Bac M1 2016, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2016 a examenului național de bacalaureat — Varianta 8, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: pătratul unui binom cu radical și reducerea termenilor conjugați — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și produsul lor — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și condiția de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere de trei cifre distincte, cu o condiție de paritate — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și condiția de paralelism — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formule de reducere pentru unghiuri de forma $\frac{3\pi }{2}\pm x$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice unitriunghiulare, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ și o sumă telescopică de $2016$ termeni — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcina unui polinom cu parametru, relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea și descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, soluție unică: derivarea unui raport cu radical, ecuația tangentei și argumentul „strict monotonă plus continuă plus limitele la capete" — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale cu funcția exponențială: simplificarea integrandului, aria subgraficului și o integrală cu capătul care se duce la $-\infty$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2016. Subiectul I este ușor de citit și greu de scris complet: la itemul $3$ se cere condiția de existență a logaritmului, la itemul $4$ se cere de ce cifra unităților este obligată, iar la itemul $6$ trebuie folosite formulele de reducere, nu un desen. Subiectul al II-lea are, la problema $1$, o matrice unitriunghiulară care se comportă ca o adunare de parametri, urmată de o sumă telescopică ce se rezolvă într-un singur rând dacă recunoști $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$; problema $2$ este despre polinoame de gradul al patrulea și se sprijină în întregime pe relațiile lui Viète și pe descompunerea în factori. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, lanțul derivată $\to$ tangentă $\to$ ecuație cu soluție unică, iar la problema $2$ trei integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului și în alegerea primitivei de forma $(x-c)e^x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e$ și $\frac{2016}{2017}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condiției de existență; numărarea prin enumerare incompletă la itemul $4$; ecuația unei drepte scrisă fără panta calculată separat; concluzia „are soluție unică" fără ambele jumătăți (monotonia și acoperirea codomeniului); aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$, cu ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$; termenii cu radical ai celor două pătrate conjugate se reduc. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, după ce se impune $u>0$. Combinatorică: un număr este par exact când cifra unităților este pară; cu cifre distincte, pozițiile se aleg una după alta, iar numărul de posibilități se înmulțește. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, iar două drepte sunt paralele când au aceeași pantă. Trigonometrie: $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$ și $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid. Suma telescopică: $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, deci $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru $X^4+a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$ dau $x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3$; identitatea ${\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)}^2=\sum x_i^2+2\sum _{i<j}{x}_i{x}_j$; un polinom de gradul al doilea cu coeficienți reali este ireductibil în $\mathbb{R}[X]$ exact când nu are rădăcini reale, adică atunci când $\Delta <0$.
• Derivate și tangente: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ și ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Soluție unică: strict monotonă $⟹$ cel mult o soluție; continuă, cu limitele la capete care încadrează valoarea căutată $⟹$ cel puțin o soluție.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; primitivele produselor de tipul $(x-c)e^x$ se caută tot de forma $(x-c-1)e^x$, pentru că $((x-k)e^x{)}^{\prime }=(x-k+1)e^x$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+2$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^4+m{X}^2+2$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=e^x(x-1)$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $7$, subpunctul c) (un număr real cu $a\ne -1$), și parametru la itemul $9$, subpunctul c) (un număr real din intervalul $(-1,1)$). Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $x$ este, la itemul $7$, parametrul familiei de matrice, iar la itemii $9$ și $10$ variabila funcției. La itemul $8$, nedeterminata polinomului se scrie cu majusculă, $X$, iar rădăcinile lui cu indice, $x_1,x_2,x_3,x_4$ — este distincția obișnuită dintre polinom și funcția polinomială.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2+{\left(\sqrt{2}+3\right)}^2=22$.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați produsul $f(-1)f(0)f(1)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2-6x+6\right)={\log }_{3}1$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele $5$, $7$, $8$ și $9$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$ și $B(1,2)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $O$ și este paralelă cu dreapta $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2+x\\ 0& 1& 2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a\ne -1$, știind că $A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right)A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right)\cdot \dots \cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right)=A\left(\frac{a}{a+1}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4+m{X}^2+2$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4\right)=0$, pentru orice număr real $m$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $m=3$, descompuneți polinomul $f$ în factori ireductibili în $\mathbb{R}[X]$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, $a\in (-1,1)$, ecuația $f(x)=a$ are soluție unică.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x-1)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)e^{-x}dx=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$ are aria egală cu $e$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{-n}^1\left(f(x)+e^x\right)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — radicali și pătratul unui binom.

Se desface primul pătrat după formula $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, cu $a=\sqrt{2}$ și $b=3$, ținând minte că ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$: $${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2=2-6\sqrt{2}+9=11-6\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Al doilea pătrat are aceiași termeni, cu semnul de la mijloc schimbat, deci ${\left(\sqrt{2}+3\right)}^2=11+6\sqrt{2}$, iar prin adunare termenii cu radical se reduc: $${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2+{\left(\sqrt{2}+3\right)}^2=11-6\sqrt{2}+11+6\sqrt{2}=22\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{2}\approx 1,414$, deci ${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2\approx 2,515$ și ${\left(\sqrt{2}+3\right)}^2\approx 19,485$, iar suma lor este $22,000$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2=2-9$, adică se ridică la pătrat termen cu termen. Observație: numerele $\sqrt{2}-3$ și $\sqrt{2}+3$ sunt conjugate, iar suma pătratelor a două conjugate este întotdeauna un număr rațional.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Un produs de mai mulți factori este nul exact când măcar unul dintre factori este nul, așa că se caută întâi un factor care se anulează. Înlocuind $x$ cu $-1$: $$f(-1)=2\cdot (-1)+2=-2+2=0\text{(3 p)}.$$ Ceilalți doi factori sunt $f(0)=2$ și $f(1)=4$, dar nu mai contează cât valorează: primul factor fiind zero, întregul produs este zero: $$f(-1)f(0)f(1)=0\cdot 2\cdot 4=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează cu grijă cei trei factori și apoi se înmulțește greșit, sau se confundă $f(-1)$ cu $-f(1)$. Control: $-1$ este singura rădăcină a funcției, pentru că $2x+2=0$ are soluție unică.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică este injectivă, deci din egalitatea a doi logaritmi în aceeași bază rezultă egalitatea argumentelor: $$x^2-6x+6=1,\text{ de unde }{x}^2-6x+5=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =36-20=16$ și rădăcinile $x=1$ sau $x=5$. Amândouă verifică ecuația dată, pentru că argumentul logaritmului devine, la fiecare dintre ele, $x^2-6x+6=1>0$, deci condiția de existență este îndeplinită (3 p): $${\log }_3(1-6+6)={\log }_{3}1,{\log }_3(25-30+6)={\log }_{3}1.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie direct $x^2-6x+6=0$, confundând ${\log }_{3}1$ cu zero ca argument în loc de zero ca valoare; sau se sare peste condiția de existență $x^2-6x+6>0$. Aici ea este automat îndeplinită de soluții, dar motivul trebuie scris.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul trebuie să fie par, deci cifra unităților este pară. Dintre cifrele disponibile $5$, $7$, $8$ și $9$, singura pară este $8$, așa că cifra unităților este $8$, fără alternativă (2 p).

Rămân de completat cifra zecilor și cifra sutelor, din cele trei cifre nefolosite $\{5,7,9\}$, fără repetiție. Cifra zecilor poate fi aleasă în trei moduri, iar pentru fiecare alegere a ei cifra sutelor poate fi aleasă în câte două moduri, deci se pot forma $$3\cdot 2\cdot 1=6\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin enumerare completă: $578$, $598$, $758$, $798$, $958$, $978$ — exact șase numere. Unde se greșește de obicei: se numără $4\cdot 3\cdot 2=24$, adică se uită condiția de paritate, sau se acceptă repetarea cifrelor. Observație: aici cifra sutelor nu poate fi zero, pentru că $0$ nici nu figurează printre cifrele date.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Panta unei drepte determinate de două puncte este raportul dintre creșterea ordonatei și creșterea abscisei. Pentru $A(-1,0)$ și $B(1,2)$: $$m_{AB}=\frac{2-0}{1-(-1)}=\frac{2}{2}=1,\text{ iar }d\parallel AB⟹m_d=m_{AB}=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin originea $O(0,0)$, deci ecuația ei este $y-0=1\cdot (x-0)$, adică $$\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(2 p)}.$$ (Control: punctele $A$ și $B$ verifică $y=x+1$, o dreaptă paralelă cu $y=x$ și distinctă de ea — exact ce trebuie, altfel $d$ ar coincide cu $AB$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dreptei $AB$ în loc de a paralelei prin $O$, sau se folosește condiția de perpendicularitate $m_d\cdot m_{AB}=-1$ în locul celei de paralelism.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie, formule de reducere.

Cele două sinusuri se aduc la același unghi cu formulele de reducere. Folosind $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$ și $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$, ambii termeni devin aceeași expresie: $$\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x,\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x\text{(3 p)}.$$ Diferența a două cantități egale este nulă, deci $$\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x-(-\cos x)=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Cine nu ține minte formulele de reducere poate desfășura direct: $\sin \left(\frac{3\pi }{2}\pm x\right)=\sin \frac{3\pi }{2}\cos x\pm \cos \frac{3\pi }{2}\sin x=-\cos x\pm 0=-\cos x$, pentru că $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ și $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Control numeric: pentru $x=1$, ambele sinusuri valorează $-0,5403$, iar diferența este $0$. Unde se greșește de obicei: se aplică formula diferenței de sinusuri, $\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$ — drum corect, dar mai lung; el dă $2\sin x\cos \frac{3\pi }{2}=0$, aceeași concluzie.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ se înlocuiește peste tot, iar elementul din colțul din dreapta sus devine $1^2+1=2$: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt: matricea este superior triunghiulară, iar determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală, adică $1\cdot 1\cdot 1=1$. Observație valabilă pentru orice parametru: $\det (A(x))=1$ oricare ar fi $x$ — de aceea toate matricele familiei sunt inversabile.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Pozițiile de sub diagonală rămân nule, iar cele trei poziții de deasupra dau: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x+y& y^2+y+2xy+x^2+x\\ 0& 1& 2y+2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Elementul din colțul din dreapta sus se grupează într-un pătrat perfect: $x^2+2xy+y^2+x+y=(x+y{)}^2+(x+y)$, deci $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x+y& (x+y{)}^2+(x+y)\\ 0& 1& 2(x+y)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(x+y),\\ & \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul de pe linia întâi, coloana a treia, este $1\cdot \left(y^2+y\right)+x\cdot 2y+\left(x^2+x\right)\cdot 1$. Control numeric: pentru $x=y=1$ produsul are pe acea poziție $1+1+2+1+1=6$, iar $A(2)$ are acolo $2^2+2=6$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Aplicând relația de la subpunctul b) de $2015$ ori la rând, produsul întregii familii devine o singură matrice, cu parametrul egal cu suma parametrilor. Suma este telescopică, pentru că $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$: $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{2016\cdot 2017}\\ & =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\\ & =1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Egalitatea din enunț devine $A\left(\frac{2016}{2017}\right)=A\left(\frac{a}{a+1}\right)$; două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid, deci $\frac{a}{a+1}=\frac{2016}{2017}$. Înmulțind încrucișat, $2017a=2016a+2016$, de unde $$\mathbf{a}=2016\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\frac{2016}{2016+1}=\frac{2016}{2017}$, iar $2016\ne -1$, deci valoarea găsită este admisibilă. Unde se greșește de obicei: se scrie suma ca $\frac{1}{2016\cdot 2017}$ înmulțit cu numărul de termeni, sau se „simplifică" $\frac{a}{a+1}=\frac{2016}{2017}$ prin identificarea numărătorilor și a numitorilor separat — care, aici, dă din întâmplare același răspuns, dar nu este o justificare validă.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$, iar toate puterile lui $1$ sunt egale cu $1$: $$f(1)=1^4+m\cdot 1^2+2=1+m+2=m+3\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(1)=0$ devine $m+3=0$, de unde $$\mathbf{m}=-3\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=-3$ polinomul este $X^4-3X^2+2$, iar în $1$ dă $1-3+2=0$. Observație: $f(1)$ este chiar suma coeficienților polinomului. Unde se greșește de obicei: se scrie $m\cdot 1^2=m^2$.)

b) (5 p) Polinomul are gradul al patrulea, iar coeficientul lui $X^3$ este zero, pentru că termenul respectiv lipsește. Prima relație a lui Viète dă atunci suma rădăcinilor: $$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{0}{1}=0,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ Expresia din enunț este exact dezvoltarea pătratului acestei sume, după formula ${\left(u_1+u_2+u_3+u_4\right)}^2=\sum u_i^2+2\sum _{i<j}{u}_i{u}_j$: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4\right)={\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)}^2=0^2=0\text{(3 p)}.$$ (De ce este important: cele șase produse din paranteză sunt toate perechile posibile, iar exponentul $2$ din fața parantezei este exact factorul din formula pătratului unei sume. Unde se greșește de obicei: se calculează separat $\sum x_i^2=-2m$ și $\sum _{i<j}{x}_i{x}_j=m$ — drum corect, care dă $-2m+2m=0$, dar mult mai lung; recunoașterea pătratului este soluția de un rând. Control: rădăcinile lui $X^4-3X^2+2$ sunt $\pm 1$ și $\pm \sqrt{2}$, iar suma lor este într-adevăr nulă.)

c) (5 p) Pentru $m=3$ polinomul devine $f=X^4+3X^2+2$. Notând $t=X^2$, expresia $t^2+3t+2$ se descompune ca $(t+1)(t+2)$, deci $$f=X^4+3X^2+2=\left(X^2+1\right)\left(X^2+2\right)\text{(3 p)}.$$ Ambii factori au coeficienți reali, gradul al doilea și discriminanții ${\Delta }_1=-4<0$, respectiv ${\Delta }_2=-8<0$, deci nu au rădăcini reale; un polinom de gradul al doilea cu coeficienți reali și fără rădăcini reale este ireductibil în $\mathbb{R}[X]$, așa că descompunerea de mai sus este cea cerută (2 p).

(Verificare prin desfacere: $\left(X^2+1\right)\left(X^2+2\right)=X^4+2X^2+X^2+2=X^4+3X^2+2$. Unde se greșește de obicei: se continuă descompunerea peste $\mathbb{C}$, scriind $\left(X-i\right)\left(X+i\right)\left(X-i\sqrt{2}\right)\left(X+i\sqrt{2}\right)$ — corect peste $\mathbb{C}$, dar cerința spune limpede „în $\mathbb{R}[X]$". A doua capcană este semnul: cu $m=3$ toate semnele sunt plus, deci nu apare nicio diferență de pătrate.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și ecuație cu soluție unică.

a) (5 p) Se derivează raportul, cu ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ pentru numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\text{(3 p)}.$$ Aducând numărătorul la același numitor, $\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,3536$. Unde se greșește de obicei: se uită regula lanțului la $\sqrt{x^2+1}$ și se scrie derivata numitorului ca $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$. De reținut: derivata este strict pozitivă pe tot $\mathbb{R}$ — informație folosită la subpunctul c).)

b) (5 p) Se calculează cele două numere de care are nevoie formula tangentei: $$f(0)=\frac{0}{\sqrt{0+1}}=0,f^{\prime }(0)=\frac{1}{1\cdot 1}=1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, deci aici $y-0=1\cdot (x-0)$, adică $$\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $y=f^{\prime }(0)\cdot x$ fără să se verifice că $f(0)=0$ — aici iese la fel, dar numai din întâmplare. A doua capcană este confundarea lui $f(0)$ cu $f^{\prime }(0)$. Control: graficul lui $f$ trece prin origine și are acolo panta $1$, deci se lipește de prima bisectoare.)

c) (5 p) Cel mult o soluție. Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}>0$ pentru orice $x$ real, pentru că numitorul este strict pozitiv. Așadar $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ecuația $f(x)=a$ nu poate avea două soluții distincte (2 p).

Cel puțin o soluție. Limitele la capete se calculează scoțând $x$ de sub radical, cu grijă la semn: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1,$$ iar $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele de la capete, deci imaginea lui $f$ este chiar intervalul $(-1,1)$; prin urmare, pentru orice $a\in (-1,1)$, ecuația $f(x)=a$ are soluție, și ea este unică (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie „este strict crescătoare, deci are soluție unică" — monotonia dă doar unicitatea, existența cere limitele plus continuitatea. A doua capcană este semnul la $-\infty$: acolo $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, nu $x$; cine scrie $\sqrt{x^2}=x$ obține limita $1$ la ambele capete și pierde tot argumentul. Control numeric: $f(-1000)\approx -0,9999995$ și $f(1000)\approx 0,9999995$ — valorile chiar se apropie de capetele intervalului fără să le atingă.)

Itemul 10. (15 p) — integrale cu funcția exponențială.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: $e^x\cdot e^{-x}=e^0=1$, deci $$f(x)e^{-x}=e^x(x-1)\cdot e^{-x}=x-1,\text{iar}{\int }_0^{2}f(x)e^{-x}dx={\int }_0^2(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{2}f(x)e^{-x}dx=\left(\frac{4}{2}-2\right)-(0-0)=2-2=0\text{(2 p)}.$$ (De ce iese zero: funcția $x-1$ este negativă pe $[0,1]$ și pozitivă pe $[1,2]$, iar cele două suprafețe au arii egale, deci se anulează reciproc. Unde se greșește de obicei: se integrează prin părți, fără să se observe simplificarea. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,2]$ dă $0,000$.)

b) (5 p) Pe intervalul $[1,2]$ avem $x-1\ge 0$ și $e^x>0$, deci $f(x)\ge 0$ acolo: aria se scrie fără modul. O primitivă a lui $(x-1)e^x$ se caută de forma $(x-k)e^x$, iar din $((x-k)e^x{)}^{\prime }=(x-k+1)e^x$ rezultă $k=2$: $$\mathcal{S}={\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-1)e^{x}dx=(x-2)e^x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: $$\mathcal{S}=(2-2)e^2-(1-2)e^1=0-(-e)=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Unde se greșește de obicei: se scrie aria ca ${\int }_1^2\left|f(x)\right|dx$ fără să se spună de ce modulul dispare, sau se caută primitiva prin părți și se pierde un semn. Control numeric: $e\approx 2,71828$, iar integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $2,71828$.)

c) (5 p) Se simplifică întâi integrandul: $f(x)+e^x=e^x(x-1)+e^x=e^x(x-1+1)=x{e}^x$. O primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, pentru că $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Prin urmare $${\int }_{-n}^1\left(f(x)+e^x\right)dx={\int }_{-n}^{1}x{e}^{x}dx=(x-1)e^x{|}_{-n}^1=0-(-n-1)e^{-n}=\frac{n+1}{e^n}\text{(3 p)}.$$ Când $n$ crește nemărginit, numitorul $e^n$ crește mult mai repede decât numărătorul $n+1$, deci raportul tinde la zero: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{-n}^1\left(f(x)+e^x\right)dx=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+1}{e^n}=0\text{(2 p)}.$$ (Justificarea limitei, scrisă complet: raportul $\frac{n+1}{e^n}$ este un caz $\frac{\infty }{\infty }$, iar o aplicare a regulii lui l'Hôpital îl duce la $\frac{1}{e^n}\to 0$; același lucru se obține din creșterea comparată — exponențiala bate orice polinom. Unde se greșește de obicei: se calculează integrala corect, dar se scrie $(x-1)e^x{|}_{-n}^1$ ca $(-n-1)e^{-n}-0$, adică se inversează ordinea capetelor. Control numeric: pentru $n=7$, integrala dă $0,00729$, iar $\frac{8}{e^7}=0,00729$.)