Bac M1 2016, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2016 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2016 a examenului național de bacalaureat — Varianta 01, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează, în a doua jumătate a lunii mai, pentru elevii care participă la olimpiade și competiții internaționale sau la concursuri sportive de nivel înalt; subiectul are exact aceeași structură și același grad de dificultate ca cel din sesiunea principală. Documentul a fost publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din original. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația citită din doi termeni consecutivi și termenul general — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor favorabile pe un interval de numere — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei determinate de un punct și de pantă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul isoscel: înălțimea din vârf, teorema lui Pitagora și sinusul unui unghi ascuțit — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, condiția de inversabilitate cu parametru și un sistem compatibil nedeterminat, din a cărui familie de soluții se alege una — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma factorizată a legii, elementul absorbant și o ecuație în numere naturale obținută prin factorizare — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie și numărul soluțiilor: derivarea unei funcții cu logaritm, tabelul de monotonie și numărarea rădăcinilor cu limitele la capete — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrală, volum și limită de integrale: simplificarea integrandului, formula volumului $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ și limita $n^2{\int }_n^{n+1}f$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2016. Subiectul I este scurt, dar itemul 6 iese din tiparul obișnuit: triunghiul nu este dreptunghic, deci sinusul se obține construind înălțimea, nu aplicând direct definiția. Subiectul al II-lea alege, la problema 1, tocmai valoarea care strică inversabilitatea: pentru $m=2$ determinantul se anulează, sistemul devine compatibil nedeterminat, iar cerința nu mai este „rezolvați", ci „alegeți din familia de soluții pe aceea care mai verifică o condiție". Problema 2 este o lege de compoziție cu element absorbant — odată apărut numărul $5$ în șirul $1\ast 2\ast \dots \ast 10$, restul se prăbușește. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul complet derivată → monotonie → numărul soluțiilor, iar la problema 2 un volum de rotație și o limită în care integrala se calculează exact, apoi se recunoaște limita fundamentală care dă numărul $e$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, iar cerința c) se reduce la o ecuație în numere naturale obținută prin factorizare. Capitolul se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029; la noi, materia lui stă în unitatea „Legi de compoziție".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln 2$ și $\frac{\pi }{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile; sinusul unui unghi calculat cu formula din triunghiul dreptunghic într-un triunghi care nu este dreptunghic; familia de soluții a sistemului scrisă fără parametru; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei; numărul soluțiilor afirmat fără limitele la capetele domeniului; volumul scris fără pătratul funcției sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: rația este diferența a doi termeni consecutivi, $r=a_2-a_1$, iar $a_n=a_1+(n-1)r$. Punct pe grafic: $A(x_0,y_0)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Ecuații exponențiale: se aduc ambii membri la aceeași bază, apoi $a^u=a^v\iff u=v$. Probabilități: numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Dreapta prin punct și pantă: $y-y_A=m(x-x_A)$. Triunghiul isoscel: înălțimea din vârful dintre laturile egale este și mediană, deci împarte baza în două părți egale.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar cu matricea $A$ pătratică are soluție unică exact când $\det A\ne 0$; când determinantul se anulează, sistemul este ori incompatibil, ori compatibil nedeterminat, iar în al doilea caz soluțiile se scriu ca o familie cu unul sau mai mulți parametri.
• Legi de compoziție: forma $x\ast y=\alpha (x-u)(y-u)+u$ arată imediat că $u$ este element absorbant, pentru că $x\ast u=u$ pentru orice $x$; aceeași formă transformă o ecuație în lege într-una cu produs de factori întregi.
• Derivate și monotonie: pe un interval pe care $f^{\prime }\le 0$, funcția este descrescătoare; pe unul pe care $f^{\prime }\ge 0$, crescătoare. O funcție continuă și strict monotonă pe un interval se anulează cel mult o dată acolo, iar dacă la capete limitele au semne contrare, se anulează exact o dată — de aici se numără rădăcinile.
• Integrale, volume și limite: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$ al graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ este $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; descompunerea în fracții simple, $\frac{1}{x(x-4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}\right)$; și limita fundamentală ${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\to e$, folosită la nedeterminarea $1^{\infty }$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+4$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=x^2-8\ln x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x(x-4)}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută reală la itemul $2$, dar la itemul $7$, subpunctul c), noi folosim litera $\alpha$ pentru parametrul familiei de soluții, ca să nu se ciocnească cu nimic din enunț. Litera $m$ este parametru al matricei la itemul $7$ și necunoscută naturală la itemul $8$, subpunctul c) — două roluri complet diferite, în două probleme fără legătură.
• Litera $n$ apare o singură dată, la itemul $8$, subpunctul c), ca al doilea număr natural căutat, și separat la itemul $10$, subpunctul c), ca indice al șirului. Numărul $\pi$ apare doar ca număr, în formula volumului; în această probă nu există nicio măsură de unghi exprimată cu $\pi$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=1$ și $a_2=4$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(1,a)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{x-2}=3^{2-x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu $30$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(0,3)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și are panta egală cu $1$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=10$, $AC=10$ și $BC=12$. Arătați că $\sin B=\frac{4}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}-m& 1& 1\\ 1& -m& 1\\ 1& 1& -m\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}-mx+y+z=-1\\ x-my+z=-1\\ x+y-mz=m\end{array}$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $m$, $m\ne -1$ și $m\ne 2$.

c) (5 puncte) Pentru $m=2$, determinați soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $x_0+2y_0+3z_0=9$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=-2xy+10x+10y-45$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10=5$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $m$ și $n$, pentru care $m\ast n=27$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x(x-4)}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_5^{10}(x-4)f(x)dx=\ln 2$.

b) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[5,6]\to \mathbb{R}$, $g(x)=xf(x)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2{\int }_n^{n+1}f(x)dx\right)=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația unei progresii aritmetice este diferența a doi termeni consecutivi: $$r=a_2-a_1=4-1=3\text{(2 p)}.$$ Al patrulea termen este primul plus trei rații: $$a_4=a_1+3r=1+3\cdot 3=10\text{(3 p)}.$$ (Control: progresia este $1$, $4$, $7$, $10$ — al patrulea termen este într-adevăr $10$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_4=a_1+4r=13$, adunând patru rații. Formula generală este $a_n=a_1+(n-1)r$, iar pentru $n=4$ coeficientul este $4-1=3$.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții de gradul al doilea.

Un punct aparține graficului unei funcții exact când coordonatele lui verifică formula funcției; pentru $A(1,a)$ aceasta înseamnă $f(1)=a$: $$f(1)=a⟹1^2+4=a\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculul, $$a=5\text{(2 p)}.$$ (Verificare: punctul este $A(1,5)$, iar $f(1)=1+4=5$ — chiar ordonata lui. Unde se greșește de obicei: se calculează $(1+4{)}^2$ sau $1^2+4^2$; formula funcției este $x^2+4$, deci se ridică la pătrat numai argumentul.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri au baze diferite, dar $9=3^2$, deci membrul stâng se scrie tot în baza $3$; funcția exponențială fiind injectivă, exponenții trebuie să fie egali: $$3^{2(x-2)}=3^{2-x}⟺2x-4=2-x\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi rămasă dă $3x=6$, deci $$x=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $x=2$, ambii membri sunt $9^0=1$ și $3^0=1$ — egale. Unde se greșește de obicei: se scrie $(3^2{)}^{x-2}=3^{x-2}$, uitând înmulțirea exponenților; sau se citește $9^{x-2}$ ca $9^x-2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre.

Sunt $90$ de numere naturale de două cifre — cele de la $10$ la $99$ — deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Sunt $21$ de numere naturale de două cifre care sunt mai mici sau egale cu $30$ — cele de la $10$ la $30$, adică $30-10+1$ — deci sunt $21$ de cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $30$ de cazuri favorabile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră — dar mulțimea din care se alege este cea a numerelor de două cifre, deci numărătoarea începe de la $10$. A doua capcană este uitarea lui $30$ însuși: enunțul spune „mai mic sau egal". Control: $\frac{21}{90}$ se simplifică prin $3$, iar $\frac{7}{30}\approx 0,233$ — puțin sub un sfert, ceea ce este plauzibil.)

Itemul 5. (5 p) — ecuația dreptei prin punct și pantă.

Ecuația dreptei care trece prin punctul $A(x_A,y_A)$ și are panta $m$ se scrie direct: $$y-3=1\cdot (x-0)\text{(3 p)}.$$ Desfăcând paranteza, $$\mathbf{y}=\mathbf{x}+3\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=0$ se obține $y=3$ — chiar punctul $A$; iar panta, adică coeficientul lui $x$, este $1$. Observație: punctul $A$ fiind pe axa $Oy$, ordonata lui este chiar termenul liber al ecuației, ceea ce dă un al doilea drum, la fel de scurt: $y=mx+n$ cu $m=1$ și $n=3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $y-0=1\cdot (x-3)$, adică se inversează coordonatele punctului.)

Itemul 6. (5 p) — sinusul unui unghi într-un triunghi isoscel.

Triunghiul are $AB=AC=10$, deci este isoscel cu vârful în $A$; înălțimea din $A$ este și mediană, deci piciorul ei $D$ este mijlocul lui $BC$ și $BD=6$. Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABD$: $$AD=8,\text{ unde }AD\perp BC,D\in BC\text{(2 p)}.$$ În triunghiul dreptunghic $ABD$, sinusul unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\text{(3 p)}.$$ (Cum iese $AD$: $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=100-36=64$. Control pe alt drum: cu teorema cosinusului în triunghiul $ABC$, $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{100+144-100}{240}=\frac{3}{5}$, iar $\sin B=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se aplică definiția sinusului direct în triunghiul $ABC$, care nu este dreptunghic; ca să apară un unghi drept trebuie construită înălțimea. A doua capcană este $BD=12$: piciorul înălțimii înjumătățește baza, deci $BD=6$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $m=0$ matricea are zerouri pe diagonala principală, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" sunt toate nule sau egale cu $1$, iar cele „ascendente" sunt nule: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =0+1+1-0-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe alt drum: dezvoltând după linia întâi, $-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-(0-1)+(1-0)=2$ — aceeași valoare.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă și se factorizează: $$\begin{array}{rl}& \det (A(m))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}-m& 1& 1\\ 1& -m& 1\\ 1& 1& -m\end{array}\right|\\ & =-m^3+1+1+m+m+m\\ & =-m^3+3m+2\\ & =(2-m)(m+1{)}^2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pentru orice număr real $m$, $m\ne -1$ și $m\ne 2$, obținem $\det (A(m))\ne 0$, deci matricea $A(m)$ este inversabilă (2 p).

(Control: pentru $m=0$ formula dă $2\cdot 1=2$, exact valoarea de la subpunctul a). Cum se ghicește factorizarea: $m=-1$ anulează polinomul $-m^3+3m+2$, deci $m+1$ este factor; împărțind, rămâne $-(m^2-m-2)=-(m-2)(m+1)$, de unde forma $(2-m)(m+1{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se dau valorile pentru care matricea nu este inversabilă, în loc de complementara lor.)

c) (5 p) Pentru $m=2$ determinantul se anulează, deci sistemul nu mai are soluție unică. Scăzând prima ecuație din a doua se obține $3x-3y=0$, adică $x=y$; înlocuind în prima, $-2x+x+z=-1$, deci $z=x-1$, iar a treia ecuație se verifică identic. Așadar sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt de forma $$(1+\alpha ,1+\alpha ,\alpha ),\text{ unde }\alpha \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Impunând condiția suplimentară din enunț se fixează parametrul: $$\begin{array}{rl}& \text{Cum }{x}_0+2y_0+3z_0\\ & =9⟺1+\alpha +2(1+\alpha )+3\alpha =9⟺\alpha =1,\\ & \text{ soluția sistemului care verifica˘ relația este }(2,2,1)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare completă: pentru $(2,2,1)$ ecuațiile devin $-4+2+1=-1$, $2-4+1=-1$ și $2+2-2=2$ — toate trei se verifică, iar $2+4+3=9$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui Cramer fără să se observe că pentru $m=2$ determinantul este zero, deci formulele nici nu au sens; sau se scrie o singură soluție particulară, fără parametru, și apoi nu mai există din ce alege.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu element absorbant.

a) (5 p) Se scrie termenul liber ca $-50+5$, ca să apară un factor comun: $$x\ast y=-2xy+10x+10y-50+5\text{(2 p)}.$$ Grupând primii doi termeni și pe următorii doi, $$x\ast y=-2x(y-5)+10(y-5)+5=-2(x-5)(y-5)+5,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control invers: $-2(x-5)(y-5)+5=-2(xy-5x-5y+25)+5=-2xy+10x+10y-50+5$, exact legea din enunț. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus la desfacerea produsului, sau se verifică identitatea pe o singură pereche de numere, deși enunțul cere „pentru orice numere reale".)

b) (5 p) Forma de la subpunctul a) arată că numărul $5$ „înghite" orice partener: $x\ast 5=-2(x-5)\cdot 0+5=5$, și la fel $5\ast y=5$. Așadar $$x\ast 5=5\ast y=5,\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ Cum numărul $5$ apare în șirul dat, legea fiind asociativă putem grupa oricum; grupându-l cu tot ce îl precedă, restul se prăbușește: $$((1\ast 2\ast 3\ast 4)\ast 5)\ast 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10=5\ast (6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10)=5\text{(3 p)}.$$ (Cum se numește $5$: element absorbant al legii — analogul lui zero la înmulțire. Control pe un caz mic: $1\ast 2=-4+10+20-45=-19$, apoi $-19\ast 3=114-190+30-45=-91$, apoi $-91\ast 4=728-910+40-45=-187$, iar $-187\ast 5=1870-1870+50-45=5$ — de aici încolo rezultatul rămâne $5$. Unde se greșește de obicei: se încearcă efectuarea compunerilor în ordine, fără să se observe absorbantul; sau se caută elementul neutru, care aici este $\frac{11}{2}$, nu $5$.)

c) (5 p) Se folosește forma de la subpunctul a) și se trece totul într-un produs de doi factori: $$-2(m-5)(n-5)+5=27⟺(m-5)(n-5)=-11\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, fiecare factor este un întreg mai mare sau egal cu $-5$; numărul $11$ fiind prim, singurele descompuneri posibile ale lui $-11$ în doi asemenea factori sunt $(-1)\cdot 11$ și $11\cdot (-1)$, deci obținem $$\mathbf{m}=4,\mathbf{n}=16\text{ sau }\mathbf{m}=16,\mathbf{n}=4\text{(3 p)}.$$ (De ce nu mai există altele: divizorii întregi ai lui $-11$ sunt $\pm 1$ și $\pm 11$, iar perechile cu produsul $-11$ sunt $(1,-11)$, $(-1,11)$, $(11,-1)$ și $(-11,1)$; primele două componente egale cu $-11$ ar da $m=-6$, respectiv $n=-6$, numere care nu sunt naturale. Control: $4\ast 16=-128+40+160-45=27$. Unde se greșește de obicei: se împarte greșit la $-2$ și se obține $(m-5)(n-5)=11$, adică semnul opus; sau se dă o singură pereche, deși legea este comutativă și cerința nu impune nicio ordine între $m$ și $n$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și numărul soluțiilor unei ecuații.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, folosind $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{8}{x}\text{(2 p)}.$$ Aducând la același numitor și descompunând diferența de pătrate de la numărător: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-8}{x}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=4$ formula dă $\frac{2\cdot 2\cdot 6}{4}=6$, iar raportul incremental $\frac{f(4,001)-f(3,999)}{0,002}$ dă tot $6,000$. Unde se greșește de obicei: se derivează $8\ln x$ ca $\frac{8}{\ln x}$ sau ca $\frac{1}{x}$, uitând coeficientul; iar la factorizare se scrie $2(x^2-8)$ în loc de $2x^2-8=2(x^2-4)$.)

b) (5 p) Se caută întâi punctele în care derivata se anulează. Pe domeniu, numitorul și factorul $x+2$ sunt strict pozitivi, deci semnul derivatei este dat doar de $x-2$: $$\text{Cum }x\in (0,+\infty ),f^{\prime }(x)=0⟺x=2\text{(1 p)}.$$ Pe intervalul din stânga derivata este negativă: $$x\in (0,2]⟹f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,2]\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul din dreapta derivata este pozitivă: $$x\in [2,+\infty )⟹f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (De ce $x=-2$ nu contează: rădăcina $-2$ a numărătorului este în afara domeniului $(0,+\infty )$, deci pe domeniu factorul $x+2$ nu-și schimbă semnul. Control numeric: $f^{\prime }(1)=\frac{2(-1)(3)}{1}=-6<0$ și $f^{\prime }(3)=\frac{2\cdot 1\cdot 5}{3}=\frac{10}{3}>0$. Unde se greșește de obicei: se dau intervalele deschise, deși în $x=2$ funcția este definită și continuă, deci punctul intră în ambele intervale de monotonie; sau se citește semnul derivatei fără să se observe că $x>0$ pe tot domeniul.)

c) (5 p) Se calculează limitele la capetele domeniului. La capătul din stânga logaritmul tinde la $-\infty$, deci $-8\ln x$ tinde la $+\infty$; la $+\infty$ termenul $x^2$ domină logaritmul: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(x^2-8\ln x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left(1-\frac{8\ln x}{x^2}\right)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Minimul funcției este atins în $x=2$ și este negativ, deci funcția — continuă și strict monotonă pe fiecare dintre cele două intervale — traversează o dată axa pe fiecare: $$\text{Cum }f(2)<0,\text{ ecuația }f(x)=0\text{ are doua˘ soluții reale distincte}\text{(3 p)}.$$ (De ce $f(2)<0$: $f(2)=4-8\ln 2\approx 4-5,545=-1,545$. Control numeric: rădăcinile sunt aproximativ $1,1957$ și $2,9348$, ambele în domeniu, câte una de fiecare parte a lui $2$. De ce sunt exact două, nici mai multe, nici mai puține: pe $(0,2]$ funcția scade de la $+\infty$ la $f(2)<0$, deci se anulează exact o dată; pe $[2,+\infty )$ crește de la $f(2)<0$ la $+\infty$, deci tot exact o dată. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f(2)<0$, fără limitele la capete — atunci nimic nu garantează că funcția revine deasupra axei.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, volum de rotație și limită de integrale.

a) (5 p) Factorul $x-4$ se simplifică exact cu numitorul funcției: $${\int }_5^{10}(x-4)f(x)dx={\int }_5^{10}\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_5^{10}\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și proprietatea logaritmului câtului, $$=\ln 10-\ln 5=\ln \frac{10}{5}=\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe $[5,10]$ avem $x-4\ge 1>0$; capătul $4$, exclus din domeniu, nu intră în interval. Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$, iar integrala calculată numeric dă $0,693147$. Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă a lui $f$ prin fracții simple înainte de a înmulți cu $x-4$ — pasul zero al oricărei integrale este rescrierea integrandului.)

b) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit; factorul $x$ se simplifică: $$g(x)=\frac{1}{x-4},\text{ deci }V=\pi {\int }_5^6{g}^2(x)dx=\pi {\int }_5^6\frac{1}{(x-4{)}^2}dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva lui $\frac{1}{(x-4{)}^2}$ este $-\frac{1}{x-4}$, deci $$V=\pi \left(-\frac{1}{x-4}\right){|}_5^6=\pi \left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pi }{2}\text{(3 p)}.$$

(Formula volumului conține pătratul funcției — este cea mai frecventă greșeală la acest tip de cerință. Control numeric: $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$, iar integrala calculată numeric și înmulțită cu $\pi$ dă $1,570796$. A doua capcană este semnul: primitiva $-\frac{1}{x-4}$ este negativă la ambele capete, dar diferența iese pozitivă — cum și trebuie, volumul fiind pozitiv.)

c) (5 p) Pentru $n>4$ intervalul de integrare este inclus în domeniu. Integrandul se descompune în fracții simple, $\frac{1}{x(x-4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}\right)$, iar integrala se calculează exact: $$\text{Pentru }n>4,{\int }_n^{n+1}f(x)dx=\frac{1}{4}{\int }_n^{n+1}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{n^2-3n}{n^2-3n-4}\text{(2 p)}.$$ Notând $t=\frac{n^2-3n-4}{4}$, expresia de sub limită devine $\ln {\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{\frac{n^2}{4}\cdot \frac{4}{n^2-3n-4}\cdot t}$, iar baza tinde la $e$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2{\int }_n^{n+1}f(x)dx\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\ln {\left({\left(1+\frac{4}{n^2-3n-4}\right)}^{\frac{n^2-3n-4}{4}}\right)}^{\frac{n^2}{n^2-3n-4}}=\ln e=1\text{(3 p)}.$$ (De unde vine raportul de sub logaritm: $\frac{1}{4}\left(\ln \frac{n-3}{n+1}-\ln \frac{n-4}{n}\right)=\frac{1}{4}\ln \frac{n(n-3)}{(n+1)(n-4)}=\frac{1}{4}\ln \frac{n^2-3n}{n^2-3n-4}$. Al doilea exponent tinde la $1$, iar paranteza ridicată la $\frac{n^2-3n-4}{4}$ este chiar forma ${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\to e$. Drum alternativ, mai scurt: funcția $f$ este descrescătoare pe $(4,+\infty )$, deci $f(n+1)\le {\int }_n^{n+1}f\le f(n)$; înmulțind cu $n^2$, marginile sunt $\frac{n^2}{(n+1)(n-3)}$ și $\frac{n^2}{n(n-4)}$, amândouă cu limita $1$ — criteriul cleștelui închide problema. Control numeric: pentru $n=10000$, expresia dă $1,000300$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct că integrala „se comportă ca $\frac{1}{n^2}$" fără nicio justificare — la o nedeterminare $\infty \cdot 0$ trebuie fie calculul exact, fie o încadrare.)