Bac M1 2012, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2012 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2012 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom cu $i$ și modulul rezultatului — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Intersecția a două grafice: ecuația $f(x)=g(x)$ și revenirea la ordonate — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Inecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și monotonia funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și combinatorică: submulțimi cu trei elemente și condiția de progresie aritmetică — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: produsul scalar în baza $\vec{i}$, $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Teorema cosinusului în triunghiul oarecare — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sistem liniar omogen cu parametru: determinantul matricei sistemului, condiția de soluție unică și rezolvarea cazului nedeterminat cu rang doi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Grup de matrice: parte stabilă, element simetrizabil și o ecuație în grup, toate prin identificarea legii induse pe parametru — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Monotonie, limită și număr de soluții: semnul derivatei, o limită de tip $\frac{\infty }{\infty }$ rezolvată cu regula lui l'Hôpital și șirul lui Rolle — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și integrale: monotonia unei primitive din semnul funcției, descompunerea în fracții simple și o limită cu integrală cu capete variabile — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2012. Subiectul I este cel mai „de mână" din toată banca: șase cerințe scurte, fără nicio expresie complicată, dar fiecare cu un pas care se sare ușor — ordonatele la itemul $2$, sensul inegalității la itemul $3$, numărul de cazuri posibile la itemul $4$. Subiectul al II-lea este de algebră liniară plus structuri: problema $1$ cere discuția completă a unui sistem omogen (inclusiv cazul nedeterminat, cu rang și parametru), iar problema $2$ este un grup de matrice în care toată dificultatea stă în observația că înmulțirea matricelor din familie se traduce într-o lege pe parametru, $p\ast q=p+q+pq$. Subiectul al III-lea urcă net în dificultate la subpunctele c): la problema $1$ se cere șirul lui Rolle, iar la problema $2$ o limită în care integrala are ambele capete variabile — se calculează întâi integrala, abia apoi limita.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, intervale sau expresii de forma $\ln 3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: coordonatele punctelor de intersecție date doar prin abscise, fără ordonate; mulțimea soluțiilor unei inecuații scrisă ca inegalitate, fără interval; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; rezolvarea unui sistem nedeterminat fără precizarea rangului; concluzia „este parte stabilă" fără verificarea condiției $p+q+pq\ne -1$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ cu $i^2=-1$; $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$. Intersecția graficelor: punctele comune se află rezolvând $f(x)=g(x)$, iar ordonata se obține înlocuind abscisa în oricare dintre funcții. Inecuații exponențiale: $a^u\le a^v\iff u\le v$ pentru $a>1$ și $u\ge v$ pentru $0<a<1$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k$. Produsul scalar: dacă $\vec{u}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}$ și $\vec{v}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}$, atunci $\vec{u}\cdot \vec{v}=a_1{a}_2+b_1{b}_2$. Teorema cosinusului: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$.
• Sisteme liniare: un sistem omogen are întotdeauna soluția nulă, deci este mereu compatibil; el are soluție unică exact când $\det A\ne 0$ și o infinitate de soluții când $\det A=0$. În cazul nedeterminat se stabilește rangul (un minor nenul de ordinul rangului), necunoscutele secundare se notează cu parametri, iar restul se rezolvă ca sistem obișnuit.
• Structuri algebrice: o mulțime $G$ este parte stabilă în raport cu o operație dacă rezultatul rămâne în $G$ pentru orice doi factori din $G$; simetricul lui $x$ este elementul $x^{\prime }$ pentru care $x\ast x^{\prime }=e$; când o familie $X(p)$ se înmulțește după regula $X(p)\cdot X(q)=X(\phi (p,q))$, toate întrebările despre familie se mută pe parametru.
• Derivate și limite: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$; o funcție cu derivata nenegativă pe un interval este crescătoare pe acel interval; regula lui l'Hôpital se aplică la $\frac{\infty }{\infty }$ și se poate repeta; șirul lui Rolle pentru $g(x)=f(x)-a$ se scrie cu limitele la capete și cu valorile lui $g$ în rădăcinile derivatei, iar numărul de schimbări de semn dă numărul de rădăcini.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x+c}dx=\ln |x+c|+\mathcal{C}$; o fracție cu numitor produs de factori de gradul întâi se descompune în fracții simple; o fracție cu numărătorul de același grad ca numitorul se împarte cu rest înainte de a fi integrată.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește în această probă trei obiecte diferite: unghiul $A$ al triunghiului de la itemul $6$, matricea sistemului de la itemul $7$ și matricea $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)$ de la itemul $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+2x$ la itemul $2$, $f(x)=x^3-12x$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{2x+3}{x+2}$ la itemul $10$. La examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $5$ (numărul căutat) și parametru la itemul $9$, subpunctul c) (valoarea din membrul drept al ecuației). Litera $m$ este parametrul sistemului de la itemul $7$, iar $p$ și $q$ sunt parametrii familiei de matrice de la itemul $8$.
• Simbolul $X(p)$ de la itemul $8$ nu are nicio legătură cu nedeterminata $X$ a polinoamelor: aici $X$ este numele unei familii de matrice, iar $p$ este parametrul ei. În această probă nu apare niciun polinom în sens algebric.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați modulul numărului complex $(1+i{)}^2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-x-2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $2^{x+1}\le 4$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile cu trei elemente ale mulțimii $A=\{1,2,3,4,5\}$, elementele submulțimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră vectorii $\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}$ și $\vec{v}=a\vec{i}-\vec{j}$. Determinați numărul real $a$ pentru care $\vec{u}\cdot \vec{v}=3$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=4$, $AC=5$ și $BC=7$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}2x+y+3z=0\\ x+2y+3z=0\\ x+y+mz=0\end{array}$, unde $m\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei sistemului.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) În cazul $m=2$, determinați soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $x_0>0$ și $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și mulțimea $G=\left\{X(p)=I_2+pA|p\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\right\}$.

a) (5 puncte) Arătați că $X(p)\cdot X(q)\in G$, pentru orice $X(p),X(q)\in G$.

b) (5 puncte) Admitem că $(G,\cdot )$ este grup comutativ având elementul neutru $X(0)$. Determinați inversul elementului $X(p)$ în acest grup.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația $(X(p){)}^3=I_2+7A$, unde $X(p)\in G$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția este crescătoare pe intervalul $[2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{f(x)}$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are trei soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+3}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $(-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_x^{2x}f(t)dt}{x}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2012, varianta 5; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — modulul unui număr complex.

Se desface întâi pătratul, ca la orice binom, ținând minte că $i^2=-1$: $$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\text{(3 p)}.$$ Numărul $2i$ are partea reală nulă și partea imaginară $2$, deci $$|2i|=\sqrt{0^2+2^2}=2\text{(2 p)}.$$ (Control pe alt drum: modulul este multiplicativ, deci $|(1+i{)}^2|=|1+i{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$ — aceeași valoare, fără să mai desfaci pătratul. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2=0$, adică se uită dublul produs, sau se ia modulul lui $2i$ egal cu $2i$.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Un punct comun celor două grafice are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe amândouă, deci abscisele lui se află din $f(x)=g(x)$: $$x^2+2x=-x-2⟹x^2+3x+2=0\text{(1 p)}.$$ Ecuația are discriminantul $\Delta =9-8=1$ și rădăcinile $x_1=-1$, $x_2=-2$. Pentru prima: $$x_1=-1⟹y_1=g(-1)=1-2=-1,\text{ deci }(-1,-1)\text{(2 p)}.$$ Pentru a doua: $$x_2=-2⟹y_2=g(-2)=2-2=0,\text{ deci }(-2,0)\text{(2 p)}.$$ (Control: și cu cealaltă funcție iese la fel, $f(-1)=1-2=-1$ și $f(-2)=4-4=0$ — dacă cele două nu coincid, ai greșit undeva. Unde se greșește de obicei: se răspunde doar cu abscisele $-1$ și $-2$; enunțul cere coordonatele punctelor, adică perechi.)

Itemul 3. (5 p) — inecuație exponențială.

Se aduc ambii membri la aceeași bază, $4=2^2$: $$2^{x+1}\le 2^2\text{(1 p)}.$$ Baza $2$ este mai mare decât $1$, deci funcția exponențială este strict crescătoare și inegalitatea dintre puteri se transmite în același sens exponenților: $$x+1\le 2\text{(2 p)},$$ de unde $x\le 1$ și $$S=(-\infty ,1]\text{(2 p)}.$$ (Verificare la capăt: pentru $x=1$ avem $2^2=4$, deci egalitate — capătul intră în mulțime, de aceea paranteza dreaptă este închisă. Pentru $x=2$ am avea $2^3=8>4$, deci valorile mai mari nu convin. Unde se greșește de obicei: se schimbă sensul inegalității, ca și cum baza ar fi subunitară, sau se scrie răspunsul ca inegalitate în loc de mulțime.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe submulțimi.

Se pleacă de la definiție: $$p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}\text{(1 p)}.$$ Trei numere $a<b<c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $b-a=c-b$, adică $a+c=2b$: mijlocul este media celorlalte două. Trecând prin toate perechile $(a,c)$ cu suma pară, submulțimile care convin sunt $\{1,2,3\}$, $\{2,3,4\}$, $\{3,4,5\}$ și $\{1,3,5\}$, deci patru cazuri favorabile (2 p).

Numărul tuturor submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu cinci elemente este $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10,\text{ deci zece cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită submulțimea $\{1,3,5\}$, singura cu rația egală cu doi — celelalte trei au rația egală cu unu. Control: perechile de capete cu sumă pară sunt $(1,3)$, $(1,5)$, $(2,4)$ și $(3,5)$, adică exact patru, iar fiecare determină un singur mijloc.)

Itemul 5. (5 p) — produsul scalar a doi vectori.

Produsul scalar a doi vectori scriși în baza $\vec{i}$, $\vec{j}$ se obține înmulțind coeficienții de același fel și adunând. Pentru $\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}$ și $\vec{v}=a\vec{i}-\vec{j}$: $$\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot a+(-2)\cdot (-1)=a+2,\text{ deci condiția devine }a+2=3\text{(4 p)}.$$ De aici $$\mathbf{a}=1\text{(1 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=1$ avem $\vec{v}=\vec{i}-\vec{j}$, iar $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 1+(-2)(-1)=1+2=3$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul la produsul $(-2)\cdot (-1)$, care este pozitiv, sau se folosește formula cu cosinusul unghiului, inutilă aici, pentru că vectorii sunt dați pe componente.)

Itemul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Unghiul $A$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$, iar latura opusă lui este $BC$, deci teorema cosinusului se scrie: $$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind valorile din enunț: $$\cos A=\frac{16+25-49}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{-8}{40}=-\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$ (Semnul negativ este de așteptat: latura opusă, $BC=7$, este mai mare decât fiecare dintre celelalte două, deci unghiul $A$ este cel mai mare din triunghi și, cum $7^2>4^2+5^2$, el este obtuz. Unde se greșește de obicei: se pune la numărător latura greșită — la numărător se scad pătratele laturilor care formează unghiul minus pătratul laturii opuse, în această ordine. Control: triunghiul chiar există, fiindcă $4+5>7$.)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar omogen cu parametru.

a) (5 p) Matricea sistemului se citește direct din coeficienți, linie cu linie: $$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& m\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det A& =4m+3+3-6-6-m\\ & =3m-6\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe un caz particular: pentru $m=0$ determinantul ar trebui să fie $-6$, iar matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ are într-adevăr determinantul $0+3+3-6-6-0=-6$. Unde se greșește de obicei: se scriu coeficienții pe coloane în loc de linii — aici nu s-ar vedea, matricea fiind aproape simetrică, dar la alte sisteme se vede imediat.)

b) (5 p) Un sistem liniar are soluție unică exact când matricea lui este nesingulară: $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul are soluție unica˘}\\ & ⟺\det A\ne 0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Din $3m-6\ne 0$ rezultă $m\ne 2$, deci $$\mathbf{m}\in \mathbb{R}\setminus \{2\}\text{(3 p)}.$$ (Sistemul fiind omogen, el este compatibil pentru orice $m$ — soluția nulă $(0,0,0)$ îl verifică întotdeauna. Deci „soluție unică" înseamnă aici „numai soluția nulă", iar pentru $m=2$ apare o infinitate de soluții. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu $m=2$, adică exact valoarea care trebuie exclusă.)

c) (5 p) Pentru $m=2$ avem $\det A=0$, deci sistemul este nedeterminat. Rangul matricei este doi, pentru că minorul din colțul din stânga sus este nenul: $$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=4-1=3\ne 0\text{(1 p)}.$$ Necunoscuta secundară este $z$; o notăm $z=\alpha$, cu $\alpha$ număr real, și rămâne un sistem de două ecuații cu două necunoscute: $$\{\begin{array}{l}2x+y=-3\alpha \\ x+2y=-3\alpha \end{array}⟹x=-\alpha ,y=-\alpha \text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine atunci $$\begin{array}{rl}& x_0^2+y_0^2+z_0^2\\ & =(-\alpha {)}^2+(-\alpha {)}^2+{\alpha }^2\\ & =3{\alpha }^2=3⟹\alpha \in \{-1,1\}\text{(1 p)}.\end{array}$$ Mai rămâne condiția de semn: $x_0=-\alpha >0$ înseamnă $\alpha <0$, deci $\alpha =-1$ și $$(x_0,y_0,z_0)=(1,1,-1)\text{(1 p)}.$$ (Verificare în sistemul inițial, cu $m=2$: $2+1-3=0$, $1+2-3=0$ și $1+1-2=0$ — toate trei ecuațiile se verifică. Norma se verifică și ea: $1+1+1=3$. Unde se greșește de obicei: se sare peste precizarea rangului, sau se aleg amândouă valorile lui $\alpha$, deși condiția $x_0>0$ o elimină pe una. Scăzând a doua ecuație din prima se obține direct $x-y=0$, adică $x=y$ — cel mai scurt drum spre soluție.)

Itemul 8. (15 p) — grup de matrice de ordinul al doilea.

Observația care ține tot itemul: matricea $A$ verifică $A^2=A$, pentru că $$\begin{array}{rl}{A}^2& =\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}9-6& -6+4\\ 9-6& -6+4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)=A.\end{array}$$

a) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice din familie, desfăcând parantezele ca la numere (înmulțirea cu $I_2$ nu schimbă nimic) și folosind $A^2=A$: $$\begin{array}{rl}X(p)\cdot X(q)& =(I_2+pA)(I_2+qA)\\ & =I_2+(p+q)A+pq{A}^2\\ & =I_2+(p+q+pq)A\\ & =X(p+q+pq)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Rezultatul are forma cerută, dar mai trebuie arătat că parametrul lui este admis, adică diferit de $-1$. Din $p,q\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$ avem $$\begin{array}{rl}& (p+1)(q+1)\\ & \ne 0⟹p+q+pq+1\\ & \ne 0⟹p+q+pq\\ & \ne -1,\text{ deci }X(p+q+pq)\\ & \in G\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cheia întregii probleme este identitatea $p\ast q+1=(p+1)(q+1)$: legea indusă pe parametru se transformă, prin translația $p\mapsto p+1$, în simpla înmulțire a numerelor. De aceea din $G$ trebuie scos exact $p=-1$ — el ar da factorul zero. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea după prima linie, fără verificarea apartenenței la $G$, care este punctată separat.)

b) (5 p) Inversul lui $X(p)$ este acel $X(p^{\prime })$ pentru care produsul dă elementul neutru $X(0)=I_2$. Din subpunctul a), produsul este $X(p+p^{\prime }+p{p}^{\prime })$, deci condiția este $p+p^{\prime }+p{p}^{\prime }=0$, adică $p^{\prime }(1+p)=-p$: $$\begin{array}{rl}& \text{pentru orice }X(p)\\ & \in G\text{ exista˘ }X\left(-\frac{p}{1+p}\right)\text{ astfel ıˆncaˆt }X(p)\cdot X\left(-\frac{p}{1+p}\right)\\ & =X(0)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Împărțirea are sens, fiindcă $p\ne -1$. Mai rămâne de arătat că și noul parametru este admis: dacă am avea $-\frac{p}{1+p}=-1$, ar rezulta $p=1+p$, imposibil. Așadar $$\begin{array}{rl}& -\frac{p}{1+p}\\ & \ne -1⟹X\left(-\frac{p}{1+p}\right)\\ & \in G\text{ și este inversul lui }X(p)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Aceeași concluzie, pe drumul translației: dacă $p+1=t$, atunci inversul are parametrul $t^{\prime }=\frac{1}{t}$, adică $p^{\prime }+1=\frac{1}{p+1}$, de unde $p^{\prime }=\frac{1}{p+1}-1=-\frac{p}{1+p}$. Control numeric: pentru $p=1$ inversul are parametrul $-\frac{1}{2}$, iar $1+\left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează inversa matricei prin formula cu determinant — drum foarte lung și, în plus, $\det (X(p))=1+p$, care poate fi orice.)

c) (5 p) Membrul drept este tot din familie: $I_2+7A=X(7)$, deci ecuația se scrie $$(X(p){)}^3=X(7)\text{(1 p)}.$$ Aplicând de două ori relația de la a), sau direct identitatea $p\ast q+1=(p+1)(q+1)$, puterea a treia are parametrul cu unu mai mic decât cubul lui $p+1$: $$(X(p){)}^3=X((p+1{)}^3-1)\text{(3 p)}.$$ Egalând parametrii, $(p+1{)}^3-1=7$, adică $$\begin{array}{rl}& (p+1{)}^3\\ & =8⟹p+1=2\\ & ⟹\mathbf{p}=1,\text{ deci soluția este }\mathbf{X}(1)\text{(1 p)}.\end{array}$$ (Ecuația $(p+1{)}^3=8$ are o singură soluție reală, pentru că funcția cub este strict crescătoare pe toată dreapta; celelalte două rădăcini cubice ale lui opt nu sunt reale. Verificare directă: $X(1)=I_2+A$, iar $(I_2+A{)}^2=I_2+2A+A^2=I_2+3A$ și $(I_2+A{)}^3=(I_2+3A\left)\right(I_2+A)=I_2+4A+3A^2=I_2+7A$ — exact membrul drept. Unde se greșește de obicei: se scrie $(X(p){)}^3=X(3p)$, ca și cum parametrii s-ar aduna la înmulțire; ei se compun după legea $p\ast q=p+q+pq$, nu prin adunare.)

Itemul 9. (15 p) — monotonie, limită și numărul de soluții ale unei ecuații.

a) (5 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe toată dreapta, iar $$f^{\prime }(x)=3x^2-12\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\ge 2$ avem $x^2\ge 4$, deci $3x^2-12\ge 0$: $$f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in [2,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Formularea din enunț este „crescătoare", nu „strict crescătoare", și baremul cere exact inegalitatea nestrictă $f^{\prime }\ge 0$ — semnul de egal apare o singură dată, în $x=2$, deci funcția este de fapt și strict crescătoare pe acest interval. Control numeric: $f(2)=8-24=-16$, $f(3)=27-36=-9$, $f(4)=64-48=16$ — valorile chiar cresc.)

b) (5 p) Se stabilește întâi cazul de nedeterminare: numitorul crește nemărginit, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-12x)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Numărătorul $e^x$ tinde tot la $+\infty$, deci avem cazul $\frac{\infty }{\infty }$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital, de trei ori la rând, până când numitorul devine constant: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{3x^2-12}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{6x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{6}=+\infty \text{(3 p)}.$$ (Rezultatul este forma numerică a unui fapt general: exponențiala crește mai repede decât orice funcție polinomială, oricât de mare i-ar fi gradul. Control numeric: pentru $x=30$, $e^{30}\approx 1,07\cdot 10^{13}$, iar $f(30)=27000-360=26640$, deci raportul este de ordinul $10^8$ și continuă să crească. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hôpital o singură dată și se declară nedeterminarea rezolvată, deși $\frac{e^x}{3x^2-12}$ este tot de tipul $\frac{\infty }{\infty }$.)

c) (5 p) Numărul de soluții ale ecuației $f(x)=a$ se citește din șirul lui Rolle pentru funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-a$. Derivata ei este tot $3x^2-12$, care se anulează în $x=-2$ și $x=2$, iar $g(-2)=-8+24-a=16-a$ și $g(2)=8-24-a=-16-a$. Așezate în ordinea crescătoare a punctelor, valorile sunt $$-\infty ,16-a,-16-a,+\infty \text{(3 p)}.$$ Ecuația are trei soluții reale distincte exact când apar trei schimbări de semn, adică atunci când valoarea din mijloc-stânga este strict pozitivă și cea din mijloc-dreapta strict negativă: $16-a>0$ și $-16-a<0$, adică $$\mathbf{a}\in (-16,16)\text{(2 p)}.$$ (Aceeași concluzie se vede din tabloul de variație: $f$ are un maxim local $f(-2)=16$ și un minim local $f(2)=-16$, iar o dreaptă orizontală $y=a$ taie graficul în trei puncte exact când trece strict între cele două valori. Control numeric: pentru $a=0$ soluțiile sunt $0$, $-2\sqrt{3}$ și $2\sqrt{3}$ — trei, cum trebuie; pentru $a=16$ rămân doar două, pentru că $x=-2$ devine rădăcină dublă. Unde se greșește de obicei: se scriu capetele incluse, deși la $a=\pm 16$ două dintre soluții se contopesc și nu mai sunt distincte.)

Itemul 10. (15 p) — primitive, integrală definită și o limită cu integrală.

a) (5 p) Fie $F$ o primitivă oarecare a lui $f$ pe intervalul $(-1,+\infty )$. Prin definiția primitivei, $$F^{\prime }(x)=f(x),\text{ pentru orice }x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe acest interval, atât numărătorul, cât și numitorul lui $f$ sunt strict pozitivi: din $x>-1$ rezultă $2x+3>1>0$ și $x+2>1>0$, deci $$f(x)>0\text{ pentru orice }x\in (-1,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Derivata lui $F$ este așadar strict pozitivă pe tot intervalul, prin urmare $$F\text{ este strict cresca˘toare pe }(-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Afirmația este despre orice primitivă, nu despre una anume — și chiar așa este: două primitive diferă printr-o constantă, care nu schimbă monotonia. Unde se greșește de obicei: se caută efectiv o primitivă și se derivează înapoi; nu e nevoie, semnul lui $f$ este de ajuns. Control: o primitivă este $F(x)=2x-\ln (x+2)$, iar $F(0)=-\ln 2\approx -0,69$ și $F(1)=2-\ln 3\approx 0,90$ — valorile chiar cresc.)

b) (5 p) Se scrie integrandul explicit și se descompune în fracții simple. Din $\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{\alpha }{x+1}+\frac{\beta }{x+2}$ se obține $\alpha (x+2)+\beta (x+1)=2x+3$, iar pentru $x=-1$ și $x=-2$ rezultă $\alpha =1$ și $\beta =1$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx={\int }_0^1\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}dx={\int }_0^1\frac{dx}{x+1}+{\int }_0^1\frac{dx}{x+2}\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $[0,1]$ ambii numitori sunt pozitivi, deci modulul din primitiva logaritmică dispare, iar cu formula Leibniz–Newton: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx=\ln (x+1){|}_0^1+\ln (x+2){|}_0^1=\ln 2+(\ln 3-\ln 2)=\ln 3\text{(2 p)}.$$ (Termenii $\ln 2$ se reduc — semn că descompunerea a fost făcută corect. Control numeric: $\ln 3\approx 1,0986$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $1,09861$. Unde se greșește de obicei: se integrează raportul „ca un raport", cu logaritm la numitor; regula $\int \frac{u^{\prime }}{u}=\ln |u|$ cere ca numărătorul să fie exact derivata numitorului, ceea ce aici nu se întâmplă decât după descompunere.)

c) (5 p) Se calculează întâi integrala, cu capete variabile. Împărțind cu rest, $f(t)=\frac{2(t+2)-1}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}$, deci $${\int }_x^{2x}f(t)dt=(2t-\ln (t+2)){|}_x^{2x}=2x-\ln \frac{2x+2}{x+2},\text{ pentru }x>0\text{(3 p)}.$$ Împărțind la $x$ și trecând la limită: primul termen dă $2$, iar al doilea tinde la zero, pentru că logaritmul are limită finită, $\ln 2$, iar numitorul crește nemărginit: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-\ln \frac{2x+2}{x+2}}{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Detaliul de calcul din primul rând: $(4x-\ln (2x+2))-(2x-\ln (x+2))=2x-\ln \frac{2x+2}{x+2}$, folosind $\ln u-\ln v=\ln \frac{u}{v}$. Control numeric: pentru $x=1000$, integrala este $2000-\ln \frac{2002}{1002}\approx 1999,31$, iar raportul $1,99931$ — foarte aproape de doi. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui l'Hôpital derivând integrala ca și cum ar avea un singur capăt variabil; aici derivata este $2f(2x)-f(x)$, drum corect, dar mai lung. A doua capcană este să se creadă că logaritmul tinde la infinit — el tinde la $\ln 2$, fiindcă raportul de sub el tinde la doi.)