Bac M1 2017, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 10, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea și relațiile lui Viète: suma și produsul rădăcinilor, scrise cu parametrul din ecuație — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: adunarea a doi logaritmi în aceeași bază și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele de două cifre al căror produs al cifrelor este dat — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: condiția de coliniaritate a doi vectori, scrisă ca proporție între componente — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula fundamentală și formula sinusului unghiului dublu — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant cu parametru, o ecuație de gradul al doilea obținută dintr-un produs de determinanți și o ecuație matriceală rezolvată cu inversa — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, relațiile lui Viète folosite pentru suma pătratelor diferențelor rădăcinilor și condiția ca toate rădăcinile să fie reale — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și monotonie: derivarea unei sume cu exponențială, ecuația tangentei într-un punct și demonstrarea monotoniei prin studiul derivatei a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: primitiva unei puteri a unui binom, integrarea prin părți și o ecuație exponențială obținută dintr-o condiție pe arie — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2017. Subiectul I este format din cerințe de o singură idee fiecare, dar două dintre ele au o capcană de redactare: la ecuația logaritmică se pierd puncte dacă nu se elimină soluția $x=-5$, iar la probabilități dacă nu se numără toate cele patru cazuri favorabile. Subiectul al II-lea este cel mai „tehnic" din sesiune: la problema 1, subpunctul c) cere o ecuație matriceală rezolvată cu inversa unei matrice de ordinul al treilea — singurul loc din probă unde se calculează o matrice adjunctă. Problema 2 folosește relațiile lui Viète într-o direcție neobișnuită: nu pentru a afla rădăcinile, ci pentru a arăta că o sumă de pătrate este egală cu un număr negativ, de unde iese, la subpunctul c), singura valoare a parametrului. Subiectul al III-lea începe cu inegalitatea $e^x\ge x+1$ deghizată în „funcția este crescătoare" și se încheie cu o arie care depinde de un parametru natural, adusă la ecuația $3^{n+1}=243$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2e-1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția negativă păstrată la ecuația logaritmică; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația matriceală „simplificată" prin împărțire la o matrice; concluzia „funcția este crescătoare" fără studiul semnului derivatei; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; adunarea și înmulțirea se fac ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Relațiile lui Viète pentru $a{x}^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, cu condițiile $u>0$ și $v>0$; ${\log }_{a}u=b\iff u=a^b$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$ și $\vec{v}=c\vec{i}+d\vec{j}$ sunt coliniari exact când $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$, adică $ad-bc=0$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; $\det (AB)=\det A\cdot \det B$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, iar atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este adjuncta, transpusa matricei complemenților algebrici. Ecuația $AX=B$ se rezolvă înmulțind la stânga cu $A^{-1}$: $X=A^{-1}B$.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; identitatea $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; o sumă de pătrate de numere reale este nenegativă și se anulează doar când toți termenii sunt nuli.
• Derivate: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$; o funcție cu derivata nenegativă pe un interval este crescătoare pe acel interval. Inegalitatea-cheie a acestei probe, $e^x\ge x+1$, se demonstrează exact cu derivata a doua.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int (x+c{)}^{n}dx=\frac{(x+c{)}^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=2e^x-x^2-2x-2$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=(x+2{)}^n$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ are patru roluri: necunoscută la itemii $2$ și $3$ (unde apare și indexată, $x_1$ și $x_2$), parametru al familiei de matrice la itemul $7$, indexată din nou ca rădăcină a polinomului la itemul $8$ și variabilă la itemii $6$, $9$ și $10$. Litera $X$ de la itemul $8$ este nedeterminata polinomului, iar litera $X$ de la itemul $7$, subpunctul c), este o matrice necunoscută — două obiecte fără nicio legătură, scrise cu același simbol.
• Litera $m$ este parametru la itemii $2$ și $8$, dar în ecuații diferite; litera $n$ apare doar la itemul $10$ și este un număr natural nenul, exponentul din definiția funcției. Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă numărul lui Euler, baza logaritmului natural.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=2+3i$ și $z_2=1+2i$. Arătați că $2z_1-3z_2=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-3mx+2=0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că $x_1+x_2+x_1{x}_2+1=0$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4(x+3)+{\log }_4(x-3)=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $6$.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}-3\vec{j}$ sunt coliniari.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\sin x-\cos x{)}^2+\sin 2x=1$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ x+1& 1& 1\\ 1& x& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-1$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x))\cdot \det (A(x+1))=12$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(2)\cdot X=A(0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=-1$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2=-4(m-1{)}^2$, pentru orice număr real $m$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2e^x-x^2-2x-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2(e^x-x-1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+2{)}^n$, unde $n$ este număr natural nenul.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-2}^1(x+2{)}^{2}dx=9$.

b) (5 puncte) Pentru $n=1$, arătați că ${\int }_0^{1}f(x)e^{x}dx=2e-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=1$ are aria egală cu $\frac{242}{n+1}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiesc cele două numere și se desfac parantezele, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$2z_1-3z_2=2(2+3i)-3(1+2i)\text{(2 p)}.$$ Desfăcând și reducând termenii cu $i$, $$2z_1-3z_2=4+6i-3-6i=1\text{(3 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $6-6=0$, iar partea reală $4-3=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus la distribuirea lui $-3$ peste al doilea termen, adică se scrie $-3+6i$.)

Itemul 2. (5 p) — relațiile lui Viète pentru o ecuație de gradul al doilea.

Ecuația $x^2-3mx+2=0$ are coeficienții $a=1$, $b=-3m$, $c=2$, deci relațiile lui Viète dau suma și produsul rădăcinilor fără să fie nevoie de rezolvare: $$x_1+x_2=3m,x_1{x}_2=2⟹x_1+x_2+x_1{x}_2+1=3m+3\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $3m+3=0$, de unde $$m=-1\text{(2 p)}.$$ (Verificare completă: pentru $m=-1$ ecuația este $x^2+3x+2=0$, cu rădăcinile $-1$ și $-2$; într-adevăr $-1-2+2+1=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1+x_2=-3m$, uitând că formula este $-\frac{b}{a}$, iar $b$ este deja $-3m$, deci cele două minusuri se anulează.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Cei doi logaritmi au aceeași bază, deci se adună într-unul singur, iar egalitatea ${\log }_{4}u=2$ înseamnă $u=4^2$: $${\log }_4((x+3)(x-3))=2⟹x^2-9=4^2⟹x^2-25=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=-5$, care nu convine, și $x=5$, care convine (2 p).

(Motivul respingerii: pentru $x=-5$ ambele expresii de sub logaritmi ar fi negative, iar logaritmul cere argument strict pozitiv. Condițiile de existență sunt $x+3>0$ și $x-3>0$, adică $x>3$ — de aici se vede din prima că doar o soluție poate rămâne. Unde se greșește de obicei: se dau ambele rădăcini, pentru că „ecuația de gradul al doilea are două soluții"; la ecuațiile logaritmice, verificarea condițiilor de existență este parte din soluție. Control: ${\log }_{4}8+{\log }_{4}2={\log }_{4}16=2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Un număr de două cifre are produsul cifrelor egal cu $6$ exact când perechea cifrelor este $(1,6)$, $(2,3)$, $(3,2)$ sau $(6,1)$, deci numerele sunt $16$, $23$, $32$ și $61$: sunt patru cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scapă una dintre perechile „răsturnate" — $23$ și $32$ sunt numere diferite, la fel $16$ și $61$. Control: descompunerile lui $6$ în produs de două cifre nenule sunt $1\cdot 6$ și $2\cdot 3$, fiecare dând câte două numere, deci exact patru. Cifra $0$ nu poate apărea, pentru că ar face produsul nul.)

Itemul 5. (5 p) — coliniaritatea a doi vectori.

Doi vectori sunt coliniari exact când componentele lor sunt proporționale. Pentru $\vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}-3\vec{j}$: $$\frac{a}{3}=\frac{2}{-3}\text{(3 p)}.$$ Înmulțind în cruce, $-3a=6$, deci $$a=-2\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, cel mai sigur când o componentă ar putea fi nulă: coliniaritatea înseamnă că determinantul componentelor se anulează, $\left|\begin{array}{cc}a& 2\\ 3& -3\end{array}\right|=-3a-6=0$, cu aceeași soluție. Verificare: $\vec{u}=-2\vec{i}+2\vec{j}$ este exact $-\frac{2}{3}\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția „încrucișat", $\frac{a}{2}=\frac{3}{-3}$, ceea ce ar da $a=-2$ din întâmplare aici, dar este o regulă falsă; componentele se pun în ordinea $\frac{\text{prima lui }\vec{u}}{\text{prima lui }\vec{v}}=\frac{\text{a doua lui }\vec{u}}{\text{a doua lui }\vec{v}}$.)

Itemul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Se desface pătratul și se înlocuiește $\sin 2x=2\sin x\cos x$: $$(\sin x-\cos x{)}^2+\sin 2x={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\text{(3 p)}.$$ Termenii $-2\sin x\cos x$ și $+2\sin x\cos x$ se reduc, iar formula fundamentală încheie: $$(\sin x-\cos x{)}^2+\sin 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci primul termen este $0$, iar $\sin \frac{\pi }{2}=1$; suma este $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$, adică se aplică formula diferenței de pătrate în loc de pătratul diferenței.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+1+0-1-0-1\\ & =-1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Un drum mai scurt, valabil pentru orice $x$: se scade prima linie din a doua și rămâne linia $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$, care simplifică dezvoltarea. De acolo iese formula generală $\det (A(x))=x-1$, folosită imediat la subpunctul b); pentru $x=0$ ea dă $-1$, exact valoarea de mai sus.)

b) (5 p) Se calculează întâi determinantul general. Scăzând prima linie din a doua, a doua linie devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$, iar dezvoltarea după ea dă $\det (A(x))=x-1$; înlocuind $x$ cu $x+1$ se obține $\det (A(x+1))=x$, deci condiția din enunț devine $$\begin{array}{rl}& \det (A(x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ x+1& 1& 1\\ 1& x& 1\end{array}\right|\\ & =x-1,\det (A(x+1))\\ & =x⟹(x-1)x=12\text{(3 p)}.\end{array}$$ Ecuația $x^2-x-12=0$ are discriminantul $\Delta =1+48=49$, deci $$x=-3\text{ sau }x=4\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=4$ avem $\det (A(4))=3$ și $\det (A(5))=4$, iar $3\cdot 4=12$; pentru $x=-3$ avem $-4$ și $-3$, iar $(-4)(-3)=12$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\det (A(x+1))$ înlocuind greșit, adică $x+1-1$ scris ca $x+1$; formula generală se aplică punând $x+1$ peste tot unde apare $x$.)

c) (5 p) Matricea $A(2)$ are determinantul $2-1=1\ne 0$, deci este inversabilă, iar inversa ei se calculează cu adjuncta: $$\begin{array}{rl}A(2)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 3& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right),\det (A(2))\\ & =1\ne 0,(A(2){)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -2& 1& 1\\ 5& -3& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Înmulțind ecuația $A(2)\cdot X=A(0)$ la stânga cu inversa, rezultă $$\begin{array}{rl}X& =(A(2){)}^{-1}\cdot A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -2& 1& 1\\ 5& -3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -4& 2& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare directă, obligatorie la o ecuație matriceală: $A(2)\cdot X$ are pe prima linie $2\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot (-4)=0$, apoi $1\cdot (-1)+1\cdot 2=1$, apoi $1$ — adică exact prima linie a lui $A(0)$; la fel ies și celelalte două linii. Unde se greșește de obicei: se înmulțește la DREAPTA cu inversa, adică se scrie $X=A(0)\cdot (A(2){)}^{-1}$ — înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar $A(2)$ stă în stânga lui $X$, deci inversa se pune tot la stânga. A doua capcană este adjuncta: ea este transpusa matricei complemenților algebrici, nu matricea lor.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3-(m+2)\cdot 0^2+(m^2+2)\cdot 0-1\text{(2 p)}.$$ Toți termenii care conțin $X$ se anulează, deci rămâne doar termenul liber: $$f(0)=0-0+0-1=-1,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ (Regula generală, folositoare la orice polinom: $f(0)$ este întotdeauna termenul liber, iar $f(1)$ este suma coeficienților. Aici termenul liber este $-1$, independent de parametru — de aceea concluzia este valabilă pentru orice $m$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea dau suma rădăcinilor și suma produselor luate câte două, iar din ele se obține suma pătratelor: $$x_1+x_2+x_3=m+2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m^2+2⟹x_1^2+x_2^2+x_3^2=-m^2+4m\text{(3 p)}.$$ Desfăcând cele trei pătrate din enunț și grupând, expresia cerută se scrie cu aceleași două sume: $$(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2=2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=2(-m^2+4m-m^2-2)=-4(m-1{)}^2\text{(2 p)}.$$ (Cum s-a obținut suma pătratelor: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=(m+2{)}^2-2(m^2+2)=m^2+4m+4-2m^2-4=-m^2+4m$. Control numeric, pe $m=0$: polinomul devine $X^3-2X^2+2X-1=(X-1)(X^2-X+1)$, iar expresia din enunț iese $-4$, exact $-4(0-1{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din desfacerea pătratelor, sau se confundă $(\sum x_i{)}^2$ cu $\sum x_i^2$.)

c) (5 p) Dacă toate rădăcinile sunt numere reale, atunci și diferențele lor sunt reale, iar o sumă de pătrate de numere reale este nenegativă: $$x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}⟹(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2\ge 0,\text{ deci }(m-1{)}^2\le 0\text{(2 p)}.$$ Un pătrat este cel mult zero doar dacă este chiar zero, deci $$m=1,\text{ caz ıˆn care toate ra˘da˘cinile polinomului }f\text{ sunt numere reale}\text{(3 p)}.$$ (Baremul nu detaliază verificarea, dar ea este partea care închide raționamentul: pentru $m=1$ polinomul devine $f=X^3-3X^2+3X-1=(X-1{)}^3$, cu rădăcina triplă $x_1=x_2=x_3=1$ — toate reale, cum trebuia. Legătura cu subpunctul b): din $-4(m-1{)}^2\ge 0$ rezultă $(m-1{)}^2\le 0$, iar egalitatea $m=1$ înseamnă chiar că toate diferențele sunt nule, adică rădăcinile coincid. Unde se greșește de obicei: se opresc la „$(m-1{)}^2\le 0$" fără să spună că un pătrat real este nenegativ, deci singura posibilitate este zero.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și monotonie.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, folosind $(e^x{)}^{\prime }=e^x$: $$f^{\prime }(x)=(2e^x{)}^{\prime }-(x^2{)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }-(2{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Efectuând derivatele și dând factor comun pe $2$: $$f^{\prime }(x)=2e^x-2x-2=2(e^x-x-1),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=2(e-2)\approx 1,4366$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $1,4366$. Unde se greșește de obicei: se derivează constanta $-2$ ca $-2$ în loc de $0$, sau se scrie $(2e^x{)}^{\prime }=2x{e}^{x-1}$, aplicând regula puterii unde nu este cazul.)

b) (5 p) Se calculează cele două valori care intră în ecuația tangentei: $$f(0)=2\cdot 1-0-0-2=0,f^{\prime }(0)=2(1-0-1)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=0$ este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y-0=0\cdot x$, deci dreapta este $$\mathbf{y}=0\text{(3 p)}.$$ (Tangenta este chiar axa $Ox$: graficul o atinge în origine și, cum vom vedea la subpunctul c), rămâne deasupra ei de o parte și dedesubt de cealaltă. Unde se greșește de obicei: se sare peste calculul lui $f(0)$ și se scrie direct „$y=f^{\prime }(0)x$", ceea ce nimerește aici doar pentru că $f(0)=0$; formula completă cere ambele valori.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ nu se citește direct, așa că se studiază derivata a doua: $$f^{\prime \prime }(x)=2(e^x-1),x\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$ Pe intervalul din stânga lui zero, exponențiala este subunitară: $$x\in (-\infty ,0]⟹f^{\prime \prime }(x)\le 0,\text{ deci }{f}^{\prime }\text{ este descresca˘toare pe }(-\infty ,0]\text{(1 p)}.$$ Pe intervalul din dreapta, exponențiala depășește $1$: $$x\in [0,+\infty )⟹f^{\prime \prime }(x)\ge 0,\text{ deci }{f}^{\prime }\text{ este cresca˘toare pe }[0,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $x=0$ este punct de minim pentru $f^{\prime }$, deci $f^{\prime }(x)\ge f^{\prime }(0)$ pentru orice număr real $x$; cum $f^{\prime }(0)=0$, rezultă $f^{\prime }(x)\ge 0$ peste tot, deci funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Ce s-a demonstrat, de fapt: inegalitatea clasică $e^x\ge x+1$, valabilă pentru orice număr real $x$, cu egalitate doar în $x=0$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea inecuației $e^x-x-1\ge 0$ „direct", prin logaritmare — nu se poate, pentru că cei doi termeni nu se separă; drumul este studiul derivatei a doua. Control numeric: $f^{\prime }(-2)=2(e^{-2}+1)\approx 2,27>0$ și $f^{\prime }(2)=2(e^2-3)\approx 8,78>0$, iar $f^{\prime }(0)=0$ este într-adevăr minimul.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și arie cu parametru.

a) (5 p) O primitivă a lui $(x+2{)}^2$ se obține cu formula puterii, pentru că derivata lui $x+2$ este $1$: $${\int }_{-2}^1(x+2{)}^{2}dx=\frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_{-2}^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, $x=1$ dă $3^3=27$, iar $x=-2$ dă $0$: $${\int }_{-2}^1(x+2{)}^{2}dx=\frac{3^3}{3}-0=9\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată numeric pe $[-2,1]$ dă $9,000$. Unde se greșește de obicei: se desface $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ și se integrează termen cu termen — corect, dar de trei ori mai lung; sau se uită împărțirea la $3$ din primitivă.)

b) (5 p) Pentru $n=1$ funcția este $f(x)=x+2$, iar integrala se calculează prin părți, luând $u=x+2$ și $v^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^1(x+2)e^{x}dx=(x+2)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=3e-2-e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind și în ultima paranteză, $${\int }_0^1(x+2)e^{x}dx=3e-2-e+1=2e-1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $2e-1\approx 4,43656$, iar integrala calculată numeric dă $4,436564$. Al doilea control, prin derivare înapoi: $((x+1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$, deci o primitivă este $(x+1)e^x$, iar $2e-1\cdot 1=2e-1$. Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile la integrarea prin părți și se derivează $e^x$ în loc să fie integrat — atunci calculul nu se mai termină.)

c) (5 p) Pe intervalul $[-1,1]$ avem $x+2\in [1,3]$, deci $f(x)=(x+2{)}^n>0$; funcția fiind continuă și pozitivă, aria este chiar integrala, fără modul: $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^1(x+2{)}^{n}dx=\frac{(x+2{)}^{n+1}}{n+1}{|}_{-1}^1=\frac{3^{n+1}-1}{n+1}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț se scrie acum ca o egalitate de fracții cu același numitor: $$\frac{3^{n+1}-1}{n+1}=\frac{242}{n+1}⟺3^{n+1}=243⟺3^{n+1}=3^5⟺n=4\text{(2 p)}.$$ (Numitorii fiind egali și nenuli, ei se simplifică — de aceea condiția devine o simplă ecuație exponențială, iar puterile aceleiași baze sunt egale exact când exponenții sunt egali. Control numeric: pentru $n=4$, $\mathcal{S}=\frac{243-1}{5}=\frac{242}{5}=48,4$, iar integrala calculată numeric dă $48,400$. Unde se greșește de obicei: se scrie aria cu modul și se pierde timpul cu discuția semnului, deși funcția este vizibil pozitivă pe interval; sau se „simplifică" $n+1$ înainte de a fi sigur că el este nenul — aici este, pentru că $n$ este natural nenul.)