Bac M1 2014, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, în anul 2014 — documentul pe care Ministerul Educației Naționale, prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, îl dă la începutul anului școlar ca să arate exact ce structură și ce nivel vor avea subiectele din sesiunile examenului. Nu poartă număr de variantă, pentru că nu a fost dat la o probă: pe antetul lui scrie doar „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: împărțirea în formă algebrică prin amplificare cu conjugatul și noțiunea de conjugat — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei, $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu multiplii lui $100$ de trei cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: descompunerea după $\vec{i}$ și $\vec{j}$, relația lui Chasles și lungimea unui vector — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul oarecare: suma unghiurilor și teorema sinusurilor — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: o simetrie a familiei $A(x)$, determinantul cu parametru și un sistem omogen cu determinant nul, deci nedeterminat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, relațiile lui Viète cu suma pătratelor rădăcinilor și condiția ca toate rădăcinile să fie reale, prin factorizare — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unui radical compus, asimptota spre $+\infty$ prin procedura în trei pași și intervalele de monotonie din semnul derivatei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: integrare prin părți, relație de recurență și demonstrație prin inducție matematică — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2014. Modelul spune profesorilor și elevilor trei lucruri. Întâi, că Subiectul I rămâne un traseu de șase pași scurți, unul din fiecare capitol mare al claselor a IX-a și a X-a, fără nicio cerință de „descoperire" — dar cu punctajul spart în trei tranșe la itemii $1$ și $4$, ceea ce înseamnă că fiecare pas trebuie scris, nu doar rezultatul. Apoi, că Subiectul al II-lea leagă matricele de sisteme liniare: subpunctul c) al problemei $1$ nu cere un calcul, ci recunoașterea unui sistem omogen cu determinant nul. În fine, că Subiectul al III-lea urcă mult la problema $2$: un șir de integrale cu recurență și, la c), o demonstrație prin inducție matematică — singurul loc din întreaga probă unde se cere o schemă de demonstrație completă, cu verificare și pas de inducție, iar baremul îi acordă patru din cele cinci puncte ale subpunctului.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $65$ de minute pentru Subiectul al III-lea (din care jumătate pentru problema $2$), iar ultimele $25$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{2}$, $y=x+\frac{1}{2}$ și $\mathrm{e}-2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile ecuației logaritmice date fără eliminarea celei care nu convine; probabilitatea scrisă fără numărarea separată a celor două mulțimi; asimptota scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; monotonia declarată fără tabelul de semn al derivatei; inducția scrisă fără verificarea pentru $n=1$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului, $\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{z\overline{w}}{|w{|}^2}$; conjugatul lui $a+bi$ este $a-bi$. Funcția de gradul al doilea: vârful parabolei $f(x)=a{x}^2+bx+c$ este $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\Rightarrow u=v$, dar numai după punerea condițiilor $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de trei cifre sunt $900$ la număr. Vectori: relația lui Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$; lungimea vectorului $x\vec{i}+y\vec{j}$ este $\sqrt{x^2+y^2}$. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, plus $A+B+C=\pi$.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar omogen are întotdeauna soluția nulă; el are o infinitate de soluții exact când determinantul lui este zero. Determinantul de ordinul al treilea se calculează prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$: $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$; suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; dacă $f(\alpha )=0$, atunci $X-\alpha$ divide polinomul $f$.
• Derivate și asimptote: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; procedura în trei pași a asimptotei spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat; semnul derivatei dă monotonia.
• Șiruri de integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$, este unealta standard pentru relații de recurență; inducția matematică cere două lucruri scrise: verificarea pentru primul indice și pasul de la $k$ la $k+1$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2+4x-12$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+m{X}^2+mX+1$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ de la itemul $9$ și, implicit, integrandul de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Sintagma „rădăcinile complexe ale polinomului", de la itemul $8$, subpunctul b), înseamnă rădăcinile din mulțimea numerelor complexe, adică nu neapărat reale — nu „rădăcinile care nu sunt reale". Fără această lectură cerința ar părea imposibilă: o sumă de pătrate ar trebui să fie $-1$, ceea ce pe numere reale nu se poate. Tocmai de aceea enunțul precizează „complexe": rădăcinile pot fi nereale, iar pătratele lor pot da o sumă negativă.
• Litera $x$ este necunoscută la itemii $1$, $3$ și $7$, variabilă a funcției la itemii $2$, $9$ și $10$, iar la itemul $7$ este parametrul familiei de matrice $A(x)$ și, în același timp, necunoscuta ecuației $\det (A(x))=0$. Litera $m$ este parametru la itemul $8$ și panta asimptotei în rezolvarea itemului $9$; a doua folosire e a noastră, nu a subiectului.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $a+ib$ este conjugatul numărului complex $z=\frac{1+i}{1-i}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x-12$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x^2-4)={\log }_3(6x-12)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu $100$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}$. Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $AC$ a triunghiului $ABC$, știind că $BC=8$, $A=\frac{\pi }{4}$ și $C=\frac{7\pi }{12}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& -x\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Arătați că $A(x)+A(-x)=2A(0)$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det (A(x))=0$.

c) (5 puncte) Arătați că există o infinitate de matrice $X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2+mX+1$, unde $m$ este un număr real.

a) (5 puncte) Calculați $f(-1)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ știind că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $f$ sunt reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1(1-x{)}^n{\mathrm{e}}^{x}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $I_n=n!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}-\dots -\frac{1}{n!}\right)$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — împărțirea numerelor complexe și conjugatul.

Împărțirea se face amplificând fracția cu conjugatul numitorului, $\overline{1-i}=1+i$: $$z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=\mathbf{i}\text{(2 p)}.$$ Conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: $$\overline{z}=\overline{i}=-\mathbf{i}\text{(1 p)}.$$ Enunțul spune că $a+ib$ este chiar acest conjugat, adică $a+ib=0+(-1)i$. Două numere complexe sunt egale când au și părțile reale, și părțile imaginare egale, deci $$\mathbf{a}=0\text{ și }\mathbf{b}=-1\text{(2 p)}.$$ (Control: $z\cdot \overline{z}=i\cdot (-i)=-i^2=1=|z{|}^2$, iar $|z|=\frac{|1+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se răspunde $a=0$, $b=1$, adică se dau părțile lui $z$, nu ale conjugatului lui; enunțul cere conjugatul, deci semnul se schimbă. A doua capcană: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2$, uitând dublul produs.)

Itemul 2. (5 p) — vârful parabolei.

Pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a=1$, $b=4$, $c=-12$, abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\text{(2 p)}.$$ Ordonata se obține cel mai simplu înlocuind în funcție: $$y_V=f(-2)=(-2{)}^2+4\cdot (-2)-12=4-8-12=-16\text{(3 p)}.$$ (Al doilea drum: $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$, cu $\Delta =16+48=64$, deci $y_V=-\frac{64}{4}=-16$ — aceeași valoare, control gratuit. Vârful este $V(-2,-16)$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula lui $x_V$ și iese $2$; controlul e imediat, pentru că parabola are ramurile în sus, iar vârful trebuie să fie minimul, adică valoarea cea mai mică — $f(2)=0$, mai mare decât $f(-2)=-16$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritm este injectivă, deci două logaritmi în aceeași bază sunt egali exact când argumentele coincid: $$x^2-4=6x-12⟹x^2-6x+8=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =36-32=4$ și rădăcinile $x_1=2$, $x_2=4$. Acum se verifică condițiile de existență, care cer ca ambele argumente să fie strict pozitive: pentru $x=2$ avem $x^2-4=0$ și $6x-12=0$, deci logaritmii nu există — $x_1=2$ nu convine; pentru $x=4$ avem $x^2-4=12>0$ și $6x-12=12>0$, deci $x_2=4$ verifică ecuația (3 p).

(Control: ${\log }_{3}12={\log }_{3}12$, evident adevărat. Unde se greșește de obicei: se dau ambele rădăcini ca soluții — este cea mai frecventă pierdere de punctaj la ecuațiile logaritmice. Regula: condițiile de existență se pun fie de la început, fie ca verificare la final, dar nu se sar niciodată. Observație: aici cele două argumente sunt egale între ele pentru ambele rădăcini, pentru că $x^2-4=6x-12$ este chiar ecuația rezolvată; ce le desparte este doar pozitivitatea.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele de trei cifre divizibile cu $100$ sunt $100,200,300,400,500,600,700,800$ și $900$, adică $9$ cazuri favorabile (2 p).

Mulțimea numerelor naturale de trei cifre este $\{100,101,\dots ,999\}$ și are $999-100+1=900$ de elemente, deci sunt $900$ de cazuri posibile (1 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{900}=\frac{1}{100}\text{(2 p)}.$$ (Control fără listă: multiplii de trei cifre ai lui $100$ sunt $100\cdot k$ cu $k$ de la $1$ la $9$, deci exact $9$. Unde se greșește de obicei: se adaugă și $1000$, care are patru cifre; sau se numără $999:100=9$ și se ia rezultatul drept probabilitate. Observație: rezultatul $\frac{1}{100}$ are o citire simplă — dintre numerele de trei cifre, unul din o sută se termină în două zerouri.)

Itemul 5. (5 p) — vectori și relația lui Chasles.

Din relația lui Chasles, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, deci $$\overrightarrow{AC}=(4\vec{i}-3\vec{j})+(2\vec{i}-5\vec{j})=6\vec{i}-8\vec{j}⟹\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ Suma cerută se rescrie folosind aceeași relație: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, deci $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC},$$ iar lungimea unui vector dublat este dublul lungimii, adică $2\cdot 10=20$ (3 p).

(Control pe coordonate: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=(4+6+2)\vec{i}+(-3-8-5)\vec{j}=12\vec{i}-16\vec{j}$, cu lungimea $\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se adună lungimile în loc de vectori, adică $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert +\Vert \overrightarrow{AC}\Vert +\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =5+10+\sqrt{29}\approx 20,39$ — aproape de rezultat, dar greșit; lungimea sumei nu este suma lungimilor decât la vectori de același sens.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $\pi$, deci al treilea unghi se află prin scădere: $$B=\pi -A-C=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{7\pi }{12}=\frac{12\pi -3\pi -7\pi }{12}=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}\text{(2 p)}.$$ Teorema sinusurilor leagă fiecare latură de sinusul unghiului opus ei; latura $BC$ este opusă unghiului $A$, iar latura $AC$ este opusă unghiului $B$: $$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}⟹\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AC}{\frac{1}{2}}⟹AC=\frac{8}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $4\sqrt{2}\approx 5,657$, iar $BC=8$ — se potrivește cu ordinea unghiurilor, pentru că $B=30^{\circ }<A=45^{\circ }$, deci latura opusă lui $B$ trebuie să fie mai mică decât cea opusă lui $A$. Unde se greșește de obicei: se asociază greșit latura cu unghiul, punând $AC$ față în față cu $C$ în loc de $B$; regula este că fiecare latură se pune peste sinusul unghiului opus, adică al vârfului care nu apare în numele laturii. Forma $\frac{8}{\sqrt{2}}$ se raționalizează amplificând cu $\sqrt{2}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar omogen.

a) (5 p) Se scriu cele două matrice și se adună element cu element; parametrul apare doar pe diagonala din colțuri, cu semne opuse: $$\begin{array}{rl}& A(x)+A(-x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& -x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-x& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& x\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Termenii $x$ și $-x$ se reduc, iar restul elementelor se dublează: $$\begin{array}{rl}& A(x)+A(-x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 4& 2& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\\ & =2A(0),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De ce funcționează: elementele matricei $A(x)$ sunt funcții de gradul cel mult întâi în $x$, iar cele care depind efectiv de $x$ sunt impare — $x$ și $-x$. Pentru orice funcție impară $g$ avem $g(x)+g(-x)=0$, iar pentru constante $c+c=2c$. Unde se greșește de obicei: se verifică relația pe o singură valoare, de pildă $x=1$, și se conchide că e adevărată „pentru orice $x$" — enunțul cere demonstrația generală, cu $x$ literă.)

b) (5 p) Determinantul se calculează prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după linia a treia, care are un zero: $$\begin{array}{rl}& \det (A(x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& -x\end{array}\right|\\ & =-x^2+1+0-2-0+2x\\ & =-x^2+2x-1\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se recunoaște un pătrat perfect cu semn schimbat: $-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2$, care se anulează într-un singur punct, deci $$\det (A(x))=0⟺\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=0$ formula dă $-1$, iar $\det (A(0))=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right|=1\cdot (1-2)=-1$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se scrie discriminantul $\Delta =4-4=0$ și se dă răspunsul „$x_{1,2}=1$" ca și cum ar fi două soluții; rădăcina este dublă, dar valoarea reală a lui $x$ este una singură. Observație: determinantul este $\le 0$ peste tot, cu egalitate doar în $x=1$.)

c) (5 p) Se scrie relația pe coordonate. Pentru $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$ și $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, egalitatea $A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ înseamnă $$\{\begin{array}{l}x+y+2z=0\\ 2x+y+z=0\\ x-z=0\end{array}$$ care este un sistem liniar omogen de trei ecuații cu trei necunoscute (3 p).

Determinantul acestui sistem este chiar $\det (A(1))=-(1-1{)}^2=0$, calculat la subpunctul b). Un sistem omogen cu determinantul nul este compatibil nedeterminat, deci are o infinitate de soluții; prin urmare există o infinitate de matrice $X$ care verifică relația (2 p).

(Soluțiile se pot chiar scrie: din a treia ecuație $x=z$, iar înlocuind în prima, $z+y+2z=0$, deci $y=-3z$. Toate soluțiile sunt $X=\left(\begin{array}{c}t\\ -3t\\ t\end{array}\right)$, cu $t$ număr real oarecare — o infinitate, cum trebuia. Verificare pentru $t=1$: $1-3+2=0$, $2-3+1=0$, $1-1=0$. Unde se greșește de obicei: se conchide „are o infinitate de soluții" doar din faptul că sistemul este omogen — omogenitatea garantează doar că soluția nulă există, iar infinitatea vine din determinantul nul. Fără el, singura soluție ar fi $X$ cu toate elementele zero.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $-1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $-1$, cu grijă la puteri: $(-1{)}^3=-1$, iar $(-1{)}^2=1$. $$f(-1)=(-1{)}^3+m\cdot (-1{)}^2+m\cdot (-1)+1\text{(2 p)}.$$ Termenii cu $m$ se reduc între ei: $$f(-1)=-1+m-m+1=0\text{(3 p)}.$$ (Rezultat cu urmări: $f(-1)=0$ înseamnă că $-1$ este rădăcină a polinomului pentru orice $m$, deci $X+1$ divide polinomul $f$ — exact factorizarea de care se folosește subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se calculează $(-1{)}^3=1$; controlul e imediat, pentru că o putere impară a unui număr negativ rămâne negativă.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea cu coeficient dominant $1$ dau primele două sume: $$x_1+x_2+x_3=-m\text{și}{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor se scrie cu identitatea care leagă cele două: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=(-m{)}^2-2m=m^2-2m\text{(1 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea cu rădăcină dublă: $$m^2-2m=-1⟺m^2-2m+1=0⟺(m-1{)}^2=0⟺\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$ (Control pentru $m=1$: polinomul devine $f=X^3+X^2+X+1=(X+1)(X^2+1)$, cu rădăcinile $-1$, $i$ și $-i$; suma pătratelor este $1+i^2+(-i{)}^2=1-1-1=-1$ — exact cât cere enunțul. Aici se vede de ce enunțul spune „rădăcinile complexe": două dintre ele nu sunt reale, iar pătratele lor sunt negative. Unde se greșește de obicei: se declară cerința imposibilă pentru că „o sumă de pătrate nu poate fi negativă" — afirmația e adevărată doar pe numere reale.)

c) (5 p) Cum $f(-1)=0$ pentru orice $m$, polinomul se împarte exact la $X+1$, iar câtul se obține prin schema lui Horner sau prin identificare: $$f=(X+1)(X^2+(m-1)X+1)\text{(2 p)}.$$ O rădăcină este deci întotdeauna $-1$, iar celelalte două sunt rădăcinile trinomului $X^2+(m-1)X+1$. Toate rădăcinile polinomului sunt reale exact când acest trinom are rădăcini reale, adică discriminantul lui este nenegativ: $$(m-1{)}^2-4\ge 0⟺|m-1|\ge 2⟺\mathbf{m}\in (-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $(X+1)(X^2+(m-1)X+1)=X^3+(m-1)X^2+X+X^2+(m-1)X+1=X^3+m{X}^2+mX+1$ — chiar polinomul $f$. Control la capete: pentru $m=3$, trinomul este $X^2+2X+1=(X+1{)}^2$, deci rădăcinile sunt $-1$, $-1$, $-1$, toate reale; pentru $m=1$, discriminantul este $-4<0$ și rădăcinile sunt $\pm i$, cum am văzut la b). Unde se greșește de obicei: se lucrează cu discriminantul polinomului de gradul al treilea, care nu se învață la clasă, în loc să se folosească rădăcina evidentă $-1$ și factorizarea. A doua capcană: capetele intervalelor se exclud, deși inegalitatea este nestrictă și rădăcina dublă este tot rădăcină reală.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă și monotonie pentru o funcție cu radical.

a) (5 p) Funcția este un radical compus, deci se derivează cu $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, unde $u(x)=x^2+x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\cdot (x^2+x+1{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata dinăuntru este $2x+1$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}},\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Funcția este definită și derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ pentru că $x^2+x+1$ are discriminantul $1-4=-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv peste tot — radicalul nu se anulează niciodată, iar numitorul derivatei este bine definit. Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{5}{2\sqrt{7}}\approx 0,9449$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,9449$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $u^{\prime }$ și se scrie doar $\frac{1}{2\sqrt{u}}$.)

b) (5 p) Se caută întâi panta. Sub radical se dă factor comun $x^2$, iar pe ramura $x\to +\infty$ avem $\sqrt{x^2}=x$: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x}=1\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber. Diferența $f(x)-x$ este de tip $\infty -\infty$ și se ridică amplificând cu conjugata: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x^2+x+1)-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Ambele limite fiind finite, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}+\frac{1}{2}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (1 p).

(De ce ultima limită este $\frac{1}{2}$: și numărătorul, și numitorul cresc ca $x$, iar raportul coeficienților dominanți este $\frac{1}{1+1}$. Control numeric: $f\left(10^8\right)-(10^8+0,5)\approx 0$ până la a șaptea zecimală, deci graficul chiar se lipește de dreaptă. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ ca $\lim f(x)$, care este $+\infty$, în loc de $\lim (f(x)-mx)$; sau se scrie ecuația fără capătul $+\infty$, care se punctează separat. Atenție și la ramura spre $-\infty$, unde $\sqrt{x^2}=-x$ și asimptota este alta, $y=-x-\frac{1}{2}$ — dar enunțul cere doar capătul $+\infty$.)

c) (5 p) Monotonia se citește din semnul derivatei. Numitorul $2\sqrt{x^2+x+1}$ este strict pozitiv peste tot, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul numărătorului $2x+1$, care se anulează într-un singur punct: $$f^{\prime }(x)=0⟺2x+1=0⟺x=-\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ Pentru $x\ge -\frac{1}{2}$ avem $2x+1\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și funcția $f$ este crescătoare pe $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$ (2 p).

Pentru $x\le -\frac{1}{2}$ avem $2x+1\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și funcția $f$ este descrescătoare pe $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ (2 p).

(Punctul $x=-\frac{1}{2}$ este minimul funcției, iar valoarea acolo este $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$. Control numeric: $f(-0,6)\approx 0,8718$ și $f(-0,4)\approx 0,8718$, amândouă mai mari decât $0,866$ — chiar minim. Unde se greșește de obicei: se scriu intervalele cu capete deschise; funcția este continuă în $-\frac{1}{2}$, deci capătul se include în ambele intervale, iar monotonia rămâne validă. A doua capcană: se caută zerourile lui $x^2+x+1$, care nu există, în loc de zeroul numărătorului.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu recurență și demonstrație prin inducție.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul este $(1-x){\mathrm{e}}^x$. Se integrează prin părți, luând ${\mathrm{e}}^x$ drept factor care se integrează, adică ${\mathrm{e}}^x=({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }$: $$I_1={\int }_0^1(1-x){\mathrm{e}}^{x}dx=(1-x){\mathrm{e}}^x{|}_0^1+{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Semnul plus vine din faptul că derivata lui $1-x$ este $-1$. Primul termen dă $0-1=-1$, iar integrala rămasă dă $\mathrm{e}-1$, deci $$I_1=-1+(\mathrm{e}-1)=\mathrm{e}-2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\mathrm{e}-2\approx 0,71828$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,718282$. Reper de plauzibilitate: pe $[0,1]$ integrandul este pozitiv și cel mult $1$, deci rezultatul trebuie să fie între $0$ și $1$. Unde se greșește de obicei: se ia $(1-x)$ drept factor de integrat și calculul se complică inutil; regula este să se integreze partea care nu se simplifică prin derivare, aici exponențiala.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, la fel ca la a), dar cu exponentul general $n+1$: $$I_{n+1}={\int }_0^1(1-x{)}^{n+1}{\mathrm{e}}^{x}dx=(1-x{)}^{n+1}{\mathrm{e}}^x{|}_0^1-{\int }_0^1((1-x{)}^{n+1}{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^{x}dx\text{(2 p)}.$$ Termenul din afara integralei dă $0-1=-1$, pentru că $(1-1{)}^{n+1}=0$ și $(1-0{)}^{n+1}=1$. Derivata din integrală este $((1-x{)}^{n+1}{)}^{\prime }=-(n+1)(1-x{)}^n$, iar semnul minus din fața integralei se anulează cu cel din derivată: $$I_{n+1}=-1+(n+1){\int }_0^1(1-x{)}^n{\mathrm{e}}^{x}dx=-1+(n+1)I_n=(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}-1,$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Control numeric pentru $n=1$: $I_2=2I_1-1=2(\mathrm{e}-2)-1=2\mathrm{e}-5\approx 0,43656$, iar integrala ${\int }_0^1(1-x{)}^2{\mathrm{e}}^{x}dx$ calculată numeric dă $0,436564$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus din derivata lui $(1-x{)}^{n+1}$ și iese $I_{n+1}=-1-(n+1)I_n$, care ar da valori negative — imposibil, pentru că integrandul este pozitiv pe $[0,1]$. Verificarea de semn este cel mai ieftin control aici.)

c) (5 p) Se demonstrează prin inducție matematică. Verificarea pentru $n=1$: formula propusă dă $$1!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}\right)=\mathrm{e}-1-1=\mathrm{e}-2=I_1,$$ adevărat, conform subpunctului a); proprietatea este deci adevărată pentru $n=1$ (1 p).

Pasul de inducție: presupunem proprietatea adevărată pentru numărul natural nenul $k$, adică $I_k=k!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}-\dots -\frac{1}{k!}\right)$. Folosind recurența de la subpunctul b) și scoțând factorul $(k+1)$: $$I_{k+1}=(k+1)I_k-1=(k+1)\cdot k!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}-\dots -\frac{1}{k!}\right)-1=(k+1)!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}-\dots -\frac{1}{k!}\right)-1.$$ Cum $1=(k+1)!\cdot \frac{1}{(k+1)!}$, cel din urmă termen intră chiar în paranteză și prelungește suma cu încă un termen: $$I_{k+1}=(k+1)!\left(\mathrm{e}-1-\frac{1}{1!}-\dots -\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right),$$ adică exact formula pentru $k+1$. Prin urmare proprietatea este adevărată pentru orice număr natural nenul $n$ (4 p).

(Controale numerice: pentru $n=2$ formula dă $2!\left(\mathrm{e}-1-1-\frac{1}{2}\right)=2\mathrm{e}-5\approx 0,43656$, iar integrala numerică dă $0,436564$; pentru $n=3$, $3!\left(\mathrm{e}-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)=6\mathrm{e}-16\approx 0,30969$, iar integrala numerică dă $0,309691$. Citire frumoasă a rezultatului: paranteza este chiar restul seriei lui $\mathrm{e}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots$ după primii $n+1$ termeni, deci $I_n$ măsoară cât mai lipsește din dezvoltarea lui $\mathrm{e}$, amplificat cu $n!$. Unde se greșește de obicei: se sare verificarea pentru $n=1$ și se scrie doar pasul de inducție — o inducție fără bază nu demonstrează nimic, iar baremul o punctează separat. A doua capcană: se uită trecerea $1=\frac{(k+1)!}{(k+1)!}$, fără de care termenul $-1$ nu poate intra în paranteză.)