Bac M1 2014, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2014 a examenului național de bacalaureat — a doua sesiune a anului, cea de toamnă — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: partea reală a unui număr scris în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: punctul de intersecție a două drepte, ca soluție a ecuației $f(x)=g(x)$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială cu aceeași bază, redusă la egalitatea exponenților prin injectivitate — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor pare de două cifre formate cu cifre dintr-o mulțime dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică vectorială: descompunerea unui vector după versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$ și egalitatea a doi vectori pe componente — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: cosinusul unui unghi într-un triunghi isoscel, prin teorema cosinusului sau prin recunoașterea unui triunghi dreptunghic — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul matricei unitate, relația $A(x+y)=A(x)\cdot A(y)$ și o ecuație obținută prin identificarea parametrilor — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, divizibilitatea prin împărțire cu rest și o ecuație în care necunoscuta intră printr-o exponențială — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, existența unei soluții: derivata unui produs împărțit la un binom, ecuația tangentei într-un punct și teorema valorilor intermediare — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: o integrală calculată prin împărțire cu rest, monotonia prin semnul diferenței și limita prin încadrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2014. Subiectul I nu are nicio cerință lungă, dar are trei locuri în care se pierde ușor un punctaj întreg: pătratul unității imaginare la cerința $1$, condiția „cifra unităților să fie pară" la cerința $4$ și recunoașterea triunghiului dreptunghic la cerința $6$ — pentru că $3^2+3^2=(3\sqrt{2}{)}^2$. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, o matrice inferior triunghiulară cu parametru a cărei familie este stabilă la înmulțire, iar la problema 2 un polinom atacat de două ori prin aceeași factorizare: o dată pentru divizibilitate, a doua oară pentru o ecuație în care necunoscuta apare ca $2^x$. Subiectul al III-lea este cel mai „de manual" din lot: lanțul derivată → tangentă → teorema valorilor intermediare la problema 1, iar la problema 2 tripleta completă a unui șir de integrale — o valoare concretă, monotonia și limita.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $1-\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: punctul de intersecție dat doar prin abscisă, fără ordonată; numărarea făcută fără să se spună de ce cifra zecilor nu poate fi nulă; egalitatea a doi vectori afirmată fără cele două ecuații pe componente; relația $A(x+y)=A(x)\cdot A(y)$ verificată doar pe câteva valori, nu pentru orice $x$ și $y$; divizibilitatea afirmată fără restul împărțirii; existența soluției invocată fără continuitatea funcției pe intervalul închis.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; partea reală a lui $z=a+bi$ este $a$. Intersecția a două grafice: se rezolvă $f(x)=g(x)$, iar ordonata se obține înlocuind soluția în oricare dintre cele două funcții. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v\iff u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Combinatorică: la numerele de două cifre, cifra zecilor nu poate fi $0$. Vectori în reper: doi vectori scriși după versori sunt egali exact când au componentele respectiv egale. Teorema cosinusului: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; o familie $A(x)$ cu $A(x+y)=A(x)\cdot A(y)$ dă imediat $A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=A(3x)$.
• Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; polinomul $f$ este divizibil prin $g$ exact când restul este polinomul nul; trinomul $X^2-X+1$ nu are rădăcini reale, discriminantul lui fiind $-3$.
• Derivate și tangente: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Existența unei soluții: dacă $g$ este continuă pe $[a,b]$ și $g(a)\cdot g(b)<0$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $g(c)=0$.
• Integrale: ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$; monotonia unui șir de integrale se decide prin semnul diferenței, iar limita, prin încadrare (criteriul cleștelui), mărginind integrandul pe intervalul de integrare.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul întâi $f(x)=x-1$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-3X^2+aX-2$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=\frac{x{e}^x}{x+2}$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este, pe rând, variabilă a unei funcții (itemii $2$, $3$, $9$), parametru al unei familii de matrice (itemul $7$) și necunoscută într-o ecuație exponențială (itemul $8$, subpunctul c). La itemul $7$, subpunctul c), ea trece chiar din al doilea rol în al treilea: $A(x^2+2)=A(3x)$ se citește ca ecuație în $x$.
• Litera $e$ apare la itemul $9$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Litera $i$ de la itemul $1$ este unitatea imaginară, $i^2=-1$, în timp ce $\vec{i}$ de la itemul $5$ este versorul axei $Ox$ — două obiecte fără nicio legătură, deosebite prin săgeata de deasupra. Litera $a$ este parametrul polinomului la itemul $8$, iar la itemul $9$ nu apare deloc.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați partea reală a numărului complex $z=1+2i+3i^2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x-5$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2-x}=3^{2x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele $0$, $1$, $2$ și $3$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră vectorii $\overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j}$ și $\overrightarrow{AC}=(m+1)\vec{i}+4\vec{j}$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ știind că $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=AC=3$ și $BC=3\sqrt{2}$. Determinați $\cos C$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x& 1& 0\\ 2x^2-2x& 4x& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x+y)=A(x)\cdot A(y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ știind că $A(x^2+2)=A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+aX-2$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(2)=2(a-3)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ știind că polinomul $f$ este divizibil prin $X^2-X+1$.

c) (5 puncte) Pentru $a=3$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $f\left(2^x\right)=0$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x{e}^x}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+2x+2)e^x}{(x+2{)}^2}$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că ecuația $f(x)=1$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^n}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_1=1-\ln 2$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}\le I_n$ pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se aduce numărul la forma algebrică $a+bi$, înlocuind $i^2=-1$: $$z=1+2i+3i^2=1+2i-3=-2+2i\text{(2 p)}.$$ Partea reală este coeficientul care nu stă lângă $i$, deci $$\mathrm{Re}(z)=-2\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$ și se răspunde $4$; sau se răspunde $1$, adică se ia drept parte reală doar primul termen, fără să se mai adune $3i^2$. Control: partea imaginară este $2$, iar $z=-2+2i$ are modulul $\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția a două grafice de funcții de gradul întâi.

Un punct comun celor două grafice are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe amândouă, deci abscisa lui verifică $$f(x)=g(x)⟺x-1=3x-5\text{(3 p)}.$$ Trecând necunoscutele într-un membru, $-2x=-4$, deci $x=2$; ordonata se obține înlocuind în oricare dintre funcții, $y=f(2)=2-1=1$. Punctul de intersecție este așadar $$\mathbf{x}=2\text{ și }\mathbf{y}=1,\text{ adica˘ punctul }(2,1)\text{(2 p)}.$$ (Control pe cealaltă funcție: $g(2)=3\cdot 2-5=1$ — aceeași ordonată, semn că abscisa a fost bine găsită. Unde se greșește de obicei: se răspunde doar $x=2$, deși enunțul cere COORDONATELE punctului, adică amândouă; sau se adună cele două funcții în loc să fie egalate. Observație: pantele fiind diferite, $1\ne 3$, dreptele chiar se intersectează, și încă într-un singur punct.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri au aceeași bază, iar funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci egalitatea puterilor înseamnă egalitatea exponenților: $$x^2-x=2x⟺x^2-3x=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $x(x-3)=0$, deci $${\mathbf{x}}_1=0\text{ și }{\mathbf{x}}_2=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=0$ ambii exponenți sunt $0$; pentru $x=3$ ei sunt $9-3=6$ și $2\cdot 3=6$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $x^2=3x$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se logaritmează inutil, deși bazele sunt deja egale.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Un număr este par exact când cifra unităților este pară. Dintre cifrele disponibile $0$, $1$, $2$ și $3$, cele pare sunt două: $$\text{cifra unita˘ților poate fi }0\text{ sau }2\text{(2 p)}.$$ Cifra zecilor nu poate fi $0$ — altfel numărul nu ar mai avea două cifre — deci ea poate fi aleasă în trei moduri, din $\{1,2,3\}$. Cele două alegeri fiind independente, prin regula produsului $$3\cdot 2=6\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Lista completă, pentru control: $10$, $12$, $20$, $22$, $30$, $32$ — chiar șase numere. Cifrele se pot repeta, cum se vede la $22$; enunțul nu cere cifre distincte. Unde se greșește de obicei: se permite cifra zecilor egală cu $0$ și se numără $8$; sau se cer cifre distincte, ceea ce ar da $5$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Condiția din enunț se scrie înmulțind vectorul $\overrightarrow{AB}$ cu doi, componentă cu componentă: $$(m+1)\vec{i}+4\vec{j}=2(3\vec{i}+2\vec{j})=6\vec{i}+4\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Doi vectori scriși după versori sunt egali exact când au componentele respectiv egale. Componenta după $\vec{j}$ se potrivește deja, $4=4$, iar cea după $\vec{i}$ dă $m+1=6$, de unde $$\mathbf{m}=5\text{(3 p)}.$$ (Faptul că a doua componentă se potrivește oricum nu este o coincidență, ci o condiție de compatibilitate: dacă ea nu s-ar fi verificat, nu ar fi existat niciun $m$ care să facă cei doi vectori proporționali. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ doar o componentă; sau se scrie $m+1=3$, adică se uită factorul $2$. Control: pentru $m=5$ avem $\overrightarrow{AC}=6\vec{i}+4\vec{j}$, exact dublul lui $\overrightarrow{AB}$ — deci punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, iar $B$ este mijlocul lui $AC$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghi.

Se compară pătratele laturilor: $A{B}^2+A{C}^2=9+9=18$, iar $B{C}^2=(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18$. Cele două valori coincid, deci prin reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic în $A$; fiind și cu $AB=AC$, el este $$\text{dreptunghic isoscel}\text{(3 p)}.$$ Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au fiecare $45^{\circ }$, deci $$\cos C=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ (Același rezultat cu teorema cosinusului, fără să se observe unghiul drept: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$ dă $9=9+18-18\sqrt{2}\cos C$, deci $\cos C=\frac{18}{18\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(3\sqrt{2}{)}^2=3\cdot 2=6$, uitând să ridice la pătrat și factorul din față; sau se răspunde $\frac{1}{\sqrt{2}}$ fără raționalizare — corect ca valoare, dar baremul scrie forma raționalizată. Control numeric: $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$, iar unghiul cu acest cosinus este într-adevăr de $45^{\circ }$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice stabilă la înmulțire.

a) (5 p) Pentru $x=0$ toate elementele cu parametru se sting, iar matricea devine chiar matricea unitate: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Se vede și fără calcul: matricea unitate este diagonală, iar determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală. De reținut pentru subpunctul c): $A(0)=I_3$. Observație generală: toată familia $A(x)$ este inferior triunghiulară cu $1$ pe diagonală, deci $\det (A(x))=1$ pentru orice $x$ — toate matricele familiei sunt inversabile.)

b) (5 p) Se scrie mai întâi membrul stâng, înlocuind $x$ cu $x+y$ în definiția matricei: $$\begin{array}{rl}& A(x+y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x+y& 1& 0\\ 2(x+y{)}^2-2(x+y)& 4(x+y)& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Se calculează apoi produsul, „linie pe coloană". Pe poziția din colțul din stânga jos apare $(2x^2-2x)+4x\cdot y+(2y^2-2y)=2x^2+4xy+2y^2-2x-2y$, iar pe poziția $(3,2)$ apare $4x+4y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x+y& 1& 0\\ 2x^2+4xy+2y^2-2x-2y& 4x+4y& 1\end{array}\right)\\ & =A(x+y)\end{array}$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(Cele două matrice coincid pentru că $2(x+y{)}^2-2(x+y)=2x^2+4xy+2y^2-2x-2y$ și $4(x+y)=4x+4y$ — se desfac pur și simplu parantezele. Unde se greșește de obicei: se verifică relația pe câteva perechi de numere și se declară demonstrată; enunțul cere „pentru orice", deci calculul trebuie făcut simbolic. Control numeric: pentru $x=1$ și $y=0$ relația spune $A(1)=A(1)\cdot I_3$ — evident adevărat.)

c) (5 p) Aplicând relația de la subpunctul b) de două ori, produsul a trei matrice din familie rămâne în familie, iar parametrii se adună: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)\\ & =A(x+x)\cdot A(x)=A(3x)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Ecuația devine $A(x^2+2)=A(3x)$. Două matrice ale familiei sunt egale exact când au același parametru — se citește, de pildă, din elementul de pe linia a doua, coloana întâi. Prin urmare $x^2+2=3x$, adică $x^2-3x+2=0$, ecuație cu discriminantul $\Delta =9-8=1$ și rădăcinile $${\mathbf{x}}_1=1\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $x=2$: $x^2+2=6$ și $3x=6$ — se potrivesc. Pentru $x=1$: $1+2=3$ și $3\cdot 1=3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(x{)}^3=A(x^3)$, adică se ridică parametrul la putere în loc să fie înmulțit cu trei; sau se compară elementul de pe linia a treia, coloana întâi, care duce la o ecuație de gradul al patrulea — corectă, dar mult mai grea; egalitatea se citește cel mai simplu din elementul $(2,1)$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu parametru, divizibilitate și ecuație exponențială.

a) (5 p) Valoarea în $2$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $2$: $$f(2)=2^3-3\cdot 2^2+a\cdot 2-2\text{(2 p)}.$$ Calculând partea numerică, $8-12-2=-6$, deci $$f(2)=2a-6=2(\mathbf{a}-3)\text{(3 p)}.$$ (Forma factorizată nu este o cochetărie: din ea se citește imediat că $2$ este rădăcină a polinomului exact când $a=3$ — exact valoarea de la subpunctele b) și c). Unde se greșește de obicei: se calculează $3\cdot 2^2=36$, adică se ridică la pătrat produsul; sau se uită termenul liber $-2$.)

b) (5 p) Se împarte $f$ la $X^2-X+1$. Câtul are gradul $3-2=1$; efectuând împărțirea se obține $$f=(X-2)(X^2-X+1)+(a-3)X\text{(3 p)}.$$ Restul este $(a-3)X$, iar polinomul $f$ este divizibil prin $X^2-X+1$ exact când restul este polinomul nul, adică $a-3=0$: $$\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$ (Control prin desfacere: $(X-2)(X^2-X+1)=X^3-X^2+X-2X^2+2X-2=X^3-3X^2+3X-2$, iar adăugând $(a-3)X$ se obține chiar $X^3-3X^2+aX-2$. Unde se greșește de obicei: se oprește împărțirea prea devreme și se lasă un rest de gradul al doilea; sau se caută rădăcinile lui $X^2-X+1$, care sunt complexe — drum corect, dar cu numere complexe inutile aici, pentru că discriminantul este $1-4=-3$.)

c) (5 p) Pentru $a=3$ restul dispare, deci polinomul se descompune exact ca la subpunctul b): $$f=(X-2)(X^2-X+1)\text{(2 p)}.$$ Înlocuind $X$ cu $2^x$, ecuația devine un produs nul: $$(2^x-2)\left(\right(2^x{)}^2-2^x+1)=0⟺(2^x-2\left)\right(2^{2x}-2^x+1)=0.$$ Al doilea factor nu se anulează niciodată: notând $t=2^x>0$, trinomul $t^2-t+1$ are discriminantul $-3<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $t$ real. Rămâne $2^x=2$, de unde $$\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $f\left(2^1\right)=f(2)=2(3-3)=0$ — chiar rădăcină, cum anunța subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se rezolvă $2^{2x}-2^x+1=0$ ca ecuație de gradul al doilea în $t$ și se scriu rădăcini complexe drept soluții — dar $2^x$ este obligatoriu număr real strict pozitiv; sau se citește enunțul ca $(f(x){)}^2=0$, ceea ce ar fi cu totul altă cerință. Aici $2^x$ înseamnă puterea lui $2$, iar $x$ stă la exponent.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și existența unei soluții.

a) (5 p) Funcția este un cât, iar numărătorul este el însuși un produs. Se aplică regula câtului, cu $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x$ obținut prin regula produsului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x{e}^x{)}^{\prime }\cdot (x+2)-x{e}^x\cdot (x+2{)}^{\prime }}{(x+2{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind și dând factor comun $e^x$ la numărător, $(e^x+x{e}^x)(x+2)-x{e}^x=e^x[(1+x)(x+2)-x]=e^x[x^2+3x+2-x]$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+2x+2)e^x}{(x+2{)}^2},x\in (-2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{5e}{9}\approx 1,510$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $1,510$. Observație folositoare: numărătorul $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$ este strict pozitiv, deci funcția este strict crescătoare pe tot domeniul — fapt pe care îl vom folosi la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se derivează $x{e}^x$ ca $e^x$, uitând regula produsului.)

b) (5 p) Ecuația tangentei într-un punct de pe grafic se scrie cu formula $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\text{(2 p)}.$$ Se calculează cele două valori: $f(0)=\frac{0\cdot 1}{2}=0$ și $f^{\prime }(0)=\frac{2\cdot 1}{4}=\frac{1}{2}$. Ecuația devine $y-0=\frac{1}{2}x$, adică $$\mathbf{y}=\frac{1}{2}\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ (Tangenta trece prin origine, pentru că graficul funcției trece prin origine: $f(0)=0$. Unde se greșește de obicei: se ia panta $f(0)=0$ în loc de $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ și se scrie $y=0$; sau se uită să se calculeze $f(0)$ și se lasă tangenta cu termen liber necunoscut. Control numeric: $f(0,1)\approx 0,0526$, iar dreapta dă $0,05$ — foarte apropiate, cum trebuie lângă punctul de tangență.)

c) (5 p) Se aduce ecuația la forma „ceva egal cu zero" și se studiază funcția ajutătoare pe intervalul închis: $$\text{funcția }g:[1,2]\to \mathbb{R},g(x)=f(x)-1\text{ este continua˘ pe }[1,2]\text{(2 p)},$$ fiind diferența dintre o funcție elementară (definită pe $(-2,+\infty )$, deci și pe $[1,2]$) și o constantă. Se calculează valorile la capete: $g(1)=\frac{e}{3}-1=\frac{e-3}{3}$ și $g(2)=\frac{2e^2}{4}-1=\frac{e^2-2}{2}$. Cum $e\approx 2,718<3$ și $e^2\approx 7,389>2$, primul număr este negativ și al doilea pozitiv, deci $$g(1)\cdot g(2)=\frac{e-3}{3}\cdot \frac{e^2-2}{2}<0,$$ iar prin teorema valorilor intermediare există $c\in (1,2)$ astfel încât $g(c)=0$, adică $f(c)=1$ (3 p).

(Ecuația are deci cel puțin o soluție în $(1,2)$ — de fapt exact una, pentru că $f$ este strict crescătoare, cum s-a văzut la subpunctul a). Control numeric: soluția este $c\approx 1,060$, iar $f(1,060)\approx 1,000$. Unde se greșește de obicei: se invocă teorema fără să se spună că funcția este continuă pe intervalul ÎNCHIS $[1,2]$ — continuitatea este ipoteza esențială; sau se scrie doar că $f(1)<1<f(2)$, fără să se numească teorema care garantează existența soluției.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale: valoare, monotonie și limită.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul este $\frac{x}{1+x}$, o fracție cu numărătorul de grad cel puțin egal cu numitorul; rețeta este împărțirea cu rest, $\frac{x}{1+x}=\frac{(1+x)-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$: $$I_1={\int }_0^1\frac{x}{1+x}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva este $x-\ln (1+x)$, iar cu formula Leibniz–Newton: $$I_1=(x-\ln (1+x)){|}_0^1=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $1-\ln 2\approx 0,3069$, iar integrala calculată numeric dă $0,30685$. Unde se greșește de obicei: se integrează „raportul ca raport", scriind $\frac{x^2/2}{\ln (1+x)}$ — nu există o regulă a câtului la integrare; sau se uită modulul, deși aici numitorul este pozitiv pe $[0,1]$ și modulul chiar dispare.)

b) (5 p) Monotonia se decide prin semnul diferenței. Aducând cele două fracții la același numitor sub aceeași integrală: $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1{x}^n\left(\frac{x}{1+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x^n}\right)dx={\int }_0^1\frac{x^n(x-1)}{(1+x^n)(1+x^{n+1})}dx\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $x\in [0,1]$ avem $x-1\le 0$, $x^n\ge 0$, $1+x^n>0$ și $1+x^{n+1}>0$, deci integrandul este negativ sau nul pe tot intervalul; integrala unei funcții negative fiind negativă, rezultă $I_{n+1}-I_n\le 0$, adică $${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ (Verificarea calculului de la numărător: $x^{n+1}(1+x^n)-x^n(1+x^{n+1})=x^{n+1}+x^{2n+1}-x^n-x^{2n+1}=x^{n+1}-x^n=x^n(x-1)$ — termenii de grad mare se reduc. Unde se greșește de obicei: se compară doar numărătorii, uitând că și numitorii depind de $n$; sau se afirmă că $x^{n+1}\le x^n$ „pentru orice $x$", ceea ce este adevărat numai pe $[0,1]$. Control numeric: $I_1\approx 0,3069$, $I_2\approx 0,2146$, $I_3\approx 0,1644$.)

c) (5 p) Se mărginește integrandul. Numitorul $1+x^n$ este cel puțin $1$ pe intervalul de integrare, deci fracția nu depășește numărătorul: $$\text{pentru orice }x\in [0,1]\text{ și orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:0\le \frac{x^n}{1+x^n}\le x^n\text{(2 p)}.$$ Integrând inegalitatea pe $[0,1]$ și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$: $$0\le {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^n}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx⟹0\le I_n\le \frac{1}{n+1}⟹\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0\text{(3 p)}.$$ (Este criteriul cleștelui: șirul fiind prins între două șiruri care tind amândouă la zero, are și el limita zero. Control numeric: $I_{10}\approx 0,0619$, iar $\frac{1}{11}\approx 0,0909$ — încadrarea se verifică. Unde se greșește de obicei: se trece la limită sub semnul integralei fără justificare; sau se afirmă că șirul tinde la zero „pentru că este descrescător și pozitiv" — de acolo rezultă doar că are o limită, nu că aceasta este zero.)