Bac M1 2014, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2014 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2014 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Sesiunea specială este proba organizată pentru elevii care participă la olimpiade și competiții internaționale în perioada sesiunii obișnuite; subiectul are exact aceeași structură și același nivel ca cel din iunie-iulie.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică și reducerea părții imaginare — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: discriminantul nul și tangența parabolei la axa $Ox$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: injectivitatea exponențialei și o ecuație de gradul al doilea la exponent — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea aranjamentelor de două cifre distincte dintr-o mulțime de patru cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte, condiția de perpendicularitate $m_1{m}_2=-1$ și dreapta printr-un punct dat — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile remarcabile ale sinusului și cosinusului în cadranele I și II — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul matricei unitate, o familie stabilă la înmulțire cu $A(p)\cdot A(q)=A(p+q)$ și o ecuație în numere naturale — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, teorema împărțirii cu rest și o sumă simetrică de pătrate exprimată prin relațiile lui Viète — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unei sume cu exponențială, asimptota oblică spre $-\infty$ și demonstrarea unei inegalități prin studiul unei funcții ajutătoare — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, forma canonică a numitorului cu primitivă de tip arctangentă și o limită de tip $\frac{0}{0}$ cu integrală cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2014. Proba este remarcabil de echilibrată: fiecare subpunct din barem are exact doi pași, la toți cei zece itemi — nicăieri nu apare tranșa a treia care, în alte sesiuni, sparge punctajul în bucăți mai mici. Subiectul I nu are nicio surpriză. La Subiectul al II-lea, problema $1$ este construită în jurul unei singure observații: familia $A(n)$ se comportă la înmulțire ca puterile lui $2$, adică $A(p)\cdot A(q)=A(p+q)$; odată scrisă această relație, ambele subpuncte b) și c) devin ecuații în numere naturale. Subiectul al III-lea este cel care selectează: problema $1$ cere, la c), o inegalitate demonstrată prin studiul unei funcții ajutătoare — o schemă completă, nu un calcul; problema $2$ cere, la b), o primitivă de tip arctangentă, obținută din forma canonică a numitorului, iar la c) o limită de tip $\frac{0}{0}$ cu integrală cu capăt variabil, care se rezolvă cu regula lui l'Hospital și teorema de derivare a integralei cu capăt variabil.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $70$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $25$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: tangența parabolei afirmată fără calculul discriminantului; numărarea făcută fără justificarea celor două alegeri succesive; ecuația dreptei perpendiculare scrisă fără panta dreptei $BC$; asimptota scrisă fără capătul $-\infty$ precizat; inegalitatea de la $9$.c) verificată pe câteva valori în loc să fie demonstrată.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă. Funcția de gradul al doilea: parabola este tangentă la axa $Ox$ exact când $\Delta =0$, adică ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v\Rightarrow u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$. Combinatorică: numărul aranjamentelor de $k$ obiecte distincte luate dintre $n$ este $A_n^k=n(n-1)\dots (n-k+1)$. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte sunt perpendiculare exact când $m_1\cdot m_2=-1$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; în cadranul al doilea cosinusul este negativ, sinusul pozitiv.
• Matrice: înmulțirea a două matrice se face „linie pe coloană"; când o familie $A(n)$ verifică $A(p)\cdot A(q)=A(p+q)$, orice ecuație matriceală în familie se reduce la o ecuație numerică între indici.
• Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; relațiile lui Viète pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$: $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$; identitatea $(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2=2(x_1+x_2+x_3{)}^2-6(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)$.
• Derivate și asimptote: $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$; procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $-\infty$: $m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat; o inegalitate $f(x)\ge g(x)$ se demonstrează studiind funcția ajutătoare $h=f-g$ și arătând că minimul ei este nenegativ.
• Integrale: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$, aplicată după aducerea numitorului la forma canonică ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$; derivarea integralei cu capăt variabil: ${\left({\int }_0^{t}f(x)dx\right)}^{\prime }=f(t)$ pentru $f$ continuă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă cinci obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+X^2-3X+2$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=3x+{\mathrm{e}}^x$ de la itemul $9$, funcția $f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}$ de la itemul $10$ și, în rezolvarea noastră de la $9$.c), funcția ajutătoare $g$ construită din ea. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $A$ are două înțelesuri fără legătură: la itemul $7$ este numele familiei de matrice $A(n)$, iar la itemul $5$ este numele unui punct din reperul cartezian, $A(-2,2)$. Parantezele arată la fel, dar conținutul lor spune care e care: un număr natural la matrice, o pereche de coordonate la punct.
• Literele $p$ și $q$ de la itemul $7$, subpunctul c), sunt numere naturale necunoscute, indici în familia de matrice — nu au nicio legătură cu punctajul probei, deși baremul folosește aceeași literă $p$ pentru puncte. Litera $\mathrm{e}$ de la itemul $9$ înseamnă numărul lui Euler; în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $3(2+4i)+2(1-6i)=8$.

Itemul 2 (5 puncte)

Arătați că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+1$ este tangentă la axa $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x^2+4}=5^{4x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$, $3$, $5$ și $7$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,2)$, $B(-4,-2)$ și $C(4,2)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin $A$ și este perpendiculară pe dreapta $BC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(n)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 2^n-1& 1\end{array}\right),$$ unde $n$ este număr natural.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ știind că $A(n)\cdot A(1)=A(3)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $p$ și $q$ știind că $A(p)\cdot A(q)=A(pq)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2-3X+2$.

a) (5 puncte) Calculați $f(0)$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X^2-4$.

c) (5 puncte) Arătați că $(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2=20$ știind că $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile lui $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+{\mathrm{e}}^x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)\ge 4x+1$ pentru orice număr real $x$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x^2+x+1)f(x)dx=\frac{1}{4}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-x+1)dx=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{t^4}\cdot {\int }_0^{t}f(x)dx\right)=\frac{1}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac parantezele, înmulțind fiecare număr complex cu factorul din fața lui: $$3(2+4i)+2(1-6i)=6+12i+2-12i\text{(3 p)}.$$ Termenii $+12i$ și $-12i$ se reduc, deci rămâne doar partea reală: $$3(2+4i)+2(1-6i)=6+2=8\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $3\cdot 4+2\cdot (-6)=12-12=0$, iar partea reală $3\cdot 2+2\cdot 1=8$ — de aceea rezultatul este un număr real. Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză cu factorul, uitând distributivitatea peste al doilea; sau se folosește $i^2$, care aici nici nu apare, pentru că nu se înmulțesc două numere complexe între ele.)

Itemul 2. (5 p) — tangența parabolei la axa $Ox$.

Parabola este tangentă la axa $Ox$ exact când o atinge într-un singur punct, adică atunci când ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă, deci discriminant nul. Pentru $a=1$, $b=2$, $c=1$: $$\Delta =b^2-4ac=4-4\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $$\Delta =0,\text{ deci parabola asociata˘ funcției }f\text{ este tangenta˘ la axa }Ox\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, la fel de bun: $f(x)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$, cu egalitate doar în $x=-1$ — deci graficul atinge axa într-un singur punct, $(-1,0)$, și stă în rest deasupra ei. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația, se găsește $x=-1$ și se scrie doar atât; concluzia cerută este despre tangență, iar propoziția care leagă discriminantul nul de tangență se punctează separat. A doua capcană: se confundă tangența la axă cu intersecția în două puncte, care corespunde lui $\Delta >0$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cei doi membri sunt puteri ale aceleiași baze, $5$. Funcția exponențială fiind injectivă, două puteri ale ei sunt egale exact când exponenții coincid: $$x^2+4=4x⟺x^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =16-16=0$, deci rădăcină dublă: $$x^2-4x+4=(x-2{)}^2=0⟹\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $5^{2^2+4}=5^8$ și $5^{4\cdot 2}=5^8$ — egale. Unde se greșește de obicei: se scrie „$x_{1,2}=2$" ca și cum ar fi două soluții distincte; rădăcina este dublă, dar valoarea reală este una singură. A doua capcană: se logaritmează inutil ambii membri — când bazele sunt deja egale, se trece direct la exponenți.)

Itemul 4. (5 p) — numărarea numerelor de două cifre distincte.

Se construiește numărul pe poziții. Cifra unităților se poate alege în patru moduri, oricare dintre $1$, $3$, $5$ și $7$ (3 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor trebuie să fie diferită de ea, deci se poate alege în trei moduri; niciuna dintre cele patru cifre nu este $0$, deci orice alegere dă un număr de două cifre. Prin regula produsului se pot forma $$4\cdot 3=12\text{ numere}\text{(2 p)}.$$ (Este chiar numărul aranjamentelor de patru cifre luate câte două, $A_4^2=4\cdot 3=12$. Control prin enumerare: cu cifra zecilor $1$ se obțin $13$, $15$, $17$; la fel câte trei pentru fiecare dintre celelalte trei cifre, deci $4\cdot 3=12$ în total. Unde se greșește de obicei: se ia $4\cdot 4=16$, uitând condiția „cifre distincte"; sau se numără combinările, $C_4^2=6$, care nu țin cont de ordine — dar $13$ și $31$ sunt numere diferite, deci ordinea contează.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta perpendiculară printr-un punct dat.

Se calculează întâi panta dreptei $BC$, din coordonatele lui $B(-4,-2)$ și $C(4,2)$; condiția de perpendicularitate cere ca produsul pantelor să fie $-1$: $$m_{BC}=\frac{2-(-2)}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}⟹m_d=-\frac{1}{m_{BC}}=-2\text{(2 p)}.$$ Dreapta de pantă $-2$ care trece prin $A(-2,2)$ se scrie cu formula $y-y_A=m(x-x_A)$: $$y-2=-2(x-(-2))=-2x-4⟹d:\mathbf{y}=-2x-2\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=-2$ obținem $y=4-2=2$, deci dreapta trece prin $A$; produsul pantelor este $\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$, deci este perpendiculară pe $BC$. Unde se greșește de obicei: se ia $m_d=-\frac{1}{2}$, adică opusul pantei în loc de opusul inversului; controlul e imediat, pentru că produsul ar ieși $-\frac{1}{4}$, nu $-1$. A doua capcană: semnul de la $x-(-2)$, care se transformă în $x+2$, nu în $x-2$.)

Itemul 6. (5 p) — valori remarcabile ale funcțiilor trigonometrice.

Unghiul $\frac{\pi }{4}$ este în primul cadran, unde sinusul este pozitiv: $$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ Unghiul $\frac{3\pi }{4}$ este în cadranul al doilea, unde cosinusul este negativ; formula de reducere $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ cu $\alpha =\frac{\pi }{4}$ dă $$\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071$, iar suma dă $0,0000$. Citire pe cercul trigonometric: unghiurile $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{3\pi }{4}$ sunt simetrice față de axa $Oy$, deci au același sinus și cosinusuri opuse. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, pierzând semnul — în cadranul al doilea abscisa punctului de pe cerc este negativă, deci cosinusul este negativ. A doua capcană: se confundă $\frac{3\pi }{4}$ cu $\frac{3\pi }{2}$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice indexată după un număr natural.

a) (5 p) Pentru $n=0$ avem $2^0=1$ și $2^0-1=0$, deci matricea devine chiar matricea unitate: $$\det (A(0))=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Observație care ușurează tot restul problemei: $A(0)=I_3$, matricea unitate. Unde se greșește de obicei: se calculează $2^0=0$; puterea cu exponent zero a oricărui număr nenul este $1$, iar de aici $2^0-1=0$, ceea ce face ca elementul de sub diagonală să dispară.)

b) (5 p) Se scriu matricele și se face produsul „linie pe coloană". Pentru $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$: $$A(n)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2^{n+1}& 0\\ 0& 2^{n+1}-1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Rezultatul are exact forma din enunț, scrisă pentru $n+1$, adică $A(n)\cdot A(1)=A(n+1)$. Cum $A(3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2^3& 0\\ 0& 2^3-1& 1\end{array}\right)$, egalitatea $A(n)\cdot A(1)=A(3)$ se citește pe elementul din mijloc: $2^{n+1}=2^3$, de unde $n+1=3$ și $$\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$ (Calculul elementului de sub diagonală, care e cel mai ușor de greșit: linia a treia a lui $A(n)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& 2^n-1& 1\end{array}\right)$, iar înmulțită cu coloana a doua a lui $A(1)$, care este $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, dă $(2^n-1)\cdot 2+1\cdot 1=2^{n+1}-1$ — chiar forma cerută. Verificare pentru $n=2$: $A(2)\cdot A(1)$ are pe diagonală $1$, $8$, $1$ și sub ea $7$, adică exact $A(3)$. Unde se greșește de obicei: se citește $2^n$ ca $2n$, iar atunci ecuația $2n\cdot 2=2\cdot 3$ nu are soluție naturală — semn sigur că exponentul a fost pierdut.)

c) (5 p) Calculul de la subpunctul b) se face la fel cu doi indici oarecare și dă relația de bază a familiei: elementul din mijloc devine $2^p\cdot 2^q=2^{p+q}$, iar cel de sub diagonală $(2^p-1)2^q+1=2^{p+q}-1$, deci $$\begin{array}{rl}& A(p)\cdot A(q)\\ & =A(p+q),\\ & \text{ pentru orice numere naturale }p\text{ și }q\text{(2 p)}.\end{array}$$ Condiția din enunț devine $A(p+q)=A(pq)$, iar două matrice din familie sunt egale exact când indicii coincid, pentru că $2^{p+q}=2^{pq}$ dă $p+q=pq$. Trecând totul într-o parte și adunând $1$: $$\begin{array}{rl}p+q& =pq⟺pq-p-q+1\\ & =1⟺(p-1)(q-1)=1.\end{array}$$ În numere întregi, produsul a doi factori este $1$ doar când amândoi sunt $1$ sau amândoi sunt $-1$, deci $p-1=q-1=1$ sau $p-1=q-1=-1$, adică $$\mathbf{p}=\mathbf{q}=2\text{ sau }\mathbf{p}=\mathbf{q}=0\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $p=q=2$: $p+q=4$ și $pq=4$ — se potrivește. Pentru $p=q=0$: $0+0=0$ și $0\cdot 0=0$ — se potrivește, iar $A(0)=I_3$, deci $I_3\cdot I_3=I_3$, evident adevărat. Unde se greșește de obicei: se pierde soluția $p=q=0$, pentru că se lucrează doar cu factori pozitivi în $(p-1)(q-1)=1$; cum $p$ și $q$ sunt naturale, $p-1$ poate fi și $-1$, pentru $p=0$. A doua capcană: se caută soluții cu $p\ne q$ — din simetria ecuației și din $(p-1)(q-1)=1$ rezultă că cei doi factori sunt egali, deci $p=q$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu coeficienți întregi.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3+0^2-3\cdot 0+2\text{(3 p)}.$$ Toți termenii cu $X$ dispar, deci $$f(0)=2\text{(2 p)}.$$ (Regula generală: valoarea unui polinom în zero este chiar termenul lui liber. Reper folositor mai departe: din relațiile lui Viète, $x_1{x}_2{x}_3=-2$, iar produsul rădăcinilor are semnul opus termenului liber la un polinom de gradul al treilea cu coeficient dominant $1$.)

b) (5 p) Se împarte $f=X^3+X^2-3X+2$ la $X^2-4$. Primul termen al câtului este $X$, pentru că $X\cdot X^2=X^3$; scăzând $X(X^2-4)=X^3-4X$ rămâne $X^2+X+2$. Al doilea termen al câtului este $1$, iar scăzând $X^2-4$ rămâne $X+6$. Prin urmare $$\text{caˆtul este}\mathbf{X}+1\text{(3 p)}.$$ Restul are gradul întâi, strict mai mic decât gradul al doilea al împărțitorului, deci teorema împărțirii cu rest este verificată: $$\text{restul este}\mathbf{X}+6\text{(2 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $(X^2-4)(X+1)+X+6=X^3+X^2-4X-4+X+6=X^3+X^2-3X+2$, adică exact polinomul $f$. Control numeric în $X=3$: $f(3)=27+9-9+2=29$, iar $(9-4)(3+1)+3+6=20+9=29$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se oprește împărțirea prea devreme, la restul $X^2+X+2$, al cărui grad este încă egal cu al împărțitorului; regula spune că se continuă cât timp gradul restului parțial este mai mare sau egal cu gradul împărțitorului.)

c) (5 p) Din relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea cu coeficient dominant $1$: $$x_1+x_2+x_3=-1,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=-3\text{(2 p)}.$$ Suma cerută se desface și se grupează: fiecare pătrat contribuie cu două pătrate simple și un dublu produs, iar în total fiecare $x_i^2$ apare de două ori și fiecare produs $x_i{x}_j$ de două ori cu semnul minus. Folosind apoi $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)$, totul se exprimă prin cele două sume de mai sus: $$(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2=2(x_1+x_2+x_3{)}^2-6(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)=2\cdot (-1{)}^2-6\cdot (-3)=20\text{(3 p)}.$$ (Detaliul care se sare: suma desfăcută este $2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)$, iar înlocuind suma pătratelor cu $(\sum x_i{)}^2-2\sum x_i{x}_j$ se ajunge la $2(\sum x_i{)}^2-6\sum x_i{x}_j$. Control pe rădăcinile efective: $f=X^3+X^2-3X+2$ are o rădăcină reală $\approx -2,5115$ și două complexe $\approx 0,7558\pm 0,4745i$; suma cerută, calculată numeric pe aceste valori, dă $19,9996$. Unde se greșește de obicei: se calculează suma pătratelor și se uită factorul $2$ din față, sau se ia coeficientul $-3$ drept $\sum x_i{x}_j=3$, uitând că relația lui Viète îl ia cu semnul din polinom.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică spre $-\infty$ și o inegalitate.

a) (5 p) Funcția este o sumă, deci se derivează termen cu termen, folosind $(3x{)}^{\prime }=3$ și $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$: $$f^{\prime }(x)=(3x{)}^{\prime }+({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $$f^{\prime }(x)=3+{\mathrm{e}}^{\mathbf{x}},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=3+\mathrm{e}\approx 5,71828$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $5,71828$. Observație folositoare mai departe: derivata este strict pozitivă peste tot, deci funcția $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=x{\mathrm{e}}^{x-1}$, aplicând regula puterii la o exponențială — exponențiala de bază $\mathrm{e}$ este singura funcție care își este propria derivată.)

b) (5 p) Se caută întâi panta. Pe ramura $x\to -\infty$ exponențiala tinde la zero, deci raportul $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$ tinde tot la zero: $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+{\mathrm{e}}^x}{x}=3\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber: $$n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-3x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=3x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De ce ${\mathrm{e}}^x\to 0$ când $x\to -\infty$: exponențiala de bază supraunitară este strict crescătoare și strict pozitivă, iar spre $-\infty$ se apropie de axă fără să o atingă. Control numeric: $f(-20)-3\cdot (-20)={\mathrm{e}}^{-20}\approx 2\cdot 10^{-9}$, deci graficul chiar se lipește de dreaptă. Unde se greșește de obicei: se caută asimptota spre $+\infty$, unde ea nu există, pentru că $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\to +\infty$; enunțul cere anume capătul $-\infty$, iar capătul se punctează separat.)

c) (5 p) Inegalitatea se demonstrează studiind funcția ajutătoare $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-4x-1={\mathrm{e}}^x-x-1$; ea trebuie arătată nenegativă. Derivata ei este $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-1$, care se anulează exact în $x=0$, pentru că ${\mathrm{e}}^x=1\iff x=0$: $$g^{\prime }(0)=0,g^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0),g^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția $g$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, deci $x=0$ este punct de minim global. Cum $g(0)={\mathrm{e}}^0-0-1=0$, avem $$g(x)\ge g(0)=0⟹f(x)-4x-1\ge 0⟹\mathbf{f}(\mathbf{x})\ge 4x+1\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Semnul lui $g^{\prime }$ se citește din monotonia exponențialei: ${\mathrm{e}}^x<1$ pentru $x<0$ și ${\mathrm{e}}^x>1$ pentru $x>0$. Inegalitatea demonstrată, ${\mathrm{e}}^x\ge x+1$, este una dintre cele mai folosite din analiză: ea spune că graficul exponențialei stă deasupra tangentei sale din origine, iar egalitatea are loc doar în punctul de tangență $x=0$. Controale numerice: pentru $x=-1$, ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368\ge 0$; pentru $x=2$, ${\mathrm{e}}^2\approx 7,389\ge 3$. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea pe câteva valori și se conchide că este adevărată — verificarea numerică nu este demonstrație. A doua capcană: se studiază direct $f$, fără să se scadă $4x+1$; inegalitatea dintre două funcții se transformă întotdeauna în studiul semnului diferenței lor.)

Itemul 10. (15 p) — trei integrale înrudite, cu o primitivă de tip arctangentă.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $x^2+x+1$ se reduce cu numitorul funcției, $${\int }_0^1(x^2+x+1)f(x)dx={\int }_0^1(x^2+x+1)\cdot \frac{x^3}{x^2+x+1}dx={\int }_0^1{x}^{3}dx\text{(2 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și primitiva $\frac{x^4}{4}$: $${\int }_0^1(x^2+x+1)f(x)dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^1=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+x+1$ are discriminantul $1-4=-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$ — nu se împarte niciodată la zero. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,250000$. Unde se greșește de obicei: se desface produsul și se integrează termen cu termen o funcție rațională de gradul al cincilea, când simplificarea o reduce la un simplu $x^3$.)

b) (5 p) Se împarte cu rest la numitor: cum $x^3=(x^2+x+1)(x-1)+1$, rezultă $f(x)=x-1+\frac{1}{x^2+x+1}$, deci integrandul se reduce la o singură fracție. Aducând numitorul la forma canonică, $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$, și folosind $\int \frac{dx}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{u}{a}+\mathcal{C}$ cu $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $${\int }_0^1(f(x)-x+1)dx={\int }_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}={\int }_0^1\frac{dx}{{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$: $${\int }_0^1(f(x)-x+1)dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\text{(2 p)}.$$ (Verificarea împărțirii cu rest: $(x^2+x+1)(x-1)=x^3-1$, deci $x^3=(x^2+x+1)(x-1)+1$ — corect. Control numeric: $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\approx 0,604600$, iar integrala calculată numeric dă $0,604600$; forma raționalizată a rezultatului este $\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$, aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{1}{x^2+x+1}$ ca un logaritm — logaritmul apare doar când numărătorul este derivata numitorului, ceea ce aici nu se întâmplă. A doua capcană: se uită factorul $\frac{1}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ din fața arctangentei.)

c) (5 p) Limita este de tip $\frac{0}{0}$, pentru că integrala cu ambele capete apropiate tinde la zero, iar $t^4\to 0$. Se aplică regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul; derivata integralei cu capăt variabil este chiar integrandul evaluat în capăt, ${\left({\int }_0^{t}f(x)dx\right)}^{\prime }=f(t)$, iar $(t^4{)}^{\prime }=4t^3$: $$\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{t^4}\cdot {\int }_0^{t}f(x)dx\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{t}f(x)dx}{t^4}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t)}{4t^3}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $f(t)=\frac{t^3}{t^2+t+1}$, factorul $t^3$ se simplifică cu cel de la numitor și rămâne o limită care se calculează direct: $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t)}{4t^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t^3}{4t^3(t^2+t+1)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{4(t^2+t+1)}=\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ (Aplicarea regulii lui l'Hospital este permisă pentru că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, numitorul $t^4$ se anulează doar în $0$, iar limita raportului derivatelor există. Control numeric: pentru $t=10^{-2}$, expresia dă $0,24800$; pentru $t=10^{-3}$, dă $0,24980$ — apropiere de $\frac{1}{4}$. Citire intuitivă: lângă zero, $f(x)\approx x^3$, deci integrala este aproximativ $\frac{t^4}{4}$, iar împărțită la $t^4$ dă $\frac{1}{4}$. Unde se greșește de obicei: se scoate $\frac{1}{t^4}$ în afara limitei ca și cum ar fi o constantă, sau se derivează integrala uitând că variabila de integrare $x$ este mută, iar derivarea se face după capătul $t$.)