Bac M1 2014, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale de Bacalaureat, dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în 2014, pentru elevii clasei a XII-a — așa cum scrie chiar pe antetul documentului. Simularea nu poartă număr de variantă, pentru că se dă un singur subiect în toată țara. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: împărțirea în formă algebrică prin amplificare cu conjugatul și egalitatea a două numere complexe — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecțiile graficului cu axele de coordonate — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, factorul comun și injectivitatea exponențialei — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele de două cifre care nu conțin o cifră dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și paralela dusă printr-un al treilea — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o ecuație care se reduce, după desfacerea proporției, la $\sin x=\cos x$ — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul cu parametru adus la formă factorizată, inversa unei matrice numerice și suma elementelor unui produs — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma canonică $3(x-1)(y-1)+1$, elementul absorbant, elementul neutru și elementele egale cu simetricele lor — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: asimptota oblică prin procedura în trei pași, ecuația tangentei într-un punct și limita de tip $1^{\infty }$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: împărțirea cu rest a integrandului, relație de recurență prin adunare și trecere la limită prin încadrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2014. Simularea are un profil clar: Subiectul I este cel mai ușor dintre cele trei, cu cinci cerințe de rutină și una — itemul $6$ — care cade dacă nu observi că proporția se desface și totul se reduce la $\sin x=\cos x$. Subiectul al II-lea este locul unde se pierde timpul: inversa unei matrice de ordinul al treilea, la subpunctul 1.b), este singurul calcul lung din toată proba, iar subpunctul 1.c) cere o idee — suma elementelor unui produs de matrice se factorizează în produsul sumelor pe linii, ceea ce scutește de calculul complet al produsului. La problema $2$, legea de compoziție are un element absorbant care nu e cerut explicit, dar fără el subpunctul b) ar însemna adunarea a $2014$ termeni. Subiectul al III-lea urcă abia la ultimul subpunct: $10$.c) cere o încadrare și teorema cleștelui, adică patru rânduri de barem în loc de două — semn că acolo se cere o construcție, nu un calcul.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $60$ de minute pentru Subiectul al II-lea (din care jumătate pentru inversa matricei), $60$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $25$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $1-\ln 2$ și $\mathrm{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: intersecțiile cu axele scrise ca numere, nu ca puncte cu două coordonate; probabilitatea scrisă fără numărarea separată a celor două mulțimi; inversa matricei dată fără determinantul calculat înainte; elementul neutru folosit fără să fie determinat; limita de la $10$.c) scrisă fără încadrare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului; două numere complexe sunt egale când au și părțile reale, și părțile imaginare egale. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în punctele de abscise rădăcinile ecuației $f(x)=0$ și axa $Oy$ în punctul $(0,f(0))$. Ecuații exponențiale: $9^u=3^{2u}$; după scoaterea factorului comun, $a^u=a^v\Rightarrow u=v$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Geometrie analitică: panta prin două puncte, $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; drepte paralele $\iff$ pante egale. Trigonometrie: pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x=\cos x\iff x=\frac{\pi }{4}$.
• Matrice: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este matricea adjunctă (transpusa matricei complemenților algebrici); inversa există exact când determinantul este nenul. Suma tuturor elementelor unui produs $A\cdot B$ este suma, după $k$, a produsului dintre suma coloanei $k$ a lui $A$ și suma liniei $k$ a lui $B$ — la matrice cu linii și coloane de aceeași sumă, ea se factorizează.
• Legi de compoziție: forma canonică $x\ast y=a(x-u)(y-u)+u$ transformă legea într-o înmulțire deghizată; un element absorbant $z$ verifică $x\ast z=z$ pentru orice $x$; elementul neutru $e$ verifică $x\ast e=x$; simetricul lui $x$ este $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=e$.
• Derivate și limite: procedura în trei pași a asimptotei oblice: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi dreapta $y=mx+n$; ecuația tangentei: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; limita de tip $1^{\infty }$: $\lim (1+u{)}^v={\mathrm{e}}^{\lim uv}$ pentru $u\to 0$.
• Șiruri de integrale: împărțirea cu rest a integrandului, $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$; relațiile de recurență se obțin adunând sau scăzând doi termeni consecutivi, ca să se simplifice numitorul; teorema cleștelui cere două margini care tind la aceeași valoare.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Literele $a$ și $b$ au în această probă trei roluri: la itemul $1$ sunt partea reală și partea imaginară căutate; la itemul $7$, litera $a$ este parametrul familiei de matrice $A(a)$; tot la itemul $7$, subpunctul c), perechea $(a,b)$ este o pereche de numere naturale necunoscute. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $f$ denumește funcția de gradul al doilea de la itemul $2$ și funcția $f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$ de la itemul $9$ — două obiecte fără nicio legătură între ele.
• Semnul $\ast$ de la itemul $8$ este o lege de compoziție definită anume în enunț, nu înmulțirea obișnuită și nici compunerea funcțiilor. Litera $\mathrm{e}$ apare la itemul $9$, subpunctul c), și înseamnă acolo numărul lui Euler; elementul neutru al legii $\ast$, care se determină la itemul $8$, subpunctul c), este $\frac{4}{3}$ și nu are nicio legătură cu el.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $\frac{1+i}{1-i}=a+ib$ și $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{\frac{x+2}{2}}+3^{x+1}=36$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să nu conțină cifra $6$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$, $B(2,3)$ și $C(0,-2)$. Determinați ecuația paralelei duse prin $C$ la $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru care $\frac{1+\sin x}{\sin x}=\frac{1+\cos x}{\cos x}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(a))=(a+2)(a-1{)}^2$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Calculați inversa matricei $A(-1)$ în ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $(a,b)$ pentru care matricea $A(a)\cdot A(b)$ are suma elementelor egală cu $24$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3xy-3x-3y+4$. Legea „$\ast$" este asociativă și are element neutru.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=3(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Calculați $\frac{1}{1007}\ast \frac{2}{1007}\ast \frac{3}{1007}\ast \dots \ast \frac{2014}{1007}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ care sunt egale cu simetricele lor față de legea „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$.

a) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^{x+3}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}+I_n=\frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }(n+1)I_n=\frac{1}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — împărțirea numerelor complexe.

Împărțirea se face amplificând fracția cu conjugatul numitorului, $\overline{1-i}=1+i$: $$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i⟹a+ib=i\text{(3 p)}.$$ Două numere complexe sunt egale când coincid și părțile reale, și părțile imaginare; scriind $i=0+1\cdot i$, obținem $$\mathbf{a}=0\text{ și }\mathbf{b}=1\text{(2 p)}.$$ (Control: $|1+i|=|1-i|=\sqrt{2}$, deci câtul are modulul $1$ — se potrivește cu $|i|=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2=0$, uitând dublul produs $2i$; sau se folosește $i^2=1$. A doua capcană: se răspunde „$a+ib=i$" și se oprește acolo — enunțul cere cele două numere reale separat.)

Itemul 2. (5 p) — intersecțiile graficului cu axele.

Graficul taie axa $Ox$ în punctele în care ordonata este zero, adică în rădăcinile ecuației $f(x)=0$: $$f(x)=0⟹x^2-6x+8=0⟹x_1=2,x_2=4⟹G_f\cap Ox=\{(2,0),(4,0)\}\text{(3 p)}.$$ Graficul taie axa $Oy$ în punctul de abscisă zero, adică în $(0,f(0))$: $$f(0)=8⟹G_f\cap Oy=\{(0,8)\}\text{(2 p)}.$$ (Control: discriminantul este $\Delta =36-32=4$, iar $\frac{6\pm 2}{2}$ dă $2$ și $4$; produsul rădăcinilor este $8$ și suma $6$, cum cer relațiile lui Viète. Unde se greșește de obicei: se dau răspunsurile ca numere — „$2$ și $4$" — în loc de puncte cu două coordonate; baremul cere perechile scrise complet. A doua capcană: se uită intersecția cu $Oy$, care este cea mai ieftină din tot exercițiul, pentru că se obține dintr-o singură înlocuire.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduce totul la baza $3$, folosind $9=3^2$, deci $9^{\frac{x+2}{2}}=3^{2\cdot \frac{x+2}{2}}=3^{x+2}$. Ecuația devine, după scoaterea factorului comun $3^{x+1}$: $$3^{x+2}+3^{x+1}=36⟺3^{x+1}(3+1)=36⟺3^{x+1}=9\text{(2 p)}.$$ Cum $9=3^2$, iar funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, exponenții coincid: $$x+1=2⟺\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $9^{\frac{1+2}{2}}+3^{1+1}=9^{1,5}+9=27+9=36$. Unde se greșește de obicei: se scrie $9^{\frac{x+2}{2}}=3^{x+2}$ corect, dar apoi se adună exponenții ca și cum $3^{x+2}+3^{x+1}$ ar fi $3^{2x+3}$ — puterile se adună doar la înmulțire, nu la adunare. Aici se scoate factor comun. Control: membrul stâng este strict crescător în $x$, deci soluția este unică.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărare.

Un număr de două cifre care nu conține cifra $6$ are cifra zecilor aleasă dintre $\{1,2,3,4,5,7,8,9\}$ — opt posibilități, pentru că nici $0$, nici $6$ nu convin — și cifra unităților dintre $\{0,1,2,3,4,5,7,8,9\}$ — nouă posibilități. Sunt deci $8\cdot 9=72$ de numere naturale de două cifre care nu conțin cifra $6$, adică $72$ de cazuri favorabile (2 p).

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}\text{(2 p)}.$$ (Control prin complementară: numerele de două cifre care conțin cifra $6$ sunt cele zece de forma $\overline{6u}$, adică $60,61,\dots ,69$, plus cele nouă de forma $\overline{z6}$, adică $16,26,\dots ,96$, din care se scade $66$, numărat de două ori: $10+9-1=18$. Rămân $90-18=72$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se ia $9\cdot 9=81$ pentru cazurile favorabile, uitând că nici $0$ nu poate sta pe poziția zecilor, deci acolo rămân doar opt cifre bune; sau, la controlul prin complementară, se numără nouă numere de forma $\overline{6u}$ în loc de zece, pentru că se uită $60$.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta paralelă printr-un punct dat.

Panta dreptei $AB$ se calculează din coordonatele celor două puncte, $A(-1,2)$ și $B(2,3)$. Dreapta căutată fiind paralelă cu $AB$, are aceeași pantă: $$m_{AB}=\frac{3-2}{2-(-1)}=\frac{1}{3}⟹m_d=\frac{1}{3},\text{ unde }d\text{ este paralela prin }C\text{ la }AB\text{(3 p)}.$$ Dreapta de pantă $\frac{1}{3}$ care trece prin $C(0,-2)$ are termenul liber chiar $-2$, pentru că $C$ este pe axa $Oy$: $$d:\mathbf{y}=\frac{1}{3}\mathbf{x}-2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=0$ obținem $y=-2$, deci dreapta trece prin $C$; coeficientul lui $x$ este $\frac{1}{3}$, deci este paralelă cu $AB$. Unde se greșește de obicei: se inversează diferențele la calculul pantei și iese $3$ în loc de $\frac{1}{3}$; controlul e vizual — de la $A$ la $B$ se merge cu $3$ la dreapta și cu $1$ în sus, deci panta este subunitară. A doua capcană: se scrie ecuația dreptei $AB$ în loc de a paralelei prin $C$.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ atât $\sin x$, cât și $\cos x$ sunt strict pozitive, deci proporția se poate desface prin înmulțire încrucișată: $$\cos x(1+\sin x)=\sin x(1+\cos x)⟺\cos x+\sin x\cos x=\sin x+\sin x\cos x⟺\cos x=\sin x\text{(2 p)}.$$ Termenii $\sin x\cos x$ se reduc din amândoi membrii. Pe intervalul dat, singura valoare pentru care sinusul este egal cu cosinusul este $$\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=\frac{\pi }{4}$ avem $\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci cei doi membri sunt egali, amândoi egali cu $1+\sqrt{2}$. Al doilea drum: se împart ambii membri ai relației $\cos x=\sin x$ la $\cos x\ne 0$ și se obține $\mathrm{tg}x=1$. Unde se greșește de obicei: se dă și soluția $x=\frac{5\pi }{4}$, care verifică $\sin x=\cos x$, dar nu este în intervalul cerut. A doua capcană: se simplifică prea devreme, tăind $1+\sin x$ cu $1+\cos x$, ceea ce nu este permis — ele nu sunt egale.)

Itemul 7. (15 p) — determinant cu parametru, inversă și suma elementelor unui produs.

a) (5 p) Toate liniile au aceeași sumă, $a+2$, deci adunând coloanele a doua și a treia la prima se scoate factor comun $a+2$; apoi se scade prima coloană din celelalte două: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a+2& 1& 1\\ a+2& a& 1\\ a+2& 1& a\end{array}\right|\\ & =(a+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& a-1& 0\\ 1& 0& a-1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul rămas este triunghiular, deci egal cu produsul de pe diagonală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =(a+2)\left|\begin{array}{cc}a-1& 0\\ 0& a-1\end{array}\right|\\ & =(\mathbf{a}+2)(\mathbf{a}-1{)}^2,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $a=0$ formula dă $2\cdot 1=2$, iar determinantul direct este $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|=0+1+1-0-0-0=2$ — se potrivește. Pentru $a=1$ toate liniile sunt egale, deci determinantul este nul, cum arată și factorul $(a-1{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se dezvoltă cu Sarrus și se obține $a^3-3a+2$, corect, dar nefactorizat — enunțul cere chiar forma factorizată, iar $a^3-3a+2=(a+2)(a-1{)}^2$ se verifică prin desfacere.)

b) (5 p) Inversa există exact când determinantul este nenul; din formula de la a), pentru $a=-1$: $$\begin{array}{rl}\det (A(-1))& =(-1+2)(-1-1{)}^2\\ & =1\cdot 4=4\ne 0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Se calculează matricea adjunctă, adică transpusa matricei complemenților algebrici ai lui $A(-1)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$; toți complemenții de pe diagonală sunt nuli, iar ceilalți sunt egali cu $2$. Împărțind la determinant: $$\begin{array}{rl}A(-1{)}^{-1}& =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& 0& 2\\ 2& 2& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare obligatorie, și cel mai bun control: $A(-1)\cdot A(-1{)}^{-1}=I_3$. Pe prima linie: $-1\cdot 0+1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}=1$, apoi $-1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 0+1\cdot \frac{1}{2}=0$ și $-1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 0=0$ — chiar prima linie a matricei unitate. Unde se greșește de obicei: se uită transpunerea matricei complemenților; aici ea nu se vede, pentru că matricea complemenților este simetrică, dar la o matrice oarecare omisiunea schimbă rezultatul. A doua capcană: se împarte la $\det$ doar o parte din elemente.)

c) (5 p) Produsul se calculează o singură dată, în general; el are aceeași structură ca $A(a)$, cu $ab+2$ pe diagonală și $a+b+1$ în rest: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(b)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}ab+2& a+b+1& a+b+1\\ a+b+1& ab+2& a+b+1\\ a+b+1& a+b+1& ab+2\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Suma tuturor elementelor este $3(ab+2)+6(a+b+1)$, iar condiția din enunț devine, după gruparea în produs: $$\begin{array}{rl}& 3ab+6a+6b+12\\ & =24\\ & ⟹(a+2)(b+2)=8\text{(1 p)}.\end{array}$$ Cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, factorii $a+2$ și $b+2$ sunt numere naturale mai mari sau egale cu $2$; singurele descompuneri ale lui $8$ în doi astfel de factori sunt $2\cdot 4$ și $4\cdot 2$. Perechile de numere naturale care verifică cerința sunt deci $$(0,2)\text{ și }(2,0)\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $(0,2)$: $A(0)\cdot A(2)$ are pe diagonală $0\cdot 2+2=2$ și în rest $0+2+1=3$, deci suma elementelor este $3\cdot 2+6\cdot 3=24$. Scurtătura care scutește de calculul produsului: fiecare linie a lui $A(a)$ are suma $a+2$ și fiecare coloană a lui $A(b)$ are suma $b+2$, deci suma tuturor elementelor produsului este $3(a+2)(b+2)$ — aceeași expresie, obținută fără nicio înmulțire de matrice. Unde se greșește de obicei: se uită condiția „numere naturale" și se adaugă perechea $(6,-1)$, din $8\cdot 1$; sau se scrie $(a+2)(b+2)=24$, uitând împărțirea la $3$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pleacă de la expresia dată și se dă factor comun $3$ din primii trei termeni, pregătind gruparea: $$3xy-3x-3y+4=3(xy-x-y+1)+1\text{(3 p)}.$$ Paranteza se descompune în produs, pentru că $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$, deci $$x\ast y=3(\mathbf{x}-1)(\mathbf{y}-1)+1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ (Verificarea se face invers, prin desfacere: $3(x-1)(y-1)+1=3(xy-x-y+1)+1=3xy-3x-3y+3+1=3xy-3x-3y+4$ — chiar legea dată. Control numeric: $2\ast 3=18-6-9+4=7$, iar forma canonică dă $3\cdot 1\cdot 2+1=7$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3(x-1)(y-1)+4$, uitând că din $+4$ s-a folosit $+3$ pentru a completa produsul.)

b) (5 p) Forma canonică arată imediat că numărul $1$ este element absorbant: dacă unul dintre operanzi este $1$, factorul corespunzător din produs se anulează și rămâne doar termenul liber. $$x\ast 1=1\ast x=3(x-1)\cdot 0+1=1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ În șirul dat apare și fracția $\frac{1007}{1007}=1$. Legea fiind asociativă, calculul se poate grupa oricum; grupând în jurul acestui termen: $$\frac{1}{1007}\ast \dots \ast \frac{2014}{1007}=\left(\frac{1}{1007}\ast \dots \ast \frac{1006}{1007}\right)\ast \frac{1007}{1007}\ast \left(\frac{1008}{1007}\ast \dots \ast \frac{2014}{1007}\right)=1\text{(3 p)}.$$ (Oricare ar fi rezultatele celor două paranteze, compunerea lor cu $1$ dă tot $1$ — de două ori la rând. Control: legea este și comutativă, pentru că forma canonică este simetrică în $x$ și $y$, deci ordinea nu contează. Unde se greșește de obicei: se începe compunerea de la stânga și se calculează termen cu termen — ar fi $2013$ de operații; ideea exercițiului este chiar observarea elementului absorbant. A doua capcană: se confundă elementul absorbant, care este $1$, cu elementul neutru, care va ieși $\frac{4}{3}$ la subpunctul c).)

c) (5 p) Întâi se determină elementul neutru $e$, adică numărul pentru care $x\ast e=x$ oricare ar fi $x$. Din forma canonică, $3(x-1)(e-1)+1=x$, adică $3(x-1)(e-1)=x-1$; pentru $x\ne 1$ se simplifică și rămâne $e-1=\frac{1}{3}$, deci $$\text{elementul neutru este }\mathbf{e}=\frac{4}{3}\text{(1 p)}.$$ Un număr este egal cu simetricul său exact când, compus cu el însuși, dă elementul neutru: $$x\ast x=\frac{4}{3}⟺3(x-1{)}^2+1=\frac{4}{3}⟺3(x-1{)}^2=\frac{1}{3}⟺(x-1{)}^2=\frac{1}{9}\text{(2 p)}.$$ Extrăgând rădăcina pătrată, $x-1=\pm \frac{1}{3}$, deci $${\mathbf{x}}_1=\frac{2}{3}\text{ și }{\mathbf{x}}_2=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $x=\frac{2}{3}$: $3{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$ — chiar elementul neutru. Pentru $x=\frac{4}{3}$: $3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1=\frac{4}{3}$, la fel. Amândouă valorile sunt diferite de $1$, deci amândouă au simetric — condiția de existență este îndeplinită. Observație: elementul neutru este el însuși propriul simetric, ceea ce se întâmplă la orice lege. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația $x\ast x=1$, punând elementul absorbant în locul celui neutru; sau se ia doar rădăcina pozitivă din $(x-1{)}^2=\frac{1}{9}$ și se pierde o soluție.)

Itemul 9. (15 p) — asimptotă oblică, tangentă și o limită de tip $1^{\infty }$.

a) (5 p) Se caută întâi panta. Numărătorul și numitorul sunt polinoame, iar raportul $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+2}{x^2-x}$ are grade egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2}{x^2-x}=1\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber. Împărțind cu rest, $x^2+2=(x-1)(x+1)+3$, deci $f(x)=x+1+\frac{3}{x-1}$ și $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x-1}=1,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(Control numeric: $f\left(10^8\right)-(10^8+1)=\frac{3}{10^8-1}\approx 3\cdot 10^{-8}$, deci graficul se lipește de dreaptă. Scrierea $f(x)=x+1+\frac{3}{x-1}$ arată totul dintr-o privire: partea „liniară" este chiar asimptota, iar restul tinde la zero. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ ca $\lim f(x)$, care este $+\infty$; sau se scrie asimptota fără capătul precizat. Observație: funcția are și asimptotă verticală, $x=1$, dar aceea nu se cere aici.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul de abscisă $x=2$. Derivata se calculează cu formula raportului: $$f(2)=\frac{4+2}{2-1}=6,f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-2}{(x-1{)}^2}⟹f^{\prime }(2)=\frac{4-4-2}{1}=-2\text{(3 p)}.$$ Cu formula $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ pentru $x_0=2$: $$y-6=-2(x-2)⟹\mathbf{y}=-2x+10\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=2$ dreapta dă $y=6$, adică trece chiar prin punctul de pe grafic. Control numeric al derivatei: $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}\approx -2,000$. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta cu panta $f(2)$ în loc de $f^{\prime }(2)$. Observație de citit graficul: derivata se anulează unde $x^2-2x-2=0$, adică în $x=1+\sqrt{3}\approx 2,73$ — punctul de minim al funcției pe $(1,+\infty )$; în $x=2$ suntem încă în zona descrescătoare, de aceea panta este negativă.)

c) (5 p) Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$: nedeterminare de tip $1^{\infty }$. Se scrie baza ca $1$ plus o cantitate mică: $${\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^{x+3}={\left(\frac{x^2+2}{x^2-x}\right)}^{x+3}={\left(1+\frac{x+2}{x^2-x}\right)}^{x+3}\text{(3 p)}.$$ Cu formula $\lim (1+u{)}^v={\mathrm{e}}^{\lim uv}$, valabilă pentru $u\to 0$, exponentul limitei este $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x^2-x}\cdot (x+3)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x^2-x}=1,$$ raport de polinoame de același grad. Prin urmare $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^{x+3}={\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^7$, expresia dă $2,71828$, iar $\mathrm{e}\approx 2,71828$. Unde se greșește de obicei: se scrie limita $1$, pentru că „baza tinde la $1$" — exact asta este capcana nedeterminării $1^{\infty }$. A doua capcană: se ia $\frac{f(x)}{x}-1=\frac{2}{x^2-x}$, uitând termenul $x$ din diferența $x^2+2-(x^2-x)=x+2$; atunci exponentul limitei ar ieși $0$ și rezultatul $1$, adică greșit.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu recurență și trecere la limită prin încadrare.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul se împarte cu rest, ca să dispară fracția: $\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$. $$I_1={\int }_0^1\frac{x}{x+1}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=(x-\ln (x+1)){|}_0^1\text{(2 p)}.$$ Înlocuind capetele și folosind $\ln 1=0$: $$I_1=(1-\ln 2)-(0-0)=1-\ln 2\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $1-\ln 2\approx 0,30685$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,306853$. Reper de plauzibilitate: pe $[0,1]$ integrandul crește de la $0$ la $\frac{1}{2}$, deci rezultatul trebuie să fie între $0$ și $\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se integrează „ca un raport", cu logaritm la numitor; rețeta corectă este împărțirea cu rest.)

b) (5 p) Cei doi termeni consecutivi se adună sub aceeași integrală, iar la numărător apare factor comun $x^n$: $$I_{n+1}+I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx+{\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx={\int }_0^1\frac{x^n(x+1)}{x+1}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx\text{(3 p)}.$$ Numitorul se simplifică — aceasta este toată ideea exercițiului — și rămâne o integrală elementară: $$I_{n+1}+I_n=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{\mathbf{n}+1},\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ (Control numeric pentru $n=1$: $I_2+I_1$ trebuie să fie $\frac{1}{2}$; într-adevăr $I_2={\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx\approx 0,193147$, iar $0,193147+0,306853=0,500000$. Unde se greșește de obicei: se calculează fiecare integrală separat, ceea ce cere împărțiri cu rest din ce în ce mai lungi; ideea este că suma se simplifică înainte de orice calcul. Simplificarea este legitimă pentru că pe $[0,1]$ avem $x+1\ge 1>0$.)

c) (5 p) Monotonia șirului. Pe intervalul $[0,1]$ avem $x-1\le 0$ și $x^n\ge 0$, deci $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1\frac{x^n(x-1)}{x+1}dx\le 0,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(1 p)}.$$ Așadar șirul este descrescător: $I_{n+1}\le I_n$.

Încadrarea. Adunând $I_{n+1}$ la ambii membri ai inegalității $I_{n+1}\le I_n$ și folosind relația de la subpunctul b), obținem $2I_{n+1}\le I_{n+1}+I_n=\frac{1}{n+1}$; simetric, $\frac{1}{n+1}=I_{n+1}+I_n\le 2I_n$. Prin urmare $$2I_{n+1}\le \frac{1}{n+1}\le 2I_n,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Din marginea din dreapta rezultă $I_n\ge \frac{1}{2(n+1)}$, deci $(n+1)I_n\ge \frac{1}{2}$. Din marginea din stânga, scrisă pentru indicele $n-1$, rezultă $I_n\le \frac{1}{2n}$, deci $(n+1)I_n\le \frac{n+1}{2n}$: $$\frac{1}{2}\le (n+1)I_n\le \frac{n+1}{2n},\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(1 p)}.$$ Marginea din dreapta tinde la $\frac{1}{2}$, fiind un raport de polinoame de gradul întâi cu coeficienți dominanți $1$ și $2$; marginea din stânga este constantă. Cu teorema cleștelui, $$\underset{n\to +\infty }{\lim }(n+1)I_n=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Controale numerice: $(100+1)I_{100}\approx 0,502475$, încadrat între $0,5$ și $\frac{101}{200}=0,505$; $(1000+1)I_{1000}\approx 0,500250$, încadrat între $0,5$ și $0,5005$ — chiar convergență spre $\frac{1}{2}$, dar lentă, cam ca $\frac{1}{2n}$. Citire intuitivă: pentru $n$ mare, $x^n$ este aproape zero peste tot pe $[0,1)$ și sare la $1$ lângă capăt, unde numitorul este aproape $2$ — de aceea $I_n\approx \frac{1}{2n}$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $\lim I_n=0$ și se conchide că limita cerută este $0$ — produsul $(n+1)I_n$ este de tip $\infty \cdot 0$, deci nedeterminat, iar încadrarea este singura cale scurtă. A doua capcană: se folosește marginea $I_n\le \frac{1}{2n}$ pentru $n=1$, unde ea nu a fost demonstrată; de aceea baremul cere condiția $n\ge 2$, care nu schimbă limita.)