Acasă · Teste · clasa a XII-a · Bac M1 2015, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Bac M1 2015, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea august-septembrie 2015 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Variantele de rezervă se pregătesc și se publică pentru situația în care subiectul extras în ziua examenului ar trebui înlocuit; ele au exact aceeași structură, același punctaj și același nivel de dificultate ca varianta principală, deci se lucrează la fel de bine ca probă completă. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2015:

Subiect	Ce se cere	Structură	Punctaj
Subiectul I	materie din clasele a IX-a și a X-a (cu geometria analitică de a XI-a)	șase cerințe independente	$6 \times 5 = 30$ p
Subiectul al II-lea	1. matrice triunghiulară de ordinul al treilea cu parametru (clasa a XI-a) · 2. polinom de gradul al treilea cu parametru (clasele a X-a – a XII-a)	două probleme, câte trei subpuncte	$2 \times 15 = 30$ p
Subiectul al III-lea	1. derivată, intervale de monotonie, inegalitate cu exponențială · 2. șir de integrale cu recurență (clasa a XII-a)	două probleme, câte trei subpuncte	$2 \times 15 = 30$ p
oficiu			10 p

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

Progresii aritmetice: rația ca diferență a doi termeni consecutivi — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
Funcția de gradul întâi pe interval închis: valoarea maximă a unei funcții crescătoare se atinge în capătul din dreapta — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului, $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v$ , cu condiția de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
Combinatorică: numere de trei cifre distincte formate cu elementele unei mulțimi de patru cifre, numărate prin regula produsului — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
Geometrie analitică: paralelogramul recunoscut după diagonalele cu același mijloc — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
Trigonometrie: suma unghiurilor unui triunghi și legătura dintre laturi și unghiuri în triunghiul dreptunghic — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
Matrice triunghiulare: determinantul unei matrice triunghiulare, o ecuație matriceală de forma $A^{2} - 2 A + I_{3} = O_{3}$ și o sumă lungă de matrice grupată în perechi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
Polinoame: valoarea într-un punct, relațiile lui Viète combinate cu o condiție între rădăcini și demonstrația că un polinom nu are toate rădăcinile reale — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
Derivată, monotonie, inegalități: derivarea unui produs cu exponențială, tabelul de semn al derivatei și obținerea unei inegalități din valoarea maximă — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
Șiruri de integrale: calculul unui prim termen, monotonia șirului prin semnul diferenței și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din august 2015. Subiectul I amestecă cerințe foarte scurte (rația unei progresii, maximul unei funcții crescătoare) cu două care cer o justificare scrisă: numărarea de la cerința $4$ și paralelogramul de la cerința $5$ . Subiectul al II-lea este neobișnuit de calculatoriu: la problema 1 trebuie ridicată la pătrat o matrice $3 \times 3$ cu parametru, iar la problema 2 subpunctul c) cere o demonstrație prin reducere la absurd — se arată că, dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi zero, deci toate ar fi nule, ceea ce contrazice $f (0) = 2$ . Subiectul al III-lea este cel mai greu din lot: problema 1 se închide cu o inegalitate demonstrată prin monotonie, iar problema 2 este un șir de integrale complet, cu monotonie și recurență.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $60$ de minute pentru Subiectul al III-lea (aici stă greul acestei variante), iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{3 ( n + 1 )}{3 n + 4}$ .
Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condiției de existență; numărarea cazurilor fără să se spună câte posibilități are fiecare poziție; intervalele de monotonie scrise fără semnul derivatei; inegalitatea afirmată fără să se spună în ce punct se atinge maximul; recurența dintre integrale scrisă fără termenul din afara integralei de la integrarea prin părți.
După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Nivel de notă mare la examen. De rafinat doar viteza și redactarea.
75–89 p	bine	Materia e stăpânită; se pierd puncte pe pași intermediari nescriși. De reluat baremul pas cu pas.
60–74 p	satisfăcător	Subiectul I și primele subpuncte ies; subpunctele c) încă nu. De lucrat pe probleme complete, nu pe exerciții izolate.
45–59 p	insuficient	Lipsesc automatismele. De reluat capitolele din harta materiei, cu câte un test scurt după fiecare.
sub 45 p	de reluat	Se reia materia pe unități, în ordinea din manifest, înainte de a mai da o probă întreagă.

Formule de reținut, pe subiecte:

Progresii aritmetice: $r = a_{2} - a_{1}$ . Maximul unei funcții monotone pe interval închis: o funcție crescătoare pe $[a, b]$ își atinge maximul în $b$ . Ecuații logaritmice: $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v$ , cu $u > 0$ și $v > 0$ ; $lo g_{a} a^{k} = k$ . Regula produsului: dacă prima poziție se poate umple în $p$ moduri, a doua în $q$ și a treia în $r$ , atunci sunt $p \cdot q \cdot r$ posibilități. Paralelogram: $A B C D$ este paralelogram exact când diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc, adică $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D}$ și $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$ . Triunghi: suma unghiurilor este $π$ ; în triunghiul dreptunghic, $cos B = \frac{cateta al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}$ .
Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; $A^{2} = A \cdot A$ se calculează „linie pe coloană"; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid, deci o ecuație matriceală se sparge în ecuații între elemente.
Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ ; suma pătratelor, $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ — dacă rădăcinile sunt reale și suma pătratelor este nulă, atunci toate sunt nule.
Derivate: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ și $(e^{x})^{'} = e^{x}$ ; semnul derivatei dă monotonia, iar dacă $f$ crește până în $x_{0}$ și scade după, atunci $f (x) \leq f (x_{0})$ pe tot intervalul — de aici se scot inegalitățile.
Șiruri de integrale: monotonia se decide prin semnul diferenței $I_{n + 1} - I_{n}$ , scrisă ca o singură integrală; recurențele se obțin prin integrare prin părți, $\int_{a}^{b} u^{'} v d x = uv_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'} d x$ , luând de obicei $u^{'} = 1$ , adică $u = x$ .

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f (x) = x + 1$ definită pe $[1, 4]$ de la itemul $2$ , polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + m X + 2$ de la itemul $8$ și funcția $f (x) = e^{x} (x^{2} - 6 x + 9)$ de la itemul $9$ . Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
Litera $A$ are patru înțelesuri: mulțimea $A = {1, 2, 3, 4}$ la itemul $4$ , punctul $A (3, 3)$ la itemul $5$ , vârful triunghiului (și unghiul din el) la itemul $6$ și matricea $A (a)$ la itemul $7$ .
Litera $a$ este termenul progresiei, scris $a_{n}$ , la itemul $1$ , și parametrul familiei de matrice la itemul $7$ . La itemul $7$ ea poate lua orice valoare reală; la itemul $1$ este un șir întreg de numere.
Literele $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului la itemul $8$ , iar $x_{1}$ , $x_{2}$ sunt soluțiile ecuației $f^{'} (x) = 0$ la itemul $9$ , subpunctul b). Sunt numere fără nicio legătură între ele.
Litera $e$ apare la itemul $9$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați rația progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $a_{1} = 1$ și $a_{2} = 2015$ .

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați valoarea maximă a funcției $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = x + 1$ .

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{3} (x^{2} - 8 x) = lo g_{3} 9$ .

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A = {1, 2, 3, 4}$ .

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 3)$ , $B (6, 3)$ și $C (4, 0)$ . Determinați coordonatele punctului $D$ , știind că $A B C D$ este paralelogram.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $B C$ a triunghiului $A B C$ în care $A B = 1$ , $B = \frac{π}{3}$ și $C = \frac{π}{6}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_{3} = 100010001$ , $O_{3} = 000000000$ și $A (a) = 100 a 10 a + 1 a + 2 1,$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $det (A (1)) = 1$ .

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ , știind că $A^{2} (a) - 2 A (a) + I_{3} = O_{3}$ , unde $A^{2} (a) = A (a) A (a)$ .

c) (5 puncte) Arătați că $A (2) + A (4) + A (6) + \dots + A (100) = 50 A (51)$ .

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + m X + 2$ , unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f (0) = 2$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1} = x_{2} + x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

c) (5 puncte) Pentru $m = 8$ , arătați că polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} (x^{2} - 6 x + 9)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - 4 x + 3)$ , $x \in R$ .

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^{x} (x - 3)^{2} \leq 4 e$ , pentru orice $x \in (- \infty, 3]$ .

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x^{3})^{n} d x$ .

a) (5 puncte) Arătați că $I_{1} = \frac{3}{4}$ .

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n + 1} \leq I_{n}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n + 1} = \frac{3 ( n + 1 )}{3 n + 4} I_{n}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii august-septembrie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — rația unei progresii aritmetice.

Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi, în ordinea „al doilea minus primul": $r = a_{2} - a_{1} = 2015 - 1 (3 p) .$ Efectuând scăderea, $r = 2014 (2 p) .$ (Control: cu $a_{1} = 1$ și $r = 2014$ , al doilea termen este $1 + 2014 = 2015$ — exact valoarea din enunț. Unde se greșește de obicei: se scade invers, $a_{1} - a_{2}$ , și iese $- 2014$ ; ordinea contează, pentru că rația arată cu cât crește șirul.)

Itemul 2. (5 p) — valoarea maximă a unei funcții crescătoare pe interval închis.

Funcția $f (x) = x + 1$ este strict crescătoare pe $R$ (coeficientul lui $x$ este pozitiv), deci pe intervalul închis $[1, 4]$ își atinge valoarea maximă în capătul din dreapta: $valoarea maxim \overset{a}{˘} a func ț iei f este f (4) (3 p) .$ Calculând, $f (4) = 4 + 1 = 5 (2 p) .$ (Control: valorile la capete sunt $f (1) = 2$ și $f (4) = 5$ , iar între ele funcția crește continuu, deci imaginea este $[2, 5]$ . Unde se greșește de obicei: se răspunde „ $x = 4$ " — enunțul cere valoarea maximă a funcției, adică ordonata, nu punctul în care se atinge.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul este o funcție injectivă, deci două logaritmi în aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor sunt egale: $x^{2} - 8 x = 9, de unde x^{2} - 8 x - 9 = 0 (3 p) .$ Discriminantul este $Δ = 64 + 36 = 100$ , deci $x_{1} = - 1$ și $x_{2} = 9$ ; amândouă dau argumentul $9 > 0$ , deci verifică ecuația (2 p): $(- 1)^{2} - 8 \cdot (- 1) = 9, 9^{2} - 8 \cdot 9 = 9.$ (Unde se greșește de obicei: se elimină soluția negativă „pentru că logaritmul nu are voie cu numere negative" — condiția se pune pe argument, $x^{2} - 8 x > 0$ , nu pe $x$ ; pentru $x = - 1$ argumentul este $9$ , perfect legitim. Control: condiția de existență $x^{2} - 8 x > 0$ înseamnă $x < 0$ sau $x > 8$ , iar ambele soluții o îndeplinesc.)

Itemul 4. (5 p) — numărare cu regula produsului.

Cifrele trebuie să fie distincte și alese din mulțimea $A$ , care are patru elemente, iar niciunul nu este $0$ , deci nu apare restricția obișnuită pentru prima cifră: $prima cifr \overset{a}{˘} se poate alege \overset{ı}{ˆ} n 4 moduri, a doua cifr \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n c \overset{a}{ˆ} te 3 moduri (2 p) .$ Ultima cifră se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a primelor două, în câte $2$ moduri, deci se pot forma $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 de numere (3 p) .$ (Același rezultat, pe drumul aranjamentelor: $A_{4}^{3} = \frac{4 !}{( 4 - 3 )!} = 24$ . Unde se greșește de obicei: se numără $4^{3} = 64$ , uitând condiția „cifre distincte", sau se împarte la $3!$ , ca la combinări — dar ordinea cifrelor contează, $123$ și $321$ fiind numere diferite.)

Itemul 5. (5 p) — paralelogram în reper cartezian.

Într-un paralelogram $A B C D$ , diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc, deci sumele coordonatelor vârfurilor opuse coincid. Pe abscise: $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} ⟹ 3 + 4 = 6 + x_{D} ⟹ x_{D} = 1 (3 p) .$ Pe ordonate: $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} ⟹ 3 + 0 = 3 + y_{D} ⟹ y_{D} = 0 (2 p) .$ Punctul căutat este $D (1, 0)$ .

(Control: mijlocul lui $A C$ este $(\frac{3 + 4}{2}, \frac{3 + 0}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$ , iar mijlocul lui $B D$ cu $D (1, 0)$ este $(\frac{6 + 1}{2}, \frac{3 + 0}{2})$ — același punct. Unde se greșește de obicei: se pun în corespondență vârfuri care nu sunt opuse. În notația $A B C D$ , ordinea literelor este ordinea de parcurgere a conturului, deci $A$ este opus lui $C$ , iar $B$ este opus lui $D$ .)

Itemul 6. (5 p) — latura unui triunghi din unghiuri și o latură.

Suma unghiurilor unui triunghi este $π$ , deci al treilea unghi este $A = π - \frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} (2 p) .$ Triunghiul este deci dreptunghic în $A$ , iar $B C$ este ipotenuza; latura $A B$ este cateta alăturată unghiului $B$ , deci $cos B = \frac{A B}{B C}$ , adică $\frac{1}{2} = \frac{1}{B C}$ , de unde $B C = 2 (3 p) .$ (Același rezultat, cu teorema sinusurilor: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ , adică $B C = \frac{1 \cdot 1}{1/2} = 2$ . Unde se greșește de obicei: se sare peste calculul unghiului $A$ și se aplică teorema cosinusului, care aici ar cere o a doua latură necunoscută. Control: cu $B C = 2$ și $A B = 1$ , cateta $A C$ iese $3$ , iar $tg B = \frac{3}{1} = 3 = tg \frac{π}{3}$ — coerent.)

Itemul 7. (15 p) — matrice triunghiulară cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a = 1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $A (1) = 100110231 ⟹ det (A (1)) = 100110231 (2 p) .$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $det (A (1)) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1 (3 p) .$ (Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală, aici $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ — și asta pentru orice valoare a parametrului $a$ . Unde se greșește de obicei: se dezvoltă determinantul după prima linie, ceea ce merge, dar cere trei minori în loc de unul.)

b) (5 p) Se ridică matricea la pătrat, înmulțind „linie pe coloană", și se scrie alături dublul ei: $A^{2} (a) = 100 2 a 10 a^{2} + 4 a + 2 2 a + 4 1, 2 A (a) = 200 2 a 20 2 a + 2 2 a + 4 2 (2 p) .$ Adunând și pe $I_{3}$ , aproape totul se anulează; rămâne un singur element nenul, în colțul din dreapta sus: $A^{2} (a) - 2 A (a) + I_{3} = 000000 a^{2} + 2 a 00 (1 p) .$ Egalitatea cu $O_{3}$ cere ca acest element să fie nul: $a^{2} + 2 a = 0 ⟺ a (a + 2) = 0 ⟺ a_{1} = - 2 ș i a_{2} = 0 (2 p) .$ (Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași, nu în doi: calculul lui $A^{2}$ și al lui $2 A$ , scăderea matricelor și rezolvarea ecuației se punctează separat. Verificare pentru $a = - 2$ : $A (- 2) = 100 - 2 10 - 1 01$ , iar $A^{2} (- 2) = 100 - 4 10 - 2 01$ , deci $A^{2} - 2 A + I_{3} = O_{3}$ . Unde se greșește de obicei: se calculează $A^{2}$ ridicând fiecare element la pătrat.)

c) (5 p) Suma are $50$ de termeni, cu parametrii $2, 4, 6, \dots, 100$ . Termenii se grupează în perechi simetrice față de mijloc, iar fiecare pereche dă aceeași matrice: $A (2) + A (100) A (4) + A (98) A (50) + A (52) = 2 A (51), = 2 A (51), \dots, = 2 A (51) (3 p) .$ Perechile sunt $25$ la număr, deci $A (2) + A (4) + A (6) + \dots + A (100) = 25 \cdot 2 A (51) = 50A (51) (2 p) .$ (De ce merge gruparea: elementele matricei sunt $1$ , $a$ , $a + 1$ , $a + 2$ — toate de gradul întâi în $a$ — deci $A (u) + A (v) = 2 A (\frac{u + v}{2})$ , iar aici $\frac{2 + 100}{2} = \frac{4 + 98}{2} = \dots = 51$ . Verificare pe elementul din colțul din dreapta sus: $(2 + 1) + (100 + 1) = 104 = 2 (51 + 1)$ . Unde se greșește de obicei: se scrie $A (2) + A (4) + \dots = A (2 + 4 + \dots + 100)$ , ca și cum parametrii s-ar aduna — dar atunci elementul de pe diagonală ar fi $1$ , nu $50$ .)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$ : $f (0) = 0^{3} - 4 \cdot 0^{2} + m \cdot 0 + 2 (3 p) .$ Toți termenii care conțin $X$ se anulează, inclusiv cel cu parametrul, deci $f (0) = 2 (2 p) .$ (Observație folositoare mai departe: valoarea în zero este termenul liber, iar prin relațiile lui Viète $x_{1} x_{2} x_{3} = - 2 \neq = 0$ — niciuna dintre rădăcini nu este nulă, oricare ar fi $m$ . Exact pe asta se sprijină subpunctul c).)

b) (5 p) Prin relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $- \frac{- 4}{1} = 4$ . Înlocuind în ea condiția din enunț, $x_{1} = x_{2} + x_{3}$ , se obține $x_{1} + x_{1} = 4$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4, x_{1} = x_{2} + x_{3} ⟺ x_{1} = 2 (2 p) .$ Numărul $2$ fiind rădăcină, valoarea polinomului în el este nulă: $f (2) = 0 ⟺ 8 - 16 + 2 m + 2 = 0 ⟺ 2 m - 6 = 0 ⟺ m = 3 (3 p) .$ (Control numeric: pentru $m = 3$ polinomul este $X^{3} - 4 X^{2} + 3 X + 2$ , cu rădăcinile $2$ , $1 + 2 \approx 2, 414$ și $1 - 2 \approx - 0, 414$ ; suma ultimelor două este $2$ , adică exact prima. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea sistemului lui Viète cu toate cele trei relații — inutil; condiția din enunț combinată cu prima relație dă direct $x_{1}$ .)

c) (5 p) Pentru $m = 8$ , relațiile lui Viète dau suma și suma produselor două câte două: $f = X^{3} - 4 X^{2} + 8 X + 2, x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 ș i x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 8 (2 p) .$ De aici suma pătratelor rădăcinilor este nulă, iar o sumă de pătrate de numere reale este nulă doar dacă toate numerele sunt nule: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = 16 - 16 = 0,$ deci, dacă polinomul $f$ ar avea toate rădăcinile reale, am obține $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$ , în contradicție cu $f (0) = 2$ (3 p).

(Contradicția se poate spune și așa: dacă toate rădăcinile ar fi nule, polinomul ar fi $X^{3}$ , care are termenul liber $0$ , nu $2$ . Control numeric: polinomul $X^{3} - 4 X^{2} + 8 X + 2$ are o singură rădăcină reală, aproximativ $- 0, 2236$ ; celelalte două sunt complexe conjugate, $2, 1118 \pm 2, 1177 i$ . Unde se greșește de obicei: se sare peste cuvântul reale — pentru numere complexe, o sumă de pătrate poate fi nulă fără ca ele să fie nule, deci tot raționamentul se sprijină pe ipoteza de reducere la absurd.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și inegalitate.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , unde $u = e^{x}$ și $v = x^{2} - 6 x + 9$ : $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - 6 x + 9) + e^{x} (2 x - 6) (3 p) .$ Dând factor comun $e^{x}$ și reducând termenii asemenea: $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - 6 x + 9 + 2 x - 6) = e^{x} (x^{2} - 4 x + 3), x \in R (2 p) .$ (Control numeric: în $x = 0$ formula dă $f^{'} (0) = 1 \cdot 3 = 3$ , iar raportul incremental $\frac{f ( 0 , 001 ) - f ( - 0 , 001 )}{0 , 002}$ dă tot $3, 000$ . Unde se greșește de obicei: se derivează separat cei doi factori și se înmulțesc derivatele — regula produsului nu funcționează așa.)

b) (5 p) Semnul derivatei este dat de trinomul $x^{2} - 4 x + 3$ , pentru că $e^{x} > 0$ oricare ar fi $x$ . Rădăcinile lui sunt $f^{'} (x) = 0 ⟺ x_{1} = 1 ș i x_{2} = 3 (2 p) .$ Un trinom cu coeficientul dominant pozitiv este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele, deci: $f^{'} (x) \geq 0, pentru orice x \in (- \infty, 1] ⟹ f este cresc \overset{a}{˘} toare pe (- \infty, 1] (1 p);$ $f^{'} (x) \leq 0, pentru orice x \in [1, 3] ⟹ f este descresc \overset{a}{˘} toare pe [1, 3] (1 p);$ $f^{'} (x) \geq 0, pentru orice x \in [3, + \infty) ⟹ f este cresc \overset{a}{˘} toare pe [3, + \infty) (1 p) .$ (Baremul oficial dă câte un punct pe fiecare interval, deci toate trei trebuie scrise — nu e suficient „crește, scade, crește". Control numeric: $f (0) = 9$ , $f (1) = 4 e \approx 10, 873$ , $f (3) = 0$ , $f (4) \approx 54, 598$ — chiar urcă, coboară, urcă. Observație: $x = 3$ este rădăcină dublă a lui $f$ , deci acolo funcția atinge valoarea $0$ , minimul ei absolut.)

c) (5 p) Inegalitatea cerută se rescrie chiar cu funcția $f$ , pentru că $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , deci $f (x) = e^{x} (x - 3)^{2}$ . Din monotonia de la subpunctul b), pe $(- \infty, 1]$ funcția crește, iar pe $[1, 3]$ scade, deci valoarea maximă pe $(- \infty, 3]$ se atinge în $x = 1$ : $f (x) \leq f (1), pentru orice x \in (- \infty, 3] (3 p) .$ Cum $f (1) = e^{1} \cdot (1 - 3)^{2} = 4 e$ , obținem $e^{x} (x - 3)^{2} \leq 4 e, pentru orice x \in (- \infty, 3] (2 p) .$ (Control numeric: $4 e \approx 10, 8731$ ; valorile funcției sunt $f (- 2) \approx 3, 383$ , $f (0) = 9$ , $f (1) \approx 10, 873$ , $f (2) \approx 7, 389$ , $f (3) = 0$ — maximul este chiar în $1$ . Unde se greșește de obicei: se afirmă că maximul este la capătul $x = 3$ , prin analogie cu funcțiile monotone; aici capătul dă valoarea minimă, zero. A doua capcană: pe tot $R$ inegalitatea este falsă — $f (6) = 9 e^{6} \approx 3630$ — deci restrângerea la $(- \infty, 3]$ este esențială.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale, monotonie și recurență.

a) (5 p) Pentru $n = 1$ integrandul este un polinom, deci primitiva se scrie termen cu termen: $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{3}) d x = (x - \frac{x ^{4}}{4})_{0}^{1} (3 p) .$ Înlocuind capetele, $I_{1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (2 p) .$ (Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0, 1]$ dă $0, 7500000$ . Unde se greșește de obicei: se uită scăderea valorii din capătul de jos — chiar dacă aici dă zero, ea se scrie.)

b) (5 p) Monotonia se decide prin semnul diferenței, scrisă ca o singură integrală. Dând factor comun $(1 - x^{3})^{n}$ sub integrală: $I_{n + 1} - I_{n} = \int_{0}^{1} (- x^{3}) (1 - x^{3})^{n} d x, pentru orice num \overset{a}{˘} r natural nenul n (2 p) .$ Pe intervalul de integrare, ambii factori au semn constant: $- x^{3} \leq 0$ , iar $1 - x^{3} \geq 0$ , deci și puterea lui este nenegativă. Integrala unei funcții negative este negativă, deci $pentru orice n ș i x \in [0, 1] avem - x^{3} \leq 0 ș i (1 - x^{3})^{n} \geq 0 ⟹ I_{n + 1} \leq I_{n} (3 p) .$ (Control numeric: $I_{1} = 0, 75$ , $I_{2} = \frac{9}{14} \approx 0, 6429$ , $I_{3} = \frac{81}{140} \approx 0, 5786$ — șirul chiar scade. Unde se greșește de obicei: se compară integralele „pe ochi", fără să se scrie diferența ca integrală unică; sau se uită de ce $1 - x^{3} \geq 0$ pe $[0, 1]$ — pentru că $x^{3} \leq 1$ acolo.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, luând $u^{'} = 1$ , adică $u = x$ , și $v = (1 - x^{3})^{n + 1}$ : $I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{'} (1 - x^{3})^{n + 1} d x = x (1 - x^{3})^{n + 1}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (n + 1) (1 - x^{3})^{n} (- 3 x^{2}) d x (2 p) .$ Termenul din afara integralei este nul la ambele capete. Rămâne $3 (n + 1) \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x^{3})^{n} d x$ , iar aici se face trucul: $x^{3} = - ((1 - x^{3}) - 1)$ , ceea ce readuce chiar $I_{n + 1}$ și $I_{n}$ : $3 (n + 1) \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x^{3})^{n} d x = - 3 (n + 1) \int_{0}^{1} (1 - x^{3} - 1) (1 - x^{3})^{n} d x = - 3 (n + 1) (I_{n + 1} - I_{n}),$ deci $I_{n + 1} = - 3 (n + 1) I_{n + 1} + 3 (n + 1) I_{n}$ , adică $(3 n + 4) I_{n + 1} = 3 (n + 1) I_{n}$ și $I_{n + 1} = \frac{3 ( n + 1 )}{3 n + 4} I_{n}, pentru orice num \overset{a}{˘} r natural nenul n (3 p) .$ (Control numeric: pentru $n = 1$ , formula dă $I_{2} = \frac{6}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{14} \approx 0, 642857$ , iar integrala $\int_{0}^{1} (1 - x^{3})^{2} d x = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{7} = \frac{9}{14}$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se aleg invers $u^{'}$ și $v$ , adică se derivează $x$ și se integrează paranteza — dar aceasta din urmă nu are primitivă elementară scurtă. A doua capcană: se uită că $I_{n + 1}$ apare și în membrul drept, deci ecuația trebuie rezolvată în $I_{n + 1}$ , nu doar scrisă.)