Bac M1 2012, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2012 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea iunie-iulie 2012 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Variantele de rezervă se tipăresc odată cu cele principale și se folosesc dacă subiectul zilei trebuie înlocuit; ele au exact aceeași structură, aceeași durată și același barem ca proba obișnuită. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom și partea reală a rezultatului — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Funcția inversă: $g(y)=x\iff f(x)=y$, aplicată unei funcții exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și combinatorică: numărul tuturor submulțimilor și numărul celor cu trei elemente — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică cu vectori: egalitatea a doi vectori scrisă pe componente — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Ecuație trigonometrică: împărțirea la $\cos x$ și tangenta unghiului — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinant cu parametri și rang: un determinant de tip Vandermonde, condiția de rang doi și consecința geometrică a anulării lui — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Inelul ${\mathbb{Z}}_5$ și polinoame peste el: valorile unei funcții polinomiale, descompunerea în factori ireductibili și legătura injectivitate–surjectivitate pe o mulțime finită — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată cu radical, asimptotă și imagine: derivarea unui raport cu radical la numitor, limita la $+\infty$ și determinarea imaginii din monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive, arie și recurență cu integrale: verificarea unei primitive prin derivare, aria subgraficului lui $\ln$ și o identitate integrală demonstrată prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2012. Subiectul I este scurt și cere, la fiecare cerință, exact un pas de teorie: relațiile lui Viète, definiția funcției inverse, numărul submulțimilor unei mulțimi finite, egalitatea vectorilor pe componente. Subiectul al II-lea urcă brusc: problema $1$ ascunde un determinant Vandermonde sub trei factori scoși în față, iar problema $2$ este integral pe ${\mathbb{Z}}_5$ — cu accente circumflexe peste tot și cu argumentul de final „pe o mulțime finită, injectivă și surjectivă înseamnă același lucru". Subiectul al III-lea are, la problema $1$, o cerință rar întâlnită — imaginea funcției, care cere maximul plus ambele limite — iar la problema $2$ o identitate cu parametru continuu $p$, demonstrată prin integrare prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre inele și polinoame peste ${\mathbb{Z}}_5$, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, clase din ${\mathbb{Z}}_5$ sau expresii de forma $2\sqrt{7}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rangul afirmat fără minorul nenul care îl justifică; descompunerea unui polinom peste ${\mathbb{Z}}_5$ fără accente circumflexe; imaginea unei funcții scrisă fără să se spună care capăt este atins și care nu; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției pe interval.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$; partea reală este coeficientul fără $i$. Relațiile lui Viète: pentru $x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$ și $x_1{x}_2=q$. Funcția inversă: $g(y)=x$ înseamnă exact $f(x)=y$ — nu se caută formula lui $g$, se rezolvă o ecuație. Numărul submulțimilor: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, dintre care $C_n^k$ au câte $k$ elemente. Vectori în reper: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}$, iar doi vectori sunt egali când au ambele componente egale. Trigonometrie: $\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x$, iar $\mathrm{tg}x=1$ dă $x=\frac{\pi }{4}$ pe primul cadran.
• Determinanți și rang: determinantul se poate dezvolta după o linie sau coloană cu multe zerouri; factorii comuni pe o linie se scot în fața determinantului; determinantul Vandermonde $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)$. Rangul unei matrice de ordinul al treilea este doi exact când determinantul ei este nul, dar există un minor nenul de ordinul al doilea.
• Inelul ${\mathbb{Z}}_5$: clasele sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$, iar calculele se fac cu resturi la împărțirea prin cinci. Un polinom de gradul al treilea peste ${\mathbb{Z}}_5$ care are trei rădăcini distincte se descompune în trei factori de gradul întâi. Pe o mulțime finită, o funcție de la mulțime la ea însăși este injectivă exact atunci când este surjectivă.
• Derivate și imagine: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; asimptotă orizontală spre $+\infty$ există când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, și atunci dreapta este $y=\ell$. Imaginea unei funcții continue se citește din tabloul de variație: capetele atinse se scriu cu paranteză închisă, cele neatinse cu paranteză deschisă.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$; aria subgraficului unei funcții continue și nenegative este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este nenegativă; integrarea prin părți: ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru funcții diferite: funcția bijectivă $f(x)=2^x+3$ de la itemul $3$, funcția $f:{\mathbb{Z}}_5\to {\mathbb{Z}}_5$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\ln x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $A$ denumește trei obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$ de la itemul $4$, punctul $A(1,3)$ de la itemul $5$ și matricea $A(a,b,c)$ de la itemul $7$.
• Notația $f^p(t)$ de la itemul $10$, subpunctul c), înseamnă puterea $(f(t){)}^p=(\ln t{)}^p$, nu compunerea funcției cu ea însăși de $p$ ori. Faptul că $p$ este un număr real strict pozitiv oarecare, nu neapărat întreg, o confirmă: compunerea de „jumătate de ori" nu are sens.
• Literele $a$, $b$, $c$ sunt parametrul ecuației de gradul al doilea la itemul $2$ (unde apare doar $a$) și lungimile laturilor unui triunghi la itemul $7$, subpunctul c). Litera $x$ este necunoscută la itemii $2$, $3$ și $6$, parametru la itemul $7$, subpunctul b), element al lui ${\mathbb{Z}}_5$ la itemul $8$ și variabilă reală la itemii $9$ și $10$.
• Litera $e$ apare o singură dată, la itemul $10$, subpunctul b), și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural. La itemul $8$, nedeterminata polinomului se scrie cu $X$ mare, iar variabila funcției cu $x$ mic — sunt lucruri diferite: un polinom este o expresie formală, o funcție este o corespondență.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați partea reală a numărului complex $(1+2i{)}^2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se notează cu $x_1$, $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-3x+a=0$, unde $a$ este un număr real. Determinați $a$ pentru care $x_1+x_2+x_1{x}_2=5$.

Itemul 3 (5 puncte)

Se notează cu $g$ inversa funcției bijective $f:(0,+\infty )\to (4,+\infty )$, $f(x)=2^x+3$. Determinați $g(5)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile lui $A$, aceasta să conțină exact trei elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ și $B(7,12)$. Determinați coordonatele punctului $M$, știind că $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, știind că $\frac{\sin x+2\cos x}{\cos x}=3$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se notează cu $D(a,b,c)$ determinantul matricei $A(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2a& 2b& 2c\\ 3a^2& 3b^2& 3c^2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a) (5 puncte) Calculați $D(0,1,-1)$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care matricea $A(0,1,x)$ are rangul egal cu 2.

c) (5 puncte) Arătați că dacă $a$, $b$, $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi și $D(a,b,c)=0$, atunci triunghiul este isoscel.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră inelul $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ și funcția $f:{\mathbb{Z}}_5\to {\mathbb{Z}}_5$, $f(x)=x^3+\hat{2}{x}^2+\hat{4}x+\hat{3}$.

a) (5 puncte) Calculați $f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{3}\right)$.

b) (5 puncte) Descompuneți în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$ polinomul $P=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{3}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ nu este surjectivă.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)\sqrt{x^2+3}=\frac{3-9x}{x^2+3}$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Determinați asimptota spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x\ln x-x$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$.

c) (5 puncte) Arătați că $(p+1){\int }_1^x{f}^p(t)dt+{\int }_1^x{f}^{p+1}(t)dt=x{f}^{p+1}(x)$, pentru orice $x\ge 1$ și orice $p>0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2012, varianta 3; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — partea reală a unui număr complex.

Se desface pătratul, cu $i^2=-1$: $$(1+2i{)}^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i\text{(3 p)}.$$ Partea reală este coeficientul care nu îl conține pe $i$, deci $$\mathrm{Re}((1+2i{)}^2)=-3\text{(2 p)}.$$ (Control cu modulul: $|-3+4i|=\sqrt{9+16}=5$, iar $|1+2i{|}^2=(\sqrt{5}{)}^2=5$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se ia $4i^2=+4$, ceea ce ar da partea reală $5$, sau se răspunde cu tot numărul, deși se cere doar partea reală.)

Itemul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Ecuația este $x^2-3x+a=0$, deci suma și produsul rădăcinilor se citesc direct din coeficienți, fără să fie nevoie să le calculăm: $$x_1+x_2=3\text{(2 p)},$$ $$x_1{x}_2=a\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $3+a=5$, de unde $$\mathbf{a}=2\text{(1 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=2$, ecuația $x^2-3x+2=0$ are rădăcinile $1$ și $2$, iar $1+2+1\cdot 2=5$ — exact cât cere enunțul. Observație utilă: discriminantul $\Delta =9-4a$ este pozitiv pentru $a=2$, deci rădăcinile sunt chiar reale; cu un $a$ mai mare decât $\frac{9}{4}$ ele ar fi fost complexe, dar relațiile lui Viète ar fi rămas valabile. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1+x_2=-3$, uitând semnul minus din formula $-\frac{b}{a}$, care aici se aplică asupra lui $-3$.)

Itemul 3. (5 p) — funcția inversă.

Prin definiția funcției inverse, $g(5)$ este acel număr $x$ pentru care $f(x)=5$ — deci nu trebuie găsită formula lui $g$, ci rezolvată o ecuație: $$x=g(5)⟹f(x)=5\text{(2 p)}.$$ Ecuația se scrie explicit: $$2^x+3=5,\text{ adica˘ }{2}^x=2\text{(2 p)},$$ de unde $$\mathbf{x}=1,\text{ deci }g(5)=1\text{(1 p)}.$$ (Verificare: $f(1)=2+3=5$, iar $1$ chiar aparține domeniului $(0,+\infty )$, iar $5$ codomeniului $(4,+\infty )$ — potrivirea capetelor confirmă că funcția este bine definită și bijectivă. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(5)=2^5+3=35$ în loc de $g(5)$; inversa „merge înapoi", nu înainte.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe submulțimi.

Se pleacă de la definiție: $$p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}\text{(1 p)}.$$ Se alege o submulțime oarecare a lui $A$, deci cazurile posibile sunt toate submulțimile unei mulțimi cu cinci elemente: $$2^5=32\text{ cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Cazurile favorabile sunt submulțimile cu exact trei elemente: $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10\text{ cazuri favorabile}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se iau drept cazuri posibile doar submulțimile cu trei elemente, ceea ce ar da probabilitatea unu — enunțul spune „una dintre submulțimile lui $A$", fără restricție. Control: numărul total de submulțimi este $C_5^0+C_5^1+\cdots +C_5^5=1+5+10+10+5+1=32$, adică exact $2^5$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Se scriu ambii vectori pe componente. Pentru $A(1,3)$ și $B(7,12)$, respectiv pentru punctul necunoscut $M(x_M,y_M)$: $$\overrightarrow{AB}=6\vec{i}+9\vec{j}\text{ și }\overrightarrow{AM}=(x_M-1)\vec{i}+(y_M-3)\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Doi vectori sunt egali exact când au ambele componente egale, deci condiția din enunț se desface în două ecuații: $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}⟺\{\begin{array}{l}{x}_M-1=2\\ y_M-3=3\end{array}\text{(2 p)}.$$ De aici $$\mathbf{M}(3,6)\text{(1 p)}.$$ (Interpretare: $M$ este punctul care împarte segmentul $AB$ în raportul $1:2$, la o treime de $A$. Control: $\overrightarrow{AM}=2\vec{i}+3\vec{j}$, iar $3\overrightarrow{AM}=6\vec{i}+9\vec{j}=\overrightarrow{AB}$. Unde se greșește de obicei: se împart coordonatele punctului $B$ la trei, în loc de componentele vectorului $\overrightarrow{AB}$ — asta ar da un punct de pe dreapta $OB$, nu de pe $AB$.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ avem $\cos x\ne 0$, deci se poate înmulți egalitatea cu numitorul: $$\sin x+2\cos x=3\cos x\text{(2 p)}.$$ Reducând termenii în cosinus: $$\sin x=\cos x\text{(1 p)}.$$ Împărțind la $\cos x$, obținem $\mathrm{tg}x=1$, iar pe primul cadran singura soluție este $$\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar raportul din enunț devine $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1+2=3$. Drum și mai scurt: fracția se desface direct în $\mathrm{tg}x+2=3$. Unde se greșește de obicei: se dau toate soluțiile $\frac{\pi }{4}+k\pi$, deși enunțul cere doar pe cele din intervalul precizat.)

Itemul 7. (15 p) — determinant cu parametri și rangul unei matrice.

a) (5 p) Se înlocuiesc parametrii în matrice și se scrie determinantul: $$D(0,1,-1)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 3& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Prima coloană are două zerouri, deci dezvoltarea după ea este imediată: $$\begin{array}{rl}D(0,1,-1)& =1\cdot (2\cdot 3-(-2)\cdot 3)\\ & =6+6=12\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe formula generală de la subpunctul c): $D(a,b,c)=6(b-a)(c-a)(c-b)$, deci $D(0,1,-1)=6\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-2)=12$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se uită coeficienții $2$ și $3$ de pe liniile a doua și a treia, care sunt parte din definiția matricei.)

b) (5 p) Se scrie matricea cerută: $$A(0,1,x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 2x\\ 0& 3& 3x^2\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Rangul este cel puțin doi, pentru că există un minor nenul de ordinul al doilea: $$\begin{array}{rl}d& =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=2\ne 0\\ & ⟹\mathrm{rang}A(0,1,x)\ge 2\text{(1 p)}.\end{array}$$ Cum matricea are ordinul al treilea, rangul este exact doi atunci și numai atunci când determinantul ei se anulează: $$\begin{array}{rl}& \mathrm{rang}A(0,1,x)\\ & =2⟺D(0,1,x)=0\text{(1 p)}.\end{array}$$ Dezvoltând după prima coloană, $D(0,1,x)=1\cdot (2\cdot 3x^2-2x\cdot 3)=6x^2-6x$, deci $$\begin{array}{rl}& D(0,1,x)\\ & =6x(x-1)\\ & =0⟹\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pentru $x=0$: matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 3& 0\end{array}\right)$, iar ultimele două linii sunt proporționale — rangul chiar este doi. Pentru $x=1$: coloanele a doua și a treia coincid. Unde se greșește de obicei: se afirmă rangul doi numai din $D=0$, fără minorul nenul; anularea determinantului singură ar permite și rangul unu sau zero.)

c) (5 p) Pe linia a doua se scoate factorul comun $2$, iar pe a treia factorul comun $3$; produsul lor iese în fața determinantului: $$D(a,b,c)=6\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|\text{(1 p)}.$$ Determinantul rămas este cel al lui Vandermonde, egal cu produsul diferențelor: $$D(a,b,c)=6(b-a)(c-a)(c-b)\text{(2 p)}.$$ Un produs de numere reale este nul exact când unul dintre factori este nul, deci $$\begin{array}{rl}& D(a,b,c)\\ & =0⟹a=b\text{ sau }b=c\text{ sau }c\\ & =a,\text{ deci triunghiul este isoscel}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Două laturi egale înseamnă chiar definiția triunghiului isoscel — nu mai e nimic de demonstrat după egalitate. Control numeric: pentru $a=b=3$ și $c=5$ formula dă $6\cdot 0\cdot 2\cdot 2=0$, iar pentru triunghiul de laturi $3$, $4$, $5$ dă $6\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12\ne 0$. Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul prin Sarrus, drum corect dar lung, și se pierde forma factorizată — tocmai ea dă concluzia. Reciproca este și ea adevărată aici: dacă triunghiul este isoscel, determinantul se anulează.)

Itemul 8. (15 p) — inelul ${\mathbb{Z}}_5$ și un polinom peste el.

Toate calculele se fac cu resturi la împărțirea prin cinci; accentul circumflex marchează clasa de resturi, iar $\hat{5}=\hat{0}$.

a) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $\hat{1}$ în formula funcției: $$f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}+\hat{3}=\widehat{10}=\hat{0}\text{(2 p)}.$$ La fel pentru $\hat{3}$, folosind ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{4}$ și ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{2}$: $$f\left(\hat{3}\right)=\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{4}+\hat{4}\cdot \hat{3}+\hat{3}=\hat{2}+\hat{3}+\hat{2}+\hat{3}=\widehat{10}=\hat{0}\text{(2 p)}.$$ Suma cerută este așadar $$f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{3}\right)=\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se lucrează cu numere întregi obișnuite și se uită reducerea la clasa de resturi — $f(3)=60$ în $\mathbb{Z}$, iar $60$ împărțit la cinci dă restul zero, deci tot $\hat{0}$; dar răspunsul trebuie scris ca element al lui ${\mathbb{Z}}_5$, cu accent. A doua capcană este pierderea accentelor la redactare, ceea ce baremul sancționează.)

b) (5 p) Fiind de gradul al treilea, polinomul se descompune complet dacă are trei rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$. Se încearcă toate cele cinci clase: $P\left(\hat{0}\right)=\hat{3}$, $P\left(\hat{1}\right)=\hat{0}$, $P\left(\hat{2}\right)=\hat{2}$, $P\left(\hat{3}\right)=\hat{0}$, $P\left(\hat{4}\right)=\hat{0}$. Așadar $$P\text{ are ra˘da˘cinile }\hat{1},\hat{3}\text{ și }\hat{4}\text{(3 p)}.$$ Trei rădăcini distincte la un polinom de gradul al treilea cu coeficient dominant $\hat{1}$ dau descompunerea completă, iar semnele se pot muta folosind $-\hat{1}=\hat{4}$, $-\hat{3}=\hat{2}$ și $-\hat{4}=\hat{1}$: $$P=(X-\hat{1})(X-\hat{3})(X-\hat{4})=(X+\hat{4})(X+\hat{2})(X+\hat{1})\text{(2 p)}.$$ (Control prin desfacere: coeficientul lui $X^2$ este $-(\hat{1}+\hat{3}+\hat{4})=-\hat{8}=-\hat{3}=\hat{2}$, exact cel din enunț; termenul liber este $-\hat{1}\cdot \hat{3}\cdot \hat{4}=-\widehat{12}=-\hat{2}=\hat{3}$, iarăși cel din enunț. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcini „raționale" ca peste $\mathbb{R}$, deși peste ${\mathbb{Z}}_5$ mulțimea de încercat are doar cinci elemente și se parcurge complet. Factorii de gradul întâi sunt ireductibili prin definiție, deci descompunerea este cea cerută.)

c) (5 p) De la subpunctul a) știm că două argumente diferite au aceeași imagine: $$f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{3}\right)=\hat{0},\text{ deci }f\text{ nu este injectiva˘}\text{(2 p)}.$$ Domeniul și codomeniul sunt aceeași mulțime finită, cu cinci elemente. Neinjectivitatea înseamnă că cel puțin două argumente se „lipesc", deci imaginea are cel mult patru elemente: $$\mathrm{Im}f\text{ nu poate avea cinci elemente, deci }f\text{ nu este nici surjectiva˘}\text{(3 p)}.$$ (Argumentul de fond, valabil pentru orice mulțime finită: o funcție de la o mulțime finită la ea însăși este injectivă exact atunci când este surjectivă. Pe mulțimi infinite el cade — funcția $n\mapsto 2n$ de la $\mathbb{N}$ la $\mathbb{N}$ este injectivă fără să fie surjectivă. Control direct: valorile funcției sunt $f\left(\hat{0}\right)=\hat{3}$, $f\left(\hat{1}\right)=\hat{0}$, $f\left(\hat{2}\right)=\hat{2}$, $f\left(\hat{3}\right)=\hat{0}$, $f\left(\hat{4}\right)=\hat{0}$, deci imaginea este $\left\{\hat{0},\hat{2},\hat{3}\right\}$ — trei elemente, iar $\hat{1}$ și $\hat{4}$ nu sunt atinse. Unde se greșește de obicei: se încearcă să se arate direct că un anumit element nu are preimagine, ceea ce cere cinci calcule; drumul prin injectivitate este mai scurt și e cel din barem.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu radical, asimptotă și imaginea funcției.

a) (5 p) Funcția este un raport, iar numitorul este $\sqrt{x^2+3}$, cu derivata $\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. Aplicând regula câtului și aducând la același numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-(x+9)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}=\frac{(x^2+3)-x(x+9)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}=\frac{3-9x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\text{(4 p)}.$$ Înmulțind ambii membri cu $\sqrt{x^2+3}$, care este strict pozitiv pentru orice $x$ real, se obține exact egalitatea cerută: $$f^{\prime }(x)\sqrt{x^2+3}=\frac{3-9x}{x^2+3},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(1 p)}.$$ (Numitorul $x^2+3$ nu se anulează niciodată, deci funcția este derivabilă pe toată dreapta — de aceea egalitatea are loc „pentru orice număr real $x$". Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{-6}{4\cdot 2}=-0,75$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $-0,75$. Unde se greșește de obicei: se derivează radicalul ca și cum ar fi $(x^2+3)$, uitând factorul $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, sau se scrie numitorul $(\sqrt{x^2+3}{)}^2=x^2+3$ și se pierde radicalul rămas din al doilea termen.)

b) (5 p) Se caută limita funcției la $+\infty$. Scoțând $x$ de sub radical, cu $x>0$, avem $\sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}$, deci raportul tinde la unu: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}=1\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, asimptota este orizontală: $$\text{dreapta de ecuație }\mathbf{y}=1\text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty \text{(2 p)}.$$ (Existența unei asimptote orizontale spre $+\infty$ exclude automat una oblică spre același capăt: cele două se exclud reciproc. Control numeric: $f(1000)=\frac{1009}{\sqrt{1000003}}\approx 1,00900$, apropiat de unu, iar $f\left(10^6\right)\approx 1,000009$. Unde se greșește de obicei: se scoate $x$ de sub radical fără modul; pentru $x<0$ ar fi $\sqrt{x^2+3}=-x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}$ și limita ar ieși $-1$ — chiar așa se întâmplă spre $-\infty$, cum vom vedea la subpunctul c).)

c) (5 p) Imaginea unei funcții continue se citește din tabloul de variație, deci sunt necesare limitele la ambele capete și extremele. La capete: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1\text{(2 p)}.$$ Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)$ are semnul lui $3-9x$, deci derivata este pozitivă pentru $x<\frac{1}{3}$ și negativă pentru $x>\frac{1}{3}$; funcția crește până în $\frac{1}{3}$ și scade după. Prin urmare are un maxim global acolo: $$\text{din monotonie, valoarea maxima˘ a funcției este }f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\frac{1}{3}+9}{\sqrt{\frac{1}{9}+3}}=\frac{\frac{28}{3}}{\frac{\sqrt{28}}{3}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{(2 p)}.$$ Funcția fiind continuă, ea ia toate valorile dintre limita de la $-\infty$ și maxim, iar apoi coboară spre $1$; valoarea $-1$ nu este atinsă, maximul este atins. Deci $$\mathrm{Im}f=\left(-1,2\sqrt{7}\right]\text{(1 p)}.$$ (De ce nu apare și capătul $1$ în răspuns: ramura descrescătoare, de la $2\sqrt{7}$ spre $1$, dă valori care sunt deja acoperite de ramura crescătoare — imaginea este reuniunea celor două bucăți, iar prima le conține pe toate. Control numeric: $2\sqrt{7}\approx 5,2915$, iar $f\left(\frac{1}{3}\right)$ calculat direct dă $5,29150$. Unde se greșește de obicei: se scrie imaginea ca interval închis la ambele capete, deși $-1$ este doar limită, nu valoare; sau se dă numai intervalul $\left[1,2\sqrt{7}\right]$, adică imaginea unei singure ramuri.)

Itemul 10. (15 p) — primitive, arie și o relație integrală cu parametru.

a) (5 p) Funcția $F$ este produsul dintre $x$ și $\ln x$ minus $x$, deci este derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar cu regula produsului: $$F^{\prime }(x)=(x\ln x{)}^{\prime }-x^{\prime }=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x,\text{ pentru orice }x>0\text{(3 p)}.$$ Cum $\ln x$ este chiar $f(x)$, avem $$F^{\prime }=f,\text{ deci }F\text{ este o primitiva˘ a lui }f\text{ pe }(0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Definiția primitivei cere două lucruri: derivabilitatea pe tot intervalul și egalitatea derivatei cu funcția — amândouă trebuie scrise. Control numeric: $\frac{F(2,001)-F(1,999)}{0,002}\approx 0,6931$, iar $\ln 2\approx 0,6931$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-x$ la derivare, ceea ce ar lăsa $F^{\prime }=\ln x+1$, sau se încearcă găsirea primitivei prin părți — inutil, când ea este deja dată și se cere doar verificarea.)

b) (5 p) Pe intervalul $[1,e]$ avem $\ln x\ge 0$, pentru că $\ln$ este crescătoare și $\ln 1=0$; deci modulul din formula ariei dispare, dar motivul trebuie scris: $$\mathcal{S}={\int }_1^e|\ln x|dx={\int }_1^e\ln xdx\text{(2 p)}.$$ Cu primitiva de la subpunctul a) și formula Leibniz–Newton: $$\mathcal{S}=F(x){|}_1^e=(e\ln e-e)-(1\cdot \ln 1-1)=(e-e)-(0-1)=1\text{(3 p)}.$$ (Rezultatul este surprinzător de curat: aria de sub graficul logaritmului, între $1$ și $e$, este exact o unitate. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $1,0000000$. Unde se greșește de obicei: se sare peste justificarea semnului — pe $(0,1)$ logaritmul este negativ, deci pe alt interval modulul chiar ar fi contat. A doua capcană este $\ln e=1$, care se folosește de două ori aici.)

c) (5 p) Se pornește din membrul stâng, scriind constanta $p+1$ sub integrală și înmulțind cu $t\cdot \frac{1}{t}$, adică cu unu: $$(p+1){\int }_1^x{f}^p(t)dt={\int }_1^{x}t\cdot (p+1)\cdot f^p(t)\cdot \frac{1}{t}dt\text{(1 p)}.$$ Expresia de sub integrală este acum derivata funcției $t\mapsto {\ln }^{p+1}t$, înmulțită cu $t$; se integrează prin părți, luând $u={\ln }^{p+1}t$ și $v=t$: $$={\int }_1^{x}t\cdot {\left({\ln }^{p+1}t\right)}^{\prime }dt=t{\ln }^{p+1}t{|}_1^x-{\int }_1^x{\ln }^{p+1}tdt=x{\ln }^{p+1}x-{\int }_1^x{\ln }^{p+1}tdt\text{(3 p)}.$$ Termenul din capătul de jos se anulează, fiindcă $\ln 1=0$. Trecând ultima integrală în membrul stâng: $$(p+1){\int }_1^x{f}^p(t)dt+{\int }_1^x{f}^{p+1}(t)dt=x{\ln }^{p+1}x=x{f}^{p+1}(x)\text{(1 p)}.$$ (Cheia este derivata ${\left(t{\ln }^{p+1}t\right)}^{\prime }={\ln }^{p+1}t+(p+1){\ln }^{p}t$: integrând-o de la $1$ la $x$ se obține direct identitatea cerută. Condiția $x\ge 1$ asigură $\ln t\ge 0$ pe intervalul de integrare, deci puterea ${\ln }^{p}t$ are sens și pentru $p$ neîntreg. Control numeric: pentru $x=3$ și $p=2$, membrul stâng dă $3\cdot (\ln 3{)}^3\approx 3,9779$, iar cele două integrale calculate numeric dau $3\cdot 1,02917+0,89039\approx 3,9779$. Unde se greșește de obicei: se citește $f^p(t)$ ca funcția compusă cu ea însăși de $p$ ori; aici $p$ este un număr real strict pozitiv oarecare, deci notația nu poate însemna decât puterea $(\ln t{)}^p$.)