Bac M1 2014, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea august-septembrie 2014 a examenului național de bacalaureat — a doua sesiune a anului, cea de toamnă — Varianta 3. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care subiectul principal nu mai poate fi folosit; ele au exact același format, aceeași dificultate și același barem pe pași ca varianta extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: poziția parabolei față de axa $Ox$, citită din semnul discriminantului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele impare de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: linia mijlocie și relația lui Chasles, pentru o sumă de trei vectori care se închide — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: împărțirea unui raport de sinus și cosinus prin $\cos a$, ca să apară tangenta — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, determinantul cu parametru și o ecuație matriceală rezolvată prin identificarea elementelor — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: compusul a două numere, forma „deplasată" $x\ast y=3-(x-3)(y-3)$ și un produs de $2014$ factori — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală, monotonie: derivata unui cât, limita la $+\infty$ și tabloul de monotonie cu două puncte critice — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: o integrală calculată prin părți, monotonia prin semnul diferenței și o relație de recurență obținută tot prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii de toamnă 2014. Subiectul I nu are nicio surpriză de calcul, dar are două cerințe „de redactare": la $5$, egalitatea vectorială trebuie desfăcută prin linia mijlocie, iar la $6$ trebuie găsit trucul — se împarte și numărătorul, și numitorul prin $\cos a$, ca să apară tangenta dată. Subiectul al II-lea este miezul probei: problema 1 duce la o ecuație matriceală care se rezolvă comparând elementele corespunzătoare, iar problema 2 este cea mai frumoasă cerință din lot — legea $x\ast y=3x+3y-xy-6$ se rescrie ca $3-(x-3)(y-3)$, iar acest „schimb de variabilă" transformă un produs de $2014$ factori într-o simplă putere. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un tablou de monotonie cu trei intervale, nu două — derivata are două puncte de anulare — iar la problema 2 integrarea prin părți apare de două ori: o dată pentru o valoare concretă, a doua oară pentru o relație de recurență în care integrala nu se calculează niciodată.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2-\sqrt{3}$ și $\frac{e^2+1}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației logaritmice dată fără verificarea condițiilor de existență; suma vectorială „văzută din desen", fără scrierea fiecărui termen ca jumătate de latură; tangenta introdusă în raportul trigonometric fără să se spună de ce $\cos a\ne 0$; egalitatea a două matrice afirmată fără ecuațiile dintre elementele corespunzătoare; produsul de $2014$ factori calculat „prin analogie", fără formula generală; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei pe fiecare dintre ele.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, apoi $i^2=-1$. Semnul trinomului: dacă $\Delta <0$, parabola nu intersectează axa $Ox$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$, dar numai după condițiile de existență $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; între $10$ și $99$ sunt $45$ de numere impare. Vectori: dacă $M$ este mijlocul lui $AB$, atunci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; iar $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Trigonometrie: împărțind numărătorul și numitorul unui raport prin $\cos a$ apare $\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$.
• Matrice: două matrice sunt egale exact când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile în parametru.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ se poate adesea rescrie „deplasat", $x\ast y=k-(x-k)(y-k)$; atunci compunerea repetată devine o putere, iar elementul $k$ este absorbant: $k\ast y=k$ pentru orice $y$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finit; semnul derivatei dă monotonia, iar punctele în care ea se anulează despart intervalele.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$; $({\ln }^{n}x{)}^{\prime }=\frac{n{\ln }^{n-1}x}{x}$; monotonia unui șir de integrale se decide prin semnul diferenței.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă două obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-4x+6$ de la itemul $2$ și funcția $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+5}$ de la itemul $9$. Cele două seamănă până la confuzie — au același $x^2-4x$ la început — dar au termeni liberi diferiți, $6$ și $5$, iar a doua are trinomul la numitor, nu singură. Fiecare item se citește separat.
• ⚠️ Litera $e$ nu apare deloc în această probă, dar elementul neutru al legii de compoziție de la itemul $8$ este numărul $2$, iar numărul $3$ este element absorbant ($3\ast y=3$ pentru orice $y$) — el este cheia subpunctului c). La itemul $10$, în schimb, litera $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, și apare atât ca margine de integrare, cât și în rezultat. Cele două numere nu au nicio legătură; le-am despărțit aici tocmai pentru că ambele se cheamă, în manual, „elementul $e$".
• Litera $a$ este, la itemul $6$, măsura unui unghi (un număr real, argument al funcțiilor trigonometrice), iar la itemul $7$ parametrul unei familii de matrice. Litera $m$ de la itemul $7$, subpunctul b), este tot un parametru — enunțul oficial schimbă litera acolo, iar noi am păstrat schimbarea. Litera $i$ de la itemul $1$ este unitatea imaginară, $i^2=-1$; litera $n$ de la itemul $10$ este indicele șirului de integrale.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1+i$. Calculați $z^2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Arătați că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+6$ nu intersectează axa $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(2x-3)={\log }_2(x+1)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie impar.

Itemul 5 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$ și, respectiv, $AC$. Arătați că $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\vec{0}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Știind că $\mathrm{tg}a=\sqrt{3}$ și $a\in \mathbb{R}$, arătați că $\frac{\sin a-\cos a}{\cos a+\sin a}=2-\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 2\\ 1& 2& a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=-1$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ știind că $\det (A(m))=0$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ astfel încât $A(a)\cdot A(a)-A\left(a^2\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 5& -5\\ 1& -5& 5\end{array}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=3x+3y-xy-6$.

a) (5 puncte) Calculați $1\ast 3$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=3-(x-3)(y-3)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\underset{x\text{de }2014\text{ori}}{\underbrace{x\ast x\ast \dots \ast x}}=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+5}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(x-3)}{(x^2-4x+5{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_1^{e}x{\ln }^{n}xdx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_1=\frac{e^2+1}{4}$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}\le I_n$ pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2$ pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii august-septembrie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — pătratul unui număr complex.

Se ridică la pătrat ca la orice binom, cu formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $$z^2=(1+i{)}^2=1+2i+i^2\text{(2 p)}.$$ Înlocuind $i^2=-1$, termenii $1$ și $-1$ se reduc și rămâne doar partea imaginară: $$z^2=1+2i-1=2i\text{(3 p)}.$$ (Control pe forma trigonometrică: $1+i$ are modulul $\sqrt{2}$ și argumentul $\frac{\pi }{4}$, deci pătratul are modulul $2$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$ — adică este numărul pur imaginar $2i$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2=0$, uitând dublul produs; sau se ia $i^2=1$ și se răspunde $2+2i$. De reținut pentru mai târziu: $(1+i{)}^2=2i$ este una dintre cele mai folosite identități la numerele complexe.)

Itemul 2. (5 p) — poziția parabolei față de axa $Ox$.

O parabolă intersectează axa $Ox$ exact în punctele în care funcția se anulează, deci totul se decide din discriminant. Cu $a=1$, $b=-4$ și $c=6$: $$\Delta =b^2-4ac=16-24=-8\text{(3 p)}.$$ Discriminantul fiind negativ, ecuația $f(x)=0$ nu are nicio soluție reală, deci parabola asociată funcției $f$ nu intersectează axa $Ox$ (2 p).

(Al doilea drum, prin forma canonică: $x^2-4x+6=(x-2{)}^2+2\ge 2>0$ — se vede direct și că minimul funcției este $2$, atins în $x=2$, deci parabola stă în întregime deasupra axei. Unde se greșește de obicei: se calculează $\Delta =16-4\cdot 6=-8$ corect, dar se scrie apoi „deci parabola este sub axă"; coeficientul dominant fiind pozitiv, ea este deasupra. Enunțul cere însă doar neintersectarea, pentru care ajunge semnul discriminantului.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în aceeași bază este o funcție injectivă, deci egalitatea logaritmilor înseamnă egalitatea argumentelor: $$2x-3=x+1\text{(2 p)}.$$ Rezolvând, $x=4$. Se verifică apoi condițiile de existență, care sunt obligatorii: $2\cdot 4-3=5>0$ și $4+1=5>0$, amândouă îndeplinite, deci $$\mathbf{x}=4,\text{ valoare care verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$ (Verificare directă: ${\log }_{2}5={\log }_{2}5$. Unde se greșește de obicei: se sare peste condițiile de existență — la o altă ecuație de același tip ele pot elimina chiar soluția găsită; sau se „desface" logaritmul scriind $2x-3=2^{x+1}$, ceea ce ar fi cazul unei ecuații cu logaritm doar într-un membru. Observație: condițiile de existență se puteau scrie și de la început, $x>\frac{3}{2}$, iar soluția $4$ le respectă.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele naturale impare de două cifre sunt $11,13,\dots ,99$; ele sunt jumătate din numerele de două cifre, adică $45$ de cazuri favorabile (2 p).

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Probabilitatea este raportul dintre cele două numărători: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Numărare directă, pentru control: impare sunt cele de forma $2k+1$ cu $2k+1\ge 11$ și $2k+1\le 99$, adică $k$ de la $5$ la $49$ — chiar $45$ de valori. Rezultatul $\frac{1}{2}$ era de așteptat: cele $90$ de numere consecutive alternează par–impar și încep cu un număr par, deci se împart exact în jumătate. Unde se greșește de obicei: se numără $50$ de impare, ca și cum intervalul ar începe de la $1$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în triunghi.

Fiecare dintre cei trei vectori pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii care începe în acel vârf, deci fiecare este jumătate din latura respectivă: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ și $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$. Prin urmare $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\text{(2 p)}.$$ Dând factor comun $\frac{1}{2}$ și folosind relația lui Chasles pe un contur închis, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$: $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\vec{0}\text{(3 p)}.$$ (Atenție la ordinea literelor: $P$ este mijlocul lui $AC$, dar vectorul cerut pleacă din $C$, deci este $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, nu $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — semnul contează, iar cu $\overrightarrow{AC}$ suma nu s-ar mai anula. Control cu coordonate: pentru $A(0,0)$, $B(4,1)$ și $C(-2,5)$ avem $M(2;0,5)$, $N(1,3)$ și $P(-1;2,5)$, iar suma componentelor este $2+(-3)+1=0$ pe abscisă și $0,5+2+(-2,5)=0$ pe ordonată. Unde se greșește de obicei: se scrie concluzia „din desen", fără cele două egalități care o sprijină.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie: apariția tangentei într-un raport.

Din $\mathrm{tg}a=\sqrt{3}$ rezultă că $\cos a\ne 0$ (altfel tangenta nici nu ar fi definită), deci se poate împărți și numărătorul, și numitorul prin $\cos a$; apare astfel chiar tangenta: $$\frac{\sin a-\cos a}{\cos a+\sin a}=\frac{\cos a\left(\frac{\sin a}{\cos a}-1\right)}{\cos a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)}=\frac{\mathrm{tg}a-1}{1+\mathrm{tg}a}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $\mathrm{tg}a=\sqrt{3}$ și raționalizând numitorul prin amplificare cu $\sqrt{3}-1$: $$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ (Numitorul $\cos a+\sin a$ nu se anulează, pentru că altfel ar rezulta $\mathrm{tg}a=-1\ne \sqrt{3}$. Același rezultat pe drumul cu unghiuri: raportul este $\mathrm{tg}\left(a-\frac{\pi }{4}\right)$, iar cu $a=\frac{\pi }{3}$ el devine $\mathrm{tg}\frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$. Control numeric: $2-\sqrt{3}\approx 0,268$, iar pentru $a=\frac{\pi }{3}$ raportul calculat direct dă $0,2679$. Unde se greșește de obicei: se împarte doar numărătorul prin $\cos a$; sau se lasă rezultatul sub forma $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$, fără raționalizare — corect ca valoare, dar enunțul cere forma $2-\sqrt{3}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine numerică, iar determinantul ei se scrie: $$\det (A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente": $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =1+2+2-1-4-1\\ & =-1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: scăzând prima linie din a doua și din a treia, determinantul devine $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right|=1\cdot (0\cdot 0-1\cdot 1)=-1$ — aceeași valoare. Determinantul fiind nenul, matricea $A(1)$ este inversabilă.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametru, dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \det (A(m))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 2\\ 1& 2& m\end{array}\right|\\ & =(m^2-4)-(m-2)+(2-m)\\ & ={\mathbf{m}}^2-2m\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dând factor comun, $m(m-2)=0$, deci $$\begin{array}{rl}& m^2-2m\\ & =0⟺{\mathbf{m}}_1=0\text{ și }{\mathbf{m}}_2=2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $m=1$ formula dă $1-2=-1$, adică exact rezultatul subpunctului a). Unde se greșește de obicei: se pierde una dintre soluții împărțind ecuația la $m$; sau se dezvoltă greșit minorii, uitând alternanța semnelor $+-+$ pe prima linie. Observație: pentru $m=2$ liniile a doua și a treia devin identice, iar pentru $m=0$ se poate verifica direct că liniile sunt dependente — de aceea determinantul se anulează.)

c) (5 p) Se calculează cele două matrice din membrul stâng și se scad element cu element. Pentru pătrat, prin înmulțire „linie pe coloană", iar pentru al doilea termen prin simplă înlocuire a parametrului cu $a^2$: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3& a+3& a+3\\ a+3& a^2+5& 4a+1\\ a+3& 4a+1& a^2+5\end{array}\right),\\ & A\left(a^2\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a^2& 2\\ 1& 2& a^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Diferența lor trebuie să fie matricea din enunț; două matrice sunt egale exact când toate elementele corespunzătoare coincid: $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}2& a+2& a+2\\ a+2& 5& 4a-1\\ a+2& 4a-1& 5\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 5& -5\\ 1& -5& 5\end{array}\right)\\ & ⟺\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cele două ecuații care apar sunt $a+2=1$ și $4a-1=-5$, iar amândouă dau $a=-1$ — sistemul este compatibil, deci soluția există. Elementele de pe diagonală, $2$ și $5$, nu depind de $a$ și se potrivesc automat: ele sunt și controlul că matricea din enunț a fost bine copiată. Unde se greșește de obicei: se calculează $A(a)\cdot A(a)$ ridicând la pătrat fiecare element; sau se ia $A\left(a^2\right)$ drept $(A(a){)}^2$ — sunt lucruri diferite, iar întreaga cerință se sprijină pe deosebirea dintre ele. Control numeric pentru $a=-1$: $A(-1)\cdot A(-1)$ are pe poziția din mijloc $1+1+4=6$, iar $A(1)$ are acolo $1$, deci diferența este $5$ — cum cere enunțul.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu element absorbant.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în formula legii, cu $x=1$ și $y=3$: $$1\ast 3=3\cdot 1+3\cdot 3-1\cdot 3-6\text{(3 p)}.$$ Calculând, $3+9-3-6=3$, deci $$1\ast 3=3\text{(2 p)}.$$ (Rezultatul nu este o coincidență, iar subpunctul c) se sprijină pe el: numărul $3$ este element absorbant pentru această lege, adică $3\ast y=9+3y-3y-6=3$ pentru orice $y$ real. Unde se greșește de obicei: se uită termenul liber $-6$; sau se calculează $3\cdot 1\cdot 3$ în loc de $3\cdot 1+3\cdot 3$.)

b) (5 p) Se pleacă de la membrul stâng și se grupează termenii care conțin $y-3$: $$x\ast y=3x+3y-xy-6=3-xy+3x+3y-9\text{(2 p)}.$$ Dând factor comun pe $-x$ în primii doi termeni de după $3$ și pe $3$ în ultimii doi: $$x\ast y=3-x(y-3)+3(y-3)=3-(y-3)(x-3)=3-(\mathbf{x}-3)(\mathbf{y}-3)$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(Control prin desfacere, în sens invers: $3-(x-3)(y-3)=3-(xy-3x-3y+9)=3-xy+3x+3y-9=3x+3y-xy-6$ — chiar legea din enunț. Forma aceasta se numește „deplasată": notând $u=x-3$ și $v=y-3$, compunerea devine $u\ast v\mapsto -uv$, adică aproape o înmulțire. De aici se citesc imediat două lucruri: elementul neutru este $2$, pentru că $x\ast 2=3-(x-3)(-1)=x$, iar $3$ este element absorbant.)

c) (5 p) Din forma de la subpunctul b), scăzând $3$ din ambii membri: $(x\ast y)-3=-(x-3)(y-3)$. Notând $u_n$ diferența dintre compusul a $n$ factori egali cu $x$ și numărul $3$, avem $u_1=x-3$ și $u_{n+1}=-u_n(x-3)$, deci prin inducție $u_n=(-1{)}^{n-1}(x-3{)}^n$. Pentru $n=2014$, exponentul $2013$ al lui $-1$ este impar, deci $u_{2014}=-(x-3{)}^{2014}$ și condiția din enunț devine $$3-(x-3{)}^{2014}=x\text{(3 p)}.$$ Notând $t=x-3$, ecuația se scrie $3-t^{2014}=t+3$, adică $t^{2014}+t=0$, sau $t(t^{2013}+1)=0$. Cum $2013$ este impar, ecuația $t^{2013}=-1$ are în $\mathbb{R}$ soluția unică $t=-1$; cealaltă posibilitate este $t=0$. Prin urmare $${\mathbf{x}}_1=3\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare, fără nicio formulă: pentru $x=3$, primul compus este deja $3\ast 3=3$, iar elementul fiind absorbant tot produsul rămâne $3$ — egal cu $x$. Pentru $x=2$, elementul neutru al legii, avem $2\ast 2=3-(2-3)(2-3)=3-1=2$, deci compusul rămâne $2$ oricâți factori ar fi. Unde se greșește de obicei: se ia $u_n=(x-3{)}^n$, uitând semnul alternant — cu el, pentru un exponent par se schimbă tot rezultatul; sau se caută soluții ale ecuației $t^{2013}=-1$ printre numerele complexe, deși enunțul cere numere reale.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și monotonie pe trei intervale.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se derivează cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul este $x-2$, cu derivata $1$, iar numitorul este $x^2-4x+5$, cu derivata $2x-4$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x-2{)}^{\prime }(x^2-4x+5)-(x-2)(x^2-4x+5{)}^{\prime }}{(x^2-4x+5{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Numărătorul devine $(x^2-4x+5)-(x-2)(2x-4)=(x^2-4x+5)-2(x-2{)}^2=x^2-4x+5-2x^2+8x-8=-x^2+4x-3$, iar acesta se factorizează ca $-(x-1)(x-3)=(1-x)(x-3)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+4x-3}{(x^2-4x+5{)}^2}=\frac{(1-x)(x-3)}{(x^2-4x+5{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Domeniul este tot $\mathbb{R}$ pentru că numitorul nu se anulează niciodată: $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\ge 1>0$. Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{(-1)\cdot (-1)}{1}=1$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $1$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus din mijlocul formulei câtului; sau se lasă numărătorul nefactorizat, din care nu se mai citesc punctele critice.)

b) (5 p) Se calculează limita funcției la $+\infty$. Gradul numitorului îl depășește pe cel al numărătorului, deci raportul tinde la zero: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-4x+5}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ — adică axa $Ox$ — este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Atenție la formularea enunțului: se cere „asimptota spre $+\infty$", fără să se spună ce fel de asimptotă. Procedura corectă este să calculezi întâi limita funcției: dacă iese finită, asimptota este orizontală și căutarea se oprește; abia dacă limita ar fi fost infinită ai fi trecut la panta unei eventuale asimptote oblice. Aici, orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc. Justificarea limitei: împărțind numărătorul și numitorul prin $x^2$ se obține $\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}\to \frac{0}{1}=0$. Control numeric: $f(1000)\approx 0,001$.)

c) (5 p) Numitorul $(x^2-4x+5{)}^2$ este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$, deci semnul derivatei este dat de produsul $(1-x)(x-3)$. Acesta se anulează în două locuri: $$f^{\prime }(x)=0⟺x_1=1\text{ și }{x}_2=3\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\in (-\infty ,1]$ avem $1-x\ge 0$ și $x-3<0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și funcția $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,1]$ (1 p).

Pentru $x\in [1,3]$ avem $1-x\le 0$ și $x-3\le 0$, deci produsul este nenegativ, $f^{\prime }(x)\ge 0$ și funcția $f$ este crescătoare pe $[1,3]$ (1 p).

Pentru $x\in [3,+\infty )$ avem $1-x<0$ și $x-3\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și funcția $f$ este descrescătoare pe $[3,+\infty )$ (1 p).

(Trinomul $-x^2+4x-3$ are coeficientul dominant negativ, deci este pozitiv doar între rădăcini și negativ în afara lor — exact tabloul de mai sus. Așadar $x=1$ este punct de minim, cu $f(1)=-\frac{1}{2}$, iar $x=3$ este punct de maxim, cu $f(3)=\frac{1}{2}$. Control numeric: $f(0)=-0,4$, $f(1)=-0,5$, $f(2)=0$, $f(3)=0,5$, $f(6)=0,235$ — coboară, urcă, coboară. Unde se greșește de obicei: se dau numai două intervale, ca și cum derivata ar avea o singură anulare; sau se citește semnul produsului $(1-x)(x-3)$ ca și cum ambii factori ar crește la fel — primul scade, al doilea crește.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale și integrare prin părți.

a) (5 p) Se integrează prin părți, luând $u=\ln x$ (care se derivează) și $v^{\prime }=x$ (care se integrează, dând $v=\frac{x^2}{2}$): $$I_1={\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-\frac{1}{2}{\int }_1^{e}xdx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $\frac{e^2}{2}\ln e-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{e^2}{2}$, iar al doilea $\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^e=\frac{e^2-1}{4}$, deci $$I_1=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{\mathbf{e}}^2+1}{4}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{e^2+1}{4}\approx 2,0973$, iar integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $2,09726$. Control prin derivare înapoi: ${\left(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right)}^{\prime }=x\ln x+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln x$ — chiar integrandul. Unde se greșește de obicei: se aleg invers rolurile, integrând logaritmul și derivând $x$ — drum posibil, dar mult mai greu; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$ din a doua integrală.)

b) (5 p) Monotonia se decide prin semnul diferenței. Cele două integrale au același interval, iar la integrand se dă factor comun $x{\ln }^{n}x$: $$I_{n+1}-I_n={\int }_1^{e}x(\ln x-1){\ln }^{n}xdx\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice $x\in [1,e]$ avem $x>0$, $\ln x\ge 0$ (deci și ${\ln }^{n}x\ge 0$) și $\ln x-1\le 0$, pentru că $\ln x\le \ln e=1$ pe acest interval. Integrandul este așadar negativ sau nul, iar integrala unei funcții negative este negativă, deci $${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ (Ideea de reținut: pe intervalul $[1,e]$ logaritmul ia valori între $0$ și $1$, iar puterile unui număr din acest interval SCAD când exponentul crește — exact ca puterile lui $x$ pe $[0,1]$. Control numeric: $I_1\approx 2,0973$, $I_2\approx 1,5973$, $I_3\approx 1,2986$. Unde se greșește de obicei: se afirmă că ${\ln }^{n+1}x\le {\ln }^{n}x$ „pentru orice $x$", ceea ce este fals pentru $x>e$; intervalul de integrare este esențial.)

c) (5 p) Se integrează prin părți în $I_{n+1}$, cu $u={\ln }^{n+1}x$ și $v^{\prime }=x$, folosind $({\ln }^{n+1}x{)}^{\prime }=(n+1){\ln }^{n}x\cdot \frac{1}{x}$: $$I_{n+1}={\int }_1^{e}x{\ln }^{n+1}xdx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{n+1}x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot (n+1){\ln }^{n}x\cdot \frac{1}{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $\frac{e^2}{2}{\ln }^{n+1}e-\frac{1}{2}{\ln }^{n+1}1=\frac{e^2}{2}$, iar integrala rămasă este $\frac{n+1}{2}{\int }_1^{e}x{\ln }^{n}xdx=\frac{n+1}{2}{I}_n$. Prin urmare $I_{n+1}=\frac{e^2}{2}-\frac{n+1}{2}{I}_n$, iar înmulțind cu doi și trecând termenul în stânga: $$2{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}+(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{e}}^2\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ (Frumusețea recurenței este că nicio integrală nu se calculează efectiv: ea leagă doi termeni consecutivi ai șirului fără să-i cunoască. Control numeric pentru $n=1$, unde $n+1=2$: $2I_2+2I_1\approx 2\cdot 1,59726+2\cdot 2,09726=7,38904$, iar $e^2\approx 7,38906$. Recurența dă și o cale de calcul rapidă: din $I_1=\frac{e^2+1}{4}$ rezultă $I_2=\frac{e^2}{2}-I_1=\frac{e^2-1}{4}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $n+1$ adus de derivarea puterii logaritmului; sau se folosește ${\ln }^{n+1}1=1$, deși $\ln 1=0$ și orice putere pozitivă a lui zero este zero.)