Bac M1 2016, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea iunie-iulie 2016 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, varianta de rezervă publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Varianta de rezervă se pregătește pentru situațiile în care subiectul principal nu mai poate fi folosit; ea are exact aceeași structură, același nivel de dificultate și același barem ca proba principală, deci se antrenează la fel de bine pe ea.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de rezervă din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: parabola tangentă axei $Ox$ înseamnă discriminant nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, într-o mulțime de radicali — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și condiția de perpendicularitate — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor, pentru raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme de tip Cramer: determinant cu parametru, condiția de inversabilitate și un sistem liniar de trei ecuații rezolvat cu regula lui Cramer — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea la forma canonică $2-(x-2)(y-2)$, o ecuație în lege și un argument de divizibilitate pe numere întregi — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, soluție unică: derivarea unei sume cu exponențială și logaritm, ecuația tangentei și șirul de argumente „strict crescătoare plus continuă plus semne contrare la capete" — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: împărțirea cu rest sub integrală, o relație de recurență și o limită obținută prin încadrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2016. Subiectul I este, cerință cu cerință, gemenul celui principal: progresie, parabolă tangentă, ecuație exponențială, probabilitate, dreaptă în reper, rază de cerc circumscris — dar cu numere alese ca să iasă rotund. Capcana lui stă la itemul $4$, unde mulțimea este formată din radicali, nu din numere naturale: se cere să recunoști care dintre $\sqrt{1},\sqrt{2},\dots ,\sqrt{25}$ sunt raționale. Subiectul al II-lea pune, la problema $1$, întregul lanț determinant $\to$ inversabilitate $\to$ regula lui Cramer, iar la problema $2$ o lege de compoziție a cărei formă canonică transformă un enunț de divizibilitate într-o observație de o linie. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, lanțul derivată $\to$ tangentă $\to$ soluție unică, iar la problema $2$ un șir de integrale în care punctul greu este încadrarea, nu integrarea.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $1+3\ln \frac{3}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: numărarea cazurilor favorabile fără să se spună de ce un radical este rațional; ecuația unei drepte scrisă fără panta calculată separat; folosirea regulii lui Cramer fără verificarea prealabilă a condiției de sistem determinat; concluzia „are soluție unică" fără ambele jumătăți (monotonia și schimbarea de semn); limita unui șir de integrale afirmată fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: trei termeni consecutivi $u$, $v$, $w$ verifică $u+w=2v$. Parabola tangentă axei $Ox$: $\Delta =0$, adică $b^2-4ac=0$. Ecuații exponențiale: se aduce totul la aceeași bază, apoi se egalează exponenții; ${\left(\frac{1}{3}\right)}^t=3^{-t}$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; $\sqrt{k}$ este rațional exact când $k$ este pătrat perfect. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte sunt perpendiculare când $m_1\cdot m_2=-1$. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=2R$.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul lui este nenul; regula lui Cramer: $x_0=\frac{d_x}{d}$, $y_0=\frac{d_y}{d}$, $z_0=\frac{d_z}{d}$, unde $d_x$ se obține înlocuind în determinant coloana lui $x$ cu coloana termenilor liberi. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Legi de compoziție: forma canonică $x\ast y=c\pm (x-c)(y-c)$ se obține scriind constanta ca sumă convenabilă și dând factor comun; ea transformă legea într-o înmulțire mutată, iar compunerea a trei elemente devine $m\ast n\ast p=2+(m-2)(n-2)(p-2)$.
• Derivate și tangente: ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$, ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\left(x-x_0\right)$. Soluție unică pe un interval: strict monotonă $⟹$ cel mult o soluție; continuă, cu valori de semne contrare la capete $⟹$ cel puțin o soluție.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; împărțirea cu rest sub integrală, $\frac{x}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}$; pentru limite de șiruri de integrale, încadrarea $0\le {\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$, valabilă când $0\le g\le 1$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ este necunoscută la itemul $1$ (termenul al treilea al progresiei) și parametru la itemul $7$ (parametrul matricei și al sistemului). Litera $m$ este necunoscută la itemul $2$ (termenul liber al parabolei) și număr întreg dat la itemul $8$, subpunctul c). Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $n$ apare de două ori: ca număr întreg la itemul $8$, subpunctul c), și ca indice al șirului de integrale la itemul $10$. La itemul $10$ ea nu este necunoscută, ci eticheta termenului: $I_n$ se citește „integrala de rang $n$".
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la itemul $2$, funcția $f(x)=e^x+\ln x+1$ de la itemul $9$ și, implicit, integrandul de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că numerele $24$, $1020$ și $a$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-3}=27$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\left\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{25}\right\}$, acesta să fie număr rațional.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(-2,-1)$ și $C(2,3)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $BC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi $ABC$, în care $m\left(\sphericalangle A\right)=45^{\circ }$ și $BC=2\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -a\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+ay+a^{2}z=0\\ x-y+z=2\\ x+y-az=-4\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$, $a\ne -1$ și $a\ne \frac{1}{3}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, pentru care sistemul are soluție unică $\left(x_0,y_0,z_0\right)$, iar $x_0=y_0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=-xy+2x+2y-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=2-(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\ast x=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $m$, $n$ și $p$ sunt numere întregi astfel încât $m\ast n\ast p=2$, atunci produsul numerelor $m$, $n$ și $p$ este divizibil cu 2.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+\ln x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică în intervalul $(0,1)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+3}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_0=1+3\ln \frac{3}{4}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n+1}+3I_n=\frac{1}{n+2}$, pentru orice număr natural $n$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen este media aritmetică a vecinilor lui, deci suma termenilor de la capete este dublul celui din mijloc: $$24+a=2\cdot 1020\text{(3 p)}.$$ De aici $a=2040-24$, adică $$\mathbf{a}=2016\text{(2 p)}.$$ (Control: rația progresiei este $r=1020-24=996$, iar $1020+996=2016$ — aceeași valoare, obținută pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se scrie $24+1020=2a$, adică se ia drept termen din mijloc chiar necunoscuta; ordinea din enunț este obligatorie.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Parabola este tangentă axei $Ox$ exact când o atinge într-un singur punct, adică atunci când ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă, deci când discriminantul se anulează: $$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m\text{(3 p)}.$$ Din $16-4m=0$ rezultă $$\mathbf{m}=4\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=4$ funcția este $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, care se anulează doar în $x=-2$ — chiar punctul de tangență, vârful parabolei. Unde se greșește de obicei: se confundă „tangentă axei $Ox$" cu „taie axa $Ox$", ceea ce ar cere $\Delta >0$, sau se scrie $\Delta =16+4m$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduce totul la baza $3$: membrul stâng este ${\left(3^{-1}\right)}^{2x-3}=3^{-(2x-3)}$, iar membrul drept este $27=3^3$. Funcția exponențială fiind injectivă, se egalează exponenții: $${\left(3^{-1}\right)}^{2x-3}=3^3⟺-2x+3=3\text{(3 p)}.$$ Rezolvând ecuația de gradul întâi, $-2x=0$, deci $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $x=0$, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus la trecerea de la baza $\frac{1}{3}$ la baza $3$, și se scrie $2x-3=3$, de unde $x=3$ — o valoare care nu verifică ecuația, pentru că ar da ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de radicali.

Mulțimea $A$ are câte un element pentru fiecare număr de la $1$ la $25$, deci sunt $25$ de cazuri posibile (1 p).

Un radical $\sqrt{k}$, cu $k$ număr natural, este rațional exact când $k$ este pătrat perfect. Pătratele perfecte dintre $1$ și $25$ sunt $1$, $4$, $9$, $16$ și $25$, deci elementele raționale ale mulțimii sunt $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{25}=5$ — cinci cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se citește mulțimea ca $\{1,2,3,\dots ,25\}$ și se răspunde că toate elementele sunt raționale, deci probabilitatea ar fi $1$ — radicalii din enunț sunt esențiali. A doua capcană: se uită $\sqrt{1}$, care este tot rațional. Control: rădăcina unui număr natural care nu e pătrat perfect este întotdeauna irațională, deci lista de mai sus este completă.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică, perpendicularitate.

Se calculează întâi panta dreptei $BC$, cu $B(-2,-1)$ și $C(2,3)$, iar condiția de perpendicularitate dă panta dreptei căutate: $$m_{BC}=\frac{3-(-1)}{2-(-2)}=\frac{4}{4}=1,\text{ iar }d\perp BC⟹m_d\cdot m_{BC}=-1⟹m_d=-1\text{(2 p)}.$$ Dreapta trece prin $A(0,1)$, deci ecuația ei este $y-y_A=m_d\left(x-x_A\right)$, adică $y-1=-1\cdot (x-0)$: $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+1\text{(3 p)}.$$ (Control: punctul $A(0,1)$ verifică ecuația, iar produsul pantelor este $1\cdot (-1)=-1$, deci dreptele sunt într-adevăr perpendiculare. Unde se greșește de obicei: se folosește condiția de paralelism, $m_d=m_{BC}$, în locul celei de perpendicularitate; sau se scrie panta răsturnat, $m_d=-\frac{1}{m_{BC}}$ cu semnul pierdut.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul opus ei și de raza cercului circumscris: $\frac{BC}{\sin A}=2R$. Cum $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\frac{BC}{\sin A}=2R⟹R=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\text{(3 p)}.$$ Simplificând prin $\sqrt{2}$, $$R=2\text{(2 p)}.$$ (Control de bun-simț: în orice triunghi, latura este cel mult egală cu diametrul cercului circumscris; aici $BC=2\sqrt{2}\approx 2,83$, iar diametrul este $2R=4$ — inegalitatea se respectă. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{BC}{\sin A}=R$, fără factorul $2$, sau se folosește unghiul greșit; latura $BC$ este opusă vârfului $A$, deci se pune în raport cu $\sin A$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește peste tot, iar elementele $a$, $a^2$ și $-a$ devin toate nule: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel al diagonalei „ascendente" care conține $1\cdot 1\cdot 1$, luat cu semn minus: $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+0+0-0-1-0\\ & =-1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt este dezvoltarea după linia întâi, care are un singur element nenul: $\det (A(0))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=1\cdot (0-1)=-1$. Aceeași valoare — și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Se calculează determinantul general, dezvoltând după linia întâi: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =1\cdot (a-1)-a\cdot (-a-1)+a^2\cdot 2\\ & =3a^2+2a-1\\ & =(3a-1)(a+1)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Produsul $(3a-1)(a+1)$ se anulează exact pentru $a=\frac{1}{3}$ și $a=-1$. Prin urmare, pentru orice număr real $a$ cu $a\ne -1$ și $a\ne \frac{1}{3}$, avem $\det (A(a))\ne 0$; o matrice pătratică fiind inversabilă exact când determinantul ei este nenul, rezultă că matricea $A(a)$ este inversabilă (3 p).

(Control: pentru $a=0$ formula dă $(0-1)(0+1)=-1$, adică exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul cu regula lui Sarrus și se pierde un termen, ori se enunță concluzia fără criteriul care o susține — „determinant nenul $⟺$ inversabilă" trebuie scris.)

c) (5 p) Sistemul are matricea coeficienților chiar $A(a)$, deci are soluție unică exact când $\det (A(a))\ne 0$, adică pentru $a\ne -1$ și $a\ne \frac{1}{3}$ — condiția de la subpunctul b). Pentru aceste valori, regula lui Cramer dă $$\begin{array}{rl}{x}_0& =\frac{d_x}{d}=\frac{-4a}{(3a-1)(a+1)},\\ y_0& =\frac{d_y}{d}=\frac{-2(3a-2)(a+1)}{(3a-1)(a+1)}\\ & =\frac{2(2-3a)}{3a-1}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Condiția $x_0=y_0$ se scrie $\frac{-4a}{(3a-1)(a+1)}=\frac{2(2-3a)}{3a-1}$; înmulțind cu $(3a-1)(a+1)$, care este nenul, se obține $-4a=2(2-3a)(a+1)$, adică $-4a=-6a^2-2a+4$, de unde $3a^2-a-2=0$. Rădăcinile trinomului $(3a+2)(a-1)$ sunt $$\mathbf{a}=-\frac{2}{3}\text{sau}\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$ (Amândouă valorile sunt admisibile, pentru că niciuna nu este $-1$ sau $\frac{1}{3}$ — verificarea aceasta lipsește din baremul oficial, dar la examen ea se scrie. Control numeric pentru $a=1$: sistemul devine $x+y+z=0$, $x-y+z=2$, $x+y-z=-4$, cu soluția $x_0=-1$, $y_0=-1$, $z_0=2$ — într-adevăr $x_0=y_0$. Unde se greșește de obicei: se folosește regula lui Cramer fără să se spună mai întâi de ce sistemul este determinat, sau se simplifică ecuația prin $a+1$ fără să se observe că factorul apare doar la un membru.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pornește de la forma din enunț și se scrie constanta $-2$ ca $-4+2$, ca să se poată da factor comun: $$x\ast y=-xy+2x+2y-4+2\text{(2 p)}.$$ Grupând primii patru termeni, $-x(y-2)+2(y-2)=-(x-2)(y-2)$, deci $$x\ast y=-(x-2)(y-2)+2=2-(x-2)(y-2),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $2-(x-2)(y-2)=2-xy+2x+2y-4=-xy+2x+2y-2$, exact legea dată. Control numeric: $3\ast 5=-15+6+10-2=-1$, iar $2-(3-2)(5-2)=2-3=-1$. Observație folositoare mai departe: dacă unul dintre operanzi este $2$, paranteza corespunzătoare se anulează și rezultatul este $2$, oricare ar fi celălalt operand — numărul $2$ „absoarbe" legea.)

b) (5 p) Se ia $y=x$ în forma canonică găsită la subpunctul a): $$x\ast x=2-(x-2)(x-2)=2-(x-2{)}^2\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $2-(x-2{)}^2=1$, adică $(x-2{)}^2=1$, deci $x-2=1$ sau $x-2=-1$: $$\mathbf{x}=1\text{sau}\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $1\ast 1=-1+2+2-2=1$ și $3\ast 3=-9+6+6-2=1$. Unde se greșește de obicei: se scoate radicalul din $(x-2{)}^2=1$ doar cu semnul plus și se pierde soluția $x=1$; $\sqrt{u^2}=\left|u\right|$, deci apar amândouă semnele.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, se poate compune de la stânga la dreapta. Aplicând forma canonică de două ori, semnele minus se înmulțesc și dau plus: $$m\ast n\ast p=2+(m-2)(n-2)(p-2),\text{ deci din }m\ast n\ast p=2\text{ rezulta˘ }(m-2)(n-2)(p-2)=0\text{(2 p)}.$$ Un produs de numere este nul exact când măcar un factor este nul, deci $m=2$ sau $n=2$ sau $p=2$. În oricare dintre cazuri, produsul $m\cdot n\cdot p$ are un factor egal cu $2$, deci este divizibil cu 2 (3 p).

(Detaliul care lipsește din baremul oficial, dar merită scris: $(m\ast n)\ast p=2-((m\ast n)-2)(p-2)=2-(-(m-2)(n-2))(p-2)=2+(m-2)(n-2)(p-2)$ — cele două semne minus se anulează. Control numeric: $2\ast 5\ast 7=2$, iar produsul $2\cdot 5\cdot 7=70$ este par. Unde se greșește de obicei: se caută toate tripletele de numere întregi cu $m\ast n\ast p=2$, ceea ce este imposibil de epuizat; cheia este forma canonică, nu enumerarea.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și ecuație cu soluție unică.

a) (5 p) Derivata unei sume este suma derivatelor, iar constanta are derivata nulă: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }+{\left(\ln x\right)}^{\prime }+1^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Cele trei derivate se citesc din tabel, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$, ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $1^{\prime }=0$, deci $$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x}+0=e^x+\frac{1}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=e+1\approx 3,718$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $3,718$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^x$ ca $x{e}^{x-1}$, după regula puterii — dar la $e^x$ variabila stă la exponent, nu la bază. De reținut pentru subpunctul c): pe $(0,+\infty )$ ambii termeni sunt strict pozitivi, deci $f^{\prime }>0$.)

b) (5 p) Se calculează cele două numere de care are nevoie formula tangentei, folosind $\ln 1=0$: $$f(1)=e^1+\ln 1+1=e+1,f^{\prime }(1)=e^1+\frac{1}{1}=e+1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=1$ este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-(e+1)=(e+1)(x-1)$; desfăcând paranteza, termenii liberi se reduc: $$y=(e+1)x-(e+1)+(e+1)⟹\mathbf{y}=(\mathbf{e}+1)\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ (Coincidența $f(1)=f^{\prime }(1)$ este cea care face ca tangenta să treacă prin origine — merită observată, dar nu este o regulă generală. Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația ca $y=f^{\prime }(1)x+f(1)$, adică se ia valoarea funcției drept termen liber al tangentei.)

c) (5 p) Cel mult o soluție. Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x}>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, pentru că exponențiala este întotdeauna strict pozitivă, iar $\frac{1}{x}$ la fel pe acest interval. Așadar $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, deci ecuația $f(x)=0$ nu poate avea două soluții (2 p).

Cel puțin o soluție în $(0,1)$. La capătul din stânga, $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1+\ln 0^{+}+1=-\infty$, iar în capătul din dreapta $f(1)=e+1>0$. Funcția fiind continuă pe $(0,1]$, ea trece de la valori negative la valori pozitive, deci se anulează măcar o dată în intervalul $(0,1)$; împreună cu monotonia strictă, soluția este unică (3 p).

(Control numeric: $f(0,001)=1,001+\ln 0,001+1\approx -4,907$, iar $f(0,5)\approx 1,9556$ — schimbarea de semn se vede pe un interval mic, iar rădăcina este pe undeva pe la $0,119$. Unde se greșește de obicei: se scrie „este strict crescătoare, deci are soluție unică" — monotonia dă doar unicitatea; existența cere semnele contrare la capete plus continuitatea. A doua capcană este limita în zero: $e^x\to 1$, deci nu ea produce $-\infty$, ci logaritmul.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu recurență și limită.

a) (5 p) Pentru $n=0$ integrandul devine $\frac{x}{x+3}$, iar numărătorul are gradul cel puțin egal cu al numitorului, deci se face împărțirea cu rest: $\frac{x}{x+3}=\frac{(x+3)-3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}$. Prin urmare $$I_0={\int }_0^1\frac{x}{x+3}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{3}{x+3}\right)dx=(x-3\ln (x+3)){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele și se strâng logaritmii: $$I_0=(1-3\ln 4)-(0-3\ln 3)=1-3\ln 4+3\ln 3=1+3\ln \frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{x}{x+3}$ „ca un raport", cu logaritm la numitor. Rețeta corectă este împărțirea cu rest. A doua capcană: pe intervalul $[0,1]$ avem $x+3>0$, deci logaritmul se scrie fără modul, dar motivul trebuie spus. Control numeric: $1+3\ln \frac{3}{4}\approx 0,13695$, iar integrala calculată numeric dă $0,13695$.)

b) (5 p) Se adună cele două integrale sub același semn, folosind liniaritatea, iar la numărător se dă factor comun $x^{n+1}$: $$I_{n+1}+3I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+2}+3x^{n+1}}{x+3}dx={\int }_0^1\frac{x^{n+1}(x+3)}{x+3}dx={\int }_0^1{x}^{n+1}dx\text{(3 p)}.$$ Factorul $x+3$ se simplifică, pentru că este nenul pe intervalul de integrare, și rămâne o integrală elementară: $$I_{n+1}+3I_n=\frac{x^{n+2}}{n+2}{|}_0^1=\frac{1}{n+2},\text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(2 p)}.$$ (Control pentru $n=0$: $I_1+3I_0=\frac{1}{2}$, iar cu $I_0=1+3\ln \frac{3}{4}\approx 0,13695$ rezultă $I_1\approx 0,08914$ — exact cât dă integrala ${\int }_0^1\frac{x^2}{x+3}dx$ calculată numeric. Unde se greșește de obicei: se încearcă o recurență prin părți, mult mai lungă; observația cheie este că $x^{n+2}+3x^{n+1}$ conține chiar numitorul ca factor.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, cu $x^n$ luat drept factor derivat, ca să apară exponentul $n$ din fața integralei: $$n{I}_n=n{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+3}dx={\int }_0^1{\left(x^n\right)}^{\prime }\cdot \frac{x^2}{x+3}dx=x^n\cdot \frac{x^2}{x+3}{|}_0^1-{\int }_0^1{x}^n{\left(\frac{x^2}{x+3}\right)}^{\prime }dx=\frac{1}{4}-{\int }_0^1{x}^n\left(1-\frac{9}{(x+3{)}^2}\right)dx\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $[0,1]$ avem $9\le (x+3{)}^2\le 16$, deci $0\le 1-\frac{9}{(x+3{)}^2}\le 1$, iar integrala rămasă se încadrează: $$0\le {\int }_0^1{x}^n\left(1-\frac{9}{(x+3{)}^2}\right)dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\underset{n\to +\infty }{\to }0,$$ deci, prin criteriul cleștelui, $$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ (Cum se obține derivata din paranteză: ${\left(\frac{x^2}{x+3}\right)}^{\prime }=\frac{2x(x+3)-x^2}{(x+3{)}^2}=\frac{x^2+6x}{(x+3{)}^2}=\frac{(x+3{)}^2-9}{(x+3{)}^2}=1-\frac{9}{(x+3{)}^2}$. Termenul dinafara integralei se calculează în capete: în $1$ dă $1\cdot \frac{1}{4}$, iar în $0$ dă $0$. Control numeric: pentru $n=3000$, produsul $n{I}_n$ este $0,24988$ — se apropie de $\frac{1}{4}$ pe dedesubt. Unde se greșește de obicei: se afirmă direct că $n{I}_n\to \frac{1}{4}$ pentru că $I_n\approx \frac{1}{4n}$, fără încadrarea care justifică; baremul punctează exact estimarea.)