Bac M1 2014, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2014 a examenului național de bacalaureat, în ziua de 2 iulie 2014 — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația ca diferență a doi termeni consecutivi și suma primilor trei termeni — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei, $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=f(x_V)$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială dată sub formă de produs nul, cu injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numărarea numerelor de două cifre care conțin o cifră dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: relația lui Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, și lungimea laturii într-un triunghi echilateral — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: aria unui triunghi dreptunghic isoscel, ca semiprodus al catetelor — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, determinantul cu parametru factorizat și o ecuație matriceală rezolvată ca sistem de trei ecuații cu trei necunoscute — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame și relațiile lui Viète: valoarea unui polinom într-un punct, suma pătratelor rădăcinilor și suma cuburilor lor, obținută adunând relațiile $f(x_k)=0$ — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției $\frac{\ln x}{x}$: derivata unui cât, asimptota orizontală spre $+\infty$ și o inegalitate demonstrată prin punctul de maxim — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrală definită și șir de integrale: formula Leibniz–Newton, monotonia unui șir de integrale prin semnul diferenței și o ecuație în capătul de integrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2014. Subiectul I este cel mai scurt din anii apropiați: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, iar singura care cere numărare atentă este cea de probabilități — baremul oficial o și punctează pe trei bucăți, nu pe două, semn că separă explicit cazurile favorabile de cazurile posibile. Subiectul al II-lea este clasic pentru anul acela: la problema 1 o matrice cu parametru al cărei determinant se factorizează, urmată de un sistem liniar scris matriceal; la problema 2 un polinom în care parametrul se atacă numai prin relațiile lui Viète, fără să se calculeze vreo rădăcină. Subiectul al III-lea pune, la problema 1, funcția-etalon $\frac{\ln x}{x}$ cu tot lanțul ei — derivată, asimptotă, maxim — iar la problema 2 primul șir de integrale din acest lot de sesiuni: monotonia lui se demonstrează studiind semnul diferenței $I_{n+1}-I_n$, nu calculând integralele.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{1}{e}$ și $\frac{11}{6}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără să se spună câte cazuri posibile sunt; ordonata vârfului „citită" din enunț în loc să fie calculată; egalitatea $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ folosită fără să fie numită; determinantul cu parametru lăsat nefactorizat, din care nu se mai văd rădăcinile; suma cuburilor rădăcinilor calculată „prin rezolvarea ecuației", când polinomul nici nu are rădăcini reale toate; inegalitatea de la 9c afirmată fără tabloul de semn al derivatei.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: rația este $r=a_{n+1}-a_n$, iar $a_{n+1}=a_n+r$; suma primilor trei termeni este $S_3=a_1+a_2+a_3=3a_2$, pentru că termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor. Vârful parabolei: $x_V=-\frac{b}{2a}$, $y_V=f(x_V)=-\frac{\Delta }{4a}$. Ecuații exponențiale: funcția $x\mapsto a^x$ este injectivă pentru $a>0$, $a\ne 1$, deci $a^u=a^v\iff u=v$; un produs este nul exact când un factor este nul. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (relația lui Chasles). Triunghi dreptunghic: $\mathcal{S}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$, cu $c_1$ și $c_2$ catetele.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie; un sistem liniar se scrie $A\cdot X=B$, iar când $\det A\ne 0$ soluția este unică (regula lui Cramer).
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; suma cuburilor se obține adunând cele trei relații $f(x_k)=0$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finit. O funcție derivabilă care crește până într-un punct și scade după el își atinge acolo maximul global, deci $f(x)\le f(x_0)$ pe tot intervalul.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; monotonia unui șir de integrale se decide prin semnul diferenței, $I_{n+1}-I_n={\int }_a^b(g_{n+1}(x)-g_n(x))dx$, folosind că integrala unei funcții negative este negativă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2+2x+4$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-2X^2+3X+m$ de la itemul $8$ și cele două funcții de la Subiectul al III-lea, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ la itemul $9$ și $f(x)=x^2+x+1$ la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $A$ înseamnă la itemul $6$ vârful unui triunghi (unghiul din $A$ este drept), iar la itemul $7$ numele unei familii de matrice, $A(a)$. Tot la itemul $7$, litera $a$ este parametrul matricei, în timp ce la itemul $1$ literele $a_1$, $a_2$, $a_3$ sunt termenii unei progresii. Aria o notăm $\mathcal{S}$: baremul oficial folosește pentru ea simbolul $\mathcal{A}$, pe care noi îl evităm tocmai ca să nu se ciocnească de matricea $A$.
• Litera $e$ apare o singură dată, la itemul $9$, și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru. La itemul $10$, litera $n$ este indicele șirului de integrale $I_n$, nu un exponent al vreunei matrice.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$ știind că $a_1=6$ și $a_2=12$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+4$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(3^x-1)(3^x-3)=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să conțină cifra $1$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=2$. Calculați lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului isoscel $ABC$ știind că $A=\frac{\pi }{2}$ și $AC=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2& a& a\\ a& 2& 2\\ a& a& 2\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=8$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a))=0$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ știind că $A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3-2X^2+3X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $f(1)$.

b) (5 puncte) Arătați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ știind că $x_1^3+x_2^3+x_3^3=8$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)\le \frac{1}{e}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{11}{6}$.

b) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx$. Arătați că $I_{n+1}\le I_n$ pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real pozitiv $a$ știind că ${\int }_0^a\frac{2x+1}{f(x)}dx=\ln 3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică diferența a doi termeni consecutivi este constantă, deci rația este $r=a_2-a_1=12-6=6$, iar termenul următor se obține adunând rația: $$a_3=a_2+r=12+6=18\text{(2 p)}.$$ Suma cerută este atunci $$a_1+a_2+a_3=6+12+18=36\text{(3 p)}.$$ (Control pe alt drum: într-o progresie aritmetică termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor, deci $a_1+a_3=2a_2$ și suma primilor trei termeni este $3a_2=3\cdot 12=36$ — aceeași valoare, fără să mai calculezi $a_3$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $r=6$ drept primul termen, sau se adună doar $a_1+a_2$.)

Itemul 2. (5 p) — vârful parabolei.

Pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a=1$, $b=2$ și $c=4$, abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1\text{(2 p)}.$$ Ordonata se obține înlocuind în funcție: $$y_V=f(-1)=(-1{)}^2+2\cdot (-1)+4=1-2+4=3,$$ deci vârful parabolei este punctul $V(-1,3)$ (3 p).

(Control pe formula cu discriminantul: $\Delta =b^2-4ac=4-16=-12$, iar $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{12}{4}=3$ — aceeași ordonată. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din $x_V=-\frac{b}{2a}$, sau se scrie doar abscisa, când enunțul cere ambele coordonate.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Un produs de doi factori este nul exact când cel puțin unul dintre factori este nul, deci ecuația se rupe în două: $$3^x=1\text{ sau }{3}^x=3\text{(2 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci fiecare egalitate are cel mult o soluție; scriind $1=3^0$ și $3=3^1$, obținem $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=0$ primul factor este $1-1=0$, iar pentru $x=1$ al doilea este $3-3=0$. Unde se greșește de obicei: se desface produsul și se ajunge la o ecuație de gradul al doilea în $3^x$, drum corect dar mai lung; sau se „simplifică" prin $3^x$, ceea ce ar pierde soluția $x=0$. Observație utilă: pentru că exponențiala ia numai valori strict pozitive, nu există alte soluții ascunse.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele naturale de două cifre care conțin cifra $1$ sunt cele zece numere de la $10$ la $19$, la care se adaugă cele opt numere cu cifra unităților egală cu $1$ și cifra zecilor diferită de $1$, adică $21$, $31$, $41$, $51$, $61$, $71$, $81$ și $91$. Sunt așadar $10+8=18$ cazuri favorabile (2 p).

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Probabilitatea este raportul dintre cele două numărători: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $11$ o singură dată prea puțin sau de două ori — el conține cifra $1$ de două ori, dar este un singur număr; sau se iau $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră. Control prin complementară: numerele de două cifre fără cifra $1$ au cifra zecilor aleasă din opt valori și cifra unităților din nouă, adică $8\cdot 9=72$; iar $90-72=18$, exact cât am numărat.)

Itemul 5. (5 p) — vectori.

Suma a doi vectori „puși cap la cap" este vectorul care unește direct originea primului cu extremitatea celui de-al doilea — este relația lui Chasles: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\text{(2 p)}.$$ Triunghiul $ABC$ fiind echilateral, toate laturile sale sunt egale cu $AB=2$, deci $$\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Vert =\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =AC=2\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se adună lungimile, $2+2=4$ — lungimea sumei a doi vectori nu este suma lungimilor decât dacă vectorii au același sens. Control prin regula paralelogramului: unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ este de $120^{\circ }$, iar lungimea sumei iese $\sqrt{4+4+2\cdot 2\cdot 2\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{8-4}=2$ — aceeași valoare, pe drumul lung.)

Itemul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic isoscel.

Unghiul din $A$ măsoară $\frac{\pi }{2}$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$; fiind și isoscel, laturile egale sunt chiar catetele (ipotenuza este strict mai lungă decât fiecare catetă, deci ea nu poate fi egală cu una dintre ele). Prin urmare $$AB=AC=4\text{(2 p)}.$$ Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat cu formula generală $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$, pentru că $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Unde se greșește de obicei: se ia ipotenuza egală cu una dintre catete, ceea ce ar da un triunghi imposibil; sau se uită împărțirea la doi și se răspunde $16$. Control: ipotenuza iese $BC=4\sqrt{2}\approx 5,66$, mai mare decât fiecare catetă — cum și trebuie.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea devine numerică, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =8+0+0-0-0-0=8\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt: matricea este superior triunghiulară — sub diagonala principală sunt numai zerouri — iar determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală, $2\cdot 2\cdot 2=8$. Aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametru, tot cu regula lui Sarrus, și se factorizează rezultatul: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& a& a\\ a& 2& 2\\ a& a& 2\end{array}\right|=a^3-2a^2-4a+8\\ & =(a-2{)}^2(a+2)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un produs este nul exact când un factor este nul, deci $$\begin{array}{rl}& (a-2{)}^2(a+2)\\ & =0\\ & ⟺\mathbf{a}=-2\text{ sau }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control al factorizării prin desfacere: $(a-2{)}^2(a+2)=(a^2-4a+4)(a+2)=a^3-2a^2-4a+8$, exact polinomul obținut. Al doilea control, numeric: pentru $a=0$ formula dă $(-2{)}^2\cdot 2=8$, adică rezultatul de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se lasă determinantul desfăcut și se caută rădăcinile „din ochi"; sau se pierde rădăcina dublă $a=2$, socotind-o o singură soluție dintre cele două cerute.)

c) (5 p) Ecuația matriceală se citește ca sistem liniar: înmulțind $A(1)$ cu coloana necunoscutelor și egalând element cu element, $$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)⟹\{\begin{array}{l}2x+y+z=4\\ x+2y+2z=5\\ x+y+2z=4\end{array}\text{(2 p)}.$$ Scăzând ultima ecuație din a doua se obține $y=1$; scăzând-o din prima, $x-z=0$, adică $x=z$; înlocuind în ultima ecuație, $x+1+2x=4$, deci $x=1$ și $z=1$. Prin urmare $$X=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ (Verificare directă în cele trei ecuații: $2+1+1=4$, $1+2+2=5$ și $1+1+2=4$ — toate se potrivesc. Soluția este unică pentru că $\det (A(1))=(1-2{)}^2(1+2)=3\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. Unde se greșește de obicei: se înmulțește coloana cu matricea în ordinea inversă, care nici măcar nu este definită; sau se „simplifică" prin $A(1)$ fără să se verifice că matricea este inversabilă.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea și relațiile lui Viète.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$; toate puterile lui $1$ sunt egale cu $1$: $$f(1)=1^3-2\cdot 1^2+3\cdot 1+m\text{(2 p)}.$$ Reducând termenii numerici, $1-2+3=2$, deci $$f(1)=\mathbf{m}+2\text{(3 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: $f(1)$ este suma coeficienților polinomului. Unde se greșește de obicei: se uită parametrul $m$ din răspuns, sau se ia $-2X^2$ drept $(-2X{)}^2$.)

b) (5 p) Rădăcinile nu se calculează — se folosesc relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, cu $a=1$, $b=-2$, $c=3$ și $d=m$: $$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}=3\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor se scoate din pătratul sumei, scăzând dublul sumei produselor două câte două: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=2^2-2\cdot 3=-2\text{(3 p)}.$$ (Rezultatul negativ nu este o greșeală: el arată că rădăcinile nu sunt toate reale — o sumă de pătrate de numere reale ar fi fost nenegativă. Într-adevăr, pentru orice $m$ polinomul are cel puțin două rădăcini complexe conjugate, iar pătratele lor se pot aduna la un număr negativ. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x_1+x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, adică se uită dublul produselor.)

c) (5 p) Fiecare rădăcină verifică ecuația $f(x_k)=0$, adică $x_k^3-2x_k^2+3x_k+m=0$. Adunând cele trei relații: $$(x_1^3+x_2^3+x_3^3)-2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+3(x_1+x_2+x_3)+3m=0\text{(2 p)}.$$ Înlocuind valorile deja găsite, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2$ și $x_1+x_2+x_3=2$, rămâne $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3m-10$. Condiția din enunț devine $-3m-10=8$, de unde $$\mathbf{m}=-6\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $m=-6$ polinomul este $X^3-2X^2+3X-6=(X-2)(X^2+3)$, cu rădăcinile $2$, $i\sqrt{3}$ și $-i\sqrt{3}$; suma cuburilor este $8+(i\sqrt{3}{)}^3+(-i\sqrt{3}{)}^3=8-3i\sqrt{3}+3i\sqrt{3}=8$ — exact valoarea cerută, iar suma pătratelor iese $4-3-3=-2$, ca la subpunctul b). Unde se greșește de obicei: se scapă factorul $3$ din fața lui $m$ — termenul liber apare o dată pentru fiecare rădăcină; sau se încearcă rezolvarea efectivă a ecuației, care nu duce nicăieri fără $m$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și inegalitate prin punctul de maxim.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se derivează cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul este $\ln x$, cu derivata $\frac{1}{x}$, iar numitorul este $x$, cu derivata $1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(\ln x{)}^{\prime }\cdot x-\ln x\cdot x^{\prime }}{x^2}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind cele două derivate și simplificând primul termen de la numărător: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{1-\ln 2}{4}\approx 0,0767$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,0767$. Unde se greșește de obicei: se derivează „numărător pe numitor", adică $\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{x^{\prime }}=\frac{1}{x}$ — nu există o astfel de regulă; sau se pierde semnul minus din fața lui $\ln x$.)

b) (5 p) Se calculează limita funcției la $+\infty$. Este un caz de nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$, care se rezolvă cu regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ — adică axa $Ox$ — este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Atenție la formularea enunțului: se cere „asimptota spre $+\infty$", fără să se spună ce fel de asimptotă. Procedura corectă este să calculezi întâi limita funcției: dacă iese finită, asimptota este orizontală și căutarea se oprește aici; abia dacă limita ar fi fost infinită ai fi trecut la panta $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ a unei eventuale asimptote oblice. Aici $\frac{f(x)}{x}=\frac{\ln x}{x^2}\to 0$, deci oblică nici nu există — orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc. Control numeric: $f(1000)=\frac{\ln 1000}{1000}\approx 0,0069$, aproape de zero.)

c) (5 p) Din subpunctul a), semnul derivatei este dat de semnul numărătorului $1-\ln x$, pentru că numitorul $x^2$ este strict pozitiv. Cum $1-\ln x=0$ înseamnă $\ln x=1$, adică $x=e$: $$f^{\prime }(e)=0,f^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (0,e),f^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (e,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția crește deci pe $(0,e]$ și scade pe $[e,+\infty )$, adică își atinge în $x=e$ maximul global. Prin urmare, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, $$f(x)\le f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f^{\prime }(e)=0$ și se sare direct la concluzie — un punct în care derivata se anulează poate fi și minim, și punct de inflexiune; trebuie scris semnul derivatei de o parte și de alta. Control numeric: $\frac{1}{e}\approx 0,3679$, iar $f(2)\approx 0,3466$, $f(3)\approx 0,3662$ și $f(4)\approx 0,3466$ — toate sub prag, cu apropierea maximă în jurul lui $e\approx 2,718$. Observație: inegalitatea se poate rescrie $\ln x\le \frac{x}{e}$, adică graficul logaritmului stă sub dreapta care îi este tangentă în punctul de abscisă $e$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și șir de integrale.

a) (5 p) Funcția este un polinom, deci se integrează termen cu termen, cu $\int x^{k}dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+\mathcal{C}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x^2+x+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, înlocuind capetele: $${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1-0=\frac{2+3+6}{6}=\frac{11}{6}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{11}{6}\approx 1,8333$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $1,83333$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul liber $1$, a cărui primitivă este $x$; sau se scrie capătul de jos „pentru că oricum dă zero" — el se scrie chiar și atunci.)

b) (5 p) Monotonia unui șir de integrale se decide prin semnul diferenței, nu prin calculul fiecărei integrale. Cele două integrale au același interval și același numitor, deci se scad sub aceeași integrală, iar la numărător se dă factor comun $x^n$: $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+1}-x^n}{x^2+x+1}dx={\int }_0^1\frac{x^n(x-1)}{x^2+x+1}dx\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice $x\in [0,1]$ avem $x^n\ge 0$, $x-1\le 0$ și $x^2+x+1>0$, deci integrandul este negativ sau nul pe tot intervalul. Integrala unei funcții negative pe un interval este negativă, așadar $I_{n+1}-I_n\le 0$, adică $${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ (De ce este numitorul strict pozitiv: discriminantul lui $x^2+x+1$ este $1-4=-3<0$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul nu se anulează niciodată și păstrează semnul plus pe tot $\mathbb{R}$. Unde se greșește de obicei: se compară $x^{n+1}$ cu $x^n$ „în general", fără să se spună că pe $[0,1]$ puterile scad cu exponentul; sau se încearcă un calcul explicit al lui $I_n$, care nu se poate face elementar. Control numeric: $I_1\approx 0,2470$, $I_2\approx 0,1484$, $I_3\approx 0,1046$ — șir descrescător, cum arată demonstrația.)

c) (5 p) Numărătorul $2x+1$ este exact derivata numitorului $x^2+x+1$, deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, a cărui primitivă este $\ln |u|$. Cum numitorul este strict pozitiv, modulul dispare: $${\int }_0^a\frac{2x+1}{f(x)}dx={\int }_0^a\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\ln (x^2+x+1){|}_0^a=\ln (a^2+a+1)\text{(3 p)}.$$ Capătul de jos dă $\ln 1=0$, deci nu adaugă nimic. Condiția din enunț devine $$\ln (a^2+a+1)=\ln 3⟺a^2+a+1=3⟺a^2+a-2=0,$$ ecuație cu rădăcinile $-2$ și $1$, dintre care singura pozitivă este $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Logaritmul este o funcție injectivă, de aceea egalitatea logaritmilor se poate „desface" în egalitatea argumentelor — amândouă sunt strict pozitive, deci pasul este legitim. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva ca $\frac{\ln (2x+1)}{\dots }$, adică se logaritmează numărătorul; sau se păstrează și rădăcina negativă, deși enunțul cere explicit un număr real pozitiv. Control numeric: ${\int }_0^1\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx$ calculată numeric dă $1,09861$, iar $\ln 3\approx 1,09861$.)