Bac M1 2015, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a probei E. c), Matematică M_mate-info, dat elevilor de clasa a XII-a în 2015. Simularea națională se organizează în timpul anului școlar, cu aceeași structură, același punctaj și același timp de lucru ca proba reală, dar acoperă doar materia parcursă până la data ei — de aceea subiectul nu poartă un număr de variantă, ci mențiunea „Simulare". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: împărțirea a două numere complexe prin amplificare cu conjugatul numitorului și partea reală a rezultatului — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: graficul tangent axei $Ox$ înseamnă discriminant nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: reducerea la aceeași putere, cu $2^{2x}=4^x$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și combinări: submulțimile cu două elemente ale unei mulțimi cu șapte elemente, cu o condiție de paritate — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mediatoarea unui segment, ca dreaptă prin mijloc, perpendiculară pe segment — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$, plus formula fundamentală — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: o relație de forma $A(1)+A(-1)=2A(0)$, o ecuație în care necunoscuta stă într-un determinant și o inegalitate demonstrată pe un determinant circulant — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma canonică a legii, elementul neutru, elementele simetrizabile în $\mathbb{Z}$ și un produs lung „scurtcircuitat" de un element absorbant — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită, inegalitate: derivata unui logaritm, o limită care este chiar definiția derivatei într-un punct și o inegalitate clasică obținută din monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: primitive de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și $\frac{u^{\prime }}{u^2+1}$, plus o limită de tipul $\frac{0}{0}$ cu integrală cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2015. Subiectul I este cel mai variat din lot: șase capitole diferite, de la numere complexe la trigonometrie, fiecare cu o singură idee. Subiectul al II-lea urcă brusc: subpunctul 1c) cere o inegalitate pe determinantul unei matrice circulante, adică identitatea $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ și scrierea ei ca sumă de pătrate — pasul cel mai greu al întregii probe; problema 2 este, în schimb, o lege de compoziție „de manual", cu forma canonică dată chiar în enunț la subpunctul a). Subiectul al III-lea nu are niciun calcul lung: la problema 1, subpunctul b) este definiția derivatei deghizată într-o limită, iar la problema 2, subpunctul c) se rezolvă în două rânduri cu regula lui l'Hospital. Simularea testează, deci, recunoașterea tiparelor, nu rezistența la calcul.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, $60$ de minute pentru Subiectul al II-lea (aici stă greul), $50$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar restul pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau valori de forma $\frac{1}{2}\ln 2$ și $\frac{\pi }{8}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: partea reală dată fără efectuarea împărțirii; probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor; mediatoarea scrisă fără mijlocul segmentului sau fără condiția de perpendicularitate; elementele simetrizabile date fără elementul neutru; limita de tipul $\frac{0}{0}$ rezolvată fără să se spună că este o nedeterminare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}$, iar $z\overline{z}=a^2+b^2$ este un număr real. Funcția de gradul al doilea: graficul este tangent axei $Ox$ exact când $\Delta =b^2-4ac=0$. Ecuații exponențiale: $2^{2x}=(2^2{)}^x=4^x$, deci termenii se pot aduna. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $C_7^2=21$. Mediatoarea segmentului $MN$: trece prin mijlocul lui $MN$ și are panta $m$ cu $m\cdot m_{MN}=-1$. Reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (2\pi -x)=\cos x$, iar ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; determinantul circulant $\left|\begin{array}{ccc}a& c& b\\ b& a& c\\ c& b& a\end{array}\right|=a^3+b^3+c^3-3abc$, care se descompune ca $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ și apoi ca $\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]$ — de aici semnul.
• Legi de compoziție: forma canonică $x\ast y=(x-k)(y-k)+k$ se obține grupând termenii; elementul neutru $e$ verifică $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; $x$ este simetrizabil dacă există $x^{\prime }$ în mulțime cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$; într-o lege de forma canonică, pe $\mathbb{Z}$, simetrizabilele sunt exact elementele pentru care $x-k$ este $1$ sau $-1$.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; definiția derivatei în punctul $x_0$: $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ — orice limită de această formă se citește ca o derivată; dacă $f$ scade până în $x_0$ și crește după, atunci $f(x)\ge f\left(x_0\right)$ pe tot intervalul.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$ și $\int \frac{u^{\prime }}{u^2+1}dx=\mathrm{arctg}u+\mathcal{C}$; regula lui l'Hospital pentru cazul $\frac{0}{0}$, împreună cu faptul că derivata funcției $x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)dt$ este chiar $f(x)$, pentru $f$ continuă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2+x-a$ de la itemul $2$, $f(x)=x-\ln (x+1)$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Literele $a$, $b$, $c$ sunt, la itemul $7$, subpunctul c), numere reale pozitive — nu etichetele subpunctelor a), b), c) ale problemei. Litera $a$ mai apare, cu totul alt înțeles, ca necunoscută la itemul $2$.
• Litera $A$ înseamnă mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ la itemul $4$ și matricea $A(x)$ la itemul $7$. Sunt obiecte fără nicio legătură între ele.
• Litera $x$ este, la itemul $8$, argumentul legii de compoziție (un număr întreg oarecare), iar $x^{\prime }$ este simetricul lui în raport cu legea — semnul prim nu înseamnă aici derivată, cum înseamnă la itemii $9$ și $10$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați partea reală a numărului complex $z=\frac{3+2i}{2-3i}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x-a$ are graficul tangent axei $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x}+3\cdot 4^x-16=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, aceasta să aibă un singur element număr par.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,3)$ și $N(4,1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $MN$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\sin x+\sin (\pi -x){)}^2+(\cos x+\cos (2\pi -x){)}^2=4$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ x& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(-1)=2A(0)$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\det (A(x)+I_3)=0$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det (a{I}_3-bA(-1)+cA(-1)\cdot A(-1))\ge 0$, pentru orice numere reale pozitive $a$, $b$ și $c$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x\ast y=xy-5x-5y+30$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere întregi $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Calculați $d_1\ast d_2\ast \cdots \ast d_8$, unde $d_1,d_2,\dots ,d_8$ sunt divizorii naturali ai lui $2015$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln (x+1)\le x$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)+x^{2}f(x)}{x^4+1}dx=\frac{\pi }{8}$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x-1}{\int }_1^{x}f(t)dt$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — partea reală a unui cât de numere complexe.

Împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului, $\overline{2-3i}=2+3i$; numitorul devine numărul real $2^2+3^2=13$: $$z=\frac{(2+3i)(3+2i)}{4+9}=\frac{6+4i+9i+6i^2}{13}=\frac{13i}{13}=i\text{(3 p)}.$$ Un număr complex se scrie $a+bi$, iar aici $z=0+1\cdot i$, deci $$\text{partea reala˘ a numa˘rului }z\text{ este egala˘ cu }0\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: la numărător, partea reală este $6+6i^2=6-6=0$, iar partea imaginară $4+9=13$. Unde se greșește de obicei: se amplifică cu numitorul însuși, nu cu conjugatul lui, și numitorul rămâne complex; sau se scrie $i^2=1$. A doua capcană: se răspunde „$i$" — enunțul cere partea reală, care este un număr real, nu tot numărul.)

Itemul 2. (5 p) — parabolă tangentă axei $Ox$.

Graficul unei funcții de gradul al doilea este tangent axei $Ox$ exact când ecuația $f(x)=0$ are o singură rădăcină, adică discriminantul este nul. Pentru $f(x)=x^2+x-a$: $$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot (-a)=1+4a\text{(2 p)}.$$ Condiția $\Delta =0$ dă $$1+4a=0⟺\mathbf{a}=-\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=-\frac{1}{4}$ funcția este $f(x)=x^2+x+\frac{1}{4}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$, care se anulează doar în $x=-\frac{1}{2}$ — deci graficul atinge axa într-un singur punct. Unde se greșește de obicei: se ia $c=a$ în loc de $c=-a$ și iese $a=\frac{1}{4}$; semnul din fața parametrului contează.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cei doi termeni exponențiali sunt de fapt aceeași putere, pentru că $2^{2x}=(2^2{)}^x=4^x$: $$4^x+3\cdot 4^x-16=0⟺4\cdot 4^x=16\text{(3 p)}.$$ De aici $4^x=4$, deci $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $2^2+3\cdot 4-16=4+12-16=0$. Unde se greșește de obicei: se notează $4^x=t$ și se caută o ecuație de gradul al doilea — dar aici nu există niciuna, cei doi termeni fiind asemenea. Cheia este observația $2^{2x}=4^x$, altfel ecuația pare mai grea decât este.)

Itemul 4. (5 p) — probabilitate pe submulțimile unei mulțimi.

Mulțimea $A$ are trei elemente pare ($2$, $4$, $6$) și patru impare ($1$, $3$, $5$, $7$). O submulțime cu exact un element par se formează alegând un par și un impar: $$\text{sunt }{C}_3^1\cdot C_4^1=12\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Toate submulțimile cu două elemente sunt $$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași, nu în doi: cazurile favorabile, cazurile posibile și raportul se punctează separat. Unde se greșește de obicei: se numără și submulțimile cu două elemente pare sau cu două impare; „un singur element par" înseamnă exact unul. Control: cazurile cu două pare sunt $C_3^2=3$, cele cu două impare $C_4^2=6$, iar $12+3+6=21$ — toate submulțimile.)

Itemul 5. (5 p) — mediatoarea unui segment.

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, ale cărui coordonate sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$\text{mediatoarea }d\text{ trece prin punctul }P(3,2),\text{ care este mijlocul segmentului }MN\text{(2 p)}.$$ Mediatoarea este și perpendiculară pe $MN$, iar panta segmentului este $m_{MN}=\frac{1-3}{4-2}=-1$: $$m_{MN}=-1⟹m_d=1\text{(1 p)}.$$ Dreapta prin $P(3,2)$ de pantă $1$ este $y-2=1\cdot (x-3)$, adică $$\text{ecuația dreptei }d\text{ este }\mathbf{y}=\mathbf{x}-1\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași, nu în doi. Control: distanțele de la $P(3,2)$ la $M$ și la $N$ sunt amândouă $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, iar punctul $(0,-1)$ de pe dreaptă are $M{P}^2$-urile $4+16=20$ față de $M$ și $16+4=20$ față de $N$ — chiar echidistant, cum trebuie să fie orice punct al mediatoarei. Unde se greșește de obicei: se scrie dreapta prin $M$ sau prin $N$ în loc de mijloc, sau se folosește panta segmentului în loc de opusul inversului ei.)

Itemul 6. (5 p) — formule de reducere și formula fundamentală.

Se reduc întâi cele două funcții trigonometrice la argumentul $x$: $$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (2\pi -x)=\cos x\text{(2 p)}.$$ Fiecare paranteză devine astfel un dublu, iar suma pătratelor se calculează cu formula fundamentală: $$(2\sin x{)}^2+(2\cos x{)}^2=4({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=4,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=\frac{\pi }{3}$, prima paranteză este $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, a doua $2\cdot \frac{1}{2}=1$, iar $3+1=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos (2\pi -x)=-\cos x$, prin analogie cu $\cos (\pi -x)$ — dar $2\pi -x$ este în cadranul al patrulea, unde cosinusul este pozitiv. Reper: $2\pi -x$ înseamnă „aproape un tur complet", deci cosinusul rămâne cel de la $-x$, adică $\cos x$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și determinant circulant.

a) (5 p) Matricele se adună element cu element; singurele poziții care conțin parametrul sunt cea din stânga jos și, de fapt, doar ea: $$\begin{array}{rl}& A(1)+A(-1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& -2& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scoțând factorul comun $2$ se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $x=0$: $$\begin{array}{rl}A(1)+A(-1)& =2\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\\ & =2A(0)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Elementele $1$ și $-1$ de pe poziția din stânga, mijloc, se anulează reciproc — de asta rezultatul are acolo un $0$, exact ca $A(0)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele în loc să fie adunate.)

b) (5 p) Se adună întâi matricea unitate, apoi se calculează determinantul, de exemplu dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}& A(x)+I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ x& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\\ & ⟹\det (A(x)+I_3)\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ x& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=1+x\text{(3 p)}.\end{array}$$ Ecuația devine $$1+x=0⟺\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$ (Detaliul calculului, cu regula lui Sarrus: produsele „descendente" sunt $1\cdot 1\cdot 1=1$, $0\cdot 0\cdot 0=0$ și $(-1)\cdot x\cdot (-1)=x$, iar cele „ascendente", care se scad, sunt $(-1)\cdot 1\cdot 0=0$, $1\cdot 0\cdot (-1)=0$ și $0\cdot x\cdot 1=0$; rămâne $1+0+x-0-0-0=1+x$. Control: în $x=0$ matricea are determinantul $1$, iar formula dă tot $1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\det A(x)+\det I_3$ în loc de determinantul sumei — determinantul nu este aditiv.)

c) (5 p) Se calculează întâi $A(-1)\cdot A(-1)$ și se adună cele trei matrice; rezultatul este o matrice circulantă, cu aceleași trei numere rotite pe fiecare linie: $$\begin{array}{rl}& a{I}_3-bA(-1)+cA(-1)\cdot A(-1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -b\\ -b& 0& 0\\ 0& -b& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& c& 0\\ 0& 0& c\\ c& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a& c& b\\ b& a& c\\ c& b& a\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Determinantul unei asemenea matrice se calculează cu Sarrus și se descompune imediat: $$\begin{array}{rl}& \det (a{I}_3-bA(-1)+cA(-1)\cdot A(-1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& c& b\\ b& a& c\\ c& b& a\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\text{(1 p)}.\end{array}$$ A doua paranteză se scrie ca jumătate dintr-o sumă de pătrate, deci este nenegativă, iar prima este pozitivă: $$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]\\ & \ge 0,\\ & \text{ pentru orice numere reale pozitive }a,b\text{ și }c\text{(2 p)}.\end{array}$$ (De unde vine descompunerea: determinantul circulant este $a^3+b^3+c^3-3abc$, iar aceasta este identitatea clasică $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$. Dublând a doua paranteză se obține $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$, de unde factorul $\frac{1}{2}$. Control numeric: pentru $a=2$, $b=3$, $c=5$ determinantul iese $8+27+125-90=70\ge 0$. Unde se greșește de obicei: se calculează $A(-1)\cdot A(-1)$ ridicând fiecare element la pătrat, în loc de înmulțire „linie pe coloană".)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$.

a) (5 p) Se pornește de la forma din enunț și se pregătește gruparea, scriind $30=25+5$: $$x\ast y=xy-5x-5y+25+5\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează după factorul $y-5$: $$x\ast y=x(y-5)-5(y-5)+5=(x-5)(y-5)+5,\text{ pentru orice numere ıˆntregi }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Aceasta este forma canonică a legii: tot ce urmează se citește din ea. Control numeric: $x=7$, $y=8$ dau $56-35-40+30=11$ pe forma din enunț și $2\cdot 3+5=11$ pe forma canonică. Unde se greșește de obicei: se desface $(x-5)(y-5)$ și se obține $+25$, dar se uită să se scadă $25$ din $30$.)

b) (5 p) Din forma canonică, elementul neutru se citește imediat: trebuie ca $(x-5)(e-5)+5=x$ pentru orice $x$, adică $e-5=1$. $$\text{elementul neutru al legii de compoziție }\ast \text{ este }6\text{(1 p)}.$$ Un element $x$ este simetrizabil dacă are un simetric în aceeași mulțime, adică în $\mathbb{Z}$: $$x\text{ este simetrizabil daca˘ exista˘ }{x}^{\prime }\in \mathbb{Z}\text{ astfel ıˆncaˆt }x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=6,\text{ de unde }{x}^{\prime }=5+\frac{1}{x-5}\text{(2 p)}.$$ Fracția $\frac{1}{x-5}$ este număr întreg doar dacă $x-5$ este $1$ sau $-1$, deci $$\text{cum }{x}^{\prime }\text{ este numa˘r ıˆntreg, obținem }\mathbf{x}=4\text{ sau }\mathbf{x}=6\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=4$ avem $x^{\prime }=4$, iar $4\ast 4=(-1)(-1)+5=6$; pentru $x=6$ avem $x^{\prime }=6$, iar $6\ast 6=1\cdot 1+5=6$ — amândouă elementele sunt propriile lor simetrice. Unde se greșește de obicei: se rezolvă în $\mathbb{R}$ și se răspunde „toate numerele diferite de $5$" — corect pe $\mathbb{R}$, greșit pe $\mathbb{Z}$, unde simetricul trebuie să fie tot întreg. Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași.)

c) (5 p) Din forma canonică se vede că numărul $5$ „înghite" orice compunere, pentru că anulează primul factor: $$x\ast 5=(x-5)\cdot 0+5=5\text{ și }5\ast y=5,\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere ıˆntregi}\text{(2 p)}.$$ Rămâne de verificat că $5$ chiar apare printre factori. Cum $2015=5\cdot 13\cdot 31$, $$5\text{ este divizor al lui }2015\text{(1 p)}.$$ Divizorii naturali ai lui $2015$ sunt $1$, $5$, $13$, $31$, $65$, $155$, $403$ și $2015$, iar legea fiind asociativă, factorii se pot grupa în jurul lui $5$: $$2015\text{ are }8\text{ divizori naturali și legea de compoziție este asociativa˘, deci }{d}_1\ast d_2\ast \cdots \ast d_8=5\text{(2 p)}.$$ (Numărul divizorilor se verifică din descompunerea în factori primi: $2015=5\cdot 13\cdot 31$, cu toți exponenții egali cu $1$, deci $2\cdot 2\cdot 2=8$ divizori — exact câți spune enunțul. Control: compunând efectiv cei opt divizori, în orice ordine, se obține tot $5$. Unde se greșește de obicei: se încearcă produsul pas cu pas, de la stânga la dreapta, fără să se observe elementul absorbant. Baremul oficial împarte aici rezolvarea în trei pași.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită și inegalitate.

a) (5 p) Funcția este o diferență, deci se derivează termen cu termen, al doilea cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }-(\ln (x+1){)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Cum $x^{\prime }=1$ și $(x+1{)}^{\prime }=1$, $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x+1},x\in (-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,50000$. Formă echivalentă, utilă la subpunctul c): $f^{\prime }(x)=\frac{x}{x+1}$, din care semnul se citește direct. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, uitând că argumentul este $x+1$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $f(x)$ și se vede că numărătorul se simplifică: $x-f(x)=x-x+\ln (x+1)=\ln (x+1)$. Limita devine $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x+1)-\ln 2}{x-1}\text{(2 p)}.$$ Aceasta este exact definiția derivatei funcției $g(x)=\ln (x+1)$ în punctul $x_0=1$, pentru că $g(1)=\ln 2$; cum $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$, valoarea limitei este $g^{\prime }(1)$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat, cu regula lui l'Hospital pentru cazul $\frac{0}{0}$: derivând separat numărătorul și numitorul se obține $\frac{1/(x+1)}{1}\to \frac{1}{2}$. Control numeric: pentru $x=1,000001$ raportul dă $0,4999999$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=1$ și se scrie „$\frac{0}{0}=0$" — este o nedeterminare, nu o valoare.)

c) (5 p) Inegalitatea cerută se rescrie $f(x)\ge 0$, pentru că $f(x)=x-\ln (x+1)$. Se studiază deci semnul derivatei, folosind forma $f^{\prime }(x)=\frac{x}{x+1}$, în care numitorul este strict pozitiv pe domeniu: $$f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (-1,0),f^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția scade până în $0$ și crește după, deci $0$ este punct de minim global, iar $f(0)=0-\ln 1=0$: $$f(x)\ge f(0)⟹\ln (x+1)\le x,\text{ pentru orice }x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\ln 2\approx 0,693\le 1$, $\ln 1,5\approx 0,405\le 0,5$, iar pentru $x=-0,5$ avem $\ln 0,5\approx -0,693\le -0,5$ — inegalitatea se păstrează și pe partea negativă, unde ambii membri sunt negativi. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea pe câteva valori și se declară demonstrată; sau se uită că egalitatea are loc, în $x=0$, deci semnul este „$\le$", nu „$<$".)

Itemul 10. (15 p) — integrale și o limită cu integrală.

a) (5 p) Numărătorul este, până la un factor $\frac{1}{2}$, chiar derivata numitorului: $(x^2+1{)}^{\prime }=2x$. Deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, iar primitiva este un logaritm: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\ln 1=0$: $${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Modulul din $\ln |u|$ dispare pentru că $x^2+1>0$ oricare ar fi $x$. Control numeric: $\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,34657$, iar integrala calculată numeric dă $0,346574$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$, adică se scrie $\ln (x^2+1)$ ca primitivă a lui $\frac{x}{x^2+1}$ — derivând înapoi ar ieși $\frac{2x}{x^2+1}$, dublul integrandului.)

b) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: la numărător se dă factor comun $f(x)$, iar $1+x^2$ se reduce cu numitorul funcției: $${\int }_0^1\frac{f(x)+x^{2}f(x)}{x^4+1}dx={\int }_0^1\frac{f(x)(1+x^2)}{x^4+1}dx={\int }_0^1\frac{x}{x^4+1}dx\text{(2 p)}.$$ Cu $u=x^2$ avem $u^{\prime }=2x$, deci integrandul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\prime }}{u^2+1}$, a cărui primitivă este arctangenta: $${\int }_0^1\frac{x}{x^4+1}dx=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\left(x^2\right){|}_0^1=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea de la primul pas: $f(x)(1+x^2)=\frac{x}{x^2+1}(x^2+1)=x$. Control numeric: $\frac{\pi }{8}\approx 0,39270$, iar integrala calculată numeric dă $0,392699$. Unde se greșește de obicei: se încearcă descompunerea lui $x^4+1$ în factori — drum corect, dar mult mai lung; observația că $x^4+1=(x^2{)}^2+1$ scurtează totul. A doua capcană: se uită factorul $\frac{1}{2}$ venit din $u^{\prime }=2x$.)

c) (5 p) Când $x\to 1$, atât integrala (ale cărei capete se apropie) cât și numitorul tind la zero, deci este o nedeterminare de tipul $\frac{0}{0}$. Se aplică regula lui l'Hospital, folosind că derivata unei integrale cu capăt variabil este chiar integrandul: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x-1}{\int }_1^{x}f(t)dt=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\int }_1^{x}f(t)dt}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{1}\text{(3 p)}.$$ Funcția $f$ fiind continuă, limita este valoarea ei în $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (De ce derivata integralei este $f(x)$: pentru $f$ continuă, funcția $x\mapsto {\int }_1^{x}f(t)dt$ este o primitivă a lui $f$, deci derivata ei este $f$ — teorema fundamentală a calculului integral. Control numeric: pentru $x=1,001$ raportul dă $0,4999999$. Unde se greșește de obicei: se scoate $\frac{1}{x-1}$ în fața limitei ca și cum ar fi constantă, sau se calculează efectiv integrala — se poate, dar e un ocol: ${\int }_1^{x}f(t)dt=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2+1}{2}$, iar limita raportului dă tot $\frac{1}{2}$.)