Bac M1 2014, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea iunie-iulie 2014 a examenului național de bacalaureat, cu data de examen 2 iulie 2014 — Varianta 5. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care subiectul principal nu mai poate fi folosit; ele au exact același format, aceeași dificultate și același barem pe pași ca varianta extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi, $b_2^2=b_1\cdot b_3$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: semnul constant al unui trinom cu discriminant negativ, citit din poziția parabolei față de axa $Ox$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea: ridicarea la cub, care este o transformare echivalentă — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele de două cifre având suma cifrelor dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și lungimea unui vector de poziție — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: identificarea unghiului dintr-un cosinus remarcabil, pe un interval dat, și formula $\sin 2x=2\sin x\cos x$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul matricei numerice, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(x+y+4xy)$ și condiția ca o matrice să fie egală cu inversa ei — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame cu coeficienți reali: valoarea în zero, rădăcinile complexe conjugate ale unui polinom cu coeficienți reali și suma cuburilor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, monotonie: derivata unui cât, ecuația tangentei într-un punct în care panta este nulă și tabloul de monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, o relație de recurență obținută prin simplificarea sumei $I_{n+3}+I_n$ și limita șirului, prin încadrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2014, la varianta de rezervă. Subiectul I are aceeași croială scurtă ca varianta principală, dar cu două capcane în plus: radicalul de la cerința $3$ este de ordinul al treilea, deci se ridică la cub și nu cere nicio verificare a soluțiilor, iar cerința $6$ nu se poate rezolva „direct din formulă" — trebuie întâi identificat unghiul. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, o familie de matrice stabilă la înmulțire cu o lege ciudată de compunere a parametrilor, $x\circ y=x+y+4xy$, iar subpunctul c) traduce „egală cu inversa ei" în ecuația $A(x{)}^2=I_3$. La problema 2, cheia este teorema rădăcinilor complexe conjugate: un polinom cu coeficienți reali care are rădăcina $1+i$ o are automat și pe $1-i$. Subiectul al III-lea este cel mai tehnic din lot: la problema 1 tangenta se cere exact în punctul în care derivata se anulează (deci este orizontală), iar la problema 2 relația $I_{n+3}+I_n=\frac{1}{n+1}$ se obține fără să se calculeze niciuna dintre integrale, doar observând că numărătorul se recompune în numitor.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\frac{1}{3}\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: poziția parabolei afirmată doar din discriminant, fără semnul coeficientului dominant; radicalul de ordinul al treilea tratat ca unul de ordinul al doilea, cu condiție de existență inventată; unghiul „ghicit" fără intervalul din enunț; „egală cu inversa ei" scris fără ecuația matriceală care îl traduce; rădăcina conjugată folosită fără să se spună că polinomul are coeficienți reali; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei pe fiecare dintre ele.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: trei numere $b_1$, $b_2$, $b_3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice exact când $b_2^2=b_1\cdot b_3$ (termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor). Semnul trinomului: dacă $\Delta <0$, trinomul păstrează semnul coeficientului dominant $a$ pe tot $\mathbb{R}$; parabola stă atunci în întregime deasupra axei $Ox$ (când $a>0$) sau sub ea. Radicalul de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=v\iff u=v^3$ — echivalență adevărată pentru orice numere reale, fără condiții de existență și fără verificare. Mijlocul segmentului: $M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; lungimea vectorului de poziție: $\Vert \overrightarrow{OM}\Vert =\sqrt{x_M^2+y_M^2}$. Trigonometrie: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Matrice: o matrice $A$ este egală cu inversa ei exact când $A\cdot A=I_3$; determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală.
• Polinoame: dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina complexă $z$, atunci are și rădăcina $\overline{z}$; relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.
• Derivate și tangente: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; când $f^{\prime }(x_0)=0$, tangenta este orizontală, de ecuație $y=f(x_0)$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; limita unui șir de integrale se obține de obicei prin încadrare (criteriul cleștelui), mărginind integrandul pe intervalul de integrare.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2+x+4$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+X^2-4X+2a$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• ⚠️ Litera $I$ apare cu două înțelesuri complet diferite. La itemul $7$, subpunctul c), $I_3$ este matricea unitate de ordinul al treilea — matricea cu $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest. La itemul $10$, $I_n$ este termenul general al unui șir de numere, o integrală. Nu au nicio legătură între ele: indicele de la matrice arată ordinul, indicele de la șir arată exponentul de sub integrală. Din fericire, ele apar la subiecte diferite.
• Litera $a$ este parametrul polinomului la itemul $8$, iar literele $x$ și $y$ sunt parametrii familiei de matrice la itemul $7$ — nu necunoscute, deși seamănă. La itemul $7$, subpunctul c), $x$ chiar redevine necunoscută. Litera $i$ de la itemul $8$ este unitatea imaginară, $i^2=-1$, nu un indice.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $2$, $4$ și $x+5$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Itemul 2 (5 puncte)

Arătați că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+4$ este situată deasupra axei $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2-1}=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu $7$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,4)$ și $B(1,2)$. Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{OM}$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, calculați $\sin 2x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2x& 0\\ 0& 4x+1& 0\\ 0& 3x& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y+4xy)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, $x\ne -\frac{1}{4}$, pentru care matricea $A(x)$ este egală cu inversa ei.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2-4X+2a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $f(0)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ știind că $1+i$ este rădăcină a polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $a=3$, arătați că $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-31$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$, $x\in (2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=4$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^3+1}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_2=\frac{1}{3}\ln 2$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+3}+I_n=\frac{1}{n+1}$ pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice exact când termenul din mijloc este media lor geometrică, adică pătratul lui este egal cu produsul celorlalte două: $$2\cdot (x+5)=4^2\text{(2 p)}.$$ Rezolvând ecuația de gradul întâi, $2x+10=16$, deci $2x=6$ și $$\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=3$ cele trei numere sunt $2$, $4$ și $8$, cu rația $q=2$ — într-adevăr o progresie geometrică. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția ca la progresia aritmetică, $2\cdot 4=2+(x+5)$, care ar da $x=1$; sau se împarte greșit, $x+5=\frac{16}{2}$ fiind corect, dar $x+5=16\cdot 2$ nu.)

Itemul 2. (5 p) — semnul unui trinom de gradul al doilea.

Se calculează discriminantul, cu $a=1$, $b=1$ și $c=4$: $$\Delta =b^2-4ac=1-16=-15\text{(2 p)}.$$ Discriminantul fiind negativ, trinomul nu se anulează niciodată, deci păstrează pe tot $\mathbb{R}$ semnul coeficientului dominant. Cum $a=1>0$ și $\Delta <0$, avem $f(x)>0$ pentru orice $x$ real, adică parabola asociată funcției $f$ este situată deasupra axei $Ox$ (3 p).

(Al doilea drum, prin forma canonică: $x^2+x+4={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}\ge \frac{15}{4}>0$ — se vede direct și că minimul funcției este $\frac{15}{4}$, atins în $x=-\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se spune doar „$\Delta <0$, deci parabola nu taie axa" — adevărat, dar insuficient: fără semnul lui $a$ nu se știe dacă parabola stă deasupra sau dedesubt.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea.

Radicalul este de ordinul al treilea, deci se ridică la cub; funcția $t\mapsto t^3$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$, așa că transformarea este echivalentă și nu introduce soluții străine: $$x^2-1=2^3=8⟺x^2-9=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2=9$ are rădăcinile $${\mathbf{x}}_1=-3\text{ și }{\mathbf{x}}_2=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\sqrt[3]{(\pm 3{)}^2-1}=\sqrt[3]{8}=2$ pentru amândouă. Unde se greșește de obicei: se tratează radicalul ca pe unul de ordinul al doilea și se cere condiția $x^2-1\ge 0$ — inutilă aici, pentru că radicalul de ordin impar este definit și pentru numere negative; sau se păstrează doar rădăcina pozitivă, deși ecuația nu impune nimic despre semnul lui $x$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele naturale de două cifre cu suma cifrelor egală cu $7$ se scriu direct, luând pe rând cifra zecilor de la $1$ la $7$: $16$, $25$, $34$, $43$, $52$, $61$ și $70$. Sunt așadar $7$ cazuri favorabile (2 p).

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Probabilitatea este raportul dintre cele două numărători: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}\text{(2 p)}.$$ (Fracția $\frac{7}{90}$ este deja ireductibilă, pentru că $7$ este prim și nu divide $90$. Unde se greșește de obicei: se adaugă și $07$, care nu este număr de două cifre; sau se uită $70$, singurul din listă cu cifra unităților nulă. Control: cifra zecilor nu poate depăși $7$, altfel cifra unităților ar trebui să fie negativă — de aceea lista are exact șapte elemente.)

Itemul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și lungimea vectorului de poziție.

Mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Pentru $A(-1,4)$ și $B(1,2)$: $$M\left(\frac{-1+1}{2},\frac{4+2}{2}\right)=M(0,3)\text{(2 p)}.$$ Lungimea vectorului de poziție al unui punct este distanța de la origine la acel punct: $$\Vert \overrightarrow{OM}\Vert =\sqrt{0^2+3^2}=3\text{(3 p)}.$$ (Punctul $M$ se află chiar pe axa $Oy$, pentru că abscisa lui este nulă — de aceea distanța la origine se citește direct din ordonată. Unde se greșește de obicei: se calculează lungimea segmentului $AB$ în loc de $OM$; sau se adună coordonatele capetelor fără să se împartă la doi. Control: $AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\approx 2,83$, altă valoare decât $3$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ funcția cosinus este injectivă, iar valoarea $\frac{\sqrt{3}}{2}$ este cosinusul unui unghi remarcabil: $$x=\frac{\pi }{6}\text{(2 p)}.$$ Cu formula unghiului dublu, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, sau direct înlocuind unghiul: $$\sin 2x=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat pe drumul cu formula: din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin x>0$ pe interval, $\sin x=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$, deci $\sin 2x=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Coincidența $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}$ nu este întâmplătoare: unghiurile sunt complementare. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 2x=2\sin x$, adică se „scoate" factorul din argument — operație interzisă la funcțiile trigonometrice; sau se ia $\sin x=-\frac{1}{2}$, ignorând că pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ matricea devine numerică, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Observația care contează pentru subpunctul c): $A(0)$ este chiar matricea unitate $I_3$. Determinantul ei este $1$, cum se vede și fără calcul, fiind o matrice diagonală cu $1$ pe diagonală.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Elementele de pe prima coloană și de pe ultima rămân neschimbate, iar toată acțiunea se petrece pe coloana din mijloc: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2x+2y+8xy& 0\\ 0& 4x+4y+16xy+1& 0\\ 0& 3x+3y+12xy& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dând factor comun în fiecare element al coloanei din mijloc se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $x+y+4xy$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2(x+y+4xy)& 0\\ 0& 4(x+y+4xy)+1& 0\\ 0& 3(x+y+4xy)& 1\end{array}\right)\\ & =A(x+y+4xy)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul de pe linia a doua, coloana a doua este $(4x+1)(4y+1)=16xy+4x+4y+1=4(x+y+4xy)+1$ — exact ce cere formula. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $y=0$ avem $A(0)=I_3$, iar formula prezice $A(x)\cdot I_3=A(x+0+0)=A(x)$ — adevărat.)

c) (5 p) O matrice este egală cu inversa ei exact când produsul ei cu ea însăși dă matricea unitate. Folosind relația de la subpunctul b) cu $y=x$, iar apoi observația de la a), că $A(0)=I_3$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(x)\\ & =I_3⟹A(2x+4x^2)\\ & =A(0)⟹2x+4x^2=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Ecuația se rezolvă dând factor comun, $2x(1+2x)=0$, de unde $${\mathbf{x}}_1=0\text{ și }{\mathbf{x}}_2=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Amândouă valorile respectă restricția $x\ne -\frac{1}{4}$ din enunț — acolo elementul $4x+1$ s-ar anula și matricea nici n-ar mai fi inversabilă, deci cerința n-ar avea sens. Verificare pentru $x=-\frac{1}{2}$: parametrul compus este $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+4\cdot \frac{1}{4}=-1+1=0$, deci produsul chiar dă $I_3$. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv inversa matricei, drum corect dar mult mai lung; sau se împarte ecuația la $x$ și se pierde soluția $x=0$, care corespunde chiar matricei unitate — și ea este propria inversă.)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu o rădăcină complexă dată.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în zero se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$; toate puterile lui $0$ se sting: $$f(0)=0^3+0^2-4\cdot 0+2a\text{(2 p)}.$$ Rămâne doar termenul liber: $$f(0)=2a\text{(3 p)}.$$ (Regula de reținut: $f(0)$ este întotdeauna termenul liber al polinomului. Unde se greșește de obicei: se răspunde $a$, uitând factorul $2$; sau se răspunde $0$, ca și cum s-ar stinge și termenul liber.)

b) (5 p) Polinomul are coeficienți reali, deci rădăcinile lui complexe nereale vin în perechi de numere conjugate. Cum $1+i$ este rădăcină, este și conjugatul ei: $$x_1=1+i⟹x_2=1-i\text{(1 p)}.$$ Prima relație a lui Viète dă suma celor trei rădăcini, $x_1+x_2+x_3=-\frac{1}{1}=-1$; cum $x_1+x_2=2$, rezultă $$x_3=-1-2=-3\text{(2 p)}.$$ A treia relație a lui Viète dă produsul rădăcinilor, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{2a}{1}=-2a$. Cum $x_1{x}_2=(1+i)(1-i)=1-i^2=2$, produsul este $2\cdot (-3)=-6$, deci $-2a=-6$ și $$\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $a=3$, $f(1+i)=(1+i{)}^3+(1+i{)}^2-4(1+i)+6=(-2+2i)+2i-4-4i+6=0$ — într-adevăr rădăcină. Unde se greșește de obicei: se folosește conjugata fără să se spună de ce are voie — teorema rădăcinilor complexe conjugate cere explicit coeficienți REALI; sau se uită semnul minus din $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.)

c) (5 p) Pentru $a=3$ rădăcinile sunt cele găsite la subpunctul b): $1+i$, $1-i$ și $-3$. Se calculează separat cuburile celor două numere complexe, folosind $(1+i{)}^2=2i$: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(1+i{)}^3+(1-i{)}^3+(-3{)}^3\text{(3 p)}.$$ Cum $(1+i{)}^3=(1+i)\cdot 2i=2i+2i^2=-2+2i$ și, conjugând, $(1-i{)}^3=-2-2i$, părțile imaginare se reduc: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(2i-2)+(-2i-2)-27=-4-27=-31\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, fără numere complexe, prin relațiile lui Viète: cu $x_1+x_2+x_3=-1$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-4$ și $x_1{x}_2{x}_3=-6$, suma pătratelor este $(-1{)}^2-2(-4)=9$, iar adunând relațiile $f(x_k)=0$ se obține $(\sum x_k^3)+9-4\cdot (-1)+18=0$, deci $\sum x_k^3=-31$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se calculează $(1+i{)}^3$ ca $1+i^3$; sau se uită că $(-3{)}^3=-27$, nu $-9$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă orizontală și monotonie.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se derivează cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul este $x^2$, cu derivata $2x$, iar numitorul este $x-2$, cu derivata $1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x^2{)}^{\prime }\cdot (x-2)-x^2\cdot (x-2{)}^{\prime }}{(x-2{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Desfăcând numărătorul și grupând, $2x(x-2)-x^2=2x^2-4x-x^2=x^2-4x=x(x-4)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2},x\in (2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=3$ formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{3\cdot (-1)}{1}=-3$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $-3$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus din mijlocul formulei câtului; sau se lasă numărătorul nefactorizat, din care nu se mai văd punctele critice.)

b) (5 p) Ecuația tangentei într-un punct de pe grafic se scrie cu formula $$y-f(4)=f^{\prime }(4)(x-4)\text{(2 p)}.$$ Se calculează cele două valori: $f(4)=\frac{16}{2}=8$ și $f^{\prime }(4)=\frac{4\cdot 0}{4}=0$. Panta fiind nulă, tangenta este orizontală, deci ecuația ei este $$\mathbf{y}=8\text{(3 p)}.$$ (Faptul că $f^{\prime }(4)=0$ nu este o coincidență: la subpunctul c) se vede că $x=4$ este chiar punctul de minim al funcției, iar în vârful unei „văi" tangenta este întotdeauna orizontală. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta ca $x=4$, adică o dreaptă verticală — aceea ar fi o tangentă cu pantă infinită, nu nulă; sau se înlocuiește $f^{\prime }(4)$ cu $f(4)$.)

c) (5 p) Pe intervalul $(2,+\infty )$ numitorul $(x-2{)}^2$ este strict pozitiv, iar factorul $x$ este și el strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat numai de factorul $x-4$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=4\text{(1 p)}.$$ Pentru $x\in (2,4]$ avem $x-4\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și funcția $f$ este descrescătoare pe $(2,4]$ (2 p).

Pentru $x\in [4,+\infty )$ avem $x-4\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și funcția $f$ este crescătoare pe $[4,+\infty )$ (2 p).

(Punctul $x=4$ este așadar punct de minim, cu valoarea $f(4)=8$ — de aceea tangenta de la subpunctul b) a ieșit orizontală. Unde se greșește de obicei: se dau intervalele deschise în $4$, deși în punctul de anulare a derivatei funcția este continuă și monotonia se prelungește până acolo inclusiv; sau se uită că factorul $x$ nu-și schimbă semnul pe domeniu, iar $x=0$ nici nu aparține domeniului. Control numeric: $f(3)=9$, $f(4)=8$, $f(6)=9$ — coboară și apoi urcă, exact cum arată tabloul.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu relație de recurență.

a) (5 p) Pentru $n=2$ numărătorul este $x^2$, iar derivata numitorului $x^3+1$ este $3x^2$ — deci integrandul devine, după înmulțirea și împărțirea cu $3$, de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$: $$I_2={\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva este $\ln |u|$, iar pe $[0,1]$ numitorul este strict pozitiv, deci modulul dispare: $$I_2=\frac{1}{3}\ln (x^3+1){|}_0^1=\frac{1}{3}(\ln 2-\ln 1)=\frac{1}{3}\ln 2\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{1}{3}\ln 2\approx 0,23105$, iar integrala calculată numeric dă $0,23105$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{3}$ care compensează cei trei aduși de derivata numitorului; sau se scrie primitiva ca $\frac{\ln x^2}{\ln (x^3+1)}$, adică se inventează o „regulă a câtului" la integrare.)

b) (5 p) Cele două integrale au același interval și același numitor, deci se adună sub același semn de integrare; la numărător se dă factor comun $x^n$ și apare chiar numitorul: $$I_{n+3}+I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+3}}{x^3+1}dx+{\int }_0^1\frac{x^n}{x^3+1}dx={\int }_0^1\frac{x^n(x^3+1)}{x^3+1}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală este imediată: $$I_{n+3}+I_n=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{\mathbf{n}+1}\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ (Toată frumusețea subpunctului stă în observația că $x^{n+3}+x^n=x^n(x^3+1)$, adică numărătorul se recompune exact în numitor și fracția dispare. Control numeric pentru $n=1$: $I_4+I_1\approx 0,1264+0,3736=0,5000=\frac{1}{2}$, exact cât prezice formula. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul separat al fiecărei integrale, care nu se poate face elementar pentru $n$ oarecare.)

c) (5 p) Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice $x\in [0,1]$ avem $x^n\ge 0$ și $x^3+1>0$, deci integrandul este nenegativ pe tot intervalul, iar integrala unei funcții nenegative este nenegativă: $$I_n\ge 0\text{(2 p)}.$$ Aceeași inegalitate, scrisă pentru indicele $n+3$, dă $I_{n+3}\ge 0$; folosind relația de la subpunctul b), $I_n=\frac{1}{n+1}-I_{n+3}\le \frac{1}{n+1}$. Șirul este deci prins între două șiruri care tind la zero: $$0\le I_n\le \frac{1}{n+1}⟹\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0\text{(3 p)}.$$ (Este criteriul cleștelui: dacă $a_n\le b_n\le c_n$ și $a_n$, $c_n$ au aceeași limită, atunci și $b_n$ o are. Control numeric: $I_{10}\approx 0,0514$, iar $\frac{1}{11}\approx 0,0909$ — încadrarea se verifică. Unde se greșește de obicei: se trece la limită direct sub integrală, fără justificare; sau se afirmă că șirul tinde la zero „pentru că este descrescător", ceea ce nu ajunge — un șir descrescător și mărginit inferior poate avea orice limită nenegativă.)