Bac M1 2015, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2015 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația ca diferență a doi termeni consecutivi și termenul următor — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: condiția ca un punct să aparțină graficului, adică $f\left(x_A\right)=y_A$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele de două cifre care au produsul cifrelor nul — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: reciproca teoremei lui Pitagora și sinusul unui unghi ascuțit — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(xy+x+y)$ și o ecuație matriceală cu putere a treia — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, relațiile lui Viète folosite pentru suma cuburilor rădăcinilor și condiția ca un polinom cu parametru să aibă o rădăcină întreagă — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală, monotonia derivatei: derivarea unui radical, limita la $+\infty$ prin amplificare cu conjugata și semnul derivatei a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: integrala funcției $\frac{1}{x}$, aria subgraficului logaritmului prin integrare prin părți și o integrală cu parametru natural — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2015. Subiectul I este cel mai scurt din tot anul: fiecare cerință se închide în două rânduri, dar cerința $4$ are, în baremul oficial, trei pași în loc de doi — semn că numărarea cazurilor posibile și a celor favorabile se punctează separat. Subiectul al II-lea este construit pe aceeași idee de două ori: o familie de matrice închisă la înmulțire, cu legea $xy+x+y$ ascunsă în ea, și un polinom cu parametru în care totul se rezolvă prin relațiile lui Viète, nu prin rezolvarea ecuației. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un lanț complet derivată → asimptotă → derivata a doua, iar la problema 2 trei integrale în jurul logaritmului, dintre care ultima are un parametru natural care trebuie determinat.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau valori de forma $\frac{5}{13}$ și $\frac{1}{10}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile și a celor favorabile; ecuația exponențială rezolvată fără aducerea la aceeași bază; concluzia „triunghiul este dreptunghic" fără verificarea reciprocei teoremei lui Pitagora; ecuația asimptotei orizontale scrisă fără calculul limitei; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $r=a_{n+1}-a_n$ și $a_{n+1}=a_n+r$; termenul general este $a_n=a_1+(n-1)r$. Punct pe grafic: $A(x_A,y_A)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f\left(x_A\right)=y_A$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v\iff u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$; se aduce totul la aceeași bază, aici $8=2^3$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Dreapta prin punct, cu pantă dată: $y-y_M=m(x-x_M)$. Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă pătratul laturii celei mai mari este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii mari.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid; o relație de tipul $A(x)A(y)=A(xy+x+y)$ transformă produsul de matrice într-o operație pe numere.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; fiecare rădăcină verifică ecuația, deci puterea a treia se poate coborî.
• Derivate și asimptote: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ există când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ este finită, iar ecuația ei este $y=\ell$; o diferență de forma $x-\sqrt{x^2+1}$ se calculează prin amplificare cu conjugata; derivata este descrescătoare exact când $f^{\prime \prime }\le 0$.
• Integrale și arii: ${\int }_a^b\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_a^b$ pe un interval din $(0,+\infty )$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă; $\int \frac{(\ln x{)}^n}{x}dx=\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$, pentru că $\frac{1}{x}$ este chiar derivata logaritmului.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=a-x$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\ln x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $A$ înseamnă punctul $A(3,5)$ la itemul $2$, vârful triunghiului la itemul $6$ și matricea $A(x)$ la itemul $7$. Sunt obiecte fără nicio legătură între ele.
• Litera $n$ este indicele termenilor progresiei la itemul $1$ și exponentul necunoscut de la itemul $10$, subpunctul c). La itemul $1$ ea parcurge toate numerele naturale nenule; la itemul $10$ este o singură valoare, cea căutată.
• Litera $e$ apare la itemul $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=2$ și $a_2=5$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(3,5)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a-x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^{4-x}=2^{2x+2}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 0.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $M(1,1)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $M$ și are panta egală cu 2.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=12$ și $BC=13$. Arătați că $\sin C=\frac{5}{13}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1-x& 0& 2x\\ 0& 1& 0\\ -x& 0& 1+2x\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)A(y)=A(xy+x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)A(x)A(x)=A(7)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $x_1^3+x_2^3+x_3^3=5x_1{x}_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural prim $m$, știind că polinomul $f$ are o rădăcină întreagă.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că derivata funcției $f$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că ${\int }_1^e\frac{1}{x}(f(x){)}^{n}dx=\frac{1}{2015}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația unei progresii aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi: $$r=a_2-a_1=5-2=3\text{(3 p)}.$$ Al treilea termen se obține adăugând rația la al doilea: $$a_3=a_2+r=5+3=8\text{(2 p)}.$$ (Control: progresia este $2,5,8,11,\dots$, iar $a_3=a_1+2r=2+6=8$ — același rezultat pe drumul formulei termenului general. Unde se greșește de obicei: se ia rația ca raport, $\frac{5}{2}$ — acela este cazul progresiei geometrice.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică formula funcției, adică $f(3)=5$: $$f(3)=5⟺a-3=5\text{(3 p)}.$$ De aici $$\mathbf{a}=8\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=8$ funcția este $f(x)=8-x$, iar $f(3)=5$ — punctul $A$ chiar este pe grafic. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește invers, $f(5)=3$; ordinea este $(\text{abscisa˘},\text{ordonata˘})$, deci în formulă intră abscisa, iar rezultatul trebuie să fie ordonata.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduc ambii membri la aceeași bază, folosind $8=2^3$: $$2^{3(4-x)}=2^{2x+2}⟺12-3x=2x+2\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi dă $10=5x$, deci $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $8^{4-2}=8^2=64$ și $2^{2\cdot 2+2}=2^6=64$. Unde se greșește de obicei: se scrie $8^{4-x}=2^{4-x}$, uitând că exponentul se înmulțește cu $3$ când se schimbă baza; sau se egalează exponenții fără să se fi ajuns la aceeași bază.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Produsul cifrelor este nul exact când una dintre cifre este $0$; cifra zecilor nu poate fi $0$, deci trebuie ca cifra unităților să fie $0$. Numerele sunt $10,20,30,\dots ,90$, adică $9$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași, nu în doi ca la celelalte cerințe: numărarea cazurilor posibile, numărarea celor favorabile și raportul se punctează separat. Unde se greșește de obicei: se numără și numerele care au $0$ la zeci — dar acelea au o singură cifră. Control: cele nouă numere sunt exact multiplii lui $10$ dintre $10$ și $90$.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta prin punct, cu pantă dată.

Ecuația dreptei care trece prin $M(x_M,y_M)$ și are panta $m$ este $y-y_M=m(x-x_M)$; aici $M(1,1)$ și $m=2$: $$y-y_M=2(x-x_M),\text{ adica˘ }y-1=2(x-1)\text{(2 p)}.$$ Desfăcând paranteza, $$\mathbf{y}=2x-1\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $x=1$ se obține $y=1$, deci dreapta chiar trece prin $M$; coeficientul lui $x$ este $2$, deci panta este cea cerută. Unde se greșește de obicei: se scrie $y=2x+1$, adică se ia termenul liber egal cu ordonata punctului — el este $y_M-m{x}_M=1-2=-1$.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic recunoscut după laturi.

Se verifică reciproca teoremei lui Pitagora pe latura cea mai mare, $BC=13$: $$13^2=5^2+12^2(169=25+144),\text{ deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic ıˆn }A\text{(2 p)}.$$ Unghiul drept fiind în $A$, ipotenuza este $BC$, iar cateta opusă unghiului $C$ este $AB$: $$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se ia $\sin C=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}$, adică se confundă cateta opusă cu cea alăturată — cateta opusă lui $C$ este cea care nu-l atinge, adică $AB$. Control: $\sin C=\frac{5}{13}$ și $\cos C=\frac{12}{13}$ verifică ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=\frac{25+144}{169}=1$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice închisă la înmulțire.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel „ascendent" care trece prin colțuri: $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =0+0+0-(-2)-0-0\\ & =2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(1))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 3\end{array}\right|=0+2=2$. Aceeași valoare — și un control gratuit al calculului lung. De reținut: linia a doua a matricei $A(x)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)$ pentru orice $x$.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană"; pe fiecare poziție apar și termeni în $xy$, dar ei se grupează exact în combinația $xy+x+y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(1-x)(1-y)-2xy& 0& (1-x)\cdot 2y+2x(1+2y)\\ 0& 1& 0\\ -x(1-y)-(1+2x)y& 0& -2xy+(1+2x)(1+2y)\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Desfăcând fiecare element se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $xy+x+y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1-(xy+x+y)& 0& 2(xy+x+y)\\ 0& 1& 0\\ -(xy+x+y)& 0& 1+2(xy+x+y)\end{array}\right)\\ & =A(xy+x+y),\\ & \text{ pentru orice numere reale }x\text{și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe colțul din stânga sus: $(1-x)(1-y)-2xy=1-x-y+xy-2xy=1-(xy+x+y)$ — exact primul element al lui $A(xy+x+y)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $y=0$ avem $A(0)=I_3$, iar formula prezice $A(x)\cdot I_3=A(x)$, ceea ce este evident adevărat.)

c) (5 p) Se aplică de două ori relația de la subpunctul b). Cheia este că expresia $xy+x+y$ se rescrie $(1+x)(1+y)-1$, deci parametrul „adunat cu $1$" se înmulțește: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(x)A(x)\\ & =A((x+1{)}^3-1),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ Egalitatea din enunț cere ca parametrii să coincidă, deci $(x+1{)}^3-1=7$, adică $(x+1{)}^3=8$; cum funcția putere a treia este bijectivă pe $\mathbb{R}$, rămâne $x+1=2$, deci $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (De ce apare cubul: din $1+(xy+x+y)=(1+x)(1+y)$ se vede că, notând $t=1+x$, doi factori din familie dau parametrul $t^2-1$, iar trei factori dau $t^3-1$. Verificare pas cu pas: $A(1)A(1)=A(1\cdot 1+1+1)=A(3)$, apoi $A(3)A(1)=A(3\cdot 1+3+1)=A(7)$ — chiar parametrul cerut. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(x)A(x)A(x)=A\left(x^3\right)$, ca și cum parametrii s-ar înmulți pur și simplu.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3+2\cdot 0^2+0+m\text{(3 p)}.$$ Toți termenii care conțin $X$ se anulează, deci $$f(0)=0+0+0+m=\mathbf{m}\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: valoarea în zero a unui polinom este întotdeauna termenul lui liber. Legătura cu relațiile lui Viète: $x_1{x}_2{x}_3=-m$, deci produsul rădăcinilor este $-f(0)$ pentru un polinom cu coeficient dominant $1$ și grad impar.)

b) (5 p) Pentru $m=1$ polinomul este $f=X^3+2X^2+X+1$, iar relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=-2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1,x_1{x}_2{x}_3=-1\text{(3 p)}.$$ Fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_k^3=-2x_k^2-x_k-1$; adunând cele trei relații și folosind $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-2{)}^2-2\cdot 1=2$: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-2\cdot 2-(-2)-3=-5=5\cdot (-1)=5x_1{x}_2{x}_3\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: rădăcinile lui $X^3+2X^2+X+1$ sunt aproximativ $-1,7549$ și $-0,1226\pm 0,7449i$; suma cuburilor lor iese $-5,000000$, iar $5x_1{x}_2{x}_3=5\cdot (-1)=-5$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea efectivă a ecuației de gradul al treilea — ea nu are rădăcini raționale, deci drumul este blocat. Rețeta corectă este coborârea puterii a treia cu ajutorul ecuației însăși.)

c) (5 p) Dacă $x_1$ este o rădăcină întreagă, atunci $f\left(x_1\right)=0$, adică $x_1^3+2x_1^2+x_1+m=0$, de unde, dând factor comun, $$m=-x_1(x_1^2+2x_1+1)=-x_1(x_1+1{)}^2\text{(2 p)}.$$ Numărul $(x_1+1{)}^2$ este un pătrat perfect care divide numărul prim $m$; singurele divizoare ale unui număr prim sunt $1$ și $m$, iar $m$ nu poate fi pătrat perfect, deci $(x_1+1{)}^2=1$. Rezultă $x_1=0$, care nu convine (ar da $m=0$, care nu este prim), sau $x_1=-2$, pentru care $$m=2\cdot 1=2\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=2$ polinomul este $X^3+2X^2+X+2$, iar $f(-2)=-8+8-2+2=0$ — deci $-2$ chiar este rădăcină întreagă, iar $2$ este prim. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcinile întregi printre divizorii termenului liber fără să se observe că termenul liber este chiar necunoscuta $m$; rețeta corectă este să exprimi $m$ în funcție de rădăcină, nu invers.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și monotonia derivatei.

a) (5 p) Al doilea termen este un radical compus, deci se derivează cu formula $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, unde $u(x)=x^2+1$: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}(x^2+1{)}^{\prime }\text{(3 p)}.$$ Cum $(x^2+1{)}^{\prime }=2x$, factorul $2$ se simplifică: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,29289$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,29289$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata funcției dinăuntru, $u^{\prime }=2x$, și se scrie $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$. Observație: $\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right|<1$, deci derivata este strict pozitivă peste tot — funcția este strict crescătoare.)

b) (5 p) Diferența $x-\sqrt{x^2+1}$ este o nedeterminare de tipul $\infty -\infty$, care se ridică prin amplificare cu conjugata: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+1})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, graficul are asimptotă orizontală spre $+\infty$, iar ecuația ei este chiar $y=\ell$: $$\text{dreapta de ecuație }\mathbf{y}=0\text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f(1000)=1000-\sqrt{1000001}\approx -0,0005$, deci graficul chiar se lipește de axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $\infty -\infty =0$, fără amplificare — nedeterminarea trebuie ridicată, altfel pasul nu se punctează. A doua capcană: se uită precizarea capătului, $+\infty$; spre $-\infty$ funcția tinde la $-\infty$, deci acolo nu există asimptotă orizontală.)

c) (5 p) Derivata este descrescătoare exact când derivata ei, adică $f^{\prime \prime }$, este negativă. Derivând raportul $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ și schimbând semnul: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}(x^2+1)},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv pentru orice număr real, deci $$f^{\prime \prime }(x)<0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci funcția }{f}^{\prime }\text{ este descresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f^{\prime }(-2)\approx 1,894$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime }(2)\approx 0,106$ — valorile chiar scad. Unde se greșește de obicei: se cere semnul lui $f^{\prime }$ în loc de semnul lui $f^{\prime \prime }$; enunțul întreabă despre monotonia derivatei, nu a funcției. De reținut: „$f^{\prime }$ descrescătoare" este același lucru cu „$f$ concavă".)

Itemul 10. (15 p) — integrala definită și aria subgraficului.

a) (5 p) O primitivă a funcției $\frac{1}{x}$ pe intervalul $[1,e]\subset (0,+\infty )$ este $\ln x$, deci $${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln e-\ln 1=1-0=1\text{(2 p)}.$$ (Pe $(0,+\infty )$ modulul din $\ln |x|$ dispare, pentru că $x>0$; el se scrie doar când intervalul de integrare este în semiaxa negativă. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $1,0000000$.)

b) (5 p) Pe intervalul $[1,e]$ funcția $f(x)=\ln x$ este continuă și nenegativă (crește de la $\ln 1=0$ la $\ln e=1$), deci aria este chiar integrala, fără modul. Se integrează prin părți, cu $u^{\prime }=1$ și $v=\ln x$: $$\mathcal{S}={\int }_1^{e}f(x)dx={\int }_1^e\ln xdx=x\ln x{|}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen valorează $e\cdot 1-1\cdot 0=e$, iar integrala rămasă este cea de la subpunctul precedent, scrisă însă cu integrandul $1$: $$\mathcal{S}=e-x{|}_1^e=e-(e-1)=1\text{(2 p)}.$$ (Atenție: rezultatul este același ca la subpunctul a), dar integralele sunt diferite — acolo integrandul era $\frac{1}{x}$, aici este $\ln x$. Coincidența valorilor nu este o eroare de transcriere. Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă „directă" pentru logaritm; ea există, $x\ln x-x$, dar se găsește tot prin părți. Control numeric: aria calculată numeric pe $[1,e]$ dă $1,0000000$.)

c) (5 p) Integrandul este $\frac{(\ln x{)}^n}{x}$, adică o putere a logaritmului înmulțită chiar cu derivata logaritmului, deci primitiva se scrie direct: $${\int }_1^e\frac{1}{x}(f(x){)}^{n}dx={\int }_1^e\frac{(\ln x{)}^n}{x}dx=\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}{|}_1^e=\frac{1}{n+1}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2015}$, deci $n+1=2015$ și $$\mathbf{n}=2014\text{(2 p)}.$$ (De ce primitiva iese așa: cu $u=\ln x$ avem $u^{\prime }=\frac{1}{x}$, iar $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$. La capete, $\ln e=1$ și $\ln 1=0$, deci rămâne doar $\frac{1}{n+1}$. Unde se greșește de obicei: se confundă $(\ln x{)}^n$ cu $\ln \left(x^n\right)=n\ln x$ — sunt lucruri complet diferite. Control numeric: pentru $n=2014$ integrala calculată numeric dă $0,00049628$, iar $\frac{1}{2015}=0,00049628$.)