Bac M1 2015, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2015 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2015 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Sesiunea specială este proba organizată pentru elevii care participă la olimpiade și competiții internaționale în perioada sesiunii obișnuite; subiectul are exact aceeași structură și același nivel ca cel din iunie-iulie.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: adunarea în formă algebrică și condiția ca un număr complex să fie real — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(1)$ pentru două funcții de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu multiplii lui $7$ de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și dreapta paralelă dusă printr-un punct dat — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere la primul cadran și formula cosinusului sumei — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant nul, o relație de tip anticomutare-scalară $A\cdot B+B\cdot A=3B$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea în zero, relațiile lui Viète cu suma inverselor rădăcinilor și un argument prin reducere la absurd pentru rădăcini nereale — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivata unui raport de trinoame, ecuația tangentei într-un punct și limita de tip $1^{\infty }$ rezolvată cu numărul $e$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrală, primitivă și volum de rotație: simplificarea integrandului, constanta unei primitive dintr-o condiție și formula volumului $V=\pi {\int }_a^b{g}^2$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2015. Subiectul I este neobișnuit de scurt: patru din cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, iar dificultatea reală stă la itemul $6$, unde trebuie recunoscută formula cosinusului sumei citită de la dreapta la stânga. Subiectul al II-lea lucrează cu două matrice fixate, nu cu o familie cu parametru: toată problema $1$ se sprijină pe faptul că $B(x)$ are aceeași formă la orice $x$, deci ridicarea la puterea a treia se poate face o dată pentru totdeauna. Problema $2$ este scurtă la a) și b), dar c) cere un raționament de tip reducere la absurd — singurul loc din probă unde nu se calculează nimic. Subiectul al III-lea este cel greu: la problema $1$, subpunctul c) este o limită de tip $1^{\infty }$, iar la problema $2$, subpunctul c) cere un volum de rotație cu integrarea prin părți a lui $x{\mathrm{e}}^x$ ascunsă înăuntru. Cine împarte timpul egal pe cele trei subiecte pierde exact aici.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $60$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $35$ de minute pentru cele două subpuncte c) grele și pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma ${\mathrm{e}}^{-2}$ și $\frac{\pi }{6}(3{\mathrm{e}}^2-19)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile și a celor favorabile — baremul acordă aici trei tranșe distincte; ecuația paralelei scrisă fără calculul pantei; concluzia „polinomul nu are toate rădăcinile reale" fără contradicția explicită; primitiva scrisă fără constanta $c$; volumul scris fără formula $V=\pi {\int }_a^b{g}^2$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: un număr complex $a+bi$ este real exact când $b=0$; adunarea se face pe părți, separat partea reală și separat partea imaginară. Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(1)=f(g(1))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v\Rightarrow u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$, pentru că funcția exponențială este injectivă. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Drepte paralele: două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă; dreapta de pantă $m$ prin $A(x_A,y_A)$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Trigonometrie: $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$, deci $\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta =-\cos (\alpha +\beta )$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile; înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci $A\cdot B$ și $B\cdot A$ se calculează separat.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$: $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$; suma inverselor se scrie $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}$; suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; limita de tip $1^{\infty }$ se rezolvă cu $\lim (1+u{)}^v={\mathrm{e}}^{\lim uv}$, valabilă când $u\to 0$.
• Integrale și volume: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; o primitivă se determină complet dintr-o singură condiție, care fixează constanta; volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$: $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; $\int x{\mathrm{e}}^{x}dx=(x-1){\mathrm{e}}^x+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x-1$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-2X^2+2X+m$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este, pe rând: necunoscută (itemii $3$ și $6$), parametru al matricei $B(x)$ (itemul $7$) și variabilă a funcțiilor (itemii $9$ și $10$). La itemul $7$, subpunctul c), ea joacă ambele roluri deodată — este parametrul matricei și necunoscuta ecuației.
• Litera $\mathrm{e}$ apare la itemul $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural; în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru. Semnul $\circ$ de la itemul $2$ înseamnă compunerea funcțiilor, nu o lege de compoziție.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=2+3i$ și $z_2=1-3i$. Arătați că numărul $z_1+z_2$ este real.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați $(f\circ g)(1)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-64=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $7$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=4x+1$ și punctul $A(2,0)$. Determinați ecuația paralelei duse prin punctul $A$ la dreapta $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin (\pi -x)\sin x-\cos (\pi -x)\cos x=1$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{și}B(x)=\left(\begin{array}{ccc}0& x& 0\\ x& 0& x\\ 0& x& 0\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot B(x)+B(x)\cdot A=3B(x)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x)\cdot B(x)\cdot B(x)=B(x^2+x-2)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2+2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=-1$, demonstrați că $(x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x){)}^x$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)+2x)dx=\mathrm{e}-1$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=\mathrm{e}-3$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, este egal cu $\frac{\pi }{6}(3{\mathrm{e}}^2-19)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Adunarea a două numere complexe se face pe părți: separat părțile reale, separat cele imaginare. $$z_1+z_2=(2+3i)+(1-3i)=(2+1)+(3-3)i\text{(3 p)}.$$ Partea imaginară se anulează, deci $$z_1+z_2=3,\text{ care este numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ (Un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă — aici $3i$ și $-3i$ se reduc. Unde se greșește de obicei: se scrie rezultatul $3$ fără propoziția care justifică de ce este real; baremul punctează separat concluzia. Observație: $z_2$ este chiar conjugatul lui $\overline{2-3i}$ mutat, iar suma unui număr complex cu unul care are partea imaginară opusă este întotdeauna reală.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Compunerea se calculează dinăuntru în afară, deci întâi se aplică funcția $g$: $$g(1)=3\cdot 1=3\text{(2 p)}.$$ Rezultatul obținut intră ca argument în $f$: $$(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(3)=3-1=2\text{(3 p)}.$$ (Control pe formula generală: $(f\circ g)(x)=f(3x)=3x-1$, iar în $x=1$ dă tot $2$. Unde se greșește de obicei: se compune în ordinea inversă — $(g\circ f)(1)=g(0)=0$, alt rezultat. La compunere, funcția din dreapta semnului $\circ$ se aplică prima.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se trece termenul liber în membrul drept și se aduce totul la aceeași bază, observând că $64=4^3$: $$4^x=64⟺4^x=4^3\text{(2 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $4$ este strict crescătoare, deci injectivă: două puteri ale ei sunt egale exact când exponenții coincid, de unde $$x=3\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $4^3-64=64-64=0$. Unde se greșește de obicei: se „împarte la $4$" ca și cum $4^x$ ar fi un produs, sau se scrie $x=\frac{64}{4}$. Reperul corect este că necunoscuta stă la exponent, deci se egalează exponenții, nu bazele. Control: soluția este unică, pentru că o funcție strict crescătoare ia fiecare valoare cel mult o dată.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Multiplii lui $7$ din această mulțime sunt $14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91$ și $98$ — adică $13$ numere, deci $13$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{13}{90}\text{(2 p)}.$$ (Control fără listă: multiplii de două cifre ai lui $7$ sunt cei de la $7\cdot 2=14$ până la $7\cdot 14=98$, deci $14-2+1=13$. Unde se greșește de obicei: se numără $99:7=14$ multipli, uitând că $7$ însuși are o singură cifră; sau se ia $90$ drept număr de cazuri favorabile. Observație: fracția $\frac{13}{90}$ este deja ireductibilă, pentru că $13$ este prim și nu divide $90$.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta paralelă printr-un punct dat.

Ecuația $y=4x+1$ este scrisă explicit, deci coeficientul lui $x$ este chiar panta: $m_d=4$. Două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci paralela căutată are tot panta $4$ (2 p).

Dreapta de pantă $4$ care trece prin $A(2,0)$ se scrie cu formula $y-y_A=m(x-x_A)$: $$y-0=4(x-2)⟹\mathbf{y}=4x-8\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=2$ obținem $y=8-8=0$, deci dreapta chiar trece prin $A$; coeficientul lui $x$ este $4$, deci este paralelă cu $d$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $y=4x+1$, adică se copiază dreapta $d$ în loc să se determine paralela prin $A$; sau se folosește panta perpendicularei, $-\frac{1}{4}$. Control: dreptele $d$ și paralela sunt distincte, pentru că $A(2,0)$ nu este pe $d$ — acolo $4\cdot 2+1=9\ne 0$.)

Itemul 6. (5 p) — formula cosinusului sumei, citită invers.

Expresia din stânga are exact forma $\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta$, care este opusul dezvoltării lui $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$. Cu $\alpha =\pi -x$ și $\beta =x$: $$\sin (\pi -x)\sin x-\cos (\pi -x)\cos x=-\cos ((\pi -x)+x)\text{(3 p)}.$$ Suma din paranteză se simplifică la $\pi$, iar $\cos \pi =-1$, deci $$\sin (\pi -x)\sin x-\cos (\pi -x)\cos x=-\cos \pi =-(-1)=1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, tot corect: formulele de reducere dau $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$, deci expresia devine ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Control numeric: pentru $x=1$ radian, $\sin (\pi -1)\sin 1-\cos (\pi -1)\cos 1\approx 0,708+0,292=1,000$. Unde se greșește de obicei: se folosește formula sinusului sumei în loc de a cosinusului, sau se pierde semnul minus din față — verificarea pe o valoare numerică îl prinde imediat.)

Itemul 7. (15 p) — două matrice de ordinul al treilea și o ecuație matriceală.

a) (5 p) Determinantul se scrie desfășurat: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\det A=1+0+0-1-0-0=0\text{(3 p)}.$$ (Cel mai scurt drum: linia întâi și linia a treia ale matricei $A$ sunt identice, iar un determinant cu două linii egale este nul — se poate răspunde fără niciun calcul. Unde se greșește de obicei: se dezvoltă după linia a doua, care are un singur element nenul, dar se uită semnul poziției; oricum, minorul rămas este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0$, deci rezultatul iese la fel.)

b) (5 p) Cele două produse se calculează separat, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă: $$\begin{array}{rl}& A\cdot B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 2x& 0\\ x& 0& x\\ 0& 2x& 0\end{array}\right),B(x)\cdot A\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& x& 0\\ 2x& 0& 2x\\ 0& x& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Adunându-le element cu element și scoțând factorul comun $3$: $$\begin{array}{rl}& A\cdot B(x)+B(x)\cdot A\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 3x& 0\\ 3x& 0& 3x\\ 0& 3x& 0\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{ccc}0& x& 0\\ x& 0& x\\ 0& x& 0\end{array}\right)\\ & =3B(x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din linia întâi, coloana a doua al lui $A\cdot B(x)$ este $1\cdot x+0\cdot 0+1\cdot x=2x$, iar al lui $B(x)\cdot A$ este $0\cdot 0+x\cdot 1+0\cdot 0=x$; suma lor este $3x$. Unde se greșește de obicei: se presupune $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ și se scrie $2A\cdot B(x)$ — cele două produse sunt chiar diferite aici, cum se vede mai sus. Control numeric: pentru $x=1$ ambii membri devin matricea cu $3$ pe cele patru poziții ale lui $B$.)

c) (5 p) Se ridică $B(x)$ la puterea a treia. Un calcul direct dă întâi $B(x)\cdot B(x)=\left(\begin{array}{ccc}{x}^2& 0& x^2\\ 0& 2x^2& 0\\ x^2& 0& x^2\end{array}\right)$, iar apoi: $$\begin{array}{rl}& B(x)\cdot B(x)\cdot B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 2x^3& 0\\ 2x^3& 0& 2x^3\\ 0& 2x^3& 0\end{array}\right)=B\left(2x^3\right),B(x^2+x-2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& x^2+x-2& 0\\ x^2+x-2& 0& x^2+x-2\\ 0& x^2+x-2& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cele două matrice au aceeași formă, deci sunt egale exact când coincid valorile din poziții: $2x^3=x^2+x-2$, adică $2x^3-x^2-x+2=0$. Grupând, $2x^3+2-x^2-x=2(x+1)(x^2-x+1)-x(x+1)=(x+1)(2x^2-3x+2)$, iar al doilea factor are discriminantul $9-16=-7<0$, deci nu se anulează niciodată. Rămâne $$\begin{array}{rl}2x^3& =x^2+x-2,x\\ & \in \mathbb{R}⟺\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare: pentru $x=-1$ avem $2x^3=-2$ și $x^2+x-2=1-1-2=-2$ — egale, deci $B(-1{)}^3=B(-2)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $B(x{)}^3=B(x^3)$ „prin analogie", dar factorul $2$ apare din structura matricei și nu poate fi ignorat; a doua capcană este oprirea la ecuația de gradul al treilea fără a arăta că celelalte două rădăcini nu sunt reale — enunțul cere numerele reale $x$, deci trebuie eliminate explicit.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3-2\cdot 0^2+2\cdot 0+m\text{(3 p)}.$$ Toți termenii cu $X$ dispar, deci $$f(0)=0-0+0+m=\mathbf{m}\text{(2 p)}.$$ (Regula generală, folositoare mai departe: valoarea unui polinom în zero este chiar termenul lui liber. Unde se greșește de obicei: se face împărțirea la $X$ în loc de simpla înlocuire — rezultatul e același, dar drumul e de zece ori mai lung.)

b) (5 p) Pentru $m=-1$ polinomul este $f=X^3-2X^2+2X-1$. Relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea cu coeficientul dominant $1$ dau $$x_1+x_2+x_3=2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=2,x_1{x}_2{x}_3=1\text{(3 p)}.$$ Suma inverselor se aduce la același numitor, iar la numărător apare exact a doua relație: $$(x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=\frac{(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{2\cdot 2}{1}=4\text{(2 p)}.$$ (Control pe forma explicită: $f=X^3-2X^2+2X-1=(X-1)(X^2-X+1)$, deci o rădăcină este $1$, iar celelalte două sunt rădăcinile lui $X^2-X+1$, cu suma $1$ și produsul $1$. Atunci $x_1+x_2+x_3=1+1=2$ și $x_1{x}_2{x}_3=1\cdot 1=1$ — aceleași valori, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=-1$, uitând semnul minus din formula lui Viète pentru termenul liber; sau se încearcă găsirea efectivă a rădăcinilor, care aici sunt complexe.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète nu depind de $m$ la primele două sume: pentru $f=X^3-2X^2+2X+m$ avem întotdeauna $x_1+x_2+x_3=2$ și $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=2$. Prin urmare $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=2^2-2\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$ Presupunem, prin reducere la absurd, că polinomul $f$ ar avea toate rădăcinile reale. Atunci $x_1^2$, $x_2^2$ și $x_3^2$ ar fi numere reale nenegative cu suma nulă, deci fiecare ar fi zero, adică $x_1=x_2=x_3=0$ — în contradicție cu $x_1+x_2+x_3=2$. Așadar polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale (3 p).

(Cheia argumentului: o sumă de pătrate de numere reale este nulă doar când toate numerele sunt nule; pentru numere complexe afirmația este falsă, de pildă $i^2+1^2=0$ — exact de aceea concluzia este că rădăcinile nu pot fi toate reale. Control: pentru $m=-1$ am văzut la subpunctul b) că rădăcinile sunt $1$ și cele două rădăcini complexe ale lui $X^2-X+1$; pentru orice alt $m$ raționamentul de mai sus rămâne neschimbat, pentru că $m$ nu intră în primele două relații ale lui Viète. Unde se greșește de obicei: se calculează discriminantul, care pentru gradul al treilea nu se învață la clasă, în loc să se folosească suma pătratelor.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o limită de tip $1^{\infty }$.

a) (5 p) Se aplică formula derivatei unui raport, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, cu $f^{\prime }(x)$ provenind din $(x^2-x+1{)}^{\prime }=2x-1$ și $(x^2+x+1{)}^{\prime }=2x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $(2x-1)(x^2+x+1)=2x^3+x^2+x-1$ și $(2x+1)(x^2-x+1)=2x^3-x^2+x+1$; scăzându-le, termenii de gradul al treilea și cei de gradul întâi se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+x+1{)}^2}=\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Numitorul nu se anulează niciodată: $x^2+x+1$ are discriminantul $1-4=-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ — de aceea funcția este definită și derivabilă pe tot $\mathbb{R}$. Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 1\cdot 3}{49}\approx 0,1224$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,1224$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea la numărător și iese derivata cu semn schimbat.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere două numere: valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul de abscisă $x=0$. $$f(0)=\frac{0-0+1}{0+0+1}=1,f^{\prime }(0)=\frac{2(0-1)(0+1)}{1^2}=-2\text{(2 p)}.$$ Cu formula $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ pentru $x_0=0$: $$y-1=-2(x-0)⟹\mathbf{y}=-2x+1\text{(3 p)}.$$ (Control: dreapta trece prin punctul $(0,1)$, care este chiar punctul de pe grafic, și are panta $-2$, egală cu derivata acolo. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația cu panta $f(0)$ în loc de $f^{\prime }(0)$, sau se uită termenul liber. Observație de citit graficul: derivata este negativă între $-1$ și $1$, deci funcția scade pe acest interval — tangenta cu panta negativă în origine se potrivește.)

c) (5 p) Baza tinde la $1$, iar exponentul la $+\infty$: este o nedeterminare de tip $1^{\infty }$. Se scrie baza ca $1$ plus o cantitate mică, scăzând și adunând numitorul: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x){)}^x=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right)}^x=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{2x}{x^2+x+1}\right)}^x\text{(2 p)}.$$ Cu formula $\lim (1+u{)}^v={\mathrm{e}}^{\lim uv}$, valabilă pentru $u\to 0$, exponentul limitei este $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{2x}{x^2+x+1}\right)\cdot x=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2}{x^2+x+1}=-2,$$ pentru că la un raport de polinoame de același grad limita este raportul coeficienților dominanți. Prin urmare $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x){)}^x={\mathrm{e}}^{-2}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^7$, $(f(x){)}^x\approx 0,135335$, iar ${\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135335$. Unde se greșește de obicei: se scrie limita $1$, pentru că „baza tinde la $1$" — exact asta este capcana nedeterminării $1^{\infty }$: exponentul crește destul de repede ca să conteze. A doua capcană: se ia $u=\frac{2x}{x^2+x+1}$ fără semnul minus și iese ${\mathrm{e}}^2$, adică inversul răspunsului corect.)

Itemul 10. (15 p) — integrală, primitivă și volum de rotație.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: termenul $-2x$ din $f$ se reduce cu $+2x$ adăugat, deci rămâne doar exponențiala. $${\int }_0^1(f(x)+2x)dx={\int }_0^1({\mathrm{e}}^x-2x+2x)dx={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx\text{(2 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și primitiva ${\mathrm{e}}^x$: $${\int }_0^1(f(x)+2x)dx={\mathrm{e}}^x{|}_0^1={\mathrm{e}}^1-{\mathrm{e}}^0=\mathrm{e}-1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\mathrm{e}-1\approx 1,71828$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $1,718282$. Unde se greșește de obicei: se integrează separat $f$ și $2x$ și se face un calcul de trei ori mai lung — corect, dar risipitor; simplificarea sub integrală este chiar pasul punctat. A doua capcană: ${\mathrm{e}}^0=1$, nu $0$.)

b) (5 p) Se caută primitivele lui $f$, adică funcțiile a căror derivată este ${\mathrm{e}}^x-2x$. Cum $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$ și $(x^2{)}^{\prime }=2x$, familia primitivelor este $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)={\mathrm{e}}^x-x^2+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț fixează constanta: $F(1)=\mathrm{e}-1+c=\mathrm{e}-3$, de unde $c=-2$ și $$\mathbf{F}(\mathbf{x})={\mathrm{e}}^{\mathbf{x}}-{\mathbf{x}}^2-2\text{(3 p)}.$$ (Verificare pe ambele condiții: $F^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2x=f(x)$, iar $F(1)=\mathrm{e}-1-2=\mathrm{e}-3$. Unde se greșește de obicei: se omite constanta $c$ și atunci condiția $F(1)=\mathrm{e}-3$ nu mai poate fi îndeplinită — enunțul cere primitiva, la singular, iar unicitatea vine tocmai din constanta fixată. A doua capcană: se scrie primitiva lui $-2x$ ca $-2x^2$ în loc de $-x^2$.)

c) (5 p) Volumul corpului obținut prin rotirea graficului în jurul axei $Ox$ se calculează cu formula $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; aici $g(x)=f(x)={\mathrm{e}}^x-2x$ pe $[0,1]$, iar pătratul se desface ca un binom: $$V=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1({\mathrm{e}}^x-2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1({\mathrm{e}}^{2x}-4x{\mathrm{e}}^x+4x^2)dx\text{(2 p)}.$$ Termenul din mijloc se integrează prin părți, $\int x{\mathrm{e}}^{x}dx=(x-1){\mathrm{e}}^x+\mathcal{C}$, iar celelalte două direct: $$V=\pi \left(\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}-4(x-1){\mathrm{e}}^x+\frac{4x^3}{3}\right){|}_0^1=\pi \left[\left(\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-0+\frac{4}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}+4+0\right)\right]=\frac{\pi }{6}(3{\mathrm{e}}^2-19)\text{(3 p)}.$$ (Detaliul care se sare: în capătul $x=1$, factorul $(x-1)$ se anulează, deci termenul din mijloc dispare acolo; în capătul $x=0$ el dă $-4\cdot (-1)\cdot 1=4$. Diferența $\frac{4}{3}-\frac{9}{2}=-\frac{19}{6}$ este chiar constanta din rezultat. Control numeric: $\frac{\pi }{6}(3{\mathrm{e}}^2-19)\approx 1,658325$, iar $\pi {\int }_0^1({\mathrm{e}}^x-2x{)}^{2}dx$ calculată numeric dă $1,658325$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\pi$ din formula volumului, sau se scrie $({\mathrm{e}}^x-2x{)}^2={\mathrm{e}}^{x^2}-4x^2$ — pătratul unei diferențe are trei termeni, iar $({\mathrm{e}}^x{)}^2={\mathrm{e}}^{2x}$, nu ${\mathrm{e}}^{x^2}$.)