Bac M1 2015, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat în octombrie 2014 pentru examenul de bacalaureat din 2015. Documentul nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model"; el a fost publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare și are rolul de a arăta, la începutul anului școlar, structura și nivelul subiectelor din sesiunile care urmează. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din original. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: puterea unui număr complex în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: relațiile lui Viète, adică suma și produsul rădăcinilor citite din coeficienți — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: substituția $t=2^x$ și revenirea la necunoscuta inițială — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: numărarea multiplilor unui număr într-un interval — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: dreptele paralele au aceeași pantă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: un determinant care se anulează pentru orice valoare a parametrului, o ecuație matriceală care se reduce la o ecuație de gradul al doilea și un sistem omogen cu o infinitate de soluții — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, divizibilitatea cu $X+1$ și rădăcinile complexe conjugate ale unui polinom cu coeficienți reali — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă și limită: derivarea unui raport, ecuația tangentei într-un punct de pe grafic și o limită la $+\infty$ cu exponențială — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrală, primitive și șir de integrale: primitiva de tipul $\mathrm{arctg}$, monotonia unei primitive citită din semnul funcției și o relație de recurență între termenii unui șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2015. Subiectul I este clasic, fără nicio capcană de calcul, dar itemul 2 cere relațiile lui Viète fără rezolvarea ecuației, iar itemul 6 teorema sinusurilor în forma cu raza cercului circumscris — o formulă pe care mulți elevi o știu doar pe jumătate. Subiectul al II-lea este cel care dă tonul modelului: la problema 1, determinantul matricei este nul pentru orice valoare a parametrului, ceea ce transformă subpunctul c) dintr-un calcul într-un raționament, iar subpunctul b) cere observarea faptului că familia $A(a)$ este afină în parametru, deci combinația $2A\left(n^2\right)-A(n)$ rămâne în familie. La problema 2, subpunctul c) nu cere nicio rădăcină explicit: se arată doar că polinomul are rădăcini nereale, folosind suma pătratelor rădăcinilor. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, trei instrumente diferite pe aceeași funcție, iar la problema 2 un șir de integrale cu recurență, obținut prin integrare prin părți — cerința cea mai grea a modelului.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\pi }{8}$ și $\sqrt{5}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile; soluția $n$ a unei ecuații de gradul al doilea dată fără verificarea condiției „număr natural"; afirmația „sistemul are o infinitate de soluții" fără calculul determinantului; concluzia „rădăcinile au module egale" fără argumentul că polinomul are coeficienți reali; ecuația tangentei scrisă fără $f(0)$ și $f^{\prime }(0)$ calculate separat.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; puterile se calculează ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Relațiile lui Viète pentru $a{x}^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ — ele dau sumele și produsele fără să fie nevoie de rădăcini. Ecuații exponențiale: substituția $t=a^x$, cu condiția $t>0$. Probabilități: numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Drepte paralele: au aceeași pantă, deci $y-y_A=m(x-x_A)$ cu $m$ luat din dreapta dată. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Matrice: un determinant cu două linii proporționale este nul; o familie de matrice afină în parametru, $A(a)=M_0+a{M}_1$, verifică $\lambda A(u)+\mu A(v)=A(\lambda u+\mu v)$ ori de câte ori $\lambda +\mu =1$ — de aici se citește direct parametrul rezultatului.
• Sisteme omogene: un sistem liniar omogen cu determinantul nul are o infinitate de soluții; el are întotdeauna soluția nulă, iar dacă determinantul se anulează apar și altele.
• Polinoame: teorema lui Bézout, $f$ divizibil cu $X-\alpha \iff f(\alpha )=0$; relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $\sum _{i<j}{x}_i{x}_j=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; suma pătratelor rădăcinilor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(\sum x_i\right)}^2-2\sum _{i<j}{x}_i{x}_j$; iar un polinom cu coeficienți reali are rădăcinile nereale în perechi conjugate, iar două numere complexe conjugate au același modul.
• Derivate și integrale: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$; $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; o primitivă $F$ este crescătoare exact acolo unde $F^{\prime }=f\ge 0$; iar integrarea prin părți este instrumentul standard pentru relațiile de recurență între integrale.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f=X^3+mX-3$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția obiectului la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $m$ este parametru al polinomului la itemul $8$, dar noi o folosim și ca notație curentă pentru panta unei drepte la itemul $5$ — acolo enunțul oficial nu numește panta cu nicio literă, iar cele două roluri sunt separate de itemi diferiți. Litera $a$ este parametru al matricei la itemul $7$ și, în formula teoremei sinusurilor de la itemul $6$, lungimea unei laturi.
• Litera $e$ apare la itemul $9$ și înseamnă numărul lui Euler, baza logaritmului natural; în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru notat la fel. Litera $n$ este număr natural la itemul $7$, subpunctul b), și indice de șir la itemul $10$, subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1+i$. Calculați $(z-1{)}^2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Arătați că $3(x_1+x_2)-4x_1{x}_2=3$, știind că $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $13$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+4$ și punctul $A(1,0)$. Determinați ecuația paralelei duse prin punctul $A$ la dreapta $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$, știind că $AB=12$ și $C=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a& a+1\\ 2& a+2& a+3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(a))$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că $2A\left(n^2\right)-A(n)=A(6)$.

c) (5 puncte) Arătați că există o infinitate de matrice $X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(2015)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr real strict pozitiv $m$, polinomul $f$ are două rădăcini de module egale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(-x)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^2{f}^2(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$. Arătați că $n{I}_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}$ pentru orice număr natural $n$, $n\ge 3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului publicat pentru sesiunile din 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — putere a unui număr complex.

Se scade întâi $1$ din $z$, apoi se ridică la pătrat; paranteza se reduce la unitatea imaginară: $$(z-1{)}^2=i^2\text{(2 p)}.$$ Prin definiția unității imaginare, $$(z-1{)}^2=-1\text{(3 p)}.$$ (Control pe drumul lung: $(z-1{)}^2=z^2-2z+1=(1+i{)}^2-2(1+i)+1=(1+2i-1)-2-2i+1=2i-1-2i=-1$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se scade $1$ din ambele componente ale lui $z$, obținând $i-1$ în loc de $i$. Reper: $z-1$ înseamnă $(1+i)-1$, adică se scade doar din partea reală.)

Itemul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Ecuația fiind de gradul al doilea cu coeficientul dominant $1$, suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $x$: $$x_1+x_2=5\text{(2 p)}.$$ Produsul rădăcinilor este termenul liber, iar expresia cerută se calculează înlocuind cele două valori: $$x_1\cdot x_2=3⟹3(x_1+x_2)-4x_1{x}_2=3\cdot 5-4\cdot 3=3\text{(3 p)}.$$ (De ce nu e nevoie de rădăcini: expresia este simetrică în $x_1$ și $x_2$, deci se exprimă doar prin sumă și produs. Control: discriminantul este $25-12=13>0$, deci rădăcinile sunt reale, $\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$; calculând direct cu ele se obține tot $3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1+x_2=-5$, uitând că formula este $-\frac{b}{a}$ cu $b=-5$, deci suma este $+5$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu substituție.

Cum $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$, ecuația este de gradul al doilea în $2^x$ și se descompune direct: $$(2^x-1)(2^x-2)=0⟺2^x=1\text{ sau }{2}^x=2\text{(3 p)}.$$ Cele două ecuații exponențiale elementare dau $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=0$, $1-3+2=0$; pentru $x=1$, $4-6+2=0$. Ambele valori ale substituției sunt strict pozitive, deci sunt acceptabile — la o substituție $t=2^x$ o valoare negativă sau nulă a lui $t$ s-ar respinge fără discuție. Unde se greșește de obicei: se citește $4^x$ ca $2\cdot 2^x$ sau ca $2^{x^2}$; regula este $4^x=(2^x{)}^2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și divizibilitate.

Multiplii lui $13$ cuprinși între $10$ și $99$ sunt $13$, $26$, $39$, $52$, $65$, $78$ și $91$: sunt $7$ numere de două cifre care sunt divizibile cu $13$, deci sunt $7$ cazuri favorabile (2 p).

Sunt $90$ de numere de două cifre — cele de la $10$ la $99$ — deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}\text{(2 p)}.$$ (Control fără enumerare: multiplii lui $13$ până la $99$ sunt $\lfloor \frac{99}{13}\rfloor =7$, iar până la $9$ sunt $0$, deci rămân $7$. Fracția $\frac{7}{90}$ este ireductibilă, pentru că $7$ este prim și nu divide $90$. Unde se greșește de obicei: se adaugă și $104$ sau se pornește de la $0$, adică se numără multipli în afara intervalului cerut.)

Itemul 5. (5 p) — paralelă la o dreaptă dată.

Două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar panta lui $d$ se citește din coeficientul lui $x$: $$\text{Panta paralelei duse prin punctul }A\text{ la dreapta }d\text{ este }m=3\text{(3 p)}.$$ Scriind ecuația dreptei prin punct și pantă, $y-0=3(x-1)$, obținem $$\text{Ecuația paralelei duse prin punctul }A\text{ la dreapta }d\text{ este }\mathbf{y}=3x-3\text{(2 p)}.$$ (Control: punctul $A(1,0)$ verifică ecuația, pentru că $3\cdot 1-3=0$; iar coeficientul lui $x$ este $3$, la fel ca la $d$. Observație: dreptele $y=3x+4$ și $y=3x-3$ au termeni liberi diferiți, deci sunt paralele distincte, nu confundate. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei, $-\frac{1}{3}$, sau se păstrează și termenul liber al lui $d$, scriind $y=3x+4$ — care nu trece prin $A$.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Unghiul $C$ măsoară $\frac{\pi }{6}$, adică $30^{\circ }$, iar sinusul lui este cunoscut: $$\sin C=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Teorema sinusurilor leagă latura $AB$ — cea opusă unghiului $C$ — de raza cercului circumscris: $$\frac{AB}{\sin C}=2R⟹R=\frac{12}{2\cdot \frac{1}{2}}=12\text{(3 p)}.$$ (Atenție la potrivirea latură–unghi: în formulă, la numărător stă latura opusă unghiului de la numitor; latura opusă lui $C$ este $AB$, nu $BC$ sau $AC$. Control: dacă $R=12$, atunci $AB=2R\sin C=24\cdot \frac{1}{2}=12$ — chiar valoarea din enunț. Observație: enunțul nu dă celelalte laturi și nici nu are nevoie — raza cercului circumscris este determinată de o singură pereche latură–unghi opus. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{AB}{\sin C}=R$, fără factorul $2$, și se obține $24$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem omogen.

a) (5 p) Se scrie determinantul cu parametrul lăsat literă: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a& a+1\\ 2& a+2& a+3\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Scăzând linia a doua din a treia, ultima linie devine $\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\end{array}\right)$, adică dublul primei linii; un determinant cu două linii proporționale este nul: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a& a+1\\ 2& 2& 2\end{array}\right|=0\text{(3 p)}.$$ (Control prin calcul direct: dezvoltând după linia întâi, $(a(a+3)-(a+1)(a+2))-(0-2(a+1))+(0-2a)=-2+2a+2-2a=0$ — aceeași valoare, pentru orice $a$. Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul pentru câteva valori ale lui $a$, se obține $0$ de fiecare dată și se conchide „deci este mereu $0$" — enunțul cere valoarea determinantului ca funcție de $a$, deci calculul se face cu litera.)

b) (5 p) Matricea $A(a)$ depinde afin de parametru: toate elementele sunt de forma „constantă plus un multiplu de $a$". Combinând element cu element, coeficientul care rămâne în locul lui $a$ este $2n^2-n$: $$\begin{array}{rl}& 2A\left(n^2\right)-A(n)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2n^2-n& 2n^2-n+1\\ 2& 2n^2-n+2& 2n^2-n+3\end{array}\right),\\ & A(6)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 6& 7\\ 2& 8& 9\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Două matrice sunt egale exact când toate elementele corespunzătoare coincid, iar toate comparațiile dau aceeași ecuație: $$\begin{array}{rl}& 2n^2-n-6\\ & =0⟹n\\ & =-\frac{3}{2}\notin \mathbb{N},\mathbf{n}=2\in \mathbb{N}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (De ce iese $2n^2-n$ peste tot: prima linie și prima coloană nu conțin deloc parametrul, deci se verifică automat; în rest, fiecare element are forma $a+c$, iar $2(n^2+c)-(n+c)=2n^2-n+c$. Control: pentru $n=2$ avem $2n^2-n=8-2=6$, deci egalitatea devine $A(6)=A(6)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2A\left(n^2\right)-A(n)=A(2n^2-n)$ fără să se justifice, sau se reține și rădăcina negativă, deși enunțul cere un număr natural.)

c) (5 p) Relația din enunț este un sistem liniar omogen cu trei ecuații și trei necunoscute. Scriind $X$ pe componente: $$\text{Pentru }X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),\text{ avem }A(2015)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)⟺\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2015y+2016z=0\\ 2x+2017y+2018z=0\end{array}\text{(2 p)}.$$ Determinantul sistemului este determinantul matricei $A(2015)$, adică $0$ după subpunctul a); un sistem omogen cu determinantul nul are și alte soluții în afară de cea nulă, deci $$\begin{array}{rl}& \text{determinantul sistemului omogen este egal cu }0\\ & \Rightarrow \text{sistemul are o infinitate de soluții, deci exista˘ o infinitate de matrice }X\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Familia explicită, ca verificare: soluțiile sunt $X=\left(\begin{array}{c}t\\ -2016t\\ 2015t\end{array}\right)$, cu $t$ număr real oarecare. Într-adevăr, $t-2016t+2015t=0$; $2015\cdot (-2016t)+2016\cdot 2015t=0$; iar $2t-2017\cdot 2016t+2018\cdot 2015t=2t-4066272t+4066270t=0$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea efectivă a sistemului cu numerele mari din enunț, deși argumentul cerut este calitativ; sau se spune doar „sistemul are soluția nulă", care nu demonstrează nimic — soluția nulă există la orice sistem omogen.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește parametrul cu valoarea dată: $$f=X^3+2X-3\text{(2 p)}.$$ Valoarea polinomului în $1$ se obține punând $X=1$: $$f(1)=1+2-3=0\text{(3 p)}.$$ (Ce înseamnă rezultatul: $1$ este rădăcină a polinomului, deci $f$ se divide cu $X-1$; într-adevăr, $X^3+2X-3=(X-1)(X^2+X+3)$. Observație utilă: pentru orice polinom, $f(1)$ este suma coeficienților. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m=2$ doar în unul dintre locuri, sau se calculează $f(1)$ cu $m$ nefixat și se obține $m-2$.)

b) (5 p) Divizibilitatea cu un polinom de gradul întâi se citește din valoarea polinomului în rădăcina acestuia — teorema lui Bézout. Rădăcina lui $X+1$ este $-1$, deci $$f=X^3+mX-3\text{ este divizibil cu }X+1⟺f(-1)=0\text{(2 p)}.$$ Calculând $f(-1)=-1-m-3=-m-4$ și punând condiția de anulare: $$\mathbf{m}=-4\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=-4$ polinomul este $X^3-4X-3$, iar $f(-1)=-1+4-3=0$; împărțind, $X^3-4X-3=(X+1)(X^2-X-3)$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $f(1)=0$, adică se ia rădăcina lui $X-1$ în loc de a lui $X+1$; sau se face împărțirea lungă și se pierde un semn — teorema lui Bézout scurtează tot calculul la o singură înlocuire.)

c) (5 p) Se calculează suma pătratelor rădăcinilor prin relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3=0$ (coeficientul lui $X^2$ lipsește) și $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m$, deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2m<0\Rightarrow f\text{ are cel puțin o ra˘da˘cina˘ din }\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Polinomul având coeficienți reali, rădăcinile nereale vin în perechi conjugate, iar două numere complexe conjugate au același modul: $$f\in \mathbb{R}[X]\Rightarrow f\text{ are doua˘ ra˘da˘cini conjugate din }\mathbb{C}\setminus \mathbb{R},\text{care au modulele egale}\text{(3 p)}.$$ (De ce suma pătratelor decide: dacă toate cele trei rădăcini ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi mai mare sau egală cu zero; cum ea este $-2m<0$ pentru $m>0$, cel puțin una nu este reală. Formula folosită este $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=0-2m$. Control numeric pentru $m=2$: rădăcinile sunt $1$ și $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{11}}{2}i$, iar modulele celor două nereale sunt amândouă $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{11}{4}}=\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se spune doar „polinomul are o rădăcină complexă", fără să se folosească faptul că coeficienții sunt reali — fără el, cea de-a doua rădăcină nereală n-ar avea niciun motiv să fie conjugata primei, iar modulele n-ar avea de ce să fie egale.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, ecuația tangentei și limită.

a) (5 p) Se aplică regula de derivare a raportului, cu numărătorul $x+1$ și numitorul $e^x-x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-x-(x+1)(e^x-1)}{(e^x-x{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Desfăcând produsul de la numărător, termenii se reduc doi câte doi: $$f^{\prime }(x)=\frac{1-x{e}^x}{(e^x-x{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Calculul numărătorului, pas cu pas: $(x+1)(e^x-1)=x{e}^x-x+e^x-1$, deci $e^x-x-x{e}^x+x-e^x+1=1-x{e}^x$. De ce funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$: $e^x-x>0$ pentru orice $x$ real, minimul fiind atins în $x=0$, unde valoarea este $1$. Control numeric: $f^{\prime }(1)=\frac{1-e}{(e-1{)}^2}=\frac{-1}{e-1}\approx -0,582$, iar raportul incremental în $1$ dă tot $-0,582$. Unde se greșește de obicei: se derivează numitorul ca $e^x$, uitând $-1$; sau se scrie derivata raportului ca raport de derivate.)

b) (5 p) Ecuația tangentei într-un punct de pe grafic se scrie cu formula $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\text{(2 p)}.$$ Se calculează separat cele două valori: $f(0)=\frac{0+1}{1-0}=1$ și $f^{\prime }(0)=\frac{1-0}{(1-0{)}^2}=1$, deci $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=1,\text{ deci ecuația tangentei este }\mathbf{y}=\mathbf{x}+1\text{(3 p)}.$$ (Ce înseamnă rezultatul: în vecinătatea originii, graficul lui $f$ se confundă cu dreapta $y=x+1$; într-adevăr, $f(0,01)\approx 1,0099$, iar dreapta dă $1,01$. Unde se greșește de obicei: se folosește $f(0)$ în locul lui $f^{\prime }(0)$ ca pantă, sau invers — formula cere valoarea funcției ca ordonată a punctului de tangență și valoarea derivatei ca pantă. Aici cele două sunt din întâmplare egale, ceea ce face capcana și mai ușor de trecut cu vederea.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $-x$ în formula funcției: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+1}{e^{-x}+x}\text{(2 p)}.$$ Este o nedeterminare $\frac{-\infty }{+\infty }$; împărțind numărătorul și numitorul la $x$, exponențiala $e^{-x}$ tinde la zero, iar raportul $\frac{e^{-x}}{x}$ la fel: $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{1}{x}}{\frac{e^{-x}}{x}+1}=-1\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat cu regula lui l'Hôpital, drumul din baremul oficial: derivând sus și jos, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{1-e^{-x}}=-1$. Control numeric: $f(-10^8)=-0,99999999$. Unde se greșește de obicei: se citește $f(-x)$ ca $-f(x)$ — compunerea cu $x\mapsto -x$ înlocuiește argumentul peste tot, inclusiv în exponent, unde $e^x$ devine $e^{-x}$, nu $-e^x$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, primitive și un șir de integrale.

a) (5 p) Pătratul funcției scapă de radical, iar numitorul devine de forma $x^2+a^2$ cu $a=2$: $${\int }_0^2{f}^2(x)dx={\int }_0^2\frac{1}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele și folosind $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$: $$=\frac{1}{2}(\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0)=\frac{\pi }{8}\text{(2 p)}.$$ (Formula folosită: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; aici $a=2$, de unde atât factorul $\frac{1}{2}$, cât și argumentul $\frac{x}{2}$. Control numeric: $\frac{\pi }{8}\approx 0,392699$, iar integrala calculată numeric dă $0,392699$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{a}$ din față, sau se scrie $\mathrm{arctg}x$ în loc de $\mathrm{arctg}\frac{x}{2}$ — ambele erori vin din memorarea formulei doar pentru $a=1$.)

b) (5 p) Prin definiție, o primitivă $F$ a funcției $f$ este o funcție derivabilă a cărei derivată este chiar $f$: $$F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f\Rightarrow F^{\prime }(x)=f(x)\text{(2 p)}.$$ Cum radicalul este definit și strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$ (expresia de sub el este cel puțin $4$), derivata lui $F$ este strict pozitivă: $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}>0\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }F\text{ este cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (De ce „orice primitivă", nu „o primitivă": două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar adunarea unei constante nu schimbă monotonia — argumentul de mai sus se aplică tuturor deodată, pentru că se sprijină doar pe derivată. Control: $f$ este pozitivă peste tot, iar valoarea ei maximă este $\frac{1}{2}$, atinsă în $x=0$; primitiva crește deci lent, dar strict. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv o primitivă — care există, dar este $\ln \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)$ — deși cerința nu are nevoie de ea; tot ce contează este semnul derivatei.)

c) (5 p) Se scrie integrandul ca produs, cu $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}={\left(\sqrt{x^2+4}\right)}^{\prime }$, și se integrează prin părți; a doua integrală se aduce înapoi la $I_n$ și $I_{n-2}$ amplificând cu $\sqrt{x^2+4}$: $$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^2+4}}dx=x^{n-1}\sqrt{x^2+4}{|}_0^1-(n-1){\int }_0^1{x}^{n-2}\sqrt{x^2+4}dx=\sqrt{5}-(n-1){\int }_0^1\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{\sqrt{x^2+4}}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală se desface în $I_n+4I_{n-2}$, iar termenii în $I_n$ se strâng în membrul stâng: $$=\sqrt{5}-(n-1)I_n-4(n-1)I_{n-2}\Rightarrow n{I}_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 3\text{(2 p)}.$$ (De unde vine $\sqrt{5}$: termenul integrat se evaluează între capete, $1^{n-1}\sqrt{1+4}-0^{n-1}\sqrt{4}=\sqrt{5}-0$, iar capătul de jos se anulează pentru că $n-1\ge 2>0$. Cum se strâng termenii: $I_n+(n-1)I_n=n{I}_n$. Control numeric pentru $n=3$: $I_1=\sqrt{x^2+4}{|}_0^1=\sqrt{5}-2\approx 0,2360680$, iar recurența prezice $I_3=\frac{\sqrt{5}-8I_1}{3}=\frac{16-7\sqrt{5}}{3}\approx 0,1158414$; integrala ${\int }_0^1\frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}dx$, calculată direct cu substituția $u=x^2+4$, dă exact $\frac{16-7\sqrt{5}}{3}$. Unde se greșește de obicei: se alege $x^n$ drept factor de derivat, ceea ce nu duce nicăieri; cheia este să recunoști în $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ derivata radicalului și să lași $x^{n-1}$ ca al doilea factor.)