Bac M1 2016, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2016 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul general $a_n=a_1+(n-1)r$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe o mulțime finită dată explicit — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei determinate de două puncte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula unghiului dublu și identitatea fundamentală — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, condiția de inversabilitate a unei matrice cu parametru, rezolvarea sistemului asociat și condiția ca soluția unică să fie formată din numere întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea legii la formă factorizată, un morfism către înmulțirea numerelor reale și puterea de ordinul $2016$ a unui element — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, convexitate, sumă telescopică: derivarea unui logaritm de raport prin descompunere, semnul derivatei a doua și limita unei sume care se telescopează — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și volumul de rotație: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și formula volumului $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2016. Subiectul I este cel mai scurt cu putință: cinci cerințe se rezolvă într-un rând și jumătate, iar singura care cere atenție este probabilitatea, unde numărarea cazurilor favorabile se face pe o mulțime cu $40$ de elemente, nu pe mulțimea numerelor de două cifre. Subiectul al II-lea leagă, la problema 1, matricea cu parametru de sistemul liniar pe care ea îl guvernează: subpunctul c) nu mai cere doar unicitatea soluției, ci și ca acea soluție să fie formată din numere întregi, ceea ce transformă un exercițiu de algebră liniară într-unul de divizibilitate. Problema 2 este o lege de compoziție cu morfism dat de mână — funcția $f(x)=3x+3$ mută legea în înmulțirea obișnuită, iar subpunctul c) devine o ecuație cu puteri. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată → convexitate → sumă telescopică, iar la problema 2 trei calcule de integrală în care toată dificultatea stă în rescrierea integrandului înainte de a integra.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, iar cerința c) cere compusul a $2016$ factori egali — adică puterea unui element în raport cu legea. Capitolul se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029; la noi, materia lui stă în unitatea „Legi de compoziție".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $-\frac{3}{2}$ și $\pi \left(\ln a+\frac{7}{2}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile; concluzia „matricea este inversabilă" fără calculul determinantului; egalitatea $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$ „verificată" pe o singură pereche de valori în loc să fie demonstrată prin calcul; convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; volumul scris fără pătratul funcției sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$; termenul al treilea este $a_1+2r$, nu $a_1+3r$. Funcția de gradul întâi: punctul $A(x_0,y_0)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Ecuații exponențiale: se aduc ambii membri la aceeași bază, apoi $a^u=a^v\iff u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Dreapta prin două puncte: $y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice și sisteme: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; un sistem liniar cu matricea $A$ pătratică are soluție unică exact când $\det A\ne 0$, iar soluția se scrie cu regula lui Cramer, $x_0=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$.
• Legi de compoziție: aducerea la forma $x\circ y=\alpha (x-u)(y-u)+u$ arată imediat elementul „absorbant sau neutru" al legii; dacă o funcție $f$ verifică $f(x\circ y)=f(x)f(y)$, atunci compusul a $n$ factori egali cu $a$ se citește din $f(a{)}^n$.
• Derivate și convexitate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, iar $\ln \frac{u}{v}=\ln u-\ln v$ scurtează calculul; o funcție de două ori derivabilă este convexă pe un interval exact când $f^{\prime \prime }\ge 0$ acolo. O sumă $\sum (b_k-b_{k-1})$ se telescopează: rămân doar câțiva termeni de la capete.
• Integrale și volume: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$; volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$ al graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ este $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ — cu pătratul funcției, nu cu funcția.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași semne în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ notează în această probă legea de compoziție de la itemul $8$, nu compunerea funcțiilor. Așa este tipărit subiectul oficial și așa l-am transcris; în restul materialelor noastre o lege de compoziție oarecare se scrie $\ast$, iar $\circ$ este rezervat compunerii funcțiilor. Aici nu există nicio compunere de funcții, deci nu poate apărea confuzie de calcul — dar merită citit cu atenție: $x\circ y$ înseamnă $3xy+3x+3y+2$, nu $f(g(x))$.
• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+m$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=3x+3$ de la itemul $8$, subpunctul b), și funcțiile de la itemii $9$ și $10$. Așa este scris subiectul oficial; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametru al matricei la itemul $7$ și necunoscută la itemul $8$, subpunctul c). Litera $x$ este, la itemul $7$, atât numele parametrului din care se construiește matricea, cât și prima necunoscută a sistemului (scrisă $x_0$ în soluție) — subiectul oficial le ține separate prin indice.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=2016$ și rația $r=2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,2)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+m$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4x-6}=4^{3x-4}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,40\}$, acesta să conțină cifra $4$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(4,5)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\sin x=\frac{4}{5}$, arătați că $\sin 2x=\frac{24}{25}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 1& -1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+ay+z=1\\ ax+y-z=-1\\ x+y-2z=0\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$, $a\ne -1$ și $a\ne 1$.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$, pentru care sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, iar $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=3xy+3x+3y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+3$. Demonstrați că $f(x\circ y)=f(x)f(y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, pentru care $\underset{\text{de }2016\text{ ori }a}{\underbrace{a\circ a\circ \dots \circ a}}=3^{2015}-1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }(f^{\prime }(2)+f^{\prime }(3)+f^{\prime }(4)+\dots +f^{\prime }(n))=-\frac{3}{2}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\sqrt{x}f(x)dx=\frac{5}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e^2}(f(x)-\sqrt{x})\ln xdx=4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,a]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ este egal cu $\pi \left(\ln a+\frac{7}{2}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică fiecare termen se obține adunând rația la cel dinainte, deci al treilea termen este primul plus două rații: $$a_3=a_1+2r=2016+2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculul, $$a_3=2016+4=2020\text{(2 p)}.$$ (Control: progresia începe cu $2016$, $2018$, $2020$ — al treilea termen este într-adevăr $2020$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_3=a_1+3r=2022$, adunând trei rații în loc de două. Formula generală este $a_n=a_1+(n-1)r$, iar pentru $n=3$ coeficientul este $3-1=2$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Un punct aparține graficului unei funcții exact când coordonatele lui verifică formula funcției; pentru $A(1,2)$ aceasta înseamnă $f(1)=2$: $$f(1)=2⟹1+m=2\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi în $m$ dă $$m=2-1=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=1$ funcția este $f(x)=x+1$, iar $f(1)=2$ — chiar ordonata lui $A$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește invers, $f(2)=1$, adică se ia ordonata drept argument. Prima coordonată a punctului este abscisa, adică ceea ce intră în funcție; a doua este ordonata, adică ceea ce iese.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri au baze diferite, dar $4=2^2$, deci membrul drept se scrie tot în baza $2$; funcția exponențială fiind injectivă, exponenții trebuie să fie egali: $$2^{4x-6}=(2^2{)}^{3x-4}⟺4x-6=6x-8\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi rămasă are soluția $$2x=2,\text{ deci }x=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $x=1$, membrul stâng este $2^{-2}=\frac{1}{4}$, iar membrul drept $4^{-1}=\frac{1}{4}$ — egale. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2^2{)}^{3x-4}=2^{3x-4}$, uitând înmulțirea exponenților, sau se aduce totul la baza $4$ fără a observa că $4x-6$ nu este divizibil cu $2$ ca exponent al lui $4$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime dată explicit.

Mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,40\}$ are $40$ de elemente, deci sunt $40$ de cazuri posibile (1 p).

Numerele din $A$ care conțin cifra $4$ sunt cele cu cifra unităților $4$ — adică $4$, $14$, $24$, $34$ — și cele care încep cu $4$, adică doar $40$ (numărul $44$ depășește $40$). Sunt așadar $5$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită $40$ din listă, pentru că se caută doar cifra unităților, și se obține $\frac{4}{40}=\frac{1}{10}$; sau se numără $39$ de cazuri posibile, ca și cum mulțimea ar începe de la $2$. Control: lista completă $4$, $14$, $24$, $34$, $40$ se poate scrie integral în două rânduri — la o mulțime cu $40$ de elemente enumerarea este metoda cea mai sigură.)

Itemul 5. (5 p) — ecuația dreptei prin două puncte.

Panta dreptei $AB$ este raportul creșterilor, iar ecuația se scrie plecând din punctul $A$: $$y-2=\frac{5-2}{4-1}(x-1)\text{(3 p)}.$$ Fracția se simplifică la $1$, deci $y-2=x-1$ și $$\mathbf{y}=\mathbf{x}+1\text{(2 p)}.$$ (Control: $B(4,5)$ verifică ecuația, pentru că $4+1=5$; la fel $A(1,2)$, pentru că $1+1=2$. Unde se greșește de obicei: se răstoarnă raportul, $\frac{4-1}{5-2}$, adică se împarte creșterea abscisei la cea a ordonatei. Reper: panta este „cât urcă la un pas orizontal".)

Itemul 6. (5 p) — formula unghiului dublu.

Din identitatea fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$; cum $x$ se află în primul cadran, cosinusul este pozitiv, deci se ia radicalul cu semnul plus: $$\text{Cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\text{ obținem }\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$ Cu formula unghiului dublu, $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{25}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 2x=2\sin x$, ca și cum sinusul ar fi o funcție liniară. A doua capcană este semnul cosinusului: pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ el este pozitiv, dar dacă unghiul ar fi în cadranul al doilea ar ieși $-\frac{3}{5}$ și rezultatul ar fi $-\frac{24}{25}$ — de aceea condiția din enunț nu este decorativă. Control: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9+16}{25}=1$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(0))\\ & =-2+0+0-1-(-1)-0\\ & =-2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt este dezvoltarea după linia întâi, care are un zero: $1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -2\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=(-2+1)+(0-1)=-2$ — aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă. Dezvoltând după linia întâi și grupând, termenii în $a$ se reduc: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 1& -1\\ 1& 1& -2\end{array}\right|\\ & =(-2+1)-a(-2a+1)+(a-1)\\ & =2a^2-2=2(a-1)(a+1)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pentru orice număr real $a$, $a\ne -1$ și $a\ne 1$, obținem $\det (A(a))\ne 0$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă (2 p).

(Verificare: pentru $a=0$ formula dă $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se arată doar că determinantul este nenul pentru câteva valori particulare ale lui $a$, în loc să se factorizeze; sau se afirmă inversabilitatea fără să se calculeze determinantul deloc. Reper: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul — cele două afirmații sunt echivalente, nu una consecința celeilalte.)

c) (5 p) Matricea sistemului este chiar $A(a)$, deci sistemul are soluție unică exact când $\det (A(a))\ne 0$, adică $a\ne -1$ și $a\ne 1$; pentru fiecare astfel de $a$, soluția sistemului se obține cu regula lui Cramer și este de forma $$\left(-\frac{1}{a-1},\frac{1}{a-1},0\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $a$ este număr întreg, $\frac{1}{a-1}\in \mathbb{Z}$ este echivalent cu faptul că $a-1$ este divizor al lui $1$, adică $a-1=1$ sau $a-1=-1$, deci $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Cum se obține soluția: determinanții lui Cramer sunt $\Delta =2(a-1)(a+1)$, ${\Delta }_x=-2(a+1)$, ${\Delta }_y=2(a+1)$ și ${\Delta }_z=0$, iar factorul $a+1$ se simplifică peste tot. Verificare pentru $a=2$, unde soluția este $(-1,1,0)$: $-1+2\cdot 1+0=1$, $2\cdot (-1)+1-0=-1$ și $-1+1-0=0$ — toate trei ecuațiile se verifică. Pentru $a=0$ soluția este $(1,-1,0)$ și se verifică la fel. Unde se greșește de obicei: se uită că valorile $a=\pm 1$ trebuie excluse înainte de a scrie soluția, sau se caută divizorii lui $a-1$ în loc de divizorii lui $1$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pleacă de la forma dată și se scrie termenul liber ca $3-1$, ca să apară un factor comun: $$x\circ y=3xy+3x+3y+3-1\text{(3 p)}.$$ Grupând primii doi termeni și pe următorii doi, $$x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1=3(x+1)(y+1)-1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ (Control invers: desfăcând $3(x+1)(y+1)-1=3(xy+x+y+1)-1=3xy+3x+3y+2$, exact legea din enunț. Unde se greșește de obicei: se verifică egalitatea pe o singură pereche de numere — asta nu demonstrează nimic, pentru că enunțul cere „pentru orice numere reale". Cerința este o identitate, deci se demonstrează prin calcul literal.)

b) (5 p) Se aplică $f$ compusului, folosind forma factorizată de la subpunctul a): $$f(x\circ y)=3(x\circ y)+3=3(3(x+1)(y+1)-1)+3=9(x+1)(y+1)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, produsul valorilor este $$(3x+3)(3y+3)=9(x+1)(y+1)=f(x)f(y),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ (Ce spune, de fapt, egalitatea: funcția $f$ transformă legea $\circ$ în înmulțirea obișnuită a numerelor reale — este un morfism între cele două operații. Control numeric: $1\circ 2=6+3+6+2=17$, iar $f(17)=54$; pe de altă parte $f(1)f(2)=6\cdot 9=54$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(x)f(y)$ ca $f(xy)$, sau se uită că $f$ se aplică rezultatului legii, nu fiecărui termen separat.)

c) (5 p) Se aplică $f$ ambilor membri și se folosește, de $2015$ ori, egalitatea de la subpunctul b); asociativitatea legii, dată în enunț, garantează că un compus de $2016$ factori are sens fără paranteze: $$f\left(\underset{\text{de }2016\text{ ori }a}{\underbrace{a\circ a\circ \dots \circ a}}\right)=f(3^{2015}-1)⟺(f(a){)}^{2016}=3\cdot (3^{2015}-1)+3=3^{2016},$$ $$\text{deci}f(a)=-3\text{ sau }f(a)=3\text{(3 p)}.$$ Cum $f(a)=3a+3$, cele două ecuații dau $3a+3=-3$, respectiv $3a+3=3$, adică $$\mathbf{a}=-2\text{ sau }\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$ (De ce apar două semne: exponentul $2016$ este par, deci din $t^{2016}=3^{2016}$ rezultă $|t|=3$, nu $t=3$. Formula generală, obținută tot din b), este $\underset{n}{\underbrace{a\circ \dots \circ a}}=3^{n-1}(a+1{)}^n-1$; pentru $n=2016$ ea dă $3^{2015}(a+1{)}^{2016}-1$, iar condiția din enunț devine $(a+1{)}^{2016}=1$, adică $a+1=\pm 1$ — aceleași două soluții. Control pe un caz mic: pentru $a=0$ și $n=2$, formula dă $3^1\cdot 1-1=2$, iar direct $0\circ 0=0+0+0+2=2$. Unde se greșește de obicei: se reține doar soluția $f(a)=3$ și se pierde $a=-2$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, convexitate și sumă telescopică.

a) (5 p) Logaritmul unui raport se desface ca diferență de logaritmi, iar de acolo derivarea este imediată: $$\text{Cum }x\in (1,+\infty ),f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)⟹f^{\prime }(x)=(\ln (x+1)-\ln (x-1){)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata unei diferențe este diferența derivatelor, iar $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u^{\prime }=1$ în ambele cazuri: $$f^{\prime }(x)=(\ln (x+1){)}^{\prime }-(\ln (x-1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1},x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\approx -0,667$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-0,667$. Observație: derivata este negativă pe tot intervalul, pentru că $\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x-1}$ — funcția este strict descrescătoare. Unde se greșește de obicei: se desface $\ln \frac{x+1}{x-1}$ ca sumă de logaritmi; regula este $\ln \frac{u}{v}=\ln u-\ln v$.)

b) (5 p) Convexitatea se citește din semnul derivatei a doua. Derivând încă o dată forma de la subpunctul a) și aducând la același numitor: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2(x+1{)}^2}=\frac{4x}{(x-1{)}^2(x+1{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $x\in (1,+\infty )$, $f^{\prime \prime }(x)>0$, deci funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty )$ (3 p).

(De ce este strict pozitivă: numărătorul $4x$ este pozitiv pentru $x>1$, iar numitorul este un produs de două pătrate nenule. Control numeric: $f^{\prime \prime }(2)=\frac{8}{1\cdot 9}\approx 0,889$, iar raportul incremental al lui $f^{\prime }$ în $2$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se afirmă convexitatea din faptul că $f$ este descrescătoare — monotonia și convexitatea sunt proprietăți independente; sau se uită semnul minus la derivarea lui $\frac{1}{x+1}$.)

c) (5 p) Se înlocuiește fiecare termen cu forma de la subpunctul a) și se scriu parantezele una sub alta; fiecare fracție care apare cu plus într-o paranteză reapare cu minus două paranteze mai jos: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }(f^{\prime }(2)+f^{\prime }(3)+\dots +f^{\prime }(n))=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{1}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)\text{(3 p)}.$$ Din toată suma supraviețuiesc doar patru fracții — două de la începutul șirului scăzut și două de la sfârșitul șirului adunat: $$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=-\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ (De ce rămân exact acestea: fracția $\frac{1}{k}$ apare cu plus în paranteza lui $f^{\prime }(k-1)$ și cu minus în paranteza lui $f^{\prime }(k+1)$; nu se reduc decât capetele, adică $-\frac{1}{1}$ și $-\frac{1}{2}$, care n-au corespondent la stânga, și $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n+1}$, care n-au corespondent la dreapta. Control numeric: pentru $n=1000$ suma este $-1,498502$, iar $-\frac{3}{2}=-1,5$. Unde se greșește de obicei: se „taie" toți termenii și se conchide că limita este $0$ — telescoparea lasă întotdeauna resturi la capete, iar ele sunt tot răspunsul.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Se înmulțește întâi, ca să dispară radicalii din numitor: $\sqrt{x}\cdot \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=x+1$, deci $${\int }_1^2\sqrt{x}f(x)dx={\int }_1^2(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2\sqrt{x}f(x)dx=(2+2)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea $\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=1$ este legitimă pentru că pe $[1,2]$ avem $x>0$. Control numeric: integrala lui $x+1$ pe $[1,2]$ este aria unui trapez cu bazele $2$ și $3$ și înălțimea $1$, adică $\frac{2+3}{2}=2,5$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\sqrt{x}f(x)$ ca produs de primitive — integrala nu este multiplicativă; aici transformarea prealabilă face tot lucrul.)

b) (5 p) Diferența din paranteză se simplifică la $\frac{1}{\sqrt{x}}$, iar integrala se face prin părți, luând $\frac{1}{\sqrt{x}}$ drept derivată a lui $2\sqrt{x}$: $${\int }_1^{e^2}(f(x)-\sqrt{x})\ln xdx={\int }_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \ln xdx=2\sqrt{x}\cdot \ln x{|}_1^{e^2}-2{\int }_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\text{(3 p)}.$$ Calculând și a doua integrală, tot cu $2\sqrt{x}$ drept primitivă: $$=(2\sqrt{x}\cdot \ln x-4\sqrt{x}){|}_1^{e^2}=(4e-4e)-(0-4)=4\text{(2 p)}.$$ (Cum se citește al doilea termen: ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }\cdot \ln x$ este exact integrandul, iar prin părți rămâne $2\sqrt{x}\cdot (\ln x{)}^{\prime }=2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$. În capătul $e^2$: $\sqrt{e^2}=e$ și $\ln e^2=2$, deci primul termen este $2e\cdot 2=4e$, iar al doilea $4e$ — se reduc; toată valoarea integralei vine din capătul de jos. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,e^2]$ dă $4,0000$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)-\sqrt{x}=\sqrt{x}$, adică se scade greșit; sau se uită capătul de jos, unde $\ln 1=0$ dar $-4\sqrt{1}=-4$ nu este zero.)

c) (5 p) Volumul se calculează cu pătratul funcției. Cum $g^2(x)={\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2=x+2+\frac{1}{x}$: $$V=\pi {\int }_1^a{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^a\left(x+2+\frac{1}{x}\right)dx=\pi \left(\frac{x^2}{2}+2x+\ln x\right){|}_1^a=\pi \left(\frac{a^2}{2}+2a+\ln a-\frac{5}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalând cu valoarea din enunț, logaritmii se reduc și rămâne o ecuație de gradul al doilea: $$\pi \left(\frac{a^2}{2}+2a+\ln a-\frac{5}{2}\right)=\pi \left(\ln a+\frac{7}{2}\right)⟺a^2+4a-12=0\text{ și, cum }a>1,\text{ obținem }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Cealaltă rădăcină a ecuației este $a=-6$, respinsă de condiția $a>1$ — și, oricum, de faptul că intervalul $[1,a]$ n-ar mai avea sens. Control numeric: pentru $a=2$ volumul este $\pi \left(2+4+\ln 2-\frac{5}{2}\right)=\pi \left(\ln 2+\frac{7}{2}\right)$, exact valoarea cerută. Unde se greșește de obicei: se integrează $g$ în loc de $g^2$ — formula volumului conține pătratul; a doua capcană este desfacerea pătratului, unde termenul din mijloc este $2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=2$, o constantă, nu $2\sqrt{x}$.)