Bac M1 2017, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: conjugatul unui număr complex și produsul $z\bar{z}=|z{|}^2$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: apartenența unui punct la graficul unei funcții, adică $f(x_A)=y_A$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică deja factorizată: un produs este nul când un factor este nul — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre cu cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mediana unui triunghi, adică mijlocul unei laturi și distanța până la vârful opus — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: identitățile $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sistem liniar omogen: determinant cu parametru, condiția de soluție unică și determinarea soluțiilor nenule cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea la formă factorizată, ecuația $x\circ x=x$ și o ecuație exponențială ascunsă într-o lege — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală și inegalitate: derivarea unui raport cu logaritm, limita la $+\infty$ și demonstrarea inegalității $x\ln x>x-1$ prin monotonia unei funcții ajutătoare — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, integrarea prin părți cu $(x-1)e^x$ și aria unei suprafețe care depinde de un parametru natural — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2017. Este o probă echilibrată, cu o singură cerință cu adevărat grea: itemul $7$, subpunctul c). Sistemul de la Subiectul al II-lea este omogen — toți termenii liberi sunt nuli — deci are întotdeauna soluția banală $(0,0,0)$; cerința de a avea o soluție cu toate componentele nenule obligă la $\det =0$, adică la singura valoare exclusă la subpunctul b). Cine nu face legătura între b) și c) pierde subpunctul întreg. Restul probei este de rutină bine făcută: Subiectul I nu are nicio cerință lungă, iar la itemul $6$ tot calculul se reduce la două identități fundamentale. La itemul $9$, subpunctul c) cere o inegalitate, nu o valoare — se demonstrează cu funcția ajutătoare $g(x)=x\ln x-x+1$, al cărei semn se citește din derivată. La itemul $10$, subpunctul c) transformă o problemă de arie într-o ecuație de gradul al treilea cu necunoscută naturală.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e-1$ și $\frac{7}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără cuvântul „convin"; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația asimptotei scrisă fără precizarea capătului; inegalitatea afirmată fără studiul semnului unei funcții ajutătoare; aria calculată fără verificarea semnului funcției pe intervalul dat.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$, iar $z+\bar{z}=2a$ și $z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$ — amândouă numere reale. Apartenența la grafic: punctul $A(x_A,y_A)$ este pe graficul lui $f$ exact când $f(x_A)=y_A$. Ecuații logaritmice: un produs este nul exact când un factor este nul, dar soluțiile trebuie trecute prin condiția $x>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Mediana: segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Trigonometrie: $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, ambele valabile acolo unde numitorii nu se anulează.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar omogen are întotdeauna soluția banală $(0,0,0)$; el are și soluții nenule exact când determinantul matricei sistemului este nul. Când determinantul este nenul, singura soluție este cea banală.
• Legi de compoziție: aducerea la forma factorizată $x\circ y=(x+c)(y+c)-c$ transformă orice ecuație în una obișnuită; aici $c=7$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ există exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, iar atunci ecuația ei este $y=\ell$. O inegalitate de tipul $u(x)>v(x)$ pe un interval se demonstrează studiind semnul funcției $g=u-v$, cu derivata și cu valoarea într-un capăt.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; o primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}g(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ înseamnă în această probă legea de compoziție de la itemul $8$, nu compunerea funcțiilor. Așa a fost tipărit subiectul oficial și așa l-am transcris. În această probă nu apare nicio compunere de funcții, deci nu există ambiguitate în rezolvare; la clasă însă, când o lege oarecare se notează cu $\ast$, semnul $\circ$ rămâne pentru compunere.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+2x-3$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{\ln x}{1-x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=e^x+3x^2$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametru al matricei și al sistemului la itemul $7$, dar necunoscută la itemul $8$, subpunctul c). Litera $n$ este necunoscută naturală la itemul $10$, subpunctul c), și nu are legătură cu nimic din Subiectul al II-lea.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z+\bar{z}+z\bar{z}=9$, unde $\bar{z}$ este conjugatul lui $z$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,m)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-3$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(1-{\log }_{2}x)(2-{\log }_{2}x)=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$, $B(3,3)$ și $C(0,2)$. Determinați lungimea medianei din $C$ a triunghiului $ABC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $(1+{\mathrm{tg}}^{2}x){\cos }^{2}x-(1+{\mathrm{ctg}}^{2}x){\sin }^{2}x=0$, pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& a\\ -2& -1& 3\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+y+2z=0\\ x+2y+az=0\\ -2x-y+3z=0\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(9))=0$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $(x_0,y_0,z_0)$, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale nenule, atunci $-x_0+y_0+z_0=11(x_0+y_0+z_0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+7x+7y+42$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $x\circ x=x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $2017^a\circ (-6)=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{1-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\ln x>x-1$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+3x^2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-3x^2)dx=e-1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}xf(x)dx=\frac{7}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-e^x$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=n$ are aria egală cu $n^2-n+1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — conjugatul unui număr complex.

Conjugatul lui $z=2+i$ este $\bar{z}=2-i$; se înlocuiesc cele două numere în expresie: $$z+\bar{z}+z\bar{z}=2+i+2-i+(2+i)(2-i)\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $4$, iar produsul este o diferență de pătrate, $(2+i)(2-i)=4-i^2=4+1=5$: $$z+\bar{z}+z\bar{z}=4+4-i^2=9\text{(2 p)}.$$ (Cele două formule generale, de reținut: $z+\bar{z}=2a$ și $z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$, ambele numere reale. Aici $2a=4$ și $a^2+b^2=4+1=5$, deci suma este $9$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2+i)(2-i)=4-1=3$, adică se calculează $-i^2$ ca $-1$. Corect: $-i^2=-(-1)=+1$.)

Itemul 2. (5 p) — apartenența unui punct la graficul unei funcții.

Punctul $A(1,m)$ este pe graficul funcției exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(1)=m⟹1+2-3=m\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculul, $\mathbf{m}=0$ (2 p).

(Control: punctul este $A(1,0)$, iar $f(1)=1^2+2\cdot 1-3=0$ — se verifică. De altfel $x=1$ este chiar rădăcină a trinomului, pentru că suma coeficienților, $1+2-3$, este nulă. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m$ în locul lui $x$, adică se rezolvă $f(m)=1$ — enunțul spune însă că $1$ este abscisa, prima coordonată.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică factorizată.

Un produs de doi factori este nul exact când cel puțin un factor este nul: $$1-{\log }_{2}x=0\text{ sau }2-{\log }_{2}x=0\text{(3 p)}.$$ Din prima ecuație ${\log }_{2}x=1$, deci $x=2^1$; din a doua ${\log }_{2}x=2$, deci $x=2^2$: $$x=2\text{ sau }x=4,\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=2$ primul factor este $1-1=0$; pentru $x=4$ al doilea factor este $2-2=0$. Amândouă sunt strict pozitive, deci condiția de existență a logaritmului este îndeplinită — de aceea se scrie „care convin". Unde se greșește de obicei: se desface produsul și se rezolvă o ecuație de gradul al doilea în ${\log }_{2}x$ — corect, dar mai lung; sau se scrie $x=1$ și $x=2$, confundând logaritmul cu valoarea lui.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$, deci $$\text{mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre are }90\text{ de elemente, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Numerele cu cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților se numără pe cifra zecilor: pentru zecile $1$ sunt $8$ variante ($12,\dots ,19$), pentru $2$ sunt $7$, și tot așa până la $8$, care are o singură variantă: $$\text{mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre care au cifra zecilor strict mai mica˘ decaˆt cifra unita˘ților are }36\text{ de elemente, deci sunt }36\text{ de cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul dintre cele două numărători, simplificat: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}\text{(1 p)}.$$ (Numărătoarea, pe scurt: $8+7+6+5+4+3+2+1=36$; este chiar $C_9^2$, adică numărul de perechi de cifre distincte alese din $\{1,2,\dots ,9\}$ — fiecare pereche dă exact un număr cu zecile mai mici decât unitățile. Control de simetrie: tot $36$ sunt și numerele cu zecile strict mai mari decât unitățile care nu au unitatea zero, iar restul până la $90$ sunt cele cu cifre egale sau cu unitatea zero. Unde se greșește de obicei: se numără și numerele cu cifre egale, care nu îndeplinesc condiția strictă. Observă că acest item are trei rânduri de barem, nu două.)

Itemul 5. (5 p) — mediana unui triunghi în reper cartezian.

Mediana din $C$ unește vârful $C$ cu mijlocul laturii opuse, $AB$. Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$M(3,2),\text{unde punctul }M\text{ este mijlocul segmentului }AB\text{(3 p)}.$$ Lungimea medianei este distanța de la $C(0,2)$ la $M(3,2)$: $$CM=\sqrt{(3-0{)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{(2 p)}.$$ (Observație care scurtează calculul: $A$ și $B$ au aceeași abscisă, $3$, deci latura $AB$ este verticală, iar mijlocul ei are aceeași abscisă; cum și $C$ are ordonata $2$, mediana este chiar un segment orizontal, de lungime egală cu diferența abscizelor. Unde se greșește de obicei: se calculează lungimea laturii $AB$ sau înălțimea din $C$ în loc de mediană; mediana pleacă din vârf și cade în mijlocul laturii opuse, nu perpendicular pe ea.)

Itemul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Se scriu tangenta și cotangenta prin sinus și cosinus, apoi fiecare paranteză se aduce la același numitor: $$(1+{\mathrm{tg}}^{2}x){\cos }^{2}x-(1+{\mathrm{ctg}}^{2}x){\sin }^{2}x=\left(1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\right){\cos }^{2}x-\left(1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\right){\sin }^{2}x\text{(3 p)}.$$ Distribuind fiecare factor peste paranteză, numitorii se simplifică și rămâne aceeași expresie de două ori: $$(1+{\mathrm{tg}}^{2}x){\cos }^{2}x-(1+{\mathrm{ctg}}^{2}x){\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0,\text{pentru orice }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, mai scurt: $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, deci fiecare produs este egal cu $1$, iar diferența este $1-1=0$. De ce se cere $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$: acolo și sinusul, și cosinusul sunt nenule, deci și tangenta, și cotangenta există. Control numeric: pentru $x=0,7$ expresia calculată direct dă $0,0000000$. Unde se greșește de obicei: se simplifică doar prima paranteză și se uită că a doua se comportă identic.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar omogen.

a) (5 p) Pentru $a=9$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(9)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 9\\ -2& -1& 3\end{array}\right)⟹\det (A(9))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 9\\ -2& -1& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, cele șase produse dau $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(9))\\ & =6+(-2)+(-18)-(-8)-(-9)-3\\ & =0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: un determinant este nul exact când liniile sunt dependente, iar aici a treia linie se scrie cu primele două, $(-2,-1,3)=-3\cdot (1,1,2)+(1,2,9)$ — se verifică pe fiecare poziție: $-3+1=-2$, $-3+2=-1$, $-6+9=3$. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se pierde un semn în produsele cu numere negative — aici sunt trei elemente negative, deci trei ocazii de eroare. Reper de control: cele două grupe de câte trei produse dau amândouă $-14$, deci diferența lor este zero.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametru, tot cu regula lui Sarrus: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& a\\ -2& -1& 3\end{array}\right|=9-a\text{(3 p)}.$$ Un sistem liniar are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{sistemul are soluție unica˘}\\ & ⟺\det (A(a))\\ & \ne 0,\text{deci}\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{9\}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control: pentru $a=9$ formula dă $0$, exact rezultatul de la subpunctul a). Fiind un sistem omogen, soluția unică este chiar cea banală, $(0,0,0)$ — de aceea subpunctul c) va cere tocmai cazul exclus aici. Unde se greșește de obicei: se scrie $a\ne 0$, adică se confundă condiția „determinantul nenul" cu „parametrul nenul"; sau se greșește semnul, obținând $a-9$.)

c) (5 p) Sistemul fiind omogen, el are soluții cu toate componentele nenule numai dacă determinantul se anulează, adică numai pentru $a=9$. Rezolvând sistemul pentru această valoare (din primele două ecuații, $y=-7z$, apoi $x=5z$): $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul are soluția }(x_0,y_0,z_0),\\ & \text{cu }{x}_0,y_0\text{ și }{z}_0\text{ numere reale nenule, deci }a\\ & =9\text{și soluția sistemului este de forma }(5\alpha ,-7\alpha ,\alpha ),\alpha \\ & \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se înlocuiesc cele două expresii cerute și se compară: $$\begin{array}{rl}& -x_0+y_0+z_0\\ & =-5\alpha +(-7\alpha )+\alpha \\ & =-11\alpha =11(5\alpha +(-7\alpha )+\alpha )\\ & =11(x_0+y_0+z_0)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare că $(5\alpha ,-7\alpha ,\alpha )$ este într-adevăr soluție, pentru $a=9$: $5\alpha -7\alpha +2\alpha =0$; $5\alpha -14\alpha +9\alpha =0$; $-10\alpha +7\alpha +3\alpha =0$ — toate trei se verifică. Condiția „nenule" cere $\alpha \ne 0$, iar atunci toate trei componentele sunt nenule, pentru că $5$, $-7$ și $1$ sunt nenule. Unde se greșește de obicei: se pornește direct la calcul, fără să se observe că $a$ trebuie să fie $9$ — legătura cu subpunctul b) este cheia întregului subpunct. A doua capcană este simplificarea prin $\alpha$ înainte de a spune că este nenul.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pleacă de la definiție și se completează termenul liber până la $49$, ca să apară un produs de paranteze: $$x\circ y=xy+7x+7y+49-7\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează doi câte doi și se dă factor comun $y+7$: $$x\circ y=x(y+7)+7(y+7)-7=(x+7)(y+7)-7,\text{pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=1$ și $y=2$, definiția dă $2+7+14+42=65$, iar forma factorizată dă $8\cdot 9-7=65$. De unde vine $7$: se scrie $42=49-7$, adică pătratul coeficientului minus coeficientul. Unde se greșește de obicei: se scoate $7$ în afara produsului cu semnul plus, adică se scrie $(x+7)(y+7)+7$; verificarea numerică prinde imediat eroarea.)

b) (5 p) Se folosește forma de la subpunctul a), cu $y=x$: $$x\circ x=(x+7{)}^2-7,\text{deci}(x+7{)}^2-7=x\text{(2 p)}.$$ Desfăcând pătratul și trecând totul în stânga se obține $x^2+13x+42=0$, care se descompune: $$(x+7)(x+6)=0⟺x=-7\text{ sau }x=-6\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $(-7)\circ (-7)=0\cdot 0-7=-7$ și $(-6)\circ (-6)=1\cdot 1-7=-6$ — amândouă se potrivesc. Control cu Viète: suma rădăcinilor trebuie să fie $-13$, iar $-7+(-6)=-13$; produsul trebuie să fie $42$, iar $(-7)(-6)=42$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $x\circ x=0$ în loc de $x\circ x=x$, adică se caută elementele „nule" în loc de cele idempotente; sau se uită un termen la desfacerea pătratului.)

c) (5 p) Se aplică forma factorizată cu $x=2017^a$ și $y=-6$; paranteza a doua devine $1$, deci produsul se simplifică: $$(2017^a+7)(-6+7)-7=1⟺2017^a+7-7=1\text{(3 p)}.$$ Rămâne o ecuație exponențială elementară: $$2017^a=1⟺\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$ (De ce soluția este unică: funcția exponențială de bază $2017>1$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ia valoarea $1$ o singură dată, în exponentul $0$. Verificare: $2017^0=1$, iar $1\circ (-6)=(1+7)(-6+7)-7=8-7=1$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă cu logaritmi, ceea ce merge dar e mai lung; sau se scrie $a=1$, confundând „exponentul care dă $1$" cu „baza". Observație: $-6$ este chiar elementul pentru care paranteza $y+7$ face $1$ — el se comportă ca un element neutru al acestei legi, ceea ce explică de ce ecuația se simplifică atât de mult.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și inegalitate.

a) (5 p) Se derivează raportul cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, cu numărătorul $\ln x$ și numitorul $1-x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot (1-x)-\ln x\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se aduce numărătorul la același numitor și se simplifică etajele: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1-x}{x}+\ln x}{(1-x{)}^2}=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$, formula dă $\frac{1-2+2\ln 2}{2\cdot 1}=\frac{2\ln 2-1}{2}\approx 0,1931$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,1931$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul derivatei numitorului, $(1-x{)}^{\prime }=-1$, care aduce un plus în fața logaritmului; a doua capcană este simplificarea $\frac{(1-x{)}^2}{x}$ făcută greșit — numitorul final este $x(1-x{)}^2$, nu $x^2(1-x)$.)

b) (5 p) Limita la $+\infty$ este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, deci se aplică regula lui l'Hospital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{1-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-1}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Al doilea drum, fără l'Hospital: se folosește limita fundamentală $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$, adică logaritmul crește mai încet decât orice putere pozitivă a lui $x$. Control numeric: $f(10^8)\approx -1,84\cdot 10^{-7}$, practic zero — și negativ, pentru că pe $(1,+\infty )$ numărătorul este pozitiv, iar numitorul negativ. Unde se greșește de obicei: se scrie asimptota ca $y=0$ fără să se precizeze capătul $+\infty$; sau se aplică l'Hospital fără să se verifice că este într-adevăr caz de nedeterminare.)

c) (5 p) Inegalitatea se demonstrează studiind semnul funcției-diferență. Se consideră funcția ajutătoare, a cărei derivată este chiar logaritmul: $$g:(1,+\infty )\to \mathbb{R},g(x)=x\ln x-x+1⟹g^{\prime }(x)=\ln x,\text{deci }{g}^{\prime }(x)>0\text{pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția $g$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty )$ și, cum $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=0$, obținem $g(x)>0$, deci $$x\ln x>x-1,\text{pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (De ce $g^{\prime }(x)=\ln x$: derivata produsului $x\ln x$ este $1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$, iar din ea se scade derivata lui $x$, adică $1$ — rămâne exact $\ln x$. Limita în $1$ este $1\cdot 0-1+1=0$, adică valoarea din capătul deschis, care nu este atinsă; de aceea inegalitatea este strictă. Control numeric: pentru $x=1,5$, membrul stâng este $0,608$ și cel drept $0,5$; pentru $x=3$, $3,296$ față de $2$. Unde se greșește de obicei: se încearcă demonstrația prin calcul direct, imposibil pentru o inegalitate cu logaritm; sau se ia $g(1)=0$ ca valoare, deși $1$ nu aparține domeniului — se scrie limita, nu valoarea.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) Se simplifică întâi integrandul: din $f(x)=e^x+3x^2$ se scade chiar $3x^2$, deci rămâne exponențiala singură: $${\int }_0^1(f(x)-3x^2)dx={\int }_0^1(e^x+3x^2-3x^2)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $e^x$ este chiar $e^x$, deci $${\int }_0^1(f(x)-3x^2)dx=e^x{|}_0^1=\mathbf{e}-1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $e-1\approx 1,71828$, iar integrala calculată numeric dă $1,718282$. Unde se greșește de obicei: se pornește la integrarea separată a celor doi termeni, fără să se observe simplificarea; sau se uită $e^0=1$ la capătul de jos și se scrie doar $e$.)

b) (5 p) Se desface produsul și se integrează cele două bucăți. Pentru $x{e}^x$ se folosește integrarea prin părți; o primitivă a ei este $(x-1)e^x$: $${\int }_0^{1}xf(x)dx={\int }_0^1(x{e}^x+3x^3)dx=(x-1)e^x{|}_0^1+\frac{3x^4}{4}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele: primul termen dă $0\cdot e-(-1)\cdot e^0=1$, iar al doilea $\frac{3}{4}$: $${\int }_0^{1}xf(x)dx=1\cdot e^0+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\text{(2 p)}.$$ (Verificare a primitivei prin derivare: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$ — corect. Control numeric: $\frac{7}{4}=1,75$, iar integrala calculată numeric dă $1,750000$. Unde se greșește de obicei: se ia $x{e}^x$ drept produs de primitive, adică $\frac{x^2}{2}{e}^x$ — nu există regula produsului la integrare; sau se pierde semnul la capătul de jos, unde $(0-1)e^0=-1$, deci se scade un număr negativ.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit: $g(x)=f(x)-e^x=3x^2$, care este continuă și nenegativă pe $[0,n]$, deci aria este chiar integrala, fără modul: $$g(x)=3x^2⟹\mathcal{S}={\int }_0^n|g(x)|dx={\int }_0^{n}3x^{2}dx=x^3{|}_0^n=n^3\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al treilea, care se descompune: $$n^3=n^2-n+1⟺(n-1)(n^2+1)=0⟺\mathbf{n}=1\text{(2 p)}.$$ (Descompunerea, pe scurt: $n^3-n^2+n-1=n^2(n-1)+(n-1)=(n-1)(n^2+1)$; a doua paranteză este strict pozitivă pentru orice număr real, deci singura rădăcină este $n=1$, care este într-adevăr număr natural nenul. Control: pentru $n=1$ aria este $1^3=1$, iar $n^2-n+1=1-1+1=1$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se calculează aria ca ${\int }_0^{n}f(x)dx$, uitând scăderea lui $e^x$ din definiția lui $g$; sau se rezolvă ecuația prin încercări și se declară că mai există soluții — paranteza $n^2+1$ le exclude pe toate.)