Bac M1 2012, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2012 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică, în sesiunea specială 2012 a examenului de bacalaureat — Varianta 7. Sesiunea specială se organizează pentru elevii care participă la olimpiade și concursuri internaționale în perioada sesiunii obișnuite; subiectele au aceeași structură și același barem ca cele de la sesiunile ordinare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Mulțimi și ecuația de gradul al doilea: egalitatea a două mulțimi și rădăcina dublă a unui trinom — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Inecuație exponențială cu logaritm în exponent: identitatea $a^{{\log }_{a}t}=t$ și monotonia exponențialei — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre cu ambele cifre impare — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate a doi vectori dați pe componente — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: aria unui triunghi isoscel și raza cercului circumscris, $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice cu elemente complexe: determinant, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ și o ecuație matriceală cu puterea $2012$ — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Grupuri: element neutru, simetrizabilitate pe un interval și izomorfism de grupuri — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: o limită cu regula lui l'Hôpital, convexitatea din semnul derivatei a doua și monotonia unei funcții compuse — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: două integrale elementare și legătura dintre două șiruri, printr-o schimbare de variabilă — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2012. Proba pentru olimpici arată exact ca o probă obișnuită la Subiectul I — șase cerințe scurte, fiecare cu trei rânduri de barem — și devine ambițioasă abia de la Subiectul al II-lea. Acolo, problema 1 lucrează în ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$, cu matrice care conțin unitatea imaginară, iar formula $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ transformă ridicarea la puterea $2012$ într-o simplă înmulțire a unghiului. Problema 2 este cea mai completă problemă de structuri algebrice din anii aceștia: element neutru, simetrizabilitate și, la subpunctul c), un izomorfism de grupuri. Subiectul al III-lea are ca fir roșu funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ — folosită pentru o limită, pentru convexitate și pentru o compunere cu radicalul —, iar problema 2 leagă două șiruri de integrale printr-o schimbare de variabilă trigonometrică. Aproape nicăieri nu se cere un calcul lung; se cere, în schimb, să vezi structura.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{k\pi }{1006}$.
• Redactare: la Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: valoarea lui $m$ de la itemul $1$ dată fără verificarea egalității mulțimilor; inecuația de la itemul $3$ rezolvată fără condiția de existență $x>0$; elementul neutru verificat pe o singură parte; simetricul găsit fără să se arate că el rămâne în mulțimea $G$; izomorfismul demonstrat fără bijectivitate; ecuația $(A(x){)}^{2012}=I_3$ rezolvată fără a se scrie mulțimea tuturor soluțiilor, indexate după $k$ întreg.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Mulțimi: două mulțimi sunt egale când au exact aceleași elemente; o ecuație de gradul al doilea are mulțimea soluțiilor formată dintr-un singur număr exact când $\Delta =0$. Vârful parabolei: $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Logaritmi: $a^{{\log }_{a}t}=t$, pentru $t>0$; exponențiala de bază supraunitară este strict crescătoare, deci $a^u<a^v⟺u<v$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Coliniaritate: vectorii $x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ și $x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ sunt coliniari dacă și numai dacă $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. Raza cercului circumscris: $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$, unde $\mathcal{S}$ este aria triunghiului.
• Matrice: $\det (A)=\det (A)$ se calculează la fel și cu elemente complexe, ținând minte că $i^2=-1$; dintr-o relație $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ rezultă, prin inducție, $(A(x){)}^n=A(nx)$.
• Grupuri: elementul neutru $e$ verifică $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; un element $x$ este simetrizabil dacă există $x^{\prime }$ în aceeași mulțime cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$; un izomorfism de grupuri este o funcție bijectivă care satisface $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ — ambele condiții se scriu.
• Studiul funcției: o funcție este convexă pe un interval dacă $f^{\prime \prime }\ge 0$ acolo; pentru o compunere, $(f(u){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$, cu $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; schimbarea de variabilă $\sin x=t$ transformă $\cos xdx$ în $dt$, iar capetele $0$ și $\frac{\pi }{2}$ în $0$ și $1$; primitiva de tip putere, $\int u^{\prime }{u}^{\alpha }dx=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+\mathcal{C}$.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ apare cu două înțelesuri: la itemul $8$a) ea este elementul neutru al legii de compoziție și valorează $\frac{1}{2}$; la itemii $9$ și $10$ ea este numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Contextul le separă fără ambiguitate, dar la examen se recomandă să spui explicit care este care.
• Notația $I$ apare tot cu două înțelesuri: $I_3$ de la itemul $7$ este matricea unitate de ordinul al treilea, iar $I_n$ de la itemul $10$ este al $n$-lea termen al unui șir de integrale. Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $i$ apare de asemenea de două ori: la itemul $5$ ea este versorul axei $Ox$, scris $\vec{i}$, iar la itemul $7$ este unitatea imaginară, cu $i^2=-1$. Săgeata de deasupra este singura deosebire grafică.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-3x+2$ de la itemul $2$, izomorfismul $f(x)=\frac{1}{x}-1$ de la itemul $8$c) și funcția $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ de la itemul $9$. Fiecare item se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ nu este compunerea funcțiilor: el denumește legea de compoziție de pe mulțimea $G=(0,1)$. Așa a fost tipărit în subiectul oficial și așa l-am transcris; la noi, o lege de compoziție oarecare se notează de obicei $\ast$, dar când o probă oficială folosește alt semn, păstrăm semnul din enunț.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ știind că mulțimile $A=\{2\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2+mx+4=0\}$ sunt egale.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $3^{{\log }_{3}x}<1$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare unul dintre numerele naturale de $2$ cifre, acesta să fie format doar din cifre impare.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=3\vec{i}+a\vec{j}$ și $\vec{v}=a\vec{i}+(2a-3)\vec{j}$ sunt coliniari.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$, știind că $AB=AC=5$ și $BC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

În ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}\cos x& 0& i\sin x\\ 0& 1& 0\\ i\sin x& 0& \cos x\end{array}\right)$, unde $x\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(\pi ))$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A(x){)}^{2012}=I_3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $G=(0,1)$ se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

b) (5 puncte) Arătați că orice element din mulțimea $G$ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Demonstrați că $f:G\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $(G,\circ )$ la grupul $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{f(x)}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numerele $I_n={\int }_0^1{x}^n\cdot \sqrt{1-x^2}dx$ și $J_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx$.

a) (5 puncte) Calculați $J_1$.

b) (5 puncte) Calculați $I_1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $J_{2n}-J_{2n+2}=I_{2n}$ pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — egalitatea a două mulțimi.

Mulțimile $A$ și $B$ sunt egale, iar $A$ conține un singur element, pe $2$. Prin urmare $2$ trebuie să fie soluție a ecuației $x^2+mx+4=0$; înlocuind, $$4+2m+4=0⟹\mathbf{m}=-4\text{(3 p)}.$$ Rămâne de verificat că mulțimea $B$ nu are și alte elemente. Pentru $m=-4$ ecuația devine $x^2-4x+4=(x-2{)}^2=0$, cu $\Delta =16-16=0$, deci rădăcina $2$ este dublă și $B=\{2\}$; cele două mulțimi sunt într-adevăr egale (2 p).

(De ce verificarea este obligatorie: condiția „$2$ este soluție" spune doar că $A\subseteq B$; egalitatea cere și incluziunea inversă, adică absența altor soluții. Control cu relațiile lui Viète: dacă ambele rădăcini sunt $2$, atunci suma lor este $4=-m$ și produsul $4=4$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea la $m=-4$, fără să se arate că mulțimea $B$ nu conține și un al doilea număr.)

Itemul 2. (5 p) — vârful unei parabole.

Parabola are ecuația $y=x^2-3x+2$, deci $a=1$, $b=-3$, $c=2$. Abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $$\Delta =b^2-4ac=9-8=1\text{(1 p)},$$ iar ordonata vârfului se obține din el: $$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4}\text{(2 p)},$$ deci vârful este $\mathbf{V}\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right)$.

(Control pe celălalt drum: $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}$ — aceeași valoare. Al doilea control: rădăcinile sunt $1$ și $2$, iar mijlocul lor este $\frac{3}{2}$, exact abscisa vârfului. Unde se greșește de obicei: se scrie $y_V=-\frac{\Delta }{4}$, fără $a$ la numitor — aici $a=1$, deci greșeala nu se vede, dar la alt coeficient dominant ar strica rezultatul.)

Itemul 3. (5 p) — inecuație exponențială cu logaritm în exponent.

Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive, deci prima linie a rezolvării este condiția de existență: $$x>0\text{(2 p)}.$$ Se scrie $1=3^0$ și se compară cele două puteri; funcția exponențială de bază $3$ fiind strict crescătoare, inegalitatea se transferă la exponenți, iar $3^{{\log }_{3}x}=x$: $$3^{{\log }_{3}x}<3^0⟺x<1\text{(2 p)}.$$ Intersectând cu condiția de existență, mulțimea soluțiilor este $$\mathbf{x}\in (0,1)\text{(1 p)}.$$

(Cele două drumuri duc în același loc: fie folosești direct identitatea $a^{{\log }_{a}t}=t$, care dă $x<1$; fie compari exponenții, ${\log }_{3}x<0$, ceea ce înseamnă tot $x<1$. Control numeric: pentru $x=\frac{1}{2}$ expresia dă $3^{{\log }_{3}0,5}=0,5<1$; pentru $x=2$ dă $2>1$. Unde se greșește de obicei: se uită condiția $x>0$ și se răspunde $x\in (-\infty ,1)$ — dar pentru $x$ negativ expresia nici nu are sens.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe numerele de două cifre.

Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Numerele $\overline{ab}$ cu ambele cifre impare au $a\in \{1,3,5,7,9\}$ și $b\in \{1,3,5,7,9\}$; cele două alegeri sunt independente, deci sunt $5\cdot 5=25$ de numere favorabile (2 p).

Numerele naturale de două cifre au $a\in \{1,2,\dots ,9\}$ și $b\in \{0,1,\dots ,9\}$, deci sunt $9\cdot 10=90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\text{(1 p)}.$$

(Observație: cifra zecilor nu poate fi $0$ — dar cum $0$ nu este oricum cifră impară, condiția nu taie nimic din cazurile favorabile. Control numeric: $\frac{5}{18}\approx 0,278$, adică puțin peste un sfert; plauzibil, de vreme ce jumătate dintre cifre sunt impare, iar restricția se aplică de două ori. Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră.)

Itemul 5. (5 p) — coliniaritatea a doi vectori.

Doi vectori nenuli sunt coliniari exact atunci când componentele lor sunt proporționale: $$\frac{3}{a}=\frac{a}{2a-3}\text{(2 p)}.$$ Înmulțind în cruce, $3(2a-3)=a^2$, adică $6a-9=a^2$; trecând totul într-un membru, $$a^2-6a+9=0\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este pătratul perfect $(a-3{)}^2$, deci ecuația are rădăcina dublă $$\mathbf{a}=3\text{(1 p)}.$$

(Verificare: pentru $a=3$ vectorii devin $\vec{u}=3\vec{i}+3\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}+3\vec{j}$ — sunt chiar egali, deci în mod evident coliniari. Forma fără fracții a condiției, care evită discuția $a\ne 0$, este $3(2a-3)-a\cdot a=0$: doi vectori $x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ și $x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ sunt coliniari dacă și numai dacă $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția răsturnată, $\frac{3}{a}=\frac{2a-3}{a}$, sau se pierde una dintre rădăcini crezând că ecuația de gradul al doilea are neapărat două soluții distincte — aici discriminantul este zero.)

Itemul 6. (5 p) — raza cercului circumscris unui triunghi.

Triunghiul este isoscel cu $AB=AC=5$ și baza $BC=6$. Înălțimea din $A$ cade în mijlocul bazei, deci ea are lungimea $\sqrt{5^2-3^2}=4$, iar aria este $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12\text{(2 p)}.$$ Raza cercului circumscris se leagă de laturi și de arie prin formula $$R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}\text{(2 p)},$$ unde $a$, $b$, $c$ sunt lungimile laturilor. Înlocuind, $$R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=\frac{150}{48}=\frac{25}{8}\text{(1 p)}.$$

(Control de plauzibilitate: $\frac{25}{8}=3,125$, iar raza cercului circumscris trebuie să fie cel puțin jumătate din cea mai lungă latură, adică cel puțin $3$ — se potrivește la limită, semn că triunghiul este aproape dreptunghic. Unde se greșește de obicei: se folosește formula lui Heron pentru arie, ceea ce merge, dar durează mult mai mult decât înălțimea din vârful triunghiului isoscel; sau se confundă $R$ cu raza cercului înscris, $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, unde $p$ este semiperimetrul.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice cu elemente complexe.

a) (5 p) Pentru $x=\pi$ avem $\cos \pi =-1$ și $\sin \pi =0$, deci matricea devine diagonală: $$A(\pi )=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală: $$\det (A(\pi ))=(-1)\cdot 1\cdot (-1)=1\text{(2 p)}.$$

(Observație folositoare: determinantul este $1$ pentru orice $x$, pentru că dezvoltând după linia a doua se obține ${\cos }^{2}x-(i\sin x{)}^2={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ — aici intervine $i^2=-1$, care schimbă minusul în plus. Unde se greșește de obicei: se ia $\sin \pi =1$ sau $\cos \pi =1$; valorile corecte sunt $\sin \pi =0$ și $\cos \pi =-1$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele „linie pe coloană". La pozițiile nenule apar exact formulele de adunare a unghiurilor, cu $i^2=-1$ care transformă $i\sin x\cdot i\sin y$ în $-\sin x\sin y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}\cos x\cos y-\sin x\sin y& 0& i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)\\ 0& 1& 0\\ i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)& 0& \cos x\cos y-\sin x\sin y\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pe de altă parte, scriind matricea din enunț pentru $x+y$: $$\begin{array}{rl}& A(x+y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}\cos (x+y)& 0& i\sin (x+y)\\ 0& 1& 0\\ i\sin (x+y)& 0& \cos (x+y)\end{array}\right)\text{(1 p)}.\end{array}$$ Cu formulele $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ și $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$, cele două matrice coincid element cu element, deci $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (1 p).

(Control numeric: pentru $x=y=\frac{\pi }{4}$, produsul trebuie să dea $A\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& i\\ 0& 1& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$ — și chiar dă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i\sin x\cdot i\sin y=\sin x\sin y$, uitând că $i^2=-1$; atunci pe diagonală ar apărea $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos (x-y)$, adică diferența unghiurilor în loc de sumă.)

c) (5 p) Relația de la subpunctul b) se aplică repetat: fiecare înmulțire cu $A(x)$ mai adaugă un $x$ la unghi, deci prin inducție $$(A(x){)}^{2012}=A(2012x)\text{(2 p)}.$$ Matricea $A(2012x)$ este egală cu $I_3$ exact când toate elementele corespunzătoare coincid, adică $$\begin{array}{rl}& A(2012x)\\ & =I_3⟺\cos (2012x)\\ & =1\text{ și }\sin (2012x)=0\text{(1 p)}.\end{array}$$ Cosinusul este $1$ exact la multiplii lui $2\pi$ (unde și sinusul se anulează), deci $2012x=2k\pi$ cu $k$ întreg, de unde $$\mathbf{x}=\frac{\mathbf{k}\pi }{1006},k\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$

(De ce ajunge condiția pe cosinus: dacă $\cos t=1$, atunci ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=0$, deci sinusul se anulează automat — a doua condiție este consecința primei. Control: $2012\cdot \frac{\pi }{1006}=2\pi$, iar $A(2\pi )=A(0)=I_3$. Unde se greșește de obicei: se simplifică $\frac{2k\pi }{2012}$ la $\frac{k\pi }{2012}$, uitând să împartă și numărătorul; sau se scrie o singură soluție, $x=0$, deși enunțul cere toate numerele reale care verifică relația.)

Itemul 8. (15 p) — grup pe intervalul $(0,1)$ și izomorfism.

a) (5 p) Se verifică definiția elementului neutru, pe ambele părți. Punând $y=\frac{1}{2}$ în formula legii: $$x\circ \frac{1}{2}=\frac{x\cdot \frac{1}{2}}{2x\cdot \frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x,\text{ pentru orice }x\in G\text{(2 p)}.$$ Punând acum $x=\frac{1}{2}$ și lăsând al doilea argument liber: $$\frac{1}{2}\circ x=\frac{\frac{1}{2}\cdot x}{2\cdot \frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}-x+1}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x,\text{ pentru orice }x\in G\text{(2 p)}.$$ Cum $\frac{1}{2}\in G=(0,1)$ și ambele egalități au loc, $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii (1 p).

(De ce numitorul iese $\frac{1}{2}$: $2x\cdot \frac{1}{2}-x=x-x=0$, deci rămâne $-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. Legea este comutativă — formula nu se schimbă dacă interschimbi $x$ cu $y$ —, deci a doua verificare era previzibilă, dar baremul cere ambele scrise. Unde se greșește de obicei: se verifică o singură parte, sau se uită să se spună că $\frac{1}{2}$ chiar aparține mulțimii $G$; un element neutru din afara mulțimii nu ar avea sens.)

b) (5 p) Legea este comutativă, ceea ce se citește direct din formulă, numitorul și numărătorul fiind simetrice în $x$ și $x^{\prime }$: $$x\circ x^{\prime }=\frac{x{x}^{\prime }}{2x{x}^{\prime }-x-x^{\prime }+1}=\frac{x^{\prime }x}{2x^{\prime }x-x^{\prime }-x+1}=x^{\prime }\circ x,\text{ pentru orice }x,x^{\prime }\in G\text{(1 p)}.$$ Deci este de ajuns o singură ecuație. Simetricul lui $x$ este numărul $x^{\prime }$ pentru care $x\circ x^{\prime }=e=\frac{1}{2}$; ecuația $\frac{x{x}^{\prime }}{2x{x}^{\prime }-x-x^{\prime }+1}=\frac{1}{2}$ înseamnă $2x{x}^{\prime }=2x{x}^{\prime }-x-x^{\prime }+1$, adică $x+x^{\prime }=1$: $$x\circ x^{\prime }=\frac{1}{2}⟹{\mathbf{x}}^{\prime }=1-\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ Rămâne de verificat că simetricul găsit este tot în mulțime: dacă $x\in (0,1)$, atunci $1-x\in (0,1)$, deci $x^{\prime }\in G$ (1 p). Prin urmare orice element al lui $G$ este simetrizabil.

(Ultimul pas nu este formalism: simetricul trebuie să fie în aceeași mulțime, altfel elementul nu este simetrizabil în $G$. Aici mulțimea $(0,1)$ este simetrică față de $\frac{1}{2}$, exact elementul neutru — o coincidență frumoasă, dar nu întâmplătoare. Control: pentru $x=\frac{1}{4}$, simetricul este $\frac{3}{4}$, iar $\frac{1}{4}\circ \frac{3}{4}=\frac{3/16}{6/16-1/4-3/4+1}=\frac{3/16}{3/8}=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se caută simetricul ca $\frac{1}{x}$ sau $-x$, prin analogie cu înmulțirea și adunarea obișnuite.)

c) (5 p) Un izomorfism de grupuri este o funcție bijectivă care duce compunerea într-o compunere. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}-1$ este strict descrescătoare pe $(0,1)$ — fiind $\frac{1}{x}$ minus o constantă — și continuă, iar la capete tinde la $+\infty$, respectiv la $0$; prin urmare ea aplică bijectiv intervalul $(0,1)$ pe $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, deci este bijectivă (2 p).

Se calculează apoi imaginea compusului. Cum $\frac{1}{x\circ y}=\frac{2xy-x-y+1}{xy}$, scăzând $1$ se obține $$f(x\circ y)=\frac{1}{x\circ y}-1=\frac{2xy-x-y+1-xy}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy},\text{ pentru orice }x,y\in G\text{(2 p)}.$$ Pe de altă parte, produsul imaginilor este $$f(x)f(y)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{(1-x)(1-y)}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy},\text{ pentru orice }x,y\in G\text{(1 p)}.$$ Cele două expresii coincid, deci $f(x\circ y)=f(x)f(y)$ și $f$ este izomorfism de la $(G,\circ )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

(De ce $(1-x)(1-y)=(x-1)(y-1)$: fiecare paranteză își schimbă semnul, iar cele două semne minus se anulează la înmulțire. Control numeric: $f\left(\frac{1}{4}\right)=3$ și $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$, iar $\frac{1}{4}\circ \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, deci $f\left(\frac{1}{4}\circ \frac{1}{2}\right)=3=3\cdot 1$ — se potrivește, și se vede totodată că elementul neutru $\frac{1}{2}$ se duce în $1$, elementul neutru al înmulțirii. Unde se greșește de obicei: se verifică doar relația de morfism și se uită bijectivitatea, care este jumătate din definiția izomorfismului.)

Itemul 9. (15 p) — limită, convexitate și monotonia unei funcții compuse.

a) (5 p) Raportul este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, pentru că numitorul crește nemărginit odată cu $e^x$. Aducând întâi la o singură fracție și aplicând apoi regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{e^x+e^{-x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x-e^{-x}}\text{(3 p)}.$$ Numitorul tinde la $+\infty$, iar numărătorul rămâne constant, deci limita este $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{f(x)}=0\text{(2 p)}.$$

(Se putea și fără l'Hôpital: $e^x+e^{-x}>e^x$, deci $0<\frac{2x}{e^x+e^{-x}}<\frac{2x}{e^x}\to 0$, iar criteriul cleștelui încheie — exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui $x$. Control numeric: pentru $x=100$ raportul este de ordinul $10^{-42}$. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hôpital fără să se verifice că este într-adevăr un caz de nedeterminare, sau se derivează greșit $e^{-x}$, a cărui derivată este $-e^{-x}$.)

b) (5 p) Convexitatea se citește din semnul derivatei a doua. Prima derivată este $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1 p)},$$ pentru că $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$. Derivând încă o dată, semnul minus se întoarce: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Ambele exponențiale sunt strict pozitive, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real, adică funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Observație: $f^{\prime \prime }=f$ — funcția este propria ei derivată a doua, ceea ce se verifică imediat comparând cele două formule. Control numeric: raportul incremental de ordinul al doilea al lui $f$ în $x=0$ dă $1,000$, exact $f(0)$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{-x}$ ca $e^{-x}$, fără semn — atunci $f^{\prime \prime }$ ar ieși egală cu $f^{\prime }$ și demonstrația s-ar rupe.)

c) (5 p) Funcția $g$ se scrie explicit, înlocuind $x$ cu $\sqrt{x}$ în formula lui $f$, iar derivata se calculează cu regula de derivare a funcțiilor compuse, folosind $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$g(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}}{2}⟹g^{\prime }(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}},\text{ pentru orice }x>0\text{(2 p)}.$$ Se compară apoi cele două exponențiale: pentru $x>0$ avem $\sqrt{x}>0>-\sqrt{x}$, iar funcția exponențială este strict crescătoare, deci $$x>0⟹\sqrt{x}>0⟹e^{\sqrt{x}}>e^{-\sqrt{x}}\text{(2 p)}.$$ Numărătorul este așadar strict pozitiv, iar numitorul $4\sqrt{x}$ la fel, deci $g^{\prime }(x)>0$ pe tot intervalul, adică $g$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ (1 p).

(De unde vine $4\sqrt{x}$: din $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — factorul $\frac{1}{2}$ al funcției $f$ înmulțit cu derivata radicalului. Control numeric: $g^{\prime }(1)=\frac{e-e^{-1}}{4}\approx 0,5876$, iar raportul incremental al lui $g$ în $1$ dă tot $0,5876$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata interioară și se scrie $g^{\prime }(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2}$; sau se afirmă direct că $g$ crește, „pentru că $f$ crește" — dar $f$ nu este crescătoare pe tot $\mathbb{R}$, ci doar pe $[0,+\infty )$, iar acest amănunt trebuie spus.)

Itemul 10. (15 p) — două șiruri de integrale legate printr-o schimbare de variabilă.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul este chiar funcția sinus: $$J_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin tdt\text{(1 p)}.$$ Primitiva sinusului este minus cosinusul: $$J_1=-\cos t{|}_0^{\frac{\pi }{2}}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind capetele, $-\cos \frac{\pi }{2}+\cos 0=0+1$, deci $$J_1=1\text{(2 p)}.$$

(Control geometric: aria de sub arcul de sinus pe un sfert de perioadă este exact $1$ — un rezultat care merită ținut minte. Unde se greșește de obicei: se ia primitiva lui $\sin$ ca fiind $\cos$, fără semn; atunci rezultatul ar ieși $-1$, adică o arie negativă sub o funcție pozitivă — imposibil.)

b) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul conține un radical, dar și derivata radicandului, până la un factor constant: $$I_1={\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}dx\text{(1 p)}.$$ Cum $(1-x^2{)}^{\prime }=-2x$, integrandul este $-\frac{1}{2}(1-x^2{)}^{\prime }(1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$, iar primitiva de tip putere dă $$I_1=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^2{)}^3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ În $x=1$ paranteza se anulează, iar în $x=0$ ea este $1$, deci $$I_1=0-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$

(De unde vine $\frac{1}{3}$: din $-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3}$, adică factorul $-\frac{1}{2}$ înmulțit cu $\frac{1}{\alpha +1}$ pentru $\alpha =\frac{1}{2}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,3333$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva ca $\frac{(1-x^2{)}^{3/2}}{3/2}$, uitând factorul $-\frac{1}{2}$ care compensează derivata interioară; sau se pierde semnul la înlocuirea capetelor, iar aria iese negativă.)

c) (5 p) Se scrie diferența ca o singură integrală și se dă factor comun ${\sin }^{2n}x$; paranteza rămasă este chiar ${\cos }^{2}x$, din formula fundamentală a trigonometriei: $$J_{2n}-J_{2n+2}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}x(1-{\sin }^{2}x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}x{\cos }^{2}xdx\text{(2 p)}.$$ Cu schimbarea de variabilă $\sin x=t$ avem $\cos xdx=dt$, iar capetele $0$ și $\frac{\pi }{2}$ devin $0$ și $1$; al doilea factor $\cos x$ se scrie $\sqrt{1-t^2}$, pozitiv pe intervalul de integrare: $$J_{2n}-J_{2n+2}={\int }_0^1{t}^{2n}\cdot \sqrt{1-t^2}dt={\mathbf{I}}_{2n},\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$

(De ce radicalul se scoate fără modul: pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ cosinusul este nenegativ, deci $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$ fără semn minus — pasul acesta lipsește din baremul oficial, dar el este cel care justifică forma finală, așa că îl scriem, fără punctaj. Control numeric: pentru $n=1$, $J_2-J_4\approx 0,7854-0,5890=0,1963$, iar $I_2\approx 0,19635$ — se potrivesc; la fel pentru $n=2$ și $n=3$. Unde se greșește de obicei: se folosește ${\cos }^{2}x$ în întregime la schimbarea de variabilă, deși unul dintre cei doi cosinuși intră în $dt$, iar celălalt rămâne în integrand ca $\sqrt{1-t^2}$.)