Bac M1 2017, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, pregătit pentru sesiunea din 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9. Varianta de rezervă se tipărește și se publică odată cu celelalte și are exact aceeași structură și aceeași dificultate ca varianta extrasă în ziua examenului; se folosește atunci când subiectul principal nu mai poate fi dat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului unei parabole cu graficul unei drepte, adusă la o ecuație de gradul al doilea cu rădăcină dublă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea ambilor membri la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numerele divizibile simultan cu $3$ și cu $5$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația unei drepte determinate de două puncte și condiția de coliniaritate a trei puncte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului într-un triunghi oarecare, cu unghiul de $\frac{\pi }{3}$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, semnul determinantului unui produs și o familie de matrice care se compune înmulțind parametrii — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: determinarea unui parametru dintr-o rădăcină dată, împărțirea cu rest și condiția ca toate rădăcinile să aibă același modul — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, convexitate și limite: derivarea unei sume cu exponențială și logaritm, semnul derivatei a doua și o limită de tip $\frac{\infty }{\infty }$ spartă în două bucăți — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale definite: integrala unei puteri a logaritmului, monotonia unui șir de integrale prin semnul diferenței și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2017. Subiectul I are șase cerințe scurte, fiecare cu o singură idee, dar cu două locuri unde se pierd puncte din grabă: la itemul $2$ ecuația are rădăcină dublă, deci răspunsul este un singur număr, nu două, iar la itemul $5$ semnul lui $m$ iese negativ. Subiectul al II-lea este cel mai elegant din probă: matricea $A(x)$ are proprietatea, deloc evidentă, că $\det (A(x))=x$, iar familia se compune înmulțind parametrii, $A(m)A(n)=A(mn)$ — regulă rară, pentru că la majoritatea subiectelor parametrii se adună. Problema $2$ mută accentul de la relațiile lui Viète la modulul rădăcinilor complexe, deci la o discuție de caz, nu la un calcul. Subiectul al III-lea este format din două teme clasice de clasa a XII-a: un studiu de funcție cu exponențială și logaritm și un șir de integrale $I_n$ pentru care se cer monotonia și o recurență între doi termeni consecutivi.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{3}$ și $\frac{e^2-1}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rădăcina dublă scrisă ca două soluții diferite; probabilitatea dată fără numărarea cazurilor posibile; concluzia „determinantul este negativ" în loc de „este cel mult zero"; convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; recurența scrisă fără termenul din afara integralei, cel provenit din integrarea prin părți.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; adunarea și înmulțirea se fac ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Intersecția a două grafice: abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$; înainte de egalare, totul se aduce la aceeași bază, folosind $a\cdot a^k=a^{k+1}$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; „divizibil cu $3$ și cu $5$" înseamnă „divizibil cu $15$". Dreapta prin două puncte: panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, apoi $y-y_A=m(x-x_A)$; trei puncte sunt coliniare când al treilea verifică ecuația dreptei primelor două. Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$, cu $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea se calculează cel mai repede dezvoltând după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri; $\det (XY)=\det X\cdot \det Y$; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid.
• Polinoame: $f(a)=0⟺a$ este rădăcină; teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, dintre care aici lucrează produsul $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$; un polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.
• Derivate: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; o funcție de două ori derivabilă este convexă pe un interval exact când $f^{\prime \prime }\ge 0$ acolo. Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; pentru a compara doi termeni ai unui șir de integrale se studiază semnul diferenței $I_{n+1}-I_n$, scrisă ca o singură integrală.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+1$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=e^x-1-\ln (x+2)$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $8$ (parametrul polinomului) și, la itemul $6$, notează unghiul $A$ al triunghiului, scris cu literă mare. Nu au nicio legătură între ele.
• Litera $n$ apare la itemul $7$ ca număr natural necunoscut și la itemul $10$ ca indice al șirului de integrale $I_n$. La itemul $10$, ${\ln }^{n}x$ înseamnă $(\ln x{)}^n$, adică puterea a $n$-a a logaritmului, nu logaritmul aplicat de $n$ ori.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=5+2i$ și $z_2=3-3i$. Arătați că $3z_1+2z_2=21$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-x+2$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2+3}=3\cdot 3^{3x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(2,4)$ și $C(m,0)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$, știind că $AB=4$, $AC=8$ și $A=\frac{\pi }{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}2-x& 0& x-1\\ 0& 1& 0\\ 2(1-x)& 0& 2x-1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(x)A(-x))\le 0$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă numerele naturale $m$ și $n$ verifică relația $A(m)A(n)=A(2)$, atunci $m+n=3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+aX+1$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=2$, calculați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+X+1$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care rădăcinile polinomului $f$ au modulele egale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-1-\ln (x+2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(-2,+\infty )$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_1^{e}x{\ln }^{n}xdx$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e}xdx=\frac{e^2-1}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n+1}\le I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înmulțește fiecare număr cu factorul lui și se desfac parantezele: $$3z_1+2z_2=3(5+2i)+2(3-3i)=15+6i+6-6i\text{(3 p)}.$$ Termenii $+6i$ și $-6i$ se reduc, deci $$3z_1+2z_2=15+6=21\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $6-6=0$, iar partea reală $15+6=21$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză cu factorul din față.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția graficelor a două funcții.

Abscisele punctelor comune celor două grafice sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$: $$x+1=x^2-x+2⟺x^2-2x+1=0\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este pătrat perfect, $(x-1{)}^2=0$, deci ecuația are rădăcina dublă $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Verificare: $f(1)=2$ și $g(1)=1-1+2=2$, deci punctul comun este $(1,2)$. Unde se greșește de obicei: se scriu două soluții, ca la orice ecuație de gradul al doilea. Aici $\Delta =4-4=0$, deci există un singur punct de intersecție — dreapta este tangentă parabolei.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se aduce la aceeași putere a lui $3$, folosind $3\cdot 3^{3x}=3^{1+3x}$. Cum funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, exponenții sunt egali: $$3^{x^2+3}=3^{1+3x}⟺x^2+3=1+3x⟺x^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =9-8=1$, deci $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=1$, $3^4=81$ și $3\cdot 3^3=81$; pentru $x=2$, $3^7=2187$ și $3\cdot 3^6=2187$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $3$ din față, adică se egalează $x^2+3$ cu $3x$; ecuația $x^2-3x+3=0$ nu are soluții reale, ceea ce ar trebui să dea imediat de bănuit.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Un număr este divizibil și cu $3$, și cu $5$ exact când este divizibil cu $15$, cele două numere fiind prime între ele. Multiplii lui $15$ cu două cifre sunt $15,30,45,60,75,90$, deci sunt $6$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se caută numerele divizibile cu $3$ sau cu $5$, ori se ia „divizibil cu $3$ și cu $5$" drept „divizibil cu $8$". Control: între $10$ și $99$ intră multiplii $15\cdot 1$ până la $15\cdot 6$, adică șase numere.)

Itemul 5. (5 p) — coliniaritate în reper cartezian.

Dreapta $AB$ are panta $\frac{4-2}{2-0}=1$ și trece prin $A(0,2)$, deci ecuația ei este $$y=x+2\text{(2 p)}.$$ Punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare exact când $C$ aparține dreptei $AB$; înlocuind coordonatele lui $C(m,0)$ obținem $0=m+2$, deci $\mathbf{m}=-2$ (3 p).

(Control cu determinantul: coliniaritatea celor trei puncte revine la $\left|\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 2& 4& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\right|=0$, ceea ce se verifică prin calcul direct. Unde se greșește de obicei: se scrie panta răsturnat, $\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$, sau se uită semnul minus la final.)

Itemul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Latura $BC$ se opune unghiului $A$, deci se aplică teorema cosinusului cu $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=16+64-2\cdot 4\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=48\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $$BC=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $4\sqrt{3}\approx 6,93$, o valoare cuprinsă între $8-4=4$ și $8+4=12$, adică respectă inegalitatea triunghiului. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, care este de fapt $\sin \frac{\pi }{3}$, sau se uită semnul minus din formulă.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 3\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 3\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul de pe cele trei diagonale „ascendente" este $1\cdot 1\cdot (-2)$, iar el intră cu semn schimbat: $$\begin{array}{rl}\det (A(2))& =0+0+0-(-2)-0-0\\ & =2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Drum mai scurt: se dezvoltă după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(2))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right|=0+2=2$. Linia a doua a matricei $A(x)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)$ pentru orice $x$, deci trucul merge la orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc întâi cele două matrice, înlocuind în a doua $x$ cu $-x$: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(-x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2+x^2& 0& -x^2-1\\ 0& 1& 0\\ 2+2x^2& 0& -2x^2-1\end{array}\right)\\ & ⟹\det (A(x)A(-x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2+x^2& 0& -x^2-1\\ 0& 1& 0\\ 2+2x^2& 0& -2x^2-1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dezvoltând tot după linia a doua rămâne un determinant de ordinul al doilea: $$\begin{array}{rl}& \det (A(x)A(-x))\\ & =(x^2+2)(-2x^2-1)-(-x^2-1)(2x^2+2)\\ & =-x^2\le 0,\end{array}$$ pentru orice număr real $x$ (2 p).

(Drum și mai scurt, care explică rezultatul: $\det (A(x))=1\cdot [(2-x)(2x-1)-(x-1)\cdot 2(1-x)]=-2x^2+5x-2+2(x-1{)}^2=x$. Deci determinantul familiei este chiar parametrul, iar $\det (A(x)A(-x))=\det (A(x))\cdot \det (A(-x))=x\cdot (-x)=-x^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie concluzia „este strict negativ" — pentru $x=0$ determinantul este zero, de aceea enunțul cere „cel mult zero".)

c) (5 p) Se înmulțesc două matrice oarecare din familie. Termenii se grupează astfel încât fiecare poziție să depindă numai de produsul $mn$: $$\begin{array}{rl}& A(m)A(n)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2-mn& 0& mn-1\\ 0& 1& 0\\ 2(1-mn)& 0& 2mn-1\end{array}\right)\\ & =A(mn)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Relația din enunț devine $A(mn)=A(2)$; două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid, deci $mn=2$. Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, singurele posibilități sunt $m=1$, $n=2$ sau $m=2$, $n=1$, iar în ambele cazuri $\mathbf{m}+\mathbf{n}=3$ (2 p).

(Control pe determinant: din $A(m)A(n)=A(2)$ rezultă $\det (A(m))\cdot \det (A(n))=\det (A(2))$, adică $mn=2$ — aceeași concluzie, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se caută soluții reale, uitând că enunțul cere numere naturale; peste numerele reale, $mn=2$ are o infinitate de soluții, iar suma $m+n$ nu mai este constantă. Reține că această familie se compune înmulțind parametrii, nu adunându-i.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$: $$f(1)=0⟺1^3+2\cdot 1^2+a\cdot 1+1=0\text{(2 p)}.$$ Suma din stânga este $4+a$, deci $\mathbf{a}=-4$ (3 p).

(Verificare: pentru $a=-4$ polinomul devine $X^3+2X^2-4X+1$, iar $f(1)=1+2-4+1=0$. Observație folositoare la subpunctul c): la fel se calculează $f(-1)=-1+2-a+1=2-a$.)

b) (5 p) Pentru $a=2$ polinomul este $f=X^3+2X^2+2X+1$. Se observă că el se grupează chiar în jurul împărțitorului: $$f=X(X^2+X+1)+(X^2+X+1)=(X^2+X+1)(X+1),\text{ deci caˆtul este }\mathbf{X}+1\text{(3 p)}.$$ Nu rămâne nimic în afara produsului, deci restul este $0$ (2 p).

(Verificare prin desfacere: $(X^2+X+1)(X+1)=X^3+X^2+X+X^2+X+1=X^3+2X^2+2X+1$, adică exact $f$. Unde se greșește de obicei: se oprește împărțirea cu un rest de gradul întâi; restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât $2$, iar aici a ieșit chiar nul, semn că $X^2+X+1$ divide polinomul.)

c) (5 p) Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{1}{1}=-1$. Dacă toate modulele sunt egale, notând valoarea lor comună cu $r$, avem $r^3=|x_1|\cdot |x_2|\cdot |x_3|=1$, deci $$|x_1|=|x_2|=|x_3|=1\text{(2 p)}.$$ Polinomul are gradul al treilea și coeficienți reali, deci are cel puțin o rădăcină reală; fiind și de modul $1$, această rădăcină este $-1$ sau $1$ (1 p).

Dacă o rădăcină este $-1$, atunci $f(-1)=0$, adică $2-a=0$, deci $a=2$; valoarea convine, pentru că atunci $f=(X^2+X+1)(X+1)$, iar celelalte două rădăcini, $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, au tot modulul $1$ (1 p).

Dacă o rădăcină este $1$, atunci $f(1)=0$, adică $4+a=0$, deci $a=-4$; valoarea nu convine, pentru că atunci $f=(X-1)(X^2+3X-1)$, iar celelalte două rădăcini, $\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}$, sunt reale și distincte, cu module diferite. Rămâne $\mathbf{a}=2$ (1 p).

(Control numeric pentru $a=2$: rădăcinile sunt $-1$ și $-0,5\pm 0,866i$, iar $\sqrt{0,5^2+0,866^2}=1$ pentru amândouă. Control pentru $a=-4$: rădăcinile sunt $1$, $0,303$ și $-3,303$, cu module vizibil diferite. Unde se greșește de obicei: se caută doar rădăcini reale, uitând că un polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali poate avea două rădăcini complexe conjugate — și că tocmai ele au același modul, oricare ar fi partea imaginară.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, convexitate și limită la infinit.

a) (5 p) Funcția este o sumă de trei termeni, deci se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=(e^x{)}^{\prime }-(1{)}^{\prime }-(\ln (x+2){)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata unei constante este nulă, iar logaritmul compus se derivează cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=x+2$ are $u^{\prime }(x)=1$: $$f^{\prime }(x)=e^x-0-\frac{(x+2{)}^{\prime }}{x+2}=e^x-\frac{1}{x+2},x\in (-2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=e-\frac{1}{3}\approx 2,385$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (x+2)$ ca $\frac{1}{x}$, uitând deplasarea cu $2$.)

b) (5 p) Convexitatea se citește din semnul derivatei a doua, deci se mai derivează o dată. Termenul $-\frac{1}{x+2}=-(x+2{)}^{-1}$ are derivata $(x+2{)}^{-2}$, deci $$f^{\prime \prime }(x)=e^x+\frac{1}{(x+2{)}^2},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $(-2,+\infty )$ ambii termeni sunt strict pozitivi: exponențiala este pozitivă oriunde, iar numitorul $(x+2{)}^2$ este un pătrat nenul. Așadar $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe tot intervalul, deci funcția $f$ este convexă pe $(-2,+\infty )$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se derivează $-\frac{1}{x+2}$ păstrând semnul minus, adică se scrie $f^{\prime \prime }(x)=e^x-\frac{1}{(x+2{)}^2}$ — atunci semnul nu s-ar mai putea decide. Regula de care depinde totul: ${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$, iar minusul din față îl anulează pe cel din formulă. Control numeric: $f^{\prime \prime }(0)=1+0,25=1,25>0$ și $f^{\prime \prime }(-1,9)\approx 0,15+100>0$.)

c) (5 p) Raportul se sparge în două bucăți, fiecare cu limita ei. Prima este o nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$, rezolvată cu regula lui l'Hospital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \text{(2 p)}.$$ A doua este tot $\frac{\infty }{\infty }$, dar cu limită finită: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x+2)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+2}=0\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{e^x-1}{x}-\frac{\ln (x+2)}{x}\right)=+\infty \text{(1 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{f(30)}{30}=\frac{e^{30}-1-\ln 32}{30}\approx 3,6\cdot 10^{11}$ — creșterea este într-adevăr nemărginită. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hospital direct pe raportul întreg, ceea ce e corect, dar duce la $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x-\frac{1}{x+2}\right)$, unde tot trebuie spus că exponențiala învinge. Ideea de reținut: exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui $x$, iar logaritmul mai încet decât orice putere.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale definite și recurență.

a) (5 p) Pentru $n=0$ integrandul se reduce la $x$, iar o primitivă a lui este $\frac{x^2}{2}$: $${\int }_1^{e}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^{e}xdx=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\mathbf{e}}^2-1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{e^2-1}{2}\approx 3,1945$, iar aria trapezului dreptunghic de sub dreapta $y=x$, între $x=1$ și $x=e\approx 2,718$, este $\frac{(1+2,718)\cdot 1,718}{2}\approx 3,194$. Observație: acest subpunct nu este $I_0$ din enunț, fiindcă șirul începe de la $n=1$; este însă exact integrala care apare la subpunctul c).)

b) (5 p) Pe intervalul de integrare, logaritmul ia valori între $0$ și $1$: $$x\in [1,e]⟹0\le \ln x\le 1⟹\ln x-1\le 0\text{(2 p)}.$$ Diferența celor doi termeni ai șirului se scrie ca o singură integrală, iar integrandul are semn constant, pentru că $x\ge 1>0$ și ${\ln }^{n}x\ge 0$: $$I_{n+1}-I_n={\int }_1^{e}x{\ln }^{n}x(\ln x-1)dx\le 0,\text{ deci }{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}},$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Control numeric: $I_1\approx 2,0973$, $I_2\approx 1,5973$, $I_3\approx 1,2986$ — șirul chiar scade. Unde se greșește de obicei: se compară integranzii fără a spune de ce inegalitatea dintre funcții se transmite integralelor; regula folosită este că, dacă $u\le v$ pe $[a,b]$ cu $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$. A doua capcană este semnul: pe $[1,e]$ logaritmul este subunitar, deci puterile lui scad când exponentul crește.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, luând $x$ drept derivata lui $\frac{x^2}{2}$ și derivând puterea logaritmului, cu $({\ln }^{n+1}x{)}^{\prime }=(n+1){\ln }^{n}x\cdot \frac{1}{x}$: $$I_{n+1}={\int }_1^{e}x{\ln }^{n+1}xdx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{n+1}x{|}_1^e-\frac{n+1}{2}{\int }_1^{e}x{\ln }^{n}xdx\text{(3 p)}.$$ În termenul din afara integralei, la capătul $x=1$ logaritmul este nul, iar la capătul $x=e$ este $1$, deci rămâne $\frac{e^2}{2}$. Integrala rămasă este chiar $I_n$, așa că $$I_{n+1}=\frac{e^2}{2}-\frac{n+1}{2}{I}_n,\text{ de unde }2{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}+(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{e}}^2,$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (2 p).

(Control numeric pentru $n=1$: $2\cdot 1,5973+2\cdot 2,0973\approx 7,389$, iar $e^2\approx 7,389$. Pentru $n=3$: $2\cdot 1,0973+4\cdot 1,2986\approx 7,389$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{x}$ din derivata puterii logaritmului — el este exact cel care simplifică pe $x^2$ până la $x$ și face ca în dreapta să reapară $I_n$, nu altă integrală. A doua capcană este termenul din afara integralei: la $x=1$ el se anulează, dar trebuie scris, nu sărit.)