Bac M1 2017, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, pentru sesiunea august-septembrie 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, varianta de rezervă publicată împreună cu baremul ei oficial. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care proba se susține la data de rezervă a sesiunii; ele au exact aceeași structură și aceeași greutate ca varianta principală. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom cu $i$ și reducerea prin $i^2=-1$, cu observația că cele două numere sunt conjugate — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: abscisele punctelor în care graficul taie axa $Ox$ sunt rădăcinile ecuației $f(x)=0$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională de tipul $\sqrt{u(x)}=v(x)$: ridicarea la pătrat, apoi verificarea — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele de două cifre al căror produs al cifrelor este dat — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: formula mijlocului unui segment, folosită „invers", ca să se afle celălalt capăt — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: aria unui paralelogram din două laturi și unghiul dintre ele — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice de permutare, produsul a trei matrice din aceeași familie și determinantul unei matrice circulante, care iese pătrat perfect — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: determinarea unui parametru dintr-o rădăcină dată, împărțirea cu rest a unui polinom bipătrat și rădăcinile complexe ale unei ecuații bipătrate — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și limită: derivarea unui logaritm compus cu radical, ecuația tangentei într-un punct de abscisă dată și o limită la $-\infty$ cu nedeterminare de tipul $\infty -\infty$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, o simetrie care face integrala nulă și încadrarea unei arii sub o valoare dată — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din august 2017. Subiectul I nu are nicio cerință lungă, dar are trei locuri în care se pierd puncte pe redactare: verificarea de la ecuația irațională, numărarea completă a cazurilor favorabile la probabilități și formula ariei paralelogramului, care nu este „latură ori latură". Subiectul al II-lea este construit pe o familie de matrice fără termeni micști: aceeași matrice, mutată de trei ori, dă $xyz{I}_3$, iar la subpunctul c) apare o matrice circulantă al cărei determinant iese $(n^3-1{)}^2$ — un pătrat perfect, exact ce cere enunțul. Problema a doua lucrează cu un polinom bipătrat, deci cu substituția $X^2=t$ ascunsă sub toate cele trei subpuncte. Subiectul al III-lea are, la problema 1, funcția $\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$ — cea a cărei derivată se simplifică spectaculos — iar la problema 2 trei integrale în care nicio primitivă nu este grea: toată dificultatea stă în rescrierea integrandului.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln \frac{e+1}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației iraționale dată fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; aria paralelogramului calculată fără sinusul unghiului; ecuația tangentei scrisă fără cele două valori $f(0)$ și $f^{\prime }(0)$; inegalitatea finală „văzută pe calculator", fără argumentul $e<3$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; $(a\pm bi{)}^2=a^2-b^2\pm 2abi$, iar suma a două numere conjugate este $2a$, adică un număr real. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în punctele de abscise egale cu rădăcinile ecuației $f(x)=0$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu condiția obligatorie $v(x)\ge 0$ și verificarea soluțiilor. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Mijlocul segmentului: $x_B=\frac{x_A+x_M}{2}$ și $y_B=\frac{y_A+y_M}{2}$, folosite „invers" când se caută capătul $M$. Aria paralelogramului: $\mathcal{S}=AB\cdot BC\cdot \sin (\sphericalangle ABC)$, iar $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; produsul a două matrice se face „linie pe coloană"; pentru matricea circulantă cu prima linie $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)$, determinantul este $a^3+b^3+c^3-3abc$.
• Polinoame: $x_0$ este rădăcină a lui $f$ exact când $f\left(x_0\right)=0$; teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; un polinom bipătrat $X^4+a{X}^2+b$ se descompune prin substituția $X^2=t$, iar rădăcinile lui vin în perechi opuse.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$. Nedeterminarea $\infty -\infty$ cu radical se rezolvă prin amplificare cu conjugata: $\sqrt{A}+B=\frac{A-B^2}{\sqrt{A}-B}$.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă. O funcție impară are integrala nulă pe un interval simetric față de origine.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-6x+8$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^4+a{X}^2+4$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $i$ înseamnă unitatea imaginară la itemii $1$ și $8$, subpunctul c), acolo unde enunțul o și precizează prin $i^2=-1$. Literele $x$, $y$ și $z$ sunt parametri ai familiei de matrice la itemul $7$ și variabilă la itemii $9$ și $10$; litera $n$ este, la itemul $7$, subpunctul c), un număr natural nenul, nu un exponent.
• Litera $a$ este parametrul polinomului la itemul $8$ și nu apare nicăieri altundeva; litera $e$ apare la itemul $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Punctele $A$ și $B$ de la itemul $5$ nu au legătură cu matricea $A(x)$ de la itemul $7$: una este notație de punct, cealaltă de funcție matriceală.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $(5-4i{)}^2+(5+4i{)}^2=18$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-x-2}=x-2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $9$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(2,3)$. Determinați coordonatele punctului $M$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AM$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați aria paralelogramului $ABCD$, știind că $AB=6$, $BC=3$ și $m(\sphericalangle ABC)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& x\\ x& 0& 0\\ 0& x& 0\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)A(z)=xyz{I}_3$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $\det (A(n)A(n)+A(n)+I_3)$ este pătratul unui număr natural.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4+a{X}^2+4$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $f(2)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=-5$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+X-2$.

c) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că $f(i)=0$, unde $i^2=-1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(e^x+1)f(x)dx=e-1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{1}x(f(x)+f(-x))dx=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria mai mică decât $\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2017, varianta de rezervă; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se dezvoltă fiecare pătrat cu formula binomului, tratând $i$ ca pe o literă obișnuită: $$(5-4i{)}^2+(5+4i{)}^2=25-40i+16i^2+25+40i+16i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $-40i$ și $+40i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$(5-4i{)}^2+(5+4i{)}^2=50+32i^2=50-32=18\text{(2 p)}.$$ (Control, pe alt drum: cele două numere sunt conjugate, iar suma pătratelor a două numere conjugate $z$ și $\bar{z}$ este $z^2+{\bar{z}}^2=(z+\bar{z}{)}^2-2z\bar{z}=10^2-2\cdot 41=100-82=18$ — aceeași valoare, pentru că $z+\bar{z}=10$ și $z\bar{z}=25+16=41$. Unde se greșește de obicei: se scrie $16i^2=16$ în loc de $-16$, sau se uită dublul produs la unul dintre pătrate.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția cu axa $Ox$.

Un punct este pe axa $Ox$ exact când ordonata lui este nulă, deci abscisele căutate sunt rădăcinile ecuației $$f(x)=0⟺x^2-6x+8=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =36-32=4$, deci $$x=2\text{ și }x=4\text{(2 p)}.$$ (Control cu relațiile lui Viète: $2+4=6$ este chiar $-\frac{b}{a}$, iar $2\cdot 4=8$ este $\frac{c}{a}$. Unde se greșește de obicei: se caută intersecția cu axa $Oy$, adică $f(0)=8$, sau se dau ca răspuns punctele $(2,0)$ și $(4,0)$ când enunțul cere doar abscisele.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ; prin urmare orice soluție trebuie să verifice $x-2\ge 0$. Ridicând la pătrat se obține $$x^2-x-2=(x-2{)}^2⟹x^2-x-2=x^2-4x+4⟹3x=6\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=2$, valoare care convine, pentru că $x-2=0\ge 0$ și, înlocuind în ecuația inițială, $\sqrt{4-2-2}=\sqrt{0}=0=2-2$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se sare peste verificare. Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, iar aici termenii $x^2$ se reduc, deci ecuația devine de gradul întâi și are o singură rădăcină — cu atât mai important este să se arate că ea trece proba. Observație: condiția de existență a radicalului, $x^2-x-2\ge 0$, este automat îndeplinită odată ce egalitatea cu $(x-2{)}^2$ este verificată.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Un număr de două cifre are produsul cifrelor egal cu $9$ exact când perechea cifrelor este $(1,9)$, $(3,3)$ sau $(9,1)$, deci numerele sunt $19$, $33$ și $91$: sunt trei cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită că cifra zecilor nu poate fi $0$ — dar aici nici nu ar fi ajutat, pentru că $0$ nu divide un produs nenul; capcana adevărată este să se scape perechea $(3,3)$, care dă un singur număr, sau să se numere $91$ și $19$ ca și cum ar fi același număr. Control: lista divizorilor de o cifră ai lui $9$ este $1$, $3$, $9$, deci perechile posibile sunt exact cele trei de mai sus.)

Itemul 5. (5 p) — mijlocul unui segment, folosit „invers".

Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AM$, deci fiecare coordonată a lui $B$ este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale lui $A$ și $M$. Pe abscise: $$x_B=\frac{x_A+x_M}{2}⟹2=\frac{2+x_M}{2}⟹x_M=2\text{(3 p)}.$$ Pe ordonate: $$y_B=\frac{y_A+y_M}{2}⟹3=\frac{1+y_M}{2}⟹y_M=5\text{(2 p)}.$$ (Deci $M(2,5)$. Control: mijlocul segmentului cu capetele $A(2,1)$ și $M(2,5)$ este $\left(\frac{2+2}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(2,3)$, adică exact $B$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul lui $AB$ în loc să se afle capătul $M$; formula se folosește aici în sens invers. O scurtătură utilă: $M=2B-A$, coordonată cu coordonată.)

Itemul 6. (5 p) — aria unui paralelogram.

Aria unui paralelogram este produsul a două laturi alăturate înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele: $${\mathcal{S}}_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot \sin (\sphericalangle ABC)=6\cdot 3\cdot \sin 30^{\circ }\text{(3 p)}.$$ Cum $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, rezultă $${\mathcal{S}}_{ABCD}=18\cdot \frac{1}{2}=9\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se înmulțesc pur și simplu laturile, $6\cdot 3=18$ — acela ar fi rezultatul doar la un dreptunghi, adică pentru un unghi de $90^{\circ }$, unde sinusul este $1$. Control de bun-simț: aria unui paralelogram cu laturile date este cea mai mare la unghi drept, deci ea trebuie să fie mai mică decât $18$; cu un unghi de $30^{\circ }$ iese jumătate. Un al doilea drum: înălțimea corespunzătoare laturii $AB$ este $BC\cdot \sin 30^{\circ }=1,5$, iar aria este baza ori înălțimea, $6\cdot 1,5=9$.)

Itemul 7. (15 p) — o familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =0+1+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Al doilea drum, mai scurt: se dezvoltă după prima linie, care are un singur element nenul, și rămâne $1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$. De reținut pentru subpunctele următoare: $A(1)$ este o matrice de permutare — mută liniile ciclic — iar $A(x)=x\cdot A(1)$, deci $\det (A(x))=x^3$.)

b) (5 p) Se înmulțesc primele două matrice, apoi rezultatul cu a treia, după regula „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& xy& 0\\ 0& 0& xy\\ xy& 0& 0\end{array}\right)⟹A(x)A(y)A(z)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& xy& 0\\ 0& 0& xy\\ xy& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& z\\ z& 0& 0\\ 0& z& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Efectuând ultimul produs, toate elementele din afara diagonalei se anulează și rămâne $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)A(z)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}xyz& 0& 0\\ 0& xyz& 0\\ 0& 0& xyz\end{array}\right)=xyz{I}_3,\\ & \text{ pentru orice numere reale }x,y,z\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Explicația structurală, care scurtează totul: $A(x)=xP$, unde $P=A(1)$, iar $P$ mută liniile ciclic, deci $P^3=I_3$. Atunci $A(x)A(y)A(z)=xyz\cdot P^3=xyz{I}_3$. Control numeric: pentru $x=y=z=1$ produsul este $P^3=I_3$, iar pentru $z=0$ toate elementele se anulează, cum și trebuie. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Se calculează întâi $A(n)A(n)=n^2{P}^2$ și se adună cele trei matrice, element cu element: $$\begin{array}{rl}& A(n)A(n)+A(n)+I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& n^2& 0\\ 0& 0& n^2\\ n^2& 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& n\\ n& 0& 0\\ 0& n& 0\end{array}\right)+I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& n^2& n\\ n& 1& n^2\\ n^2& n& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Matricea obținută este circulantă: fiecare linie este precedenta mutată cu o poziție. Determinantul ei se calculează cu Sarrus și se grupează: $$\begin{array}{rl}& \det (A(n)A(n)+A(n)+I_3)\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& n^2& n\\ n& 1& n^2\\ n^2& n& 1\end{array}\right|\\ & =n^6-2n^3+1=(n^3-1{)}^2\text{(3 p)},\end{array}$$ care este pătratul numărului natural $n^3-1$, pentru orice număr natural nenul $n$.

(Detaliul pe care baremul îl sare, dar care merită scris: $n^3-1$ chiar este număr natural, pentru că $n\ge 1$ dă $n^3\ge 1$. Cum se ajunge la $n^6-2n^3+1$: cu Sarrus, diagonalele „descendente" dau $1+n^6+n^3$, iar cele „ascendente" $n^3+n^3+n^3$, deci determinantul este $1+n^6+n^3-3n^3$. Aceasta este formula generală a determinantului circulant, $a^3+b^3+c^3-3abc$, cu $a=1$, $b=n^2$, $c=n$. Control numeric: pentru $n=1$ iese $0=0^2$, pentru $n=2$ iese $49=7^2$, iar pentru $n=3$ iese $676=26^2$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom bipătrat cu coeficienți reali.

a) (5 p) Numărul $2$ este rădăcină exact când valoarea polinomului în $2$ este nulă: $$f(2)=0⟺2^4+a\cdot 2^2+4=0\text{(3 p)}.$$ Adică $16+4a+4=0$, de unde $4a+20=0$ și $$a=-5\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=-5$ avem $f(2)=16-20+4=0$. Observație folositoare mai departe: polinomul fiind bipătrat (are doar puteri pare ale lui $X$), dacă $2$ este rădăcină, atunci și $-2$ este; într-adevăr, $f(-2)=f(2)$ pentru orice $a$.)

b) (5 p) Pentru $a=-5$ polinomul este $f=X^4-5X^2+4$. Împărțind după algoritmul obișnuit la $g=X^2+X-2$, se obține pe rând $X^2$, apoi $-X$, apoi $-2$, deci $$f=X^4-5X^2+4,\text{ iar caˆtul este }{\mathbf{X}}^2-\mathbf{X}-2\text{(3 p)}.$$ Ultima scădere se face fără rest, deci restul este $0$ (2 p).

(Verificare prin înmulțire directă, cea mai rapidă aici: $(X^2+X-2)(X^2-X-2)=(X^2-2{)}^2-X^2=X^4-4X^2+4-X^2=X^4-5X^2+4$, adică exact $f$ — s-a folosit formula $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$ cu $u=X^2-2$ și $v=X$. Unde se greșește de obicei: se uită să se scrie termenul lipsă $0\cdot X^3$ la începutul împărțirii, iar coeficienții se aliniază greșit. Control: restul fiind nul, $g$ divide $f$; într-adevăr, $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, iar $f=(X^2-1)(X^2-4)$ are și pe $1$, și pe $-2$ printre rădăcini.)

c) (5 p) Condiția $f(i)=0$ se scrie înlocuind $X$ cu $i$ și folosind $i^2=-1$, deci $i^4=1$: $$f(i)=i^4+a{i}^2+4=1-a+4=0⟹a=5\text{(2 p)}.$$ Polinomul devine $f=X^4+5X^2+4$, iar substituția $X^2=t$ îl descompune ca $t^2+5t+4=(t+1)(t+4)$: $$f=(X^2+1)(X^2+4),\text{ de unde }{x}_1=\mathbf{i},x_2=-\mathbf{i},x_3=2i,x_4=-2i\text{(3 p)}.$$ (Control: suma rădăcinilor este $0$, iar coeficientul lui $X^3$ este într-adevăr $0$; produsul lor este $i\cdot (-i)\cdot 2i\cdot (-2i)=1\cdot 4=4$, adică exact termenul liber. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcini reale — polinomul nu are niciuna, pentru că $X^4+5X^2+4>0$ pentru orice număr real $x$. A doua capcană este $i^4$: se calculează ca $(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$, nu ca $-1$. De reținut: coeficienții fiind reali, rădăcinile nereale vin în perechi conjugate — și chiar așa ies.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și limită.

a) (5 p) Funcția este un logaritm compus, deci se derivează cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ are derivata $u^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}+1=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1$. Prin urmare $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)\text{(3 p)}.$$ Aducând paranteza la același numitor, la numărător apare chiar $u(x)$, care se simplifică: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $\sqrt{x^2+1}+x>0$ pentru orice număr real $x$ — la $x\ge 0$ e limpede, iar la $x<0$ se scrie $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|=-x$. Tot de aici se vede că logaritmul are sens pe tot $\mathbb{R}$. Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,7071$. Unde se greșește de obicei: se uită $u^{\prime }$ și se scrie doar $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$.)

b) (5 p) Se calculează cele două valori care intră în ecuația tangentei: $$f(0)=\ln (\sqrt{1}+0)=\ln 1=0,f^{\prime }(0)=\frac{1}{\sqrt{0+1}}=1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=0$ este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, deci dreapta este $$\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie „panta este $f(0)$" și „termenul liber este $f^{\prime }(0)$", adică se inversează rolurile. Panta tangentei este derivata, iar valoarea funcției dă punctul de tangență, aici originea. Control: pentru $x$ mic, $f(x)\approx x$ — de pildă $f(0,1)\approx 0,09983$, foarte aproape de $0,1$.)

c) (5 p) Argumentul logaritmului este o nedeterminare de tipul $\infty -\infty$ la $-\infty$; se amplifică cu conjugata: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0\text{(3 p)},$$ iar limita se atinge prin valori strict pozitive, pentru că argumentul logaritmului este mereu pozitiv. Cum $\underset{t\to 0,t>0}{\lim }\ln t=-\infty$, rezultă $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln (\sqrt{x^2+1}+x)=-\infty \text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se „simplifică" $\sqrt{x^2+1}\approx |x|$ și se scrie $|x|+x=2x\to -\infty$, uitând că la $-\infty$ avem $|x|=-x$, deci suma tinde la zero, nu la infinit. A doua capcană: se scrie „limita este $\ln 0=-\infty$" fără să se spună că apropierea de zero se face prin valori pozitive — logaritmul nici nu ar avea sens altfel. Control numeric: pentru $x=-10^7$, argumentul este aproximativ $5\cdot 10^{-8}$, iar $f(x)\approx -16,81$ — chiar coboară, dar foarte încet, ca un logaritm.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și arie.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $e^x+1$ desființează numitorul din definiția lui $f$, $$(e^x+1)f(x)=(e^x+1)\left(1-\frac{1}{e^x+1}\right)=e^x+1-1=e^x,$$ $$\text{deci}{\int }_0^1(e^x+1)f(x)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^1(e^x+1)f(x)dx=e^1-e^0=\mathbf{e}-1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $e-1\approx 1,71828$, iar integrala calculată numeric dă $1,718282$. Unde se greșește de obicei: se desface produsul în două integrale și se caută primitiva lui $\frac{e^x+1}{e^x+1}$ pe ocolite, în loc să se simplifice de la început.)

b) (5 p) Se scrie explicit suma din paranteză, înlocuind $x$ cu $-x$ în formula lui $f$: $$f(x)+f(-x)=1-\frac{1}{e^x+1}+1-\frac{1}{e^{-x}+1}\text{(2 p)}.$$ Al doilea raport se amplifică cu $e^x$ și devine $\frac{e^x}{1+e^x}$, iar cele două fracții se adună la $1$; rămâne $f(x)+f(-x)=2-1=1$, deci $${\int }_{-1}^{1}x(f(x)+f(-x))dx={\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{(3 p)}.$$ (De ce se anulează: $\frac{1}{e^x+1}+\frac{1}{e^{-x}+1}=\frac{1}{e^x+1}+\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1+e^x}{e^x+1}=1$. Al doilea drum, fără niciun calcul de primitivă: funcția $x\mapsto x(f(x)+f(-x))$ este impară, iar integrala unei funcții impare pe un interval simetric față de origine este nulă. Unde se greșește de obicei: se crede că $f(-x)=-f(x)$ — fals aici, pentru că $f$ nu este impară; ceea ce se întâmplă este că $f(x)+f(-x)$ este constantă. Control numeric: integrala calculată numeric dă $0,000000$.)

c) (5 p) Funcția se rescrie ca $f(x)=\frac{e^x+1-1}{e^x+1}=\frac{e^x}{e^x+1}$, care este continuă și strict pozitivă pe $[0,1]$, deci aria cerută este chiar integrala, fără modul. La numărător apare derivata numitorului, deci primitiva este un logaritm: $$\mathcal{S}={\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{e^x}{e^x+1}dx=\ln (e^x+1){|}_0^1=\ln (e+1)-\ln 2=\ln \frac{e+1}{2}\text{(3 p)}.$$ Cum $e<3$, avem $\frac{e+1}{2}<\frac{3+1}{2}=2$, iar logaritmul fiind strict crescător rezultă $$\mathcal{S}=\ln \frac{e+1}{2}<\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Unde se greșește de obicei: se scrie aria ca ${\int }_0^1\left(1-\frac{1}{e^x+1}\right)dx$ și se caută o primitivă pentru $\frac{1}{e^x+1}$ — se poate, dar drumul scurt este rescrierea de la început. A doua capcană: se compară $\ln \frac{e+1}{2}$ cu $\ln 2$ „din ochi", fără argumentul $e<3$; el este exact ceea ce se punctează. Control numeric: $\ln \frac{e+1}{2}\approx 0,62012$, iar $\ln 2\approx 0,69315$.)