Bac M1 2012, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2012 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare înaintea sesiunilor examenului de bacalaureat din 2012. Modelul nu este o variantă extrasă la examen — el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model" — și are rolul de a arăta elevilor structura, tipurile de cerințe și nivelul de dificultate ale probei din acel an. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Mulțimi și inecuații cu modul: rezolvarea inecuației $|u|\le a$ și numărarea soluțiilor întregi — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția unei drepte cu o parabolă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea: ridicarea la cub și factorizarea — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: combinări și regula produsului la alegerea unei submulțimi cu structură impusă — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, panta perpendicularei și ecuația mediatoarei — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ și alegerea semnului după cadran — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare omogene: determinantul matricei sistemului, condiția de soluție nenulă și rangul matricei — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: asociativitate, element neutru și o ecuație cu compunerea triplă — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: limite la infinit, monotonie din semnul derivatei și discuția numărului de soluții după tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: calculul unui termen, convergența dintr-un șir monoton și mărginit și o relație de recurență prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2012. Modelul este vizibil mai greu decât subiectele de examen ale anilor următori: la Subiectul I, patru din șase cerințe au trei rânduri de barem, nu două, semn că fiecare cere un lanț de trei pași. Subiectul al II-lea anunță un sistem liniar omogen — nu o simplă matrice cu parametru —, cu discuție de determinant, de existență a soluțiilor nenule și de rang, o noțiune de clasa a XI-a care apare rar în subiectele de bacalaureat. Subiectul al III-lea nu conține nicio arie și nicio asimptotă: problema 1 este un studiu de funcție cu discuție după parametru, iar problema 2 este un lanț complet de șir de integrale — calcul, convergență prin monotonie și mărginire, recurență prin integrare prin părți. Mesajul modelului este limpede: la M1 se cere raționament pe lanțuri lungi, nu formule aplicate o dată.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau intervale de forma $(0,4)$. Modelul precizează, în plus față de subiectele de examen, că la toate subiectele se cer rezolvări complete.
• Redactare: la Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: numărul de elemente al unei mulțimi de întregi dat fără dubla inegalitate; punctele de intersecție date numai prin abscise, fără ordonate; semnul lui $\sin x$ ales fără să se invoce cadranul; concluzia „sistemul nu are soluții pozitive" fără trecerea prin $\Delta =0$; convergența afirmată fără amândouă ipotezele — monotonia și mărginirea.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Modul: $|u|\le a⟺-a\le u\le a$; numărul întregilor din $[p,q]$ este $q-p+1$. Intersecția a două grafice: se egalează expresiile, se rezolvă ecuația, apoi se calculează și ordonatele. Ecuații cu radical de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=v⟺u=v^3$ — ridicarea la cub este echivalentă, fără condiții de semn. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, iar alegerile independente se înmulțesc. Mediatoarea: trece prin mijlocul segmentului și are panta $-\frac{1}{m_{AB}}$. Trigonometrie: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, iar semnul lui $\sin x$ se alege după cadran.
• Sisteme liniare omogene: un sistem omogen are întotdeauna soluția nulă; el are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este $0$. Rangul este ordinul celui mai mare minor nenul: dacă $\det \ne 0$, rangul este $3$; dacă matricea are toate liniile proporționale și nu e nulă, rangul este $1$.
• Legi de compoziție: asociativitatea se verifică scriind amândouă produsele, $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$, și comparându-le; elementul neutru $e$ se caută din $x\ast e=e\ast x=x$, ecuație care trebuie să fie adevărată pentru orice $x$.
• Studiul funcției: $f^{\prime }\le 0$ pe un interval $⟹$ $f$ descrescătoare acolo; numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$ se citește din tabloul de variație, comparând $m$ cu valorile extreme locale.
• Șiruri de integrale: teorema lui Weierstrass — orice șir monoton și mărginit este convergent; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; comparația $I_n-I_{n+1}={\int }_a^b(\dots )\ge 0$ dă monotonia fără să calculezi termenii.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește două mulțimi diferite: la itemul $1$ este mulțimea $\{x\in \mathbb{Z}\mid |x+1|\le 24\}$, iar la itemul $4$ este mulțimea $\{1,2,\dots ,10\}$. Așa este scris modelul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $m$ apare în două roluri: parametrul sistemului de la itemul $7$ (unde ea intră în coeficienți) și parametrul din membrul drept al ecuației $f(x)=m$ de la itemul $9$c) (unde ea este valoarea căutată a funcției). Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $e$ de la itemul $8$b) înseamnă elementul neutru al legii de compoziție, nu numărul lui Euler; în această probă baza logaritmului natural nu apare deloc. Tot la itemul $8$, semnul $\ast$ este cel tipărit în model — la noi aceasta este și notația casei pentru o lege de compoziție oarecare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid |x+1|\le 24\}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei $y=2x-1$ cu parabola $y=2x^2-3x+1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația $\sqrt[3]{1+7x}=1+x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,\dots ,10\}$. Determinați numărul de submulțimi cu $3$ elemente ale mulțimii $A$, submulțimi care conțin exact $2$ numere impare.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați ecuația mediatoarei segmentului $[AB]$, unde $A(1,-2)$ și $B(3,4)$.

Itemul 6 (5 puncte)

Știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos 2x=\frac{1}{3}$, calculați $\sin x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+my+m^{2}z=0\\ mx+m^{2}y+z=0\\ m^{2}x+y+mz=0\end{array},\text{ unde }m\in \mathbb{R}.$$

a) (5 puncte) Determinați valorile lui $m$ pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

b) (5 puncte) Arătați că, pentru nicio valoare a lui $m$, sistemul nu are o soluție $(x_0,y_0,z_0)$ cu $x_0$, $y_0$, $z_0$ numere reale strict pozitive.

c) (5 puncte) Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de $2$, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1)$.

a) (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „$\ast$" este asociativă.

b) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$" admite element neutru.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația $x\ast x\ast x=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f(-x)}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $[-1,1]$.

c) (5 puncte) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are trei soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$, $I_n={\int }_0^1(1-x^2{)}^{n}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este convergent.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(2n+1)I_n=2n{I}_{n-1}$, pentru orice $n\ge 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numărul elementelor unei mulțimi de întregi.

Inecuația cu modul se desface în dublă inegalitate: $|u|\le a$ înseamnă că $u$ se află între $-a$ și $a$. Cu $u=x+1$ și $a=24$: $$-24\le x+1\le 24\text{(2 p)}.$$ Scăzând $1$ din toți cei trei membri, $$-25\le x\le 23\text{(1 p)}.$$ Numărul întregilor dintr-un interval închis este „ultimul minus primul plus unu", deci $$\mathrm{card}A=23-(-25)+1=49\text{(2 p)}.$$

(Control: mulțimea este $\{-25,-24,\dots ,22,23\}$; ea are $25$ numere negative, numărul $0$ și $23$ numere pozitive, adică $25+1+23=49$ elemente. Unde se greșește de obicei: se scrie doar $x+1\le 24$, uitând jumătatea negativă a modulului; sau se numără $23-(-25)=48$, uitând „plus unu" — capetele se numără amândouă.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția unei drepte cu o parabolă.

Un punct comun are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele curbe, deci se egalează expresiile: $$2x-1=2x^2-3x+1\text{(1 p)}.$$ Trecând totul în dreapta, $2x^2-5x+2=0$, cu $\Delta =25-16=9$ și $\sqrt{\Delta }=3$, deci $$x_1=\frac{5+3}{4}=2,x_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Ordonatele se calculează cu ecuația dreptei, care e mai simplă: $y=2\cdot 2-1=3$, respectiv $y=2\cdot \frac{1}{2}-1=0$. Punctele de intersecție sunt $$(2,3)\text{ și }\left(\frac{1}{2},0\right)\text{(2 p)}.$$

(Control pe parabolă: $2\cdot 4-3\cdot 2+1=3$ și $2\cdot \frac{1}{4}-\frac{3}{2}+1=0$ — aceleași ordonate, deci punctele sunt într-adevăr pe amândouă curbele. Unde se greșește de obicei: se opresc calculele la abscise; enunțul cere coordonatele punctelor, deci și ordonatele. A doua capcană: se calculează ordonatele cu formula parabolei, care are mai mult calcul, deși dreapta dă același rezultat mai repede.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație cu radical de ordinul al treilea.

Ridicarea la cub este o transformare echivalentă — funcția $t\mapsto t^3$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$ —, deci nu apar soluții străine și nu sunt necesare condiții de semn: $$1+7x=(1+x{)}^3=1+3x+3x^2+x^3\text{(1 p)}.$$ Reducând $1$ din ambii membri și trecând totul în dreapta se obține o ecuație de gradul al treilea fără termen liber, deci $x$ se dă factor comun: $$x^3+3x^2-4x=0⟺x(x^2+3x-4)=0\text{(1 p)}.$$ Trinomul $x^2+3x-4$ are rădăcinile $1$ și $-4$, deci soluțiile ecuației sunt $${\mathbf{x}}_1=0,{\mathbf{x}}_2=1,{\mathbf{x}}_3=-4\text{(3 p)}.$$

(Verificare pe fiecare: pentru $x=0$, $\sqrt[3]{1}=1$; pentru $x=1$, $\sqrt[3]{8}=2$; pentru $x=-4$, $\sqrt[3]{-27}=-3$ — toate se potrivesc cu $1+x$. De aceea nu e nevoie de verificare formală: spre deosebire de radicalul de ordin par, cel de ordin impar este definit și pentru numere negative, iar ridicarea la cub nu adaugă soluții. Unde se greșește de obicei: se impune condiția $1+7x\ge 0$, ca la radicalul de ordinul al doilea — ea nu există aici și ar tăia greșit soluția $x=-4$.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică pe submulțimi cu structură impusă.

În mulțimea $A=\{1,2,\dots ,10\}$ sunt $5$ numere impare ($1,3,5,7,9$) și $5$ numere pare ($2,4,6,8,10$). O submulțime cu $3$ elemente și exact $2$ numere impare se construiește în două alegeri independente. Cele două numere impare se aleg din cele cinci în $$C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10\text{ moduri}\text{(2 p)}.$$ Al treilea element trebuie să fie par, deci se alege din cele cinci numere pare în $5$ moduri (1 p).

Alegerile fiind independente, numărul total se obține prin înmulțire: $$10\cdot 5=50\text{ submulțimi}\text{(2 p)}.$$

(De ce „exact $2$" înseamnă că al treilea element este par: submulțimea are trei elemente, dintre care două impare, deci al treilea nu poate fi impar. Control: numărul total de submulțimi cu trei elemente este $C_{10}^3=120$, iar cele $50$ găsite reprezintă mai puțin de jumătate — plauzibil. Unde se greșește de obicei: se folosește aranjamentul $A_5^2=20$ în loc de combinarea $C_5^2=10$; într-o submulțime ordinea nu contează.)

Itemul 5. (5 p) — ecuația mediatoarei unui segment.

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe el. Mijlocul lui $[AB]$ are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{1+3}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=M(2,1)\text{(1 p)}.$$ Panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=\frac{4-(-2)}{3-1}=\frac{6}{2}=3$, iar două drepte perpendiculare au pantele cu produsul $-1$, deci mediatoarea are panta $-\frac{1}{3}$ (2 p).

Scriind ecuația dreptei care trece prin $M(2,1)$ cu această pantă, $y-1=-\frac{1}{3}(x-2)$, se obține $$y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\text{(2 p)}.$$

(Control: mijlocul $M(2,1)$ verifică ecuația, pentru că $-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=1$. Al doilea control, mai puternic: mediatoarea este locul punctelor egal depărtate de $A$ și de $B$, iar $MA=MB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dreptei $AB$ în loc de a mediatoarei, sau se ia panta perpendicularei ca $-3$ în loc de $-\frac{1}{3}$ — regula este „răstoarnă și schimbă semnul".)

Itemul 6. (5 p) — sinusul dintr-un cosinus de unghi dublu.

Dintre cele trei forme ale cosinusului unghiului dublu se alege cea care conține numai sinusul: $$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ Rezultă $2{\sin }^{2}x=\frac{2}{3}$, adică ${\sin }^{2}x=\frac{1}{3}$, deci $$\sin x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\text{(2 p)}.$$ Cum $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, adică $x$ este în primul cadran, sinusul este pozitiv; se păstrează doar valoarea pozitivă: $$\sin \mathbf{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5774$, deci $x\approx 0,6155$ radiani, iar $\cos (2\cdot 0,6155)\approx 0,3333$ — exact $\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se folosește forma $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ și se ajunge la $\cos x$, care nu e cerut; sau se păstrează ambele semne, deși intervalul din enunț alege unul singur. Acesta este exact rolul condiției $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ — fără ea, problema ar avea două răspunsuri.)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar omogen cu parametru.

a) (5 p) Matricea sistemului are pe linii coeficienții necunoscutelor, în ordinea $x$, $y$, $z$. Determinantul ei se calculează cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}\Delta & =\left|\begin{array}{ccc}1& m& m^2\\ m& m^2& 1\\ m^2& 1& m\end{array}\right|\\ & =m^3+m^3+m^3-m^6-1-m^3\\ & =-(m^3-1{)}^2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un pătrat este nul doar când baza lui este nulă, deci $\Delta =0⟺m^3=1$; singurul număr real cu cubul $1$ este $1$, deci $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Control numeric: pentru $m=2$ formula dă $-(8-1{)}^2=-49$, iar calculul direct al determinantului dă tot $-49$. Unde se greșește de obicei: se desface $-(m^3-1{)}^2$ și se caută rădăcinile ecuației de gradul al șaselea $m^6-2m^3+1=0$ — mult mai greu decât recunoașterea pătratului perfect. A doua capcană: se dau și rădăcinile complexe ale lui $m^3=1$, deși enunțul cere $m$ real.)

b) (5 p) Sistemul este omogen: toți termenii liberi sunt $0$, deci $(0,0,0)$ este întotdeauna soluție. Dacă ar exista o soluție $(x_0,y_0,z_0)$ cu toate componentele strict pozitive, ea ar fi o soluție nenulă, iar un sistem omogen are soluții nenule doar când determinantul se anulează: $$\begin{array}{rl}& \text{daca˘ sistemul are soluții nenule, atunci }\Delta \\ & =0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Din subpunctul a), $\Delta =0$ înseamnă $m=1$; înlocuind, toate cele trei ecuații devin identice și sistemul se reduce la $$x+y+z=0\text{(1 p)}.$$ Suma a trei numere strict pozitive este strict pozitivă, deci nu poate fi zero: această ecuație nu are soluții cu toate componentele strict pozitive (2 p). Prin urmare, pentru nicio valoare a lui $m$ sistemul nu are o astfel de soluție.

(Baremul oficial trece direct de la $\Delta =0$ la ecuația $x+y+z=0$, fără să scrie că $\Delta =0$ înseamnă $m=1$ și că atunci cele trei ecuații coincid; noi scriem pasul, fără punctaj, pentru că el este veriga logică dintre cele două rânduri. Structura demonstrației este prin reducere la absurd: se presupune că ar exista o astfel de soluție și se ajunge la o imposibilitate. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea sistemului pentru fiecare $m$ — drum lung și fără capăt; argumentul corect folosește o singură proprietate a sistemelor omogene.)

c) (5 p) Se discută după valoarea parametrului. Pentru $m=1$ toate cele nouă elemente ale matricei sunt egale cu $1$, deci toate liniile sunt identice; matricea nu este nulă, dar orice minor de ordinul al doilea are două linii egale și se anulează, așa că rangul este $1$ (2 p).

Pentru $m\ne 1$ avem $\Delta =-(m^3-1{)}^2\ne 0$, deci minorul de ordinul al treilea este nenul și rangul este $3$ (3 p). În ambele cazuri rangul este diferit de $2$, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

(De ce nu mai există alt caz: rangul unei matrice de ordinul al treilea poate fi $0$, $1$, $2$ sau $3$; aici matricea nu e niciodată nulă, pentru că are mereu elementul $1$ în colțul din stânga sus, iar discuția de mai sus acoperă toate valorile parametrului. Control: pentru $m=1$ matricea are toate liniile egale cu $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)$, deci rangul nu poate depăși $1$. Unde se greșește de obicei: se spune „rangul este $3$ pentru $\Delta \ne 0$" și se uită complet cazul $m=1$, tocmai cel interesant. Noțiunea de rang este de clasa a XI-a și apare rar în subiectele de bacalaureat.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se calculează ambele compuneri triple. Trucul care scurtează totul este scrierea translatată: cum $x+y-xy+1=2-(x-1)(y-1)$, avem $x\ast y=1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}$, deci $x\ast y-1=-\frac{(x-1)(y-1)}{2}$. Aplicând regula de două ori: $$(x\ast y)\ast z=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1\text{ și }x\ast (y\ast z)=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1\text{(4 p)}.$$ Cele două expresii coincid pentru orice numere reale $x$, $y$, $z$, deci legea este asociativă (1 p).

(De ce iese simetric: expresia $\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1$ nu se schimbă dacă permuți literele, deci nici rezultatul compunerii nu depinde de ordinea parantezelor. Control numeric: $(2\ast 3)\ast 4=\left(\frac{2+3-6+1}{2}\right)\ast 4=0\ast 4=\frac{0+4-0+1}{2}=\frac{5}{2}$, iar formula dă $\frac{1}{4}\cdot 1\cdot 2\cdot 3+1=\frac{6}{4}+1=\frac{5}{2}$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se calculează doar $(x\ast y)\ast z$ și se declară asociativitatea; enunțul cere comparația celor două expresii. Acesta este singurul subpunct al probei cu repartiția $4+1$ — aproape tot punctajul stă pe calcul, iar concluzia valorează un singur punct.)

b) (5 p) Prin definiție, elementul neutru este un număr $e$ cu proprietatea că $$x\ast e=e\ast x=x,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$ Se scrie prima egalitate și se aduce la o formă factorizată: $\frac{x+e-xe+1}{2}=x$ înseamnă $x+e-xe+1=2x$, adică $e-xe+1-x=0$, adică $$(e+1)(x-1)=0,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}⟹\mathbf{e}=-1\text{(3 p)}.$$ Se verifică și cealaltă jumătate: $(-1)\ast x=\frac{-1+x+x+1}{2}=\frac{2x}{2}=x$, pentru orice $x$ real (1 p).

(Atenție la cuvântul „pentru orice": ecuația $(e+1)(x-1)=0$ este adevărată pentru $x=1$ oricare ar fi $e$ — dar noi avem nevoie de o valoare a lui $e$ care să meargă la toți $x$, deci trebuie ca primul factor să se anuleze. Aici, litera $e$ înseamnă element neutru, nu numărul lui Euler. Control: $5\ast (-1)=\frac{5-1+5+1}{2}=5$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația în $x$ și se răspunde „$x=1$", deși necunoscuta este $e$.)

c) (5 p) Se folosește formula de la subpunctul a), cu $x=y=z$: $$x\ast x\ast x=\frac{1}{4}(x-1{)}^3+1=\frac{x^3-3x^2+3x+3}{4}\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $x^3-3x^2+3x+3=12$, adică $x^3-3x^2+3x-9=0$; grupând, $x^2(x-3)+3(x-3)=0$, deci $$(x-3)(x^2+3)=0⟹\mathbf{x}=3\text{(3 p)},$$ pentru că al doilea factor, $x^2+3$, este strict pozitiv pentru orice număr real $x$ și nu se poate anula niciodată.

(Control: $3\ast 3=\frac{3+3-9+1}{2}=-1$, iar $(-1)\ast 3=3$ — într-adevăr $3$, pentru că $-1$ este elementul neutru găsit la subpunctul b). Aceasta este și o verificare a subpunctului b). Unde se greșește de obicei: se dezvoltă $(x-1{)}^3$ greșit, cu semnele $+3x^2$ și $-3x$; formula corectă este $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$. A doua capcană: se scrie „ecuația de gradul al treilea are trei soluții" — are trei rădăcini complexe, dar numai una reală, iar enunțul cere rezolvarea în $\mathbb{R}$.)

Itemul 9. (15 p) — studiul unei funcții polinomiale de gradul al treilea.

a) (5 p) Se scrie întâi funcția în $-x$, cu grijă la semnele puterilor impare: $$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2\text{(2 p)}.$$ Raportul este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, cu grade egale la numărător și la numitor, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{1}{-1}$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-3x+2}{-x^3+3x+2}=-1\text{(3 p)}.$$

(Justificarea în detaliu: se dă factor comun $x^3$ sus și jos, iar $\frac{1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{-1+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}\to \frac{1}{-1}=-1$. Control numeric: pentru $x=10^8$ raportul dă $-1,0000000$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(-x)=-f(x)$, ca și cum funcția ar fi impară — termenul liber $+2$ nu își schimbă semnul, deci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă ar fi fost impară, limita ar fi ieșit tot $-1$, dar din alt motiv; aici motivul corect este comparația gradelor.)

b) (5 p) Monotonia se citește din semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\in [-1,1]$ avem $x^2\le 1$, deci $x^2-1\le 0$ și prin urmare $$f^{\prime }(x)\le 0,\text{ pentru orice }x\in [-1,1]⟹f\text{este descresca˘toare pe }[-1,1]\text{(3 p)}.$$

(De ce „descrescătoare" și nu „strict descrescătoare": derivata se anulează în capetele $-1$ și $1$, dar este strict negativă în interior, deci funcția este de fapt strict descrescătoare pe tot intervalul — enunțul cere însă doar descrescătoare, iar semnul $\le$ este suficient. Control numeric: $f(-1)=4$, $f(0)=2$, $f(1)=0$ — valorile chiar scad. Unde se greșește de obicei: se calculează derivata corect, dar se uită să se spună de ce este negativă tocmai pe $[-1,1]$; propoziția „pentru că $x^2\le 1$ pe acest interval" este partea punctată.)

c) (5 p) Se strâng informațiile despre variația funcției: din subpunctul b), $f^{\prime }$ se anulează în $-1$ și în $1$, iar valorile extreme locale și comportarea la infinit sunt $$f(1)=0,f(-1)=4,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty \text{(2 p)}.$$ Funcția crește de la $-\infty$ la $4$ (maximul local, în $x=-1$), scade de la $4$ la $0$ (minimul local, în $x=1$), apoi crește de la $0$ la $+\infty$. O dreaptă orizontală $y=m$ taie graficul în trei puncte exact când trece între cele două valori extreme, deci ecuația $f(x)=m$ are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă $$\mathbf{m}\in (0,4)\text{(3 p)}.$$

(De ce capetele se exclud: pentru $m=4$ sau $m=0$ dreapta este tangentă graficului într-un punct de extrem, iar acolo două dintre soluții se contopesc — rămân doar două soluții distincte, nu trei. Control numeric: pentru $m=2$, ecuația $x^3-3x=0$ are soluțiile $-\sqrt{3}$, $0$ și $\sqrt{3}$, adică trei; pentru $m=5$ căutarea numerică a schimbărilor de semn găsește o singură soluție, iar pentru $m=-1$ tot una. Unde se greșește de obicei: se scriu intervalele închise, $m\in [0,4]$, sau se inversează capetele, uitând că maximul local, $4$, este valoarea din stânga a variației.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale.

a) (5 p) Pentru $n=2$ integrandul se desface după formula pătratului unei diferențe, $(1-x^2{)}^2=1-2x^2+x^4$, iar integrala se rupe în trei: $$I_2={\int }_0^{1}1dx-2{\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_0^1{x}^{4}dx\text{(1 p)}.$$ Fiecare primitivă este imediată: $$I_2=\left(x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele și aducând la numitorul comun $15$: $$I_2=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15-10+3}{15}=\frac{8}{15}\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{8}{15}\approx 0,5333$, iar integrala calculată numeric dă $0,53333$. Al doilea control, de plauzibilitate: integrandul $(1-x^2{)}^2$ ia valori între $0$ și $1$ pe $[0,1]$, deci integrala trebuie să fie între $0$ și $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1-x^2{)}^2=1-x^4$, uitând dublul produs; sau se integrează „lăsând puterea în pace", ca și cum $\int (1-x^2{)}^{2}dx$ ar fi $\frac{(1-x^2{)}^3}{3}$ — formula puterii cere derivata bazei ca factor, iar aici ea lipsește.)

b) (5 p) Convergența se obține din teorema lui Weierstrass, care cere două lucruri: monotonie și mărginire. Pentru monotonie se scade termenul următor din cel curent, punând cele două integrale una peste alta: $$I_n-I_{n+1}={\int }_0^1\left[\right(1-x^2{)}^n-(1-x^2{)}^{n+1}]dx={\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n}dx\ge 0,$$ $$\text{deci șirul este descresca˘tor}\text{(3 p)}.$$ Pentru mărginire: integrandul $(1-x^2{)}^n$ este nenegativ pe $[0,1]$, deci $I_n\ge 0$ — șirul este mărginit inferior (1 p).

Fiind descrescător și mărginit inferior, șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este convergent (1 p).

(De ce se dă factor comun așa: $(1-x^2{)}^n-(1-x^2{)}^{n+1}=(1-x^2{)}^n[1-(1-x^2)]=x^2(1-x^2{)}^n$, iar pe $[0,1]$ atât $x^2$, cât și $1-x^2$ sunt nenegative, deci integrandul este nenegativ și integrala la fel. Control numeric: $I_1\approx 0,6667$, $I_2\approx 0,5333$, $I_3\approx 0,4571$ — șirul chiar scade și rămâne pozitiv. Unde se greșește de obicei: se demonstrează doar monotonia și se declară convergența; teorema cere amândouă ipotezele. A doua capcană: se caută limita șirului, deși enunțul cere doar existența ei.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, luând $u=(1-x^2{)}^n$ și $v^{\prime }=1$, deci $v=x$: $$I_n=x(1-x^2{)}^n{|}_0^1-n{\int }_0^{1}x(1-x^2{)}^{n-1}(-2x)dx\text{(2 p)}.$$ Termenul din afara integralei se anulează la ambele capete. La integrala rămasă se scrie $x^2=-\left[\right(1-x^2)-1]$, ca să apară două integrale din familia $I$: $$I_n=-2n{\int }_0^1\left[\right(1-x^2)-1](1-x^2{)}^{n-1}dx\text{(1 p)}.$$ Desfăcând paranteza, prima integrală este $I_n$, iar a doua este $I_{n-1}$: $$I_n=-2n{I}_n+2n{I}_{n-1}⟹(2n+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=2n{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}-1},\text{ pentru orice }n\ge 2\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: pentru $n=2$ relația dă $5I_2=4I_1$, adică $5\cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{3}$ și $4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ — se potrivesc; pentru $n=3$, $7I_3=6I_2$, adică $3,2=3,2$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul din $(-2x)$, care vine din derivata lui $1-x^2$; sau se opresc calculele la $I_n=2n{\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n-1}dx$, fără să se recunoască acolo combinația $I_{n-1}-I_n$. Legătura cu subpunctul b): relația de recurență dă $\frac{I_n}{I_{n-1}}=\frac{2n}{2n+1}<1$, adică încă o dovadă că șirul este descrescător.)