Bac M1 2015, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2015 a examenului național de bacalaureat — Varianta 8, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul cu radicali: pătratul unei sume și al unei diferențe, cu $(\sqrt{5}{)}^2=5$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Valorile unei funcții de gradul întâi: un produs de patru valori în care apare un factor nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică elementară, ${\log }_{2}u(x)=0$, cu condiția de existență și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere de trei cifre distincte formate cu cifre date, cu o condiție de paritate pe ultima cifră — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și condiția de perpendicularitate $m_1\cdot m_2=-1$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\sin (\pi +x)=-\sin x$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul matricei unitate, o relație funcțională de tipul $B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificarea elementelor — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: compusul a două numere, o ecuație în care necunoscuta apare de două ori și un produs lung „scurtcircuitat" de un element absorbant — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, convexitate, tangentă: derivata unui raport, semnul derivatei a doua și punctul în care tangenta are o pantă dată — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale, primitive și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitiva determinată printr-o condiție inițială și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2015. Subiectul I este scurt și tehnic: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, dar fiecare are un pas care se pierde ușor — condiția de existență la logaritm, paritatea ultimei cifre la numărare, semnul pantei la perpendiculară. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, o familie de matrice stabilă la adunare (nu la înmulțire, ca de obicei) și, la problema 2, o lege de compoziție cu un element care „înghite" tot produsul — cheia subpunctului c) nu e calculul, ci observația. Subiectul al III-lea este cel mai clasic dintre cele trei: la problema 1 lanțul derivată → derivata a doua → tangentă, iar la problema 2 un final serios, cu integrare prin părți într-un șir de integrale.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e(e-1)$ și $(x-1)e^x$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificare în ecuația inițială; numărarea cazurilor fără să se spună de ce ultima cifră este fixată; egalitatea a două matrice „citită" fără să se scrie ecuația dintre elementele corespunzătoare; convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; primitiva scrisă fără constanta $\mathcal{C}$, care este exact necunoscuta subpunctului 10b.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$ și $(\sqrt{a}{)}^2=a$ pentru $a\ge 0$; suma $(\sqrt{a}+1{)}^2+(\sqrt{a}-1{)}^2=2a+2$ nu mai conține radicali. Produs de valori: un produs este nul exact când unul dintre factori este nul. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u(x)=b\iff u(x)=a^b$, cu condiția $u(x)>0$. Numărare: când o cifră este fixată de o condiție, se numără doar aranjările celorlalte. Perpendicularitate: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ și $m_1\cdot m_2=-1$; dreapta prin $A$ de pantă $m$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; matricele se adună element cu element, iar un factor numeric comun se scoate din toate elementele deodată; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile.
• Legi de compoziție: o lege dată prin formulă se aplică literal, înlocuind cele două argumente; un element $a$ pentru care $x\ast a=a$ oricare ar fi $x$ se numește element absorbant și face ca orice produs care îl conține să fie egal cu el; asociativitatea, precizată în enunț, este cea care permite gruparea liberă a factorilor.
• Derivate: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; o funcție de două ori derivabilă este convexă pe un interval exact când $f^{\prime \prime }\ge 0$ acolo; tangenta la grafic în punctul de abscisă $x_0$ are panta $f^{\prime }(x_0)$, iar două drepte sunt paralele când au aceeași pantă.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; primitivele unei funcții continue diferă printr-o constantă, iar o condiție de tipul $F(1)=0$ o fixează; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$, este instrumentul standard pentru relațiile de recurență între integrale.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x-3$ de la itemul $2$, $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ de la itemul $9$ și $f(x)=x{e}^x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Semnul $\circ$ este, la itemul $8$, legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor. În toată această probă nu apare nicio compunere de funcții, deci nu există niciun risc real de confuzie — dar semnul trebuie citit ca „legea din enunț", altfel subpunctul c) devine de neînțeles.
• Litera $B$ înseamnă vârful $B(2,3)$ la itemul $5$ și matricea $B(x)$ la itemul $7$. Sunt obiecte fără nicio legătură între ele.
• Litera $e$ apare o singură dată, la itemul $10$, și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — nu elementul neutru al legii de compoziție de la itemul $8$, care nici nu este cerut.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $(\sqrt{5}+1{)}^2+(\sqrt{5}-1{)}^2=12$.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați produsul $f(1)f(2)f(3)f(4)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x^2-4x+4)=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele $2$, $3$ și $4$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(2,3)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin (\pi -x)+\sin (\pi +x)=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$B(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& x\\ 0& 1& 0\\ 3x& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (B(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x^2+1)B(x)=B(x^2+x+1)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{2}(x-3)(y-3)+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-3)\circ 3=3$.

b) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ n=11$.

c) (5 puncte) Calculați $1\circ 2\circ 3\circ \dots \circ 2015$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(1,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=-3x$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{1}{x}f(x)dx=e(e-1)$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=0$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$. Arătați că $I_n+(n+1)I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se desface primul pătrat cu formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, ținând minte că $(\sqrt{5}{)}^2=5$: $$(\sqrt{5}+1{)}^2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}\text{(2 p)}.$$ La fel, cu $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, al doilea pătrat este $(\sqrt{5}-1{)}^2=6-2\sqrt{5}$, iar adunându-le, termenii cu radical se reduc: $$(6+2\sqrt{5})+(6-2\sqrt{5})=12\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci $(3,236{)}^2+(1,236{)}^2\approx 10,472+1,528=12,000$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sqrt{5}{)}^2=\sqrt{25}$ sau se uită dublul produs $2\sqrt{5}$. Observație utilă: suma a două pătrate conjugate este întotdeauna $2a^2+2b^2$, aici $2\cdot 5+2\cdot 1=12$ — un drum și mai scurt.)

Itemul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

Se calculează valoarea care anulează funcția, adică valoarea în $3$: $$f(3)=3-3=0\text{(3 p)}.$$ Un produs care are un factor nul este nul, deci $$f(1)f(2)f(3)f(4)=(-2)\cdot (-1)\cdot 0\cdot 1=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează pe rând toate cele patru valori și se înmulțește la sfârșit, pierzând timp; rețeta corectă este să cauți întâi factorul nul. Control: $f(1)=-2$, $f(2)=-1$, $f(4)=1$ — niciunul nu contează, pentru că al treilea factor este zero.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există doar dacă argumentul este strict pozitiv: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2>0$, adică $x\ne 2$. Cum ${\log }_{2}u=0$ înseamnă $u=2^0=1$, ecuația devine $$x^2-4x+4=1,\text{ de unde }{x}^2-4x+3=0\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =16-12=4$, deci $x_1=1$ și $x_2=3$; amândouă sunt diferite de $2$ și verifică ecuația dată (3 p): $${\log }_2(1-4+4)={\log }_{2}1=0,{\log }_2(9-12+4)={\log }_{2}1=0.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{2}u=0\Rightarrow u=0$. Baza ridicată la exponentul zero dă $1$, nu $0$. A doua capcană este condiția de existență: argumentul fiind un pătrat perfect, singura valoare interzisă este $x=2$ — și chiar acolo ar fi apărut ${\log }_{2}0$, care nu există.)

Itemul 4. (5 p) — numărare cu o cifră fixată.

Un număr este impar exact când ultima lui cifră este impară. Dintre cifrele $2$, $3$ și $4$ singura impară este $3$, deci cifra unităților este $3$ (2 p).

Pe primele două poziții rămân cifrele $2$ și $4$, care se pot așeza în două ordini, deci numerele sunt $243$ și $423$; se pot forma două astfel de numere (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se numără toate cele $3!=6$ numere de trei cifre distincte formate cu $2$, $3$, $4$, uitând condiția de paritate. Control: cele șase numere sunt $234$, $243$, $324$, $342$, $423$, $432$, iar impare sunt exact două, cele care se termină în $3$.)

Itemul 5. (5 p) — dreaptă perpendiculară în reper cartezian.

Panta dreptei $AB$, prin $A(1,2)$ și $B(2,3)$, este $$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-2}{2-1}=1,\text{ iar }{m}_d\cdot m_{AB}=-1⟹m_d=-1\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $A(1,2)$ și are panta $-1$, deci $y-2=-1\cdot (x-1)$, adică $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=1$ se obține $y=2$, deci dreapta chiar trece prin $A$. Unde se greșește de obicei: se ia $m_d=-m_{AB}$ în loc de $m_d=-\frac{1}{m_{AB}}$ — aici cele două coincid, pentru că $m_{AB}=1$, dar la orice altă pantă rezultatul ar fi fost greșit.)

Itemul 6. (5 p) — formule de reducere la primul cadran.

Sinusul unghiurilor suplementare este același: $$\sin (\pi -x)=\sin x\text{(2 p)}.$$ Pentru $\pi +x$ se trece în cadranul al treilea, unde sinusul își schimbă semnul, deci $\sin (\pi +x)=-\sin x$; adunând cele două relații, $$\sin (\pi -x)+\sin (\pi +x)=\sin x-\sin x=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=\frac{\pi }{6}$ avem $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$, iar suma este zero. Unde se greșește de obicei: se confundă cele două formule și se scrie $\sin (\pi -x)=-\sin x$. Reper: $\pi -x$ rămâne în cadranul al doilea, unde sinusul este pozitiv.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $x=0$ toate elementele care conțin parametrul se anulează, deci matricea devine chiar matricea unitate, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}B(0)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (B(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (B(0))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Determinantul matricei unitate este $1$ la orice ordin — se putea scrie direct, dar baremul cere și scrierea determinantului. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $x$ doar în colțul din dreapta sus și se uită elementul $3x$ de pe linia a treia.)

b) (5 p) Matricele se adună element cu element, deci pe fiecare poziție se adună expresiile corespunzătoare: $$\begin{array}{rl}& B(x)+B(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& x\\ 0& 1& 0\\ 3x& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& y\\ 0& 1& 0\\ 3y& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& x+y\\ 0& 2& 0\\ 3x+3y& 0& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scoțând factorul comun $2$ din toate elementele se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $\frac{x+y}{2}$: $$\begin{array}{rl}& B(x)+B(y)\\ & =2\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{x+y}{2}\\ 0& 1& 0\\ 3\cdot \frac{x+y}{2}& 0& 1\end{array}\right)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right),\\ & \text{ pentru orice numere reale }x\text{și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe poziția din colțul din stânga jos: $3x+3y=2\cdot 3\cdot \frac{x+y}{2}$, adevărat pentru orice $x$ și $y$. Unde se greșește de obicei: se caută $B(x+y)$ în loc de $2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$ — dar elementul din mijloc al sumei este $2$, nu $1$, deci factorul din față este obligatoriu.)

c) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană", cu $a=x^2+1$ și $b=x$; produsul rămâne în aceeași familie doar în formă, nu și în valori: $$\begin{array}{rl}& B(x^2+1)B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3x^3+3x+1& 0& x^2+x+1\\ 0& 1& 0\\ 3(x^2+x+1)& 0& 3x^3+3x+1\end{array}\right),\\ & B(x^2+x+1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& x^2+x+1\\ 0& 1& 0\\ 3(x^2+x+1)& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid; comparând elementele de pe diagonala principală se obține $3x^3+3x+1=1$, adică $3x(x^2+1)=0$. Cum $x^2+1>0$ pentru orice număr real, rămâne $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se compară doar elementele din colțul din dreapta sus, care coincid oricum — ele dau $x^2+x+1=x^2+x+1$, o identitate, deci nicio informație. Ecuația vine de pe diagonală. Verificare: pentru $x=0$ ambele matrice devin matricea unitate, iar egalitatea este evidentă.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se aplică formula din enunț, cu $x=-3$ și $y=3$: $$(-3)\circ 3=\frac{1}{2}(-3-3)(3-3)+3=\frac{1}{2}\cdot (-6)\cdot 0+3\text{(3 p)}.$$ Primul termen este nul, deci $$(-3)\circ 3=0+3=3\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: al doilea factor s-a anulat pentru că $y=3$. Același lucru se întâmplă cu orice $x$: numărul $3$ „înghite" tot ce compui cu el — pe asta se sprijină subpunctul c).)

b) (5 p) Pentru $y=x=n$, cei doi factori devin egali și dau un pătrat: $$n\circ n=\frac{1}{2}(n-3)(n-3)+3=\frac{1}{2}(n-3{)}^2+3\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $\frac{1}{2}(n-3{)}^2+3=11$, adică $(n-3{)}^2=16$, deci $n-3=\pm 4$: se obțin $n_1=-1$, care nu convine (nu este număr natural), și ${\mathbf{n}}_2=7$, care convine (3 p).

(Verificare: $7\circ 7=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4+3=8+3=11$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $(n-3{)}^2=16$ scriind doar $n-3=4$ și se pierde a doua rădăcină; ea trebuie găsită și abia apoi eliminată, cu motivul scris — enunțul cere numere naturale.)

c) (5 p) Din formă se citește direct că orice compunere cu $3$ dă $3$: $$x\circ 3=\frac{1}{2}(x-3)(3-3)+3=3\text{ și }3\circ y=3,\text{ pentru }x\text{și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ Legea fiind asociativă, factorii se pot grupa oricum. Grupând în jurul lui $3$: $$1\circ 2\circ 3\circ \dots \circ 2015=(1\circ 2)\circ 3\circ (4\circ 5\circ \dots \circ 2015)=3\circ (4\circ 5\circ \dots \circ 2015)=3\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se începe calculul de la stânga, sperând să apară un tipar — el apare, dar drumul e lung. Cheia este observația de la subpunctul a): $3$ este element absorbant, deci orice produs care îl conține este egal cu $3$. Control: compunând efectiv $1\circ 2\circ \dots \circ 2015$ cu un program se obține tot $3$. Menționarea asociativității nu este pedanterie: fără ea, gruparea factorilor nu ar fi permisă.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, convexitate și tangentă.

a) (5 p) Funcția este un raport, deci se derivează cu ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul este $x+2$ și numitorul $x-1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul se reduce la o constantă: $$f^{\prime }(x)=\frac{x-1-x-2}{(x-1{)}^2}=-\frac{3}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=-3$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-3,000$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea la numărător, $f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$, și iese semnul schimbat; un control gratuit este că $f$ scade pe $(1,+\infty )$, deci derivata trebuie să fie negativă. Drum alternativ: $f(x)=1+\frac{3}{x-1}$, de unde derivata se citește imediat.)

b) (5 p) Convexitatea se decide după semnul derivatei a doua. Derivând încă o dată, cu $-3(x-1{)}^{-2}$: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x-1{)}^3},x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $(1,+\infty )$ avem $x-1>0$, deci $(x-1{)}^3>0$ și $$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty ),\text{ deci funcția }f\text{ este convexa˘ pe intervalul }(1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se afirmă convexitatea „pentru că graficul arată așa" sau se confundă cu monotonia — funcția este descrescătoare și convexă în același timp, ceea ce nu e nicio contradicție. Control numeric: $f(1,5)=7$, $f(2)=4$, $f(2,5)=3$, iar media aritmetică a valorilor de la capete, $\frac{7+3}{2}=5$, este mai mare decât valoarea la mijloc, $4$ — exact ce înseamnă convexitatea.)

c) (5 p) Două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, iar panta tangentei în punctul de abscisă $x$ este $f^{\prime }(x)$. Dreapta dată are panta $-3$, deci $$f^{\prime }(x)=-3⟺-\frac{3}{(x-1{)}^2}=-3⟺(x-1{)}^2=1\text{(3 p)}.$$ De aici $x-1=\pm 1$, adică $x=0$ sau $x=2$. Cum $x\in (1,+\infty )$, rămâne $x=2$, iar ordonata este $f(2)=\frac{2+2}{2-1}=4$; coordonatele punctului sunt $$\mathbf{x}=2\text{ și }\mathbf{y}=4\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se dă doar abscisa, deși enunțul cere coordonatele punctului, deci și ordonata; sau se păstrează soluția $x=0$, care nu aparține domeniului. Control: tangenta în $P(2,4)$ are ecuația $y-4=-3(x-2)$, adică $y=-3x+10$ — într-adevăr paralelă cu $y=-3x$ și distinctă de ea.)

Itemul 10. (15 p) — integrale, primitivă și șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $\frac{1}{x}$ se reduce cu $x$ din formula funcției, $${\int }_1^2\frac{1}{x}f(x)dx={\int }_1^2\frac{x{e}^x}{x}dx={\int }_1^2{e}^{x}dx=e^x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și scoțând factorul comun $e$, $${\int }_1^2\frac{1}{x}f(x)dx=e^2-e=\mathbf{e}(\mathbf{e}-1)\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[1,2]$ avem $x\ne 0$. Control numeric: $e(e-1)\approx 2,71828\cdot 1,71828\approx 4,67077$, iar integrala calculată numeric dă $4,670774$. Unde se greșește de obicei: se încearcă integrarea prin părți a lui $\frac{x{e}^x}{x}$ fără a simplifica întâi — se ajunge la același rezultat, dar cu un ocol inutil.)

b) (5 p) Primitivele lui $x{e}^x$ se găsesc prin integrare prin părți, luând $u^{\prime }=e^x$ și $v=x$: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+\mathcal{C}$. Deci mulțimea primitivelor este $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=(x-1)e^x+\mathcal{C},\text{ unde }\mathcal{C}\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț fixează constanta: $F(1)=0\cdot e+\mathcal{C}=\mathcal{C}$, deci $\mathcal{C}=0$ și $$\mathbf{F}(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-1){\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}\text{(2 p)}.$$ (Verificare prin derivare: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x=f(x)$ — corect. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva fără constantă și subpunctul rămâne fără obiect, pentru că exact constanta este necunoscuta; sau se pune constanta, dar nu se mai folosește condiția $F(1)=0$.)

c) (5 p) Se scrie întâi integrandul complet, $x^{n}f(x)=x^{n+1}{e}^x$, apoi se integrează prin părți, cu $u^{\prime }=e^x$ și $v=x^{n+1}$: $$I_n={\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx=x^{n+1}{e}^x{|}_0^1-(n+1){\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei valorează $1\cdot e-0=e$, iar integrala rămasă este chiar $I_{n-1}$, pentru că $x^{n-1}f(x)=x^n{e}^x$. Prin urmare $$I_n=e-(n+1)I_{n-1},\text{ deci }{I}_n+(n+1)I_{n-1}=e,\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(2 p)}.$$ (Cheia este recunoașterea integralei rămase: ${\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ nu este $I_n$, ci $I_{n-1}$ — indicele din definiție se referă la puterea lui $x$ din fața lui $f$, iar $f$ aduce el însuși încă un $x$. Unde se greșește de obicei: se derivează exponențiala și se integrează puterea, adică se aleg invers $u^{\prime }$ și $v$ — puterea ar crește la fiecare pas și recurența n-ar mai închide. Control numeric: $I_1=e-2\approx 0,71828$ și $I_2=6-2e\approx 0,56344$, iar $I_2+3I_1=(6-2e)+3(e-2)=e$ — exact.)