subiectul al II-lea este cel mai greu din lot la problema $1$: determinantul cu parametru se calculează pe trei rânduri de transformări, iar factorizarea lui, $3(a+3)(a-1)(a+1)$, este cheia întregii discuții. Problema $2$ merge integral pe ${\mathbb{Z}}_5$ și se sprijină pe un singur fapt, demonstrat chiar la subpunctul a): $a^5=a$, deci $a^4=\hat{1}$ pentru orice $a$ nenul. Subiectul al III-lea are, la problema $2$, cea mai frumoasă cerință a probei: o sumă Riemann care trebuie recunoscută ca integrală — și care dă exact rezultatul de la subpunctul a).

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame peste inelul ${\mathbb{Z}}_5$, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $65$ de minute pentru Subiectul al II-lea (problema $1$ este lungă), $50$ de minute pentru Subiectul al III-lea și ultimele $5$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, clase din ${\mathbb{Z}}_5$ sau expresii de forma $\frac{e-1}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rangul unui termen confundat cu exponentul $k$ din formulă; măsura unui unghi dedusă din sinus fără eliminarea celui de-al doilea caz; mulțimea valorilor unui parametru dată fără excluderea rădăcinilor determinantului; concluzia „soluție unică" fără ambele jumătăți, existența și unicitatea; suma Riemann scrisă fără funcția, diviziunea și punctele intermediare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, pentru $u,v>0$; ${\log }_{2}4=2$; produsul conjugatelor $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})=m-n$. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în rădăcinile ecuației $f(x)=0$; distanța dintre două puncte de pe aceeași axă este modulul diferenței absciselor. Ecuații exponențiale: se dă factor comun puterea cea mai mică, $a^{x+1}=a\cdot a^x$. Binomul lui Newton: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ — indicele termenului este $k+1$, nu $k$. Drepte paralele: din $Ax+By+C=0$ panta este $m=-\frac{A}{B}$, iar dreptele paralele au aceeași pantă; dreapta prin $A(x_A,y_A)$ de pantă $m$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Sisteme cu parametru: sistemul este compatibil determinat exact când $\det A\ne 0$; determinantul cu parametru se calculează scoțând factori comuni de pe linii sau coloane și adunând linii între ele, nu prin Sarrus brut; factorizarea lui dă direct valorile care trebuie excluse.
• Inelul ${\mathbb{Z}}_5$: pentru orice $a\in {\mathbb{Z}}_5$ avem $a^5=a$ (mica teoremă a lui Fermat pe ${\mathbb{Z}}_5$), deci $a^4=\hat{1}$ pentru orice $a\ne \hat{0}$. Un polinom este reductibil peste un corp dacă se scrie ca produs de două polinoame de grad strict mai mic; el poate fi reductibil fără să aibă rădăcini — exact cazul de aici.
• Derivate și asimptote: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ — de recunoscut ori de câte ori o limită are forma $\frac{0}{0}$ cu o funcție cunoscută; $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; procedura în trei pași a asimptotei oblice: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi dreapta $y=mx+n$, cu capătul precizat.
• Integrale: ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx=\frac{e^{x^2}}{2}{|}_0^1$, pentru că $(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$; integrarea prin părți ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$ este rețeta standard pentru recurențe între integrale; suma Riemann: pentru $f$ continuă pe $[0,1]$ și diviziunea în $n$ părți egale, $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+5x+4$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^8+\hat{4}{X}^4+\hat{3}$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul real al sistemului la itemul $7$ și un element al lui ${\mathbb{Z}}_5$ la itemul $8$, subpunctele a) și c) — două lucruri complet diferite, într-un caz un număr real, în celălalt o clasă de resturi.
• Litera $C$ apare în două roluri: vârful și unghiul triunghiului la itemul $6$ și simbolul combinărilor, $C_{20}^k$, la itemul $4$ și $C_5^3$ în general. Din context nu se pot confunda: combinările au întotdeauna doi indici.
• Litera $m$ este panta unei drepte la itemul $5$ și panta asimptotei la itemul $9$, dar la itemul $9$, subpunctul c), este un număr real strict pozitiv oarecare — membrul drept al ecuației. Litera $e$ apare la itemul $10$ și înseamnă peste tot numărul lui Euler, baza logaritmului natural; în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru. Litera $p$ de la itemul $10$ este un număr natural nenul, indicele șirului de integrale.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\log }_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})+{\log }_2(\sqrt{7}-\sqrt{3})=2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5x+4$ cu axa $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x+3^{x+1}=4$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați rangul termenului care conține $x^{14}$ în dezvoltarea binomului ${\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{20}$, $x>0$.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(3,3)$ și este paralelă cu dreapta $d$ de ecuație $3x+2y-1=0$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați măsura unghiului $C$ al triunghiului $ABC$, știind că $BC=2$, $AB=\sqrt{2}$ și măsura unghiului $BAC$ este egală cu $45^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}-x+ay+(2a+4)z=1\\ (a+2)x+ay+(a+1)z=1\\ (a+1)x+(2a-1)y+3z=2\end{array}$, unde $a\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Arătați că determinantul matricei sistemului este egal cu $3a^3+9a^2-3a-9$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care sistemul este compatibil determinat.

c) (5 puncte) Pentru $a=-2$, rezolvați sistemul.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^8+\hat{4}{X}^4+\hat{3}$, $f\in {\mathbb{Z}}_5[X]$.

a) (5 puncte) Arătați că $a^5=a$, pentru orice $a\in {\mathbb{Z}}_5$.

b) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ este reductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

c) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{x}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr real $m>0$, ecuația $f(x)=m$ are o soluție unică în $\mathbb{R}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $p$, se consideră numărul $I_p={\int }_0^1{x}^p{e}^{x^2}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1$.

b) (5 puncte) Arătați că $2I_p+(p-1)I_{p-2}=e$, pentru orice $p\ge 3$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\dots +n{e}^{\frac{n^2}{n^2}}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2012, varianta 9; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — suma a doi logaritmi.

Ambele numere de sub logaritm sunt strict pozitive, pentru că $\sqrt{7}>\sqrt{3}$; deci se poate aplica regula sumei, care strânge cei doi logaritmi într-unul singur: $${\log }_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})+{\log }_2(\sqrt{7}-\sqrt{3})={\log }_2\left(\right(\sqrt{7}+\sqrt{3}\left)\right(\sqrt{7}-\sqrt{3}\left)\right)\text{(3 p)}.$$ Produsul este de forma „sumă ori diferență", deci egal cu diferența pătratelor: $$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4,\text{ deci suma este }{\log }_{2}4=2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx 4,378$ și $\sqrt{7}-\sqrt{3}\approx 0,913$, iar ${\log }_{2}4,378+{\log }_{2}0,913\approx 2,130-0,131=1,999$. Unde se greșește de obicei: se caută valoarea fiecărui logaritm separat — al doilea este negativ, fiindcă argumentul lui este subunitar, și niciunul nu se calculează exact. Toată ideea este să nu-i despărțim.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția parabolei cu axa $Ox$.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata nulă, deci abscisele lor sunt rădăcinile ecuației $f(x)=0$. Trinomul se descompune imediat, $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$: $$f(x)=0⟺x=-1\text{ sau }x=-4\text{(3 p)}.$$ Cele două puncte sunt $(-1,0)$ și $(-4,0)$; fiind pe aceeași axă, distanța dintre ele este modulul diferenței absciselor: $$\text{distanța}=|-1-(-4)|=3\text{(2 p)}.$$ (Control: suma rădăcinilor este $-5$ și produsul $4$, ceea ce se potrivește cu $-1$ și $-4$. Un al doilea drum: distanța dintre rădăcini este $\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}=\frac{\sqrt{25-16}}{1}=3$. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu $|-1|+|-4|=5$, adică se adună distanțele până la origine în loc să se scadă abscisele; ambele puncte sunt de aceeași parte a originii.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se observă că $3^{x+1}=3\cdot 3^x$, deci ambii termeni conțin aceeași putere. Notând $3^x=t$, cu $t>0$: $$t+3t=4,\text{ adica˘ }4t=4\text{(3 p)}.$$ De aici $t=1$, iar revenind la substituție, $3^x=1=3^0$: $$t=1⟺\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $3^0+3^1=1+3=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3^{x+1}=3^x+3$, adică se transformă înmulțirea în adunare la exponent — regula corectă este $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$. A doua capcană este să se uite că soluția $t=1$ trebuie „întoarsă" în $x$; substituția nu e completă până nu revii.)

Itemul 4. (5 p) — binomul lui Newton.

Termenul general al dezvoltării, cu $a=x$ și $b=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$, este $$T_{k+1}=C_{20}^k\cdot x^{20-k}\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^k=C_{20}^k\cdot x^{20-k-\frac{k}{2}}\text{(2 p)}.$$ Se caută exponentul $14$: $$20-k-\frac{k}{2}=14⟺\frac{3k}{2}=6⟺k=4\text{(2 p)}.$$ Rangul termenului este indicele lui în dezvoltare, adică $k+1$: $$\text{rangul termenului este }5\text{(1 p)}.$$ (Control: pentru $k=4$ exponentul este $20-4-2=14$, exact cel cerut, iar termenul este $C_{20}^4{x}^{14}=4845x^{14}$. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu $4$, adică se confundă exponentul $k$ din formulă cu rangul termenului. Primul termen al dezvoltării corespunde lui $k=0$, deci rangul este mereu cu unu mai mare.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta paralelă cu o dreaptă dată.

Din ecuația generală $3x+2y-1=0$ se scoate panta, rezolvând în $y$: $y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$, deci $$m_d=-\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar dreapta căutată trece prin $A(3,3)$: $$y-y_A=-\frac{3}{2}(x-x_A),\text{ adica˘ }y-3=-\frac{3}{2}(x-3),\text{ deci }\mathbf{y}=-\frac{3}{2}\mathbf{x}+\frac{15}{2}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: punctul $A(3,3)$ chiar verifică ecuația, $-\frac{9}{2}+\frac{15}{2}=\frac{6}{2}=3$. Forma generală a răspunsului este $3x+2y-15=0$ — aceeași dreaptă, scrisă altfel; se recunoaște că este paralelă cu $d$ după coeficienții identici ai lui $x$ și $y$. Unde se greșește de obicei: se ia panta $\frac{3}{2}$, uitând semnul, sau se scrie condiția de perpendicularitate, $m\cdot m_d=-1$, în loc de cea de paralelism.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Laturile $BC$ și $AB$ sunt opuse unghiurilor $A$, respectiv $C$, deci teorema sinusurilor le leagă direct: $$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}⟹\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Un sinus egal cu $\frac{1}{2}$ ar putea veni de la $30^{\circ }$ sau de la $150^{\circ }$; al doilea caz se elimină pentru că $BC>AB$, deci unghiul opus laturii mai mari este mai mare: $$m(\sphericalangle C)=30^{\circ },\text{ deoarece }m(\sphericalangle A)>m(\sphericalangle C)\text{(2 p)}.$$ (Al doilea caz s-ar fi eliminat și mai simplu: cu $150^{\circ }$ suma $45^{\circ }+150^{\circ }=195^{\circ }$ ar depăși $180^{\circ }$. Control: cu $A=45^{\circ }$ și $C=30^{\circ }$, al treilea unghi este $105^{\circ }$, iar teorema sinusurilor dă $\frac{2}{\sin 45^{\circ }}=2\sqrt{2}\approx 2,83$ și $\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ }}=2\sqrt{2}$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se dau ambele valori ca răspuns, fără să se elimine cea imposibilă; discuția este punctată separat.)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar cu parametru.

a) (5 p) Matricea sistemului se citește din coeficienți, iar determinantul ei se scrie: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}-1& a& 2a+4\\ a+2& a& a+1\\ a+1& 2a-1& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Adunând ultimele două coloane la prima, toate elementele primei coloane devin egale cu $3a+3$ — se verifică pe fiecare linie: $-1+a+(2a+4)=3a+3$, $(a+2)+a+(a+1)=3a+3$ și $(a+1)+(2a-1)+3=3a+3$. Factorul comun al coloanei iese în fața determinantului; apoi se scade prima linie din a doua și din a treia, ca să apară zerouri: $$\begin{array}{rl}& \det A\\ & =\left|\begin{array}{ccc}3a+3& a& 2a+4\\ 3a+3& a& a+1\\ 3a+3& 2a-1& 3\end{array}\right|\\ & =(3a+3)\left|\begin{array}{ccc}1& a& 2a+4\\ 1& a& a+1\\ 1& 2a-1& 3\end{array}\right|\\ & =(3a+3)\left|\begin{array}{ccc}1& a& 2a+4\\ 0& 0& -a-3\\ 0& a-1& -2a-1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Determinantul rămas se dezvoltă după prima coloană și apoi după linia a doua, care are un singur element nenul: $$\begin{array}{rl}& \det A\\ & =(3a+3)\cdot (0\cdot (-2a-1)-(-a-3)(a-1))\\ & =3(a+1)(a+3)(a-1)\\ & =3{\mathbf{a}}^3+9{\mathbf{a}}^2-3a-9\text{(1 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $a=0$ formula dă $-9$, iar determinantul matricei $\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 4\\ 2& 0& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$ este într-adevăr $-9$; pentru $a=2$ formula dă $24+36-6-9=45$, valoare confirmată de calcul direct. Forma factorizată $3(a+1)(a-1)(a+3)$ este cea care contează mai departe — ea dă imediat rădăcinile. Unde se greșește de obicei: se adună liniile în loc de coloane — pe linii sumele ies $2a+2$, $4a-1$ și $3a+8$, adică diferite, iar factorul comun nu apare. A doua capcană este să se atace determinantul cu Sarrus: ies șase produse de câte trei paranteze și, aproape sigur, o greșeală de semn.)

b) (5 p) Un sistem liniar cu matrice pătratică este compatibil determinat exact când matricea lui este nesingulară: $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul este compatibil determinat}\\ & ⟺\det A\ne 0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Din forma factorizată, determinantul se anulează în trei puncte: $$\begin{array}{rl}& \det A\\ & =0⟺3(a+1)(a-1)(a+3)\\ & =0⟺a\in \{-1,1,-3\}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Prin urmare $$\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1,-3\}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația de gradul al treilea „prin încercări" și se găsesc doar una sau două rădăcini; forma factorizată, obținută la subpunctul a), le dă pe toate trei deodată. Control: suma rădăcinilor trebuie să fie $-\frac{9}{3}=-3$, iar $-1+1+(-3)=-3$ — se potrivește.)

c) (5 p) Pentru $a=-2$ coeficienții devin numerici, iar termenul în $z$ dispare din prima ecuație și cel în $x$ din a doua: $$a=-2⟹\{\begin{array}{l}-x-2y=1\\ -2y-z=1\\ -x-5y+3z=2\end{array}\text{(1 p)}.$$ Cum $-2\notin \{-1,1,-3\}$, sistemul este compatibil determinat. Din prima ecuație $x=-1-2y$, din a doua $z=-1-2y$; înlocuind în a treia, $1+2y-5y-3-6y=2$, adică $-9y=4$: $$\mathbf{x}=-\frac{1}{9},\mathbf{y}=-\frac{4}{9},\mathbf{z}=-\frac{1}{9}\text{(4 p)}.$$ (Verificare în toate trei ecuațiile: $\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$; $\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1$; $\frac{1}{9}+\frac{20}{9}-\frac{3}{9}=\frac{18}{9}=2$. Observație: din primele două ecuații rezultă imediat $x=z$, ceea ce scurtează mult calculul. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui Cramer cu patru determinanți de ordinul al treilea — corect, dar de patru ori mai lung decât substituția.)

Itemul 8. (15 p) — polinom peste ${\mathbb{Z}}_5$.

Toate calculele se fac cu resturi la împărțirea prin cinci; accentul circumflex marchează clasa de resturi.

a) (5 p) Mulțimea ${\mathbb{Z}}_5$ are doar cinci elemente, deci afirmația se verifică pe fiecare în parte, ridicând la puterea a cincea și reducând: $${\hat{0}}^5=\hat{0},{\hat{1}}^5=\hat{1},{\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2},{\hat{3}}^5=\widehat{243}=\hat{3},{\hat{4}}^5=\widehat{1024}=\hat{4}\text{(5 p)}.$$ (Aceasta este mica teoremă a lui Fermat, în cazul $p=5$. Consecința folosită la subpunctul c) este imediată: pentru $a\ne \hat{0}$, clasa $a$ este inversabilă, deci din $a^5=a$ se poate simplifica prin $a$ și rămâne $a^4=\hat{1}$. Calcul mai scurt decât ridicările directe: ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^4={\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{1}$, deci ${\hat{2}}^5=\hat{2}$; la fel pentru celelalte. Baremul acordă tot punctajul acestui subpunct într-un singur pas — deci lista trebuie completă, cu toate cele cinci clase.)

b) (5 p) Coeficientul $\hat{4}$ se desface convenabil în $\hat{1}+\hat{3}$, ca să apară un factor comun: $$f=X^8+X^4+\hat{3}{X}^4+\hat{3}=X^4(X^4+\hat{1})+\hat{3}(X^4+\hat{1})\text{(2 p)}.$$ Dând factor comun paranteza: $$f=(X^4+\hat{1})(X^4+\hat{3})\text{(3 p)},$$ adică $f$ se scrie ca produs de două polinoame de grad strict mai mic decât al lui, deci este reductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$. (Control prin desfacere: $(X^4+\hat{1})(X^4+\hat{3})=X^8+\hat{3}{X}^4+X^4+\hat{3}=X^8+\hat{4}{X}^4+\hat{3}$ — exact polinomul din enunț. Trucul „se desface coeficientul din mijloc în suma a doi termeni" este același ca la descompunerea trinomului de gradul al doilea, aplicat aici lui $X^4$. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcini, ca și cum reductibilitatea ar cere neapărat un factor de gradul întâi — subpunctul c) arată tocmai că polinomul nu are nicio rădăcină, și totuși este reductibil.)

c) (5 p) Se tratează separat clasa nulă: $$f\left(\hat{0}\right)=\hat{3}\ne \hat{0}\text{(1 p)}.$$ Pentru celelalte patru clase se folosește subpunctul a): din $a^5=a$ și $a$ inversabil se simplifică prin $a$, deci $$a\ne \hat{0}⟹a^4=\hat{1}\text{(2 p)}.$$ Atunci $a^8=(a^4{)}^2=\hat{1}$, iar valoarea polinomului nu mai depinde deloc de $a$: $$f(a)=\hat{1}+\hat{4}\cdot \hat{1}+\hat{3}=\hat{8}=\hat{3},\text{ pentru orice }a\ne \hat{0}\text{(1 p)}.$$ Cum $\hat{3}\ne \hat{0}$, nicio clasă nu anulează polinomul: $$f\text{ nu are ra˘da˘cini ıˆn }{\mathbb{Z}}_5\text{(1 p)}.$$ (Rezultatul merită reținut: $f$ ia doar valoarea $\hat{3}$ pe tot ${\mathbb{Z}}_5$, deși are gradul al optulea — funcția polinomială asociată este constantă, fără ca polinomul să fie constant. Aceasta este o deosebire specifică inelelor finite: peste $\mathbb{R}$ un polinom neconstant nu poate da o funcție constantă. Unde se greșește de obicei: se contrazice subpunctul b), crezând că „reductibil" implică „are rădăcini" — implicația este adevărată doar pentru polinoame de gradul al doilea sau al treilea, iar aici gradul este opt. Control: cei doi factori, $X^4+\hat{1}$ și $X^4+\hat{3}$, nu au nici ei rădăcini, pentru că $a^4=\hat{1}$ dă $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$ și $\hat{1}+\hat{3}=\hat{4}$.)

Itemul 9. (15 p) — limită-derivată, asimptotă oblică și ecuație cu soluție unică.

a) (5 p) Funcția este derivabilă pe toată dreapta, radicalul având argumentul strict pozitiv: $$f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\text{(2 p)}.$$ Cum $f(0)=0+\sqrt{1}=1$, limita din enunț este chiar definiția derivatei în zero: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)=1+\frac{0}{1}=1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{f(0,001)-1}{0,001}\approx 1,0005$ și $\frac{f(-0,001)-1}{-0,001}\approx 0,9995$ — limitele laterale se strâng spre $1$. Unde se greșește de obicei: se încearcă amplificarea cu conjugata, drum corect dar mai lung; recunoașterea raportului incremental este cheia și e punctată ca atare. A doua capcană este să nu se observe că $f(0)=1$ — fără asta, forma nu este $\frac{0}{0}$ și nu se poate face nimic.)

b) (5 p) Se caută întâi panta: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x}=1+1=2\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber; amplificând cu conjugata, $\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$, care tinde la zero: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=0\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $$\mathbf{y}=2x\text{ este ecuația asimptotei oblice spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: $f(1000)-2000=\sqrt{1000001}-1000\approx 0,0005$, deci graficul chiar se lipește de dreaptă. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $n=0$ „pentru că $\sqrt{x^2+1}\approx x$", fără amplificarea cu conjugata — diferența a două cantități care tind la infinit este caz de nedeterminare și trebuie tratată. Ordinea celor doi pași, panta întâi, este și ea punctată.)

c) (5 p) Existența soluției. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind sumă de funcții elementare, iar limitele la capete sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0\text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ⟹f\text{ este surjectiva˘, deci ecuația are soluție}\text{(2 p)}.$$ Unicitatea. Derivata este strict pozitivă, pentru că $\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}<1$, deci fracția din $f^{\prime }$ nu poate coborî sub $-1$: $$f^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}⟹f\text{ este strict cresca˘toare}⟹f\text{ este injectiva˘, deci soluția este unica˘}\text{(3 p)}.$$ (De ce limita la $-\infty$ este zero: $x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$, iar numitorul crește nemărginit. Aceasta explică și de ce codomeniul din enunț este $(0,+\infty )$: valoarea zero nu este atinsă niciodată. Control numeric: $f(-1000)\approx 0,0005$ și $f(-10)\approx 0,0499$. Unde se greșește de obicei: se demonstrează doar monotonia și se declară soluția unică — monotonia dă unicitatea, dar nu și existența; ea vine din continuitate plus limitele la capete, iar cele două jumătăți sunt punctate separat.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale și sumă Riemann.

a) (5 p) Se recunoaște la numărător derivata exponentului: $(x^2{)}^{\prime }=2x$, deci $(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$ și o primitivă a lui $x{e}^{x^2}$ este $\frac{e^{x^2}}{2}$: $$I_1={\int }_0^{1}x\cdot e^{x^2}dx=\frac{e^{x^2}}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton: $$I_1=\frac{e^1}{2}-\frac{e^0}{2}=\frac{\mathbf{e}-1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{e-1}{2}\approx 0,85914$, iar integrala calculată numeric dă $0,859141$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $e^{x^2}$ fără factorul $\frac{1}{2}$, sau se încearcă $\frac{x^2}{2}{e}^{x^2}$, ca și cum s-ar integra un produs termen cu termen. Reține forma: $\int u^{\prime }{e}^{u}dx=e^u+\mathcal{C}$.)

b) (5 p) Se pregătește integrarea prin părți, spărgând $x^p$ în $x^{p-1}\cdot x$ și completând derivata exponențialei: $$2I_p={\int }_0^1{x}^{p-1}\left(2x{e}^{x^2}\right)dx={\int }_0^1(e^{x^2}{)}^{\prime }{x}^{p-1}dx=e^{x^2}{x}^{p-1}{|}_0^1-(p-1){\int }_0^1{e}^{x^2}{x}^{p-2}dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei valorează $e\cdot 1-0=e$ (capătul de jos se anulează, fiindcă $p-1\ge 2>0$), iar integrala rămasă este chiar $I_{p-2}$: $$2I_p=e-(p-1)I_{p-2}⟹2I_p+(p-1)I_{p-2}=e\text{(2 p)}.$$ (Condiția $p\ge 3$ este exact ce trebuie ca $I_{p-2}$ să existe în șir, indicele fiind natural nenul, și ca exponentul $p-1$ să se anuleze în zero. Control numeric pentru $p=3$: $I_3\approx 0,5$ și $I_1\approx 0,85914$, iar $2\cdot 0,5+2\cdot 0,85914\approx 2,718=e$. Unde se greșește de obicei: se ia $u=x^p$ și se integrează $e^{x^2}$ — imposibil, primitiva lui $e^{x^2}$ nu se exprimă prin funcții elementare. Trucul este să lăsăm un $x$ lângă exponențială.)

c) (5 p) Se recunoaște o sumă Riemann. Fie funcția continuă $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{x^2}$, șirul de diviziuni echidistante ${\Delta }_n={\left(\frac{k}{n}\right)}_{k=\overline{0,n}}$, cu norma tinzând la zero, și punctele intermediare $\frac{k}{n}\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$: $$\Vert {\Delta }_n\Vert \to 0,\text{ punctele intermediare fiind capetele din dreapta ale subintervalelor}\text{(1 p)}.$$ Suma din enunț se rescrie scoțând $\frac{1}{n}$ în față și grupând $\frac{k}{n}$ lângă exponențială: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\dots +n{e}^{\frac{n^2}{n^2}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot e^{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}\text{(2 p)}.$$ Aceasta este exact suma Riemann a lui $f$, deci limita ei este integrala pe $[0,1]$ — adică numărul calculat la subpunctul a): $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx=I_1=\frac{\mathbf{e}-1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Rescrierea se vede cel mai bine pe termenul general: $\frac{1}{n^2}\cdot k\cdot e^{\frac{k^2}{n^2}}=\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}\cdot e^{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$ — unul dintre cei doi $n$ de la numitor rămâne factor comun, celălalt intră lângă $k$. Control numeric: pentru $n=1000$ suma dă $0,86050$, iar $\frac{e-1}{2}\approx 0,85914$. Unde se greșește de obicei: se scoate doar un $\frac{1}{n}$ și rămâne $k$ singur, fără să fie transformat în $\frac{k}{n}$; sau se scrie limita fără să se numească funcția, diviziunea și punctele intermediare — baremul le punctează pe toate trei.)