Bac M1 2016, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale pentru clasa a XII-a, dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în martie 2016. Documentul oficial nu poartă număr de variantă, ci doar mențiunea „Simulare"; el a fost publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul original. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. Simularea are exact formatul probei de examen — trei subiecte, 3 ore, 10 puncte din oficiu — și este momentul în care elevul află, în martie, ce mai are de recuperat până în iunie.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul simulării din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: egalitatea a două numere complexe, adică egalitatea părților reale și a celor imaginare — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: valoarea minimă $-\frac{\Delta }{4a}$ a unei funcții cu coeficient dominant pozitiv — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: schimbarea bazei, ${\log }_{x}3=\frac{1}{{\log }_{3}x}$, și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor favorabile pe cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coliniaritatea a trei puncte, citită din egalitatea pantelor — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: identitatea fundamentală și formula sinusului sumei — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant numeric, condiția de inversabilitate cu parametru și o ecuație matriceală $X\cdot A=B$ rezolvată prin înmulțire cu inversa — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma factorizată a legii, elementul absorbant și o ecuație în numere naturale obținută prin factorizare — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Asimptotă, tangentă, limită: asimptota orizontală ca limită la $+\infty$, punctul în care derivata se anulează și limita ${\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^n\to \frac{1}{e}$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și încadrarea unei integrale între două margini care tind la zero — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2016. Subiectul I nu are nicio cerință „de rutină": la itemul 1 egalitatea a două numere complexe trebuie desfăcută în două ecuații reale, la itemul 3 ecuația logaritmică cere schimbarea bazei, iar la itemul 6 expresia de gradul al doilea se reduce, după desfacerea pătratelor, la o singură ecuație trigonometrică. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, o ecuație matriceală — genul de cerință la care se pierd puncte pentru că se înmulțește din partea greșită — și, la problema 2, o lege de compoziție cu element absorbant: odată ce în șirul $1\ast 2\ast \dots \ast 2016$ apare numărul $4$, tot restul se prăbușește. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, trei instrumente diferite pe aceeași funcție (limită, derivată, limită de șir cu numărul $e$), iar la problema 2 trei integrale în care rescrierea integrandului face tot lucrul.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, iar cerința c) folosește descompunerea în factori a numărului $62$. Capitolul se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029; la noi, materia lui stă în unitatea „Legi de compoziție".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{6\pi }{7}$, $\frac{1}{e}$ și $1-\frac{2}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: egalitatea de numere complexe „rezolvată" fără separarea părții reale de cea imaginară; soluțiile ecuației logaritmice date fără condițiile de existență; ecuația matriceală rezolvată înmulțind cu inversa din partea greșită; asimptota orizontală scrisă fără limită și fără capătul precizat; încadrarea unei integrale făcută fără să se spună de ce funcțiile comparate sunt în ordinea aceea.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară; $z=0$ înseamnă $\mathrm{Re}z=0$ și $\mathrm{Im}z=0$. Funcția de gradul al doilea: pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a>0$, valoarea minimă este $-\frac{\Delta }{4a}$, atinsă în $x=-\frac{b}{2a}$. Logaritmi: ${\log }_{x}3=\frac{1}{{\log }_{3}x}$, cu condițiile $x>0$ și $x\ne 1$. Coliniaritate: trei puncte sunt coliniare exact când pantele a două dintre segmentele determinate coincid. Trigonometrie: ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ și $\sin (u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; ecuația $X\cdot A=B$ se rezolvă înmulțind la dreapta cu $A^{-1}$, adică $X=B\cdot A^{-1}$ — înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci partea contează.
• Legi de compoziție: forma $x\ast y=\alpha (x-u)(y-u)+u$ arată imediat că $u$ este element absorbant, pentru că $x\ast u=u$ pentru orice $x$; aceeași formă transformă o ecuație în lege într-o ecuație cu produs de factori întregi.
• Asimptote și derivate: dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finit; tangenta la grafic este paralelă cu axa absciselor exact în punctele în care $f^{\prime }(x)=0$.
• Limite și integrale: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$, deci ${\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}\to \frac{1}{e}$; Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$; iar dacă $0\le u(x)\le v(x)$ pe $[a,b]$, atunci $0\le {\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$ — criteriul cleștelui pentru integrale.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-mx+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Literele $a$, $b$ și $c$ sunt necunoscute reale la itemii $1$ și $5$, dar numere naturale la itemul $8$, subpunctul c), unde între ele există și o ordine impusă, $a<b<c$. Litera $m$ este parametru la itemii $2$ și $7$, în două probleme fără nicio legătură între ele.
• Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă de fiecare dată numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există niciun element neutru notat $e$, deși Subiectul al II-lea conține o lege de compoziție.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $(a+b)(i+1)=(a-b+1)(i-1)$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numerele reale $m$, pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+1$ are valoarea minimă egală cu $-3$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_{3}x={\log }_{x}3$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre pătrate perfecte.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,a)$, $B(0,-3)$ și $C(1,1)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $AB+BC=AC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $a\in (0,\pi )$, știind că ${\left(\sin \frac{\pi }{7}-\cos a\right)}^2+{\left(\cos \frac{\pi }{7}-\sin a\right)}^2=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& m\\ m& m& 1\\ 1& m& 1\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(1))$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$, pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $X\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right)$, unde $X\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-4x-4y+20$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2016$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $a$, $b$ și $c$, știind că $a<b<c$ și $a\ast b\ast c=66$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1,0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$.

a) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }(f(1)+f(2)+\dots +f(n){)}^n$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_2^4\frac{1}{\ln x}f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)}{x}dx=1-\frac{2}{e}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_1^e\frac{f(x)}{x^n}dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — egalitate de numere complexe.

Se desfac ambele produse și se trece totul în membrul stâng, grupând separat partea reală și partea imaginară. Din $(a+b)(i+1)=(a+b)+(a+b)i$ și $(a-b+1)(i-1)=-(a-b+1)+(a-b+1)i$ rezultă $$(2a+1)+(2b-1)i=0\text{(3 p)}.$$ Cum $a$ și $b$ sunt numere reale, un număr complex este nul exact când i se anulează amândouă părțile, deci $2a+1=0$ și $2b-1=0$; obținem $$\mathbf{a}=-\frac{1}{2},\mathbf{b}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Cum se ajunge la coeficienți: partea reală este $(a+b)+(a-b+1)=2a+1$, iar partea imaginară $(a+b)-(a-b+1)=2b-1$. Verificare: pentru $a=-\frac{1}{2}$ și $b=\frac{1}{2}$ avem $a+b=0$ și $a-b+1=0$, deci ambii membri ai egalității inițiale sunt zero. Unde se greșește de obicei: se „simplifică" prin $i+1$ și $i-1$, ca și cum ar fi numere egale, sau se pun egale doar părțile reale, uitând că egalitatea a două numere complexe înseamnă două ecuații.)

Itemul 2. (5 p) — valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea.

Coeficientul dominant este $1>0$, deci parabola are ramurile în sus și funcția are valoare minimă, egală cu $-\frac{\Delta }{4a}$. Discriminantul este $$\Delta =(-m{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație în $m$: $$-\frac{m^2-4}{4}=-3⟺m^2-16=0⟺\mathbf{m}=-4\text{ sau }\mathbf{m}=4\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $m=4$, funcția este $x^2-4x+1$, cu vârful în $x=2$ și $f(2)=4-8+1=-3$ — exact minimul cerut; pentru $m=-4$ vârful este în $x=-2$ și valoarea tot $-3$, prin simetrie. Unde se greșește de obicei: se scrie minimul ca $\frac{\Delta }{4a}$, fără semnul minus, sau se reține doar soluția pozitivă a ecuației $m^2=16$ — enunțul cere „numerele reale $m$", la plural.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență cer $x>0$ și $x\ne 1$, ca ambele logaritmuri să aibă sens. Cu formula de schimbare a bazei, ${\log }_{x}3=\frac{1}{{\log }_{3}x}$, ecuația devine o ecuație de gradul al doilea în necunoscuta ${\log }_{3}x$: $${\log }_{3}x=\frac{1}{{\log }_{3}x}⟹({\log }_{3}x+1)({\log }_{3}x-1)=0\text{(3 p)}.$$ Așadar ${\log }_{3}x=-1$ sau ${\log }_{3}x=1$, de unde $$\mathbf{x}=\frac{1}{3}\text{ sau }\mathbf{x}=3,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=3$, ambii membri sunt $1$; pentru $x=\frac{1}{3}$, ambii sunt $-1$, pentru că ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$ și ${\log }_{1/3}3=-1$. Ambele valori sunt strict pozitive și diferite de $1$, deci sunt acceptate. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{x}3={\log }_{3}x$ „prin simetrie" și se conchide direct $x=3$, pierzând soluția $\frac{1}{3}$; sau se uită condițiile de existență, fără de care schimbarea de bază nici n-ar avea sens.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre.

Sunt $90$ de numere naturale de două cifre — cele de la $10$ la $99$ — deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Pătratele perfecte de o cifră sunt $0$, $1$, $4$ și $9$. Cifra zecilor nu poate fi $0$, deci are $3$ alegeri, iar cifra unităților are toate cele $4$; prin urmare sunt $3\cdot 4=12$ numere naturale de două cifre care au ambele cifrele pătrate perfecte, adică sunt $12$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\text{(2 p)}.$$ (Lista completă, pentru control: $10$, $11$, $14$, $19$, $40$, $41$, $44$, $49$, $90$, $91$, $94$, $99$ — douăsprezece numere. Unde se greșește de obicei: se uită că $0$ este pătrat perfect ($0=0^2$) și se numără doar $3\cdot 3=9$ cazuri; sau se acceptă $0$ drept cifră a zecilor și se numără $4\cdot 4=16$, deși $01$ nu este număr de două cifre.)

Itemul 5. (5 p) — coliniaritate în reperul cartezian.

Egalitatea $AB+BC=AC$ spune că drumul de la $A$ la $C$ trecând prin $B$ are exact lungimea segmentului $AC$; asta se întâmplă doar dacă $B$ se află pe segmentul $AC$. Deci punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, iar pantele coincid: $$m_{AB}=m_{BC}\text{(2 p)}.$$ Scriind cele două pante cu coordonatele din enunț: $$\frac{-3-a}{0+1}=\frac{1+3}{1-0}⟺-3-a=4⟺\mathbf{a}=-7\text{(3 p)}.$$ (Control cu distanțe: pentru $a=-7$ avem $A(-1,-7)$, $AB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$, $BC=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$ și $AC=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ — într-adevăr $AB+BC=AC$, iar $B$ este chiar mijlocul lui $AC$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția de coliniaritate cu determinantul și se face o eroare de semn; sau se confundă $AB+BC=AC$ cu inegalitatea triunghiului, care este adevărată mereu — aici avem egalitate, iar ea este cazul degenerat.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Se desfac ambele pătrate și se folosesc, de două ori, identitatea fundamentală și formula sinusului sumei: $${\sin }^2\frac{\pi }{7}-2\sin \frac{\pi }{7}\cos a+{\cos }^{2}a+{\cos }^2\frac{\pi }{7}-2\cos \frac{\pi }{7}\sin a+{\sin }^{2}a=2⟺2-2\sin \left(\frac{\pi }{7}+a\right)=2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $\sin \left(\frac{\pi }{7}+a\right)=0$. Cum $a\in (0,\pi )$, argumentul se află în intervalul $\left(\frac{\pi }{7},\frac{8\pi }{7}\right)$, unde sinusul se anulează o singură dată, în $\pi$; din relația $\sin \left(\frac{\pi }{7}+a\right)=0$ obținem $$\frac{\pi }{7}+a=\pi ,\text{ deci }\mathbf{a}=\frac{6\pi }{7}\text{(2 p)}.$$ (De unde vine $2$-ul: ${\sin }^2\frac{\pi }{7}+{\cos }^2\frac{\pi }{7}=1$ și ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$, iar termenii dubli se strâng în $2\left(\sin \frac{\pi }{7}\cos a+\cos \frac{\pi }{7}\sin a\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{7}+a\right)$. Control numeric: pentru $a=\frac{6\pi }{7}\approx 2,6928$, expresia din enunț dă $2,000000$. Unde se greșește de obicei: se aplică formula cosinusului sumei în loc de a sinusului — reperul este că termenii amestecă sinus cu cosinus, deci este vorba de $\sin (u+v)$; a doua capcană este soluția $a=-\frac{\pi }{7}$, respinsă de condiția $a\in (0,\pi )$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și ecuație matriceală.

a) (5 p) Pentru $m=1$ matricea are ultimele două linii identice: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un determinant cu două linii identice este nul, deci $$\det (A(1))=0\text{(2 p)}.$$ (Cine preferă calculul: cu regula lui Sarrus se obține $2+1+1-1-2-1=0$ — aceeași valoare. Reper util: înainte de a începe calculul, merită o privire peste linii și coloane; două linii egale, o linie de zerouri sau o linie proporțională cu alta închid problema într-un rând.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă. Dezvoltând după linia întâi și grupând, $$\begin{array}{rl}& \det (A(m))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& m\\ m& m& 1\\ 1& m& 1\end{array}\right|\\ & =2(m-m)-(m-1)+m(m^2-m)\\ & =m^3-m^2-m+1\\ & =(m+1)(m-1{)}^2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Matricea $A(m)$ este inversabilă exact când $\det (A(m))\ne 0$, adică $(m+1)(m-1{)}^2\ne 0$, ceea ce înseamnă $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$ (3 p).

(Factorizarea, pas cu pas: $m^3-m^2-m+1=m^2(m-1)-(m-1)=(m-1)(m^2-1)=(m-1{)}^2(m+1)$. Control: pentru $m=1$ formula dă $0$, exact rezultatul de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se rezolvă $\det =0$ și se dau valorile lui $m$ pentru care matricea nu este inversabilă, în loc de complementara lor; enunțul cere valorile pentru care este.)

c) (5 p) Pentru $m=0$ matricea și inversa ei sunt $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),\det (A(0))\\ & =1\ne 0,(A(0){)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 2& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cum necunoscuta stă în stânga lui $A(0)$, se înmulțește la dreapta cu inversa: $$\begin{array}{rl}X& =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 2& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ & ⟹\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 9& -7\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control direct, fără inversă: $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 9& -7\end{array}\right)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right)$ — se verifică element cu element, iar linia a doua dă $(6+0-7,3+0+0,0+9-7)=(-1,3,2)$. Verificare a inversei: $A(0)\cdot (A(0){)}^{-1}=I_3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $X=(A(0){)}^{-1}\cdot B$, adică se înmulțește din stânga — dar înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar aici dimensiunile nici măcar nu s-ar potrivi: $3\times 3$ înmulțit cu $2\times 3$ nu are sens.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu element absorbant.

a) (5 p) Se scrie termenul liber ca $16+4$, ca să apară un factor comun: $$x\ast y=xy-4x-4y+16+4\text{(2 p)}.$$ Grupând primii doi termeni și pe următorii doi, $$x\ast y=x(y-4)-4(y-4)+4=(x-4)(y-4)+4,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control invers: $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$, exact legea din enunț. Unde se greșește de obicei: se verifică egalitatea pe o singură pereche de numere — enunțul cere „pentru orice numere reale", deci este vorba de o identitate, demonstrată prin calcul literal.)

b) (5 p) Forma de la subpunctul a) arată că numărul $4$ „înghite" orice partener: $x\ast 4=(x-4)\cdot 0+4=4$, și la fel $4\ast y=4$. Așadar $$x\ast 4=4\ast y=4,\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ Cum numărul $4$ apare în șirul dat, legea fiind asociativă putem grupa oricum; grupându-l cu tot ce îl precedă, restul se prăbușește: $$1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2016=((1\ast 2\ast 3)\ast 4)\ast (5\ast \dots \ast 2016)=4\ast (5\ast \dots \ast 2016)=4\text{(3 p)}.$$ (Cum se numește $4$: element absorbant al legii — analogul lui zero la înmulțire. Control pe un caz mic: $1\ast 2=2-4-8+20=10$, apoi $10\ast 3=30-40-12+20=-2$, apoi $-2\ast 4=-8+8-16+20=4$ — și de aici încolo rezultatul rămâne $4$, oricâți factori s-ar mai adăuga. Unde se greșește de obicei: se încearcă efectuarea compunerilor în ordine, fără să se observe absorbantul; sau se caută elementul neutru, care aici este $5$, nu $4$.)

c) (5 p) Compunând de două ori forma de la subpunctul a), factorii se înmulțesc și rămâne același $+4$ la coadă: $a\ast b\ast c=(a-4)(b-4)(c-4)+4$. Condiția din enunț devine $$(a-4)(b-4)(c-4)=62,\text{ unde }a,b\text{ și }c\text{ sunt numere naturale și }a<b<c\text{(1 p)}.$$ Cum $62=2\cdot 31$ și cei trei factori sunt întregi distincți, crescători și mai mari sau egali cu $-4$ (pentru că $a,b,c\ge 0$), există exact două descompuneri. Prima are doi factori negativi: $$\{\begin{array}{l}a-4=-2\\ b-4=-1\\ c-4=31\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\\ c=35\end{array}\text{(2 p)}.$$ A doua îi are pe toți pozitivi: $$\{\begin{array}{l}a-4=1\\ b-4=2\\ c-4=31\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=5\\ b=6\\ c=35\end{array}\text{(2 p)}.$$ (De ce nu mai există altele: divizorii întregi ai lui $62$ sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 31$ și $\pm 62$; produsul a trei dintre ei, distincți și cu produsul pozitiv, cere fie trei factori pozitivi, fie unul pozitiv și doi negativi. Factorii $-31$ și $-62$ sunt excluși de condiția $a-4\ge -4$, iar $62$ nu se poate combina cu alți doi factori distincți diferiți de $\pm 1$. Control: $(2-4)(3-4)(35-4)+4=(-2)(-1)(31)+4=66$ și $(5-4)(6-4)(35-4)+4=1\cdot 2\cdot 31+4=66$. Unde se greșește de obicei: se caută doar descompunerile cu factori pozitivi și se pierde prima soluție.)

Itemul 9. (15 p) — asimptotă orizontală, tangentă paralelă cu $Ox$ și o limită cu numărul $e$.

a) (5 p) Asimptota orizontală spre $+\infty$ este dreapta $y=\ell$, unde $\ell$ este limita funcției la $+\infty$, dacă ea este finită. Aici numitorul crește nemărginit, iar numărătorul este constant: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x(x+1)}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Control numeric: $f(1000)=\frac{1}{1000\cdot 1001}\approx 10^{-6}$, foarte aproape de zero. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „axa $Ox$ este asimptotă", fără să se calculeze limita — baremul punctează limita separat de concluzie; a doua capcană este omiterea capătului, pentru că o funcție poate avea asimptote orizontale diferite la $-\infty$ și la $+\infty$, aici întâmplător aceeași.)

b) (5 p) Tangenta este paralelă cu axa absciselor exact în punctele în care panta ei, adică derivata, este nulă. Derivând $f(x)=\frac{1}{x^2+x}$ cu regula raportului: $$f^{\prime }(x)=0⟺-\frac{2x+1}{x^2(x+1{)}^2}=0\text{(3 p)}.$$ O fracție este nulă doar când numărătorul este nul, deci $2x+1=0$; cum abscisa găsită este în domeniu, punctul se completează cu ordonata $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=-4$. Coordonatele punctului sunt $$\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{ și }\mathbf{y}=-4\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f(-0,49)\approx -4,0016$ și $f(-0,51)\approx -4,0016$ — valorile de o parte și de alta sunt egale și mai mari decât $-4$ în valoare absolută, semn că în $-\frac{1}{2}$ funcția are un maxim local, deci o tangentă orizontală. Unde se greșește de obicei: se dă doar abscisa, deși enunțul cere coordonatele punctului; sau se uită semnul minus din derivată, care nu schimbă însă soluția ecuației.)

c) (5 p) Fiecare termen se descompune în fracții simple, $f(k)=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, iar suma se telescopează; ce rămâne se recunoaște ca limita fundamentală care dă numărul $e$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^n\text{(3 p)}.$$ Baza tinde la $1$, exponentul la $+\infty$, deci este o nedeterminare de tipul $1^{\infty }$; scriind $1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$, limita devine inversul limitei fundamentale: $$=\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $n=200000$, expresia dă $0,3678804$, iar $\frac{1}{e}=0,3678794$. Unde se greșește de obicei: se calculează întâi limita bazei, se obține $1$ și se răspunde „$1$" — la nedeterminarea $1^{\infty }$ exponentul nu poate fi ignorat. Reper: forma ${\left(1+\frac{\alpha }{n}\right)}^n\to e^{\alpha }$; aici $\alpha =-1$, deci $e^{-1}$.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite cu $\frac{\ln x}{x}$.

a) (5 p) Factorul $\frac{1}{\ln x}$ se simplifică exact cu logaritmul din numărătorul lui $f$: $${\int }_2^4\frac{1}{\ln x}f(x)dx={\int }_2^4\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{\ln x}{x}dx={\int }_2^4\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_2^4\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și proprietatea logaritmului câtului, $$=\ln 4-\ln 2=\ln \frac{4}{2}=\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe $[2,4]$ avem $\ln x\ge \ln 2>0$, deci nu se împarte la zero. Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$, iar integrala calculată numeric dă $0,693147$. Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă pentru $\frac{1}{\ln x}$, care nu se exprimă prin funcții elementare — pasul zero al oricărei integrale este rescrierea integrandului.)

b) (5 p) Integrandul devine $\frac{\ln x}{x^2}$, iar $\frac{1}{x^2}$ este derivata lui $-\frac{1}{x}$; se integrează prin părți: $${\int }_1^e\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx={\int }_1^e{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\ln xdx=-\frac{1}{x}\ln x{|}_1^e+{\int }_1^e\frac{1}{x^2}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $-\frac{1}{e}$ în capătul de sus și $0$ în cel de jos, iar a doua integrală are primitiva $-\frac{1}{x}$: $$=-\frac{1}{e}-\frac{1}{x}{|}_1^e=-\frac{1}{e}+\left(-\frac{1}{e}+1\right)=1-\frac{2}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (De unde vine semnul plus dinaintea celei de-a doua integrale: prin părți, $\int u^{\prime }v=uv-\int u{v}^{\prime }$, iar aici $u=-\frac{1}{x}$ și $v=\ln x$, deci $-\int \left(-\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x}dx=+\int \frac{1}{x^2}dx$. Control numeric: $1-\frac{2}{e}\approx 0,264241$, iar integrala calculată numeric dă $0,264241$. Unde se greșește de obicei: se alege $u^{\prime }=\ln x$, ceea ce complică în loc să simplifice; regula practică este ca logaritmul să fie factorul derivat, nu cel integrat.)

c) (5 p) Integrandul este $\frac{f(x)}{x^n}=\frac{\ln x}{x^{n+1}}$. Pe intervalul de integrare, logaritmul este cuprins între $0$ și $1$, ceea ce dă o încadrare a integrandului: $$\text{Cum }x\in [1,e],\text{ obținem }0\le \ln x\le 1,\text{ deci }0\le \frac{\ln x}{x^{n+1}}\le \frac{1}{x^{n+1}},\text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitățile, iar marginea din dreapta se calculează exact și tinde la zero: $$0\le {\int }_1^e\frac{\ln x}{x^{n+1}}dx\le {\int }_1^e\frac{1}{x^{n+1}}dx=-\frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^n}-1\right)\text{ și, cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^n}-1\right)\right)=0,\text{ rezulta˘ }\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_1^e\frac{f(x)}{x^n}dx=0\text{(3 p)}.$$ (Cum se calculează marginea: ${\int }_1^e{x}^{-n-1}dx=\frac{x^{-n}}{-n}{|}_1^e=-\frac{1}{n}\left(e^{-n}-1\right)$, expresie care se comportă ca $\frac{1}{n}$ și tinde deci la zero. Control numeric: integrala din enunț dă $0,264241$ pentru $n=1$, $0,038383$ pentru $n=5$ și $0,000156$ pentru $n=80$ — scade spre zero. Unde se greșește de obicei: se încearcă o formulă închisă pentru integrala din enunț, care există dar nu ajută; criteriul cleștelui cere doar o margine simplă, iar $x^{-n-1}$ este cea mai simplă cu putință. A doua capcană este uitarea marginii de jos, $0$: fără ea, cleștele are o singură falcă.)