Bac M1 2016, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, în anul 2016. Modelul se publică la începutul anului școlar și are rolul de a arăta elevilor și profesorilor structura, tipurile de cerințe și nivelul de dificultate ale probei din sesiunile care urmează; el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi, scrisă ca „dublul termenului din mijloc este suma vecinilor" — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: parabola tangentă axei $Ox$, adică discriminant nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea ambilor membri la baza $2$, inclusiv a bazei subunitare $\frac{1}{2}$, și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și combinatorică: submulțimile unei mulțimi cu șase elemente, numărate cu combinări — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unei laturi, panta unei mediane și ecuația unei drepte paralele cu ea — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor cu un unghi obtuz, $\frac{3\pi }{4}$ — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice cu exponențială pe diagonală, o familie care se compune adunând parametrii și un produs de $2016$ matrice — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, suma cuburilor rădăcinilor calculată din ecuația polinomului și o demonstrație de tip „cel mult o rădăcină întreagă" — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unei sume cu exponențială, o limită de tip $\frac{\infty }{\infty }$ rezolvată cu regula lui l'Hospital aplicată de două ori și o inegalitate obținută din stricta monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale definite: calculul primului termen, monotonia șirului prin semnul diferenței și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2016. Subiectul I este alcătuit din șase cerințe de câte o singură idee, dar modelul avertizează asupra a două detalii de citire: la itemul $4$ mulțimea este scrisă cu radicali — $A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\dots ,\sqrt{6}\}$ —, ceea ce nu schimbă numărul de elemente, dar sperie la prima vedere, iar la itemul $6$ latura este $BC=\sqrt{2}$, nu $2$. Subiectul al II-lea anunță tipul de problemă în care o familie de matrice se compune adunând parametrii, $A(x)A(y)=A(x+y)$: subpunctul c) cere un produs de $2016$ matrice, care se rezolvă într-un rând odată ce regula a fost observată. Problema $2$ arată direcția în care modelul împinge polinoamele: nu spre calculul rădăcinilor, ci spre relații între ele — suma cuburilor, obținută înlocuind în ecuația polinomului, și o demonstrație de imposibilitate, în care se arată că nu pot exista două rădăcini întregi. Subiectul al III-lea este cel mai „de clasa a XII-a" din model: o limită care cere l'Hospital de două ori și un șir de integrale de tip Wallis, cu recurență între doi termeni consecutivi.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{11}{32}$ și $\frac{2}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: condiția de progresie scrisă pe sărite, fără termenul din mijloc; „parabola atinge axa" afirmată fără $\Delta =0$; probabilitatea dată fără numărarea submulțimilor posibile; produsul de matrice calculat fără regula de compunere; inegalitatea dintre două valori ale unei funcții afirmată fără stricta monotonie.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: trei numere $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi exact când $2b=a+c$. Funcția de gradul al doilea: parabola este tangentă axei $Ox$ exact când $\Delta =b^2-4ac=0$. Ecuații exponențiale: $\frac{1}{2}=2^{-1}$ și $32=2^5$; după aducerea la aceeași bază, $a^u=a^v⟺u=v$. Combinatorică: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, iar cele cu exact $k$ elemente sunt $C_n^k$. Mijlocul segmentului: $M\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$; două drepte sunt paralele când au aceeași pantă. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, cu $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; când $A(x)A(y)=A(x+y)$, un produs de mai multe matrice din familie devine $A$ aplicat sumei parametrilor, iar $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea; dacă $x_i$ este rădăcină a lui $X^3-5X+a$, atunci $x_i^3=5x_i-a$ — de aici se obține suma cuburilor fără să se calculeze rădăcinile; identitatea $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate și limite: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; regula lui l'Hospital pentru $\frac{\infty }{\infty }$, care se poate aplica de mai multe ori la rând; o funcție strict crescătoare păstrează inegalitățile: din $u<v$ rezultă $f(u)<f(v)$. Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; pentru monotonia unui șir de integrale se studiază semnul diferenței $I_{n+1}-I_n$, scrisă ca o singură integrală.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-2x+m$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-5X+a$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $A$ notează un vârf de triunghi la itemii $5$ și $6$ (la itemul $6$ chiar unghiul din acel vârf), o mulțime la itemul $4$ și o matrice la itemul $7$. Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $n$ apare la itemul $7$ ca număr natural necunoscut și la itemul $10$ ca indice al șirului de integrale $I_n$; la itemul $10$, exponentul $n$ se aplică parantezei întregi, deci $(1-x^2{)}^n$ înseamnă puterea a $n$-a a expresiei $1-x^2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$, știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{4x-9}=32^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt{6}\}$, aceasta să aibă cel mult două elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi }{4}$ și $BC=\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2^x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(10))=1024$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.

c) (5 puncte) Știind că $A(n)=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot \dots \cdot A(2016)$, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-5X+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x-x-1$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f\left(2\sqrt{3}\right)<f\left(3\sqrt{2}\right)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1(1-x^2{)}^{n}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_1=\frac{2}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n+1}\le I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când dublul celui din mijloc este egal cu suma celorlalte două: $$7+x^2+2=2\cdot 3x\text{(3 p)}.$$ Trecând totul în stânga se obține un pătrat perfect, deci ecuația are rădăcină dublă: $$x^2-6x+9=0⟺(x-3{)}^2=0⟺\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=3$ cele trei numere sunt $7$, $9$ și $11$ — progresie aritmetică de rație $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția „pe sărite", $x^2+2-7=3x$, adică se compară primul cu ultimul, în loc să se folosească termenul din mijloc. A doua capcană: se dau două soluții, deși $\Delta =36-36=0$.)

Itemul 2. (5 p) — parabolă tangentă axei $Ox$.

Parabola este tangentă axei $Ox$ exact când are un singur punct comun cu ea, adică ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă, deci discriminant nul: $$\Delta =0⟺(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot m=0⟺4-4m=0\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $m=1$ funcția devine $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, care se anulează doar în $x=1$ și este pozitivă în rest — deci graficul atinge axa într-un singur punct, vârful $(1,0)$. Unde se greșește de obicei: se confundă „tangentă axei $Ox$" cu „taie axa $Ox$", care ar cere $\Delta >0$, sau se pune condiția pe ordonata vârfului fără a o lega de discriminant — deși cele două condiții sunt echivalente, $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambii membri se aduc la baza $2$, folosind $\frac{1}{2}=2^{-1}$ și $32=2^5$. Funcția exponențială de bază $2$ fiind injectivă, exponenții sunt egali: $$(2^{-1}{)}^{4x-9}=2^{5x}⟺-4x+9=5x\text{(3 p)}.$$ Rezolvând ecuația de gradul întâi, $9=9x$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=1$, membrul stâng este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}=32$, iar cel drept $32^1=32$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus care apare la ridicarea unei puteri la putere, $(2^{-1}{)}^{4x-9}=2^{-4x+9}$, și se scrie $4x-9=5x$, ceea ce dă $x=-9$. Control rapid: baza din stânga este subunitară, deci membrul stâng crește când exponentul scade.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărul submulțimilor.

Mulțimea $A$ are șase elemente, deci numărul tuturor submulțimilor ei este $$C_6^0+C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5+C_6^6=2^6=64,$$ deci sunt $64$ de cazuri posibile (2 p).

Submulțimile cu cel mult două elemente sunt cele cu zero, unu sau două elemente: $$C_6^0+C_6^1+C_6^2=1+6+15=22,$$ deci sunt $22$ de cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită mulțimea vidă, care are zero elemente și deci intră la „cel mult două", sau se citește „cel mult două" ca „exact două". Faptul că elementele sunt scrise cu radicali, $\sqrt{1},\sqrt{2},\dots ,\sqrt{6}$, nu schimbă nimic: ele sunt șase numere distincte, iar numărarea submulțimilor depinde doar de câte sunt. Control: $2^6=64$, iar $\frac{22}{64}$ se simplifică prin $2$.)

Itemul 5. (5 p) — mediană și dreaptă paralelă în reper cartezian.

Mediana din $A$ unește vârful $A$ cu mijlocul laturii opuse, $BC$. Cum $B(1,0)$ și $C(1,4)$, mijlocul este $$M\left(\frac{1+1}{2},\frac{0+4}{2}\right)=M(1,2)\text{(1 p)}.$$ Panta medianei $AM$, cu $A(-1,0)$, este $$m_{AM}=\frac{2-0}{1-(-1)}=1\text{(2 p)}.$$ Dreapta căutată trece prin $B(1,0)$ și are aceeași pantă, două drepte fiind paralele exact când pantele lor coincid; ecuația ei este $y-0=1\cdot (x-1)$, adică $\mathbf{y}=\mathbf{x}-1$ (2 p).

(Control: dreapta $y=x-1$ trece într-adevăr prin $B(1,0)$, pentru că $1-1=0$, și nu trece prin $A(-1,0)$, deci este cu adevărat paralelă cu mediana, nu confundată cu ea. Unde se greșește de obicei: se ia mijlocul laturii $AB$ sau $AC$ în loc de $BC$ — mediana din $A$ pleacă din $A$ și cade pe latura opusă lui $A$.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor cu unghi obtuz.

Latura $BC$ se opune unghiului $A$, deci teorema sinusurilor dă direct raza cercului circumscris. Unghiul fiind obtuz, se folosește $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\frac{BC}{\sin A}=2R⟹R=\frac{\sqrt{2}}{2\sin \frac{3\pi }{4}}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este $2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$, deci $$R=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\text{(2 p)}.$$ (Control: coarda $BC=\sqrt{2}\approx 1,41$ trebuie să fie cel mult diametrul $2R=2$ — condiție îndeplinită. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, confundând sinusul cu cosinusul unui unghi obtuz; sinusul rămâne pozitiv pe tot cadranul al doilea. A doua capcană: se citește latura ca $BC=2$, deși în enunț ea este $\sqrt{2}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=10$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(10)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 10& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2^{10}\end{array}\right)⟹\det (A(10))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 10& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2^{10}\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Matricea este triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(10))\\ & =1\cdot 1\cdot 2^{10}=2^{10}=1024\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De reținut: $\det (A(x))=2^x$ pentru orice $x$, deci determinantul acestei familii nu se anulează niciodată. Unde se greșește de obicei: se calculează $2^{10}$ ca $20$, sau se dezvoltă determinantul cu Sarrus și se pierd termeni; forma triunghiulară scutește de tot calculul.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice. Pe prima linie, elementul din mijloc devine $x+2x$, iar pe diagonală puterile se adună, $2^x\cdot 2^{2x}=2^{3x}$: $$A(x)\cdot A(2x)=A(3x)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $A(3x)=A(x^2+2)$; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid, deci $3x=x^2+2$, adică $$\begin{array}{rl}& x^2-3x+2\\ & =0⟺{\mathbf{x}}_1=1\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Regula generală, folosită și la subpunctul c): $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, pentru că poziția din prima linie adună parametrii, iar cea de pe diagonală adună exponenții. Verificare pentru $x=2$: $A(2)A(4)=A(6)$, iar $x^2+2=6$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se compară doar elementul de pe diagonală, $2^{3x}=2^{x^2+2}$, ceea ce dă din fericire aceeași ecuație, dar rezolvarea completă cere să se spună că toate elementele coincid.)

c) (5 p) Din regula de compunere, un produs de mai multe matrice din familie este tot o matrice din familie, cu parametrul egal cu suma parametrilor: $$\begin{array}{rl}& A(n)\\ & =A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot \dots \cdot A(2016)\\ & =A(1+2+3+\dots +2016)\\ & =A(2017\cdot 1008)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Suma primelor $2016$ numere naturale nenule este $\frac{2016\cdot 2017}{2}=1008\cdot 2017$. Din egalitatea celor două matrice rezultă $n=2017\cdot 1008$, care este număr natural și are pe $2017$ printre factori, deci este divizibil cu $2017$ (2 p).

(Control pe un caz mic: $A(1)A(2)A(3)=A(6)$, iar $1+2+3=6$ — regula se verifică. Unde se greșește de obicei: se încearcă înmulțirea efectivă a matricelor, ceea ce este imposibil de dus până la capăt; ideea este să se observe întâi regula $A(x)A(y)=A(x+y)$ de la subpunctul b) și abia apoi să se calculeze suma. A doua capcană: se împarte $2016\cdot 2017$ la $2$ luând jumătate din $2017$, care nu este număr par — jumătatea se ia din $2016$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3-5\cdot 0+a=\text{(3 p)}$$ Primii doi termeni se anulează, deci $f(0)=0-0+a=\mathbf{a}$ (2 p).

(De reținut, ca regulă generală: valoarea unui polinom în zero este chiar termenul lui liber. Observație folositoare la subpunctul c): din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este $x_1{x}_2{x}_3=-a$, iar suma lor este nulă, pentru că polinomul nu are termen în $X^2$.)

b) (5 p) Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $x_1+x_2+x_3=0$, coeficientul lui $X^2$ fiind nul. Fiecare rădăcină verifică ecuația polinomului, deci $x_i^3=5x_i-a$; adunând cele trei egalități: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a=-3a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $-3a=2016-4a$, de unde $\mathbf{a}=2016$ (2 p).

(Control numeric: pentru $a=2016$, rădăcinile aproximative ale polinomului sunt $-12,64$ și două numere complexe conjugate, iar suma cuburilor lor calculată direct dă $-6048=-3\cdot 2016$. Unde se greșește de obicei: se caută efectiv rădăcinile, ceea ce nu se poate; trucul este că fiecare rădăcină verifică ecuația, deci cubul ei se poate coborî la gradul întâi. A doua capcană: se folosește formula sumei cuburilor pentru trei numere fără să se observe că suma lor este nulă, ceea ce simplifică totul.)

c) (5 p) Presupunem, prin reducere la absurd, că polinomul $f$ are cel puțin două rădăcini întregi, $x_1$ și $x_2$. Cum $x_1+x_2+x_3=0$, rezultă $x_3=-x_1-x_2\in \mathbb{Z}$, deci toate trei ar fi numere întregi (1 p).

Din relațiile lui Viète, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-5$, deci suma pătratelor este $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=0+10=10.$$ Singurul mod de a scrie $10$ ca sumă de trei pătrate de numere întregi este $9+1+0$, deci, ordonând descrescător, $x_1^2=9$, $x_2^2=1$ și $x_3^2=0$ (2 p).

Așadar cele trei numere ar fi $\pm 3$, $\pm 1$ și $0$, iar suma lor ar fi una dintre valorile $\pm 4$ sau $\pm 2$ — niciodată zero. Relația $x_1+x_2+x_3=0$ nu este verificată pentru niciuna dintre variantele obținute, deci presupunerea este falsă și polinomul $f$ are cel mult o rădăcină întreagă (2 p).

(De ce $9+1+0$ este singura descompunere: pătratele de numere întregi cel mult egale cu $10$ sunt $0$, $1$, $4$ și $9$; sumele de câte trei dintre ele care dau $10$ ar fi $9+1+0$ sau $4+4+2$, dar $2$ nu este pătrat perfect. Unde se greșește de obicei: se caută valori concrete ale lui $a$ pentru care apar rădăcini întregi, în loc să se demonstreze imposibilitatea; enunțul cere o afirmație valabilă pentru orice $a$ real.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită și inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Funcția este o sumă de patru termeni, deci se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=(e^x{)}^{\prime }-{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }-(1{)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ Derivata unei constante este nulă, iar ${\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$, deci $$f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{2}\cdot 2x-1=e^x-x-1,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=e-2\approx 0,718$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Observație folositoare la subpunctul c): $f^{\prime }(0)=1-0-1=0$, iar $f^{\prime \prime }(x)=e^x-1$.)

b) (5 p) Ambii termeni tind la $+\infty$, deci limita este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Aplicând succesiv regula lui l'Hospital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-x-1}{e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-1}{e^x-x-1}\text{(3 p)}.$$ Nedeterminarea persistă, deci se mai derivează o dată sus și jos: $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{e^x-1}=1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=50$, raportul $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ este egal cu $1$ până la a douăsprezecea zecimală. Explicația de fond: și numărătorul, și numitorul sunt dominate de $e^x$, care crește mai repede decât orice polinom, deci raportul lor tinde la raportul coeficienților lui $e^x$, adică la $1$. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hospital o singură dată și se anunță rezultatul, deși nedeterminarea nu a dispărut încă.)

c) (5 p) Se studiază semnul derivatei. Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=e^x-1>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $f^{\prime }$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$; cum $f^{\prime }(0)=0$, rezultă $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci funcția $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ (3 p).

Cele două numere din enunț sunt pozitive și se compară prin pătratele lor: $(2\sqrt{3}{)}^2=12<18=(3\sqrt{2}{)}^2$, deci $0<2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. O funcție strict crescătoare păstrează inegalitatea, prin urmare $$f\left(2\sqrt{3}\right)<f\left(3\sqrt{2}\right)\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $2\sqrt{3}\approx 3,464$ și $3\sqrt{2}\approx 4,243$, iar $f\left(2\sqrt{3}\right)\approx 21,48<55,35\approx f\left(3\sqrt{2}\right)$. Unde se greșește de obicei: se încearcă evaluarea directă a celor două valori, care conțin exponențiale de numere iraționale — imposibil fără calculator. A doua capcană: se compară $2\sqrt{3}$ cu $3\sqrt{2}$ „din ochi"; corect este să se ridice la pătrat, ambele fiind pozitive. Inegalitatea $e^x>x+1$ pentru $x>0$, demonstrată aici pe drumul derivatei a doua, este de reținut ca atare.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale definite și recurență.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrandul este un polinom, deci se integrează termen cu termen: $$I_1={\int }_0^1(1-x^2)dx=\left(x-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $$I_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,666667$. Interpretare geometrică: $I_1$ este aria de sub arcul de parabolă $y=1-x^2$ între $0$ și $1$, iar $\frac{2}{3}$ este exact două treimi din aria pătratului unitate — rezultatul lui Arhimede despre segmentul de parabolă.)

b) (5 p) Diferența celor doi termeni consecutivi se scrie ca o singură integrală, dând factor comun $(1-x^2{)}^n$: $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1(-x^2)(1-x^2{)}^{n}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Pentru orice număr natural nenul $n$ și pentru orice $x\in [0,1]$ avem $-x^2\le 0$ și $(1-x^2{)}^n\ge 0$, deci integrandul este cel mult zero pe tot intervalul; prin urmare integrala este cel mult zero, adică ${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$ (3 p).

(Cum apare factorul comun: $(1-x^2{)}^{n+1}-(1-x^2{)}^n=(1-x^2{)}^n[(1-x^2)-1]=-x^2(1-x^2{)}^n$. Control numeric: $I_1\approx 0,6667$, $I_2\approx 0,5333$, $I_3\approx 0,4571$ — șirul chiar scade. Unde se greșește de obicei: se compară integranzii fără a spune de ce inegalitatea se transmite integralelor; regula folosită este că, dacă $u\le v$ pe $[a,b]$ cu $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, luând drept factor derivat funcția $x$, adică scriind $1=(x{)}^{\prime }$: $$I_{n+1}={\int }_0^1(x{)}^{\prime }(1-x^2{)}^{n+1}dx=x(1-x^2{)}^{n+1}{|}_0^1-{\int }_0^{1}x(n+1)(1-x^2{)}^n(-2x)dx\text{(2 p)}.$$ Termenul din afara integralei se anulează la ambele capete, iar integrala rămasă se rescrie folosind $x^2=-\left[\right(1-x^2)-1]$, ceea ce face să reapară chiar $I_{n+1}$ și $I_n$: $$I_{n+1}=2(n+1){\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n}dx=-2(n+1){\int }_0^1(1-x^2-1\left)\right(1-x^2{)}^{n}dx=-2(n+1)(I_{n+1}-I_n),$$ de unde $I_{n+1}+2(n+1)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, adică $(2n+3){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}=2(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$, pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Control numeric pentru $n=1$: $5I_2\approx 2,6667$, iar $4I_1\approx 2,6667$. Pentru $n=3$: $9I_4\approx 3,6571$ și $8I_3\approx 3,6571$. Verificare independentă a formulei: din ea rezultă $I_2=\frac{4}{5}{I}_1=\frac{8}{15}$, iar calculul direct al integralei ${\int }_0^1(1-x^2{)}^{2}dx=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$ confirmă. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din derivata $\left[\right(1-x^2{)}^{n+1}{]}^{\prime }=(n+1)(1-x^2{)}^n\cdot (-2x)$ — el este cel care transformă minusul din integrarea prin părți în plus. A doua capcană: se oprește rezolvarea la ${\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n}dx$, fără să se observe că $x^2$ se poate scrie cu ajutorul lui $1-x^2$, ceea ce închide recurența.)