Bac M1 2017, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, la examenul național de bacalaureat 2017, de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Ce este „modelul" și cu ce diferă de un subiect de sesiune. Modelul se publică la începutul anului școlar, cu multe luni înaintea examenului, și are un singur rol: să arate structura, nivelul și tipul de cerințe ale probei din acel an. Nu este extras dintr-un plic în ziua examenului și nu poartă număr de variantă — în locul lui, în colțul din dreapta sus scrie chiar cuvântul „Model". Baremul lui este însă la fel de oficial ca al oricărei sesiuni și se citește la fel: pe pași, cu punctaje fixe.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea în formă algebrică și recunoașterea unui număr real după partea imaginară nulă — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(0)=f(g(0))$, calculată dinăuntru în afară — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu multiplii lui $7$ de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, citită de la dreapta la stânga — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, o egalitate de determinanți demonstrată cu parametru și o ecuație matriceală rezolvată prin identificare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcina $1$ și determinarea parametrului, împărțirea cu rest și un argument prin suma pătratelor rădăcinilor, care nu poate fi negativă dacă toate rădăcinile sunt reale — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă și numărul de soluții: derivarea unei funcții polinomiale de grad foarte mare, ecuația tangentei într-un punct dat prin abscisă și discuția numărului de soluții din tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: o integrală simplă de pornire, o relație de recurență obținută prin recompunerea numitorului la numărător și limita $\lim n{I}_n$, calculată cu criteriul cleștelui — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2017. Modelul acesta este, prin construcție, o probă completă și grea la final. Subiectul I este rapid și fără capcane, cu excepția itemului $3$, unde una dintre cele două rădăcini nu verifică condițiile de existență și trebuie respinsă explicit. Subiectul al II-lea aduce, la itemul $8$, subpunctul c), un tipar clasic de examen: suma pătratelor rădăcinilor unui polinom, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2$, folosită nu ca să calculeze ceva, ci ca să demonstreze o imposibilitate — un număr real nu are pătratul negativ. Subiectul al III-lea este partea cea mai grea: problema $1$ lucrează cu exponenți uriași, $x^{2018}$ și $x^{2017}$, care sperie la prima vedere dar se derivează după regula obișnuită; problema $2$ este un șir de integrale complet, cu recurență și cu o limită care se rezolvă doar prin încadrare între două șiruri — modelul anunța astfel, din octombrie, că sesiunea din 2017 va cere și acest tip de raționament.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi sau fracții simple, de forma $\frac{13}{90}$, $\frac{10}{3}$ și $\frac{1}{5}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația tangentei scrisă fără $f(0)$ și $f^{\prime }(0)$; numărul de soluții afirmat fără tabloul de variație complet, cu limitele la capete; limita unui șir de integrale afirmată fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă. Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(0)=f(g(0))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\Rightarrow u=v$, dar numai după ce se verifică $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Geometrie analitică: două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă; dreapta de pantă $m$ prin $A(x_0,y_0)$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$. Trigonometrie: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ și $\cos \frac{\pi }{2}=0$.
• Matrice: determinantul unei matrice cu multe zerouri se dezvoltă după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $s_1=x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $s_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$; suma pătratelor rădăcinilor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2$ — dacă iese negativă, rădăcinile nu pot fi toate reale.
• Derivate și tangente: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, oricât de mare ar fi $n$; ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Numărul de soluții ale ecuației $f(x)=0$ se citește din tabloul de variație: pe fiecare interval de monotonie strictă există cel mult o soluție, iar existența ei se decide comparând semnele valorilor de la capete.
• Șiruri de integrale: relația de recurență se obține recompunând numitorul la numărător, adică scriind $x^{n+1}+2x^n+2x^{n-1}=x^{n-1}(x^2+2x+2)$; monotonia se demonstrează prin semnul diferenței $I_{n+1}-I_n$; limita se obține cu criteriul cleștelui, încadrând $n{I}_n$ între două șiruri cu aceeași limită.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-1$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=x^{2018}+2018x+2$ de la itemul $9$ — plus, la itemul $10$, integrandul, care nu poartă nume. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris.
• Litera $a$ este parametru la itemul $8$ (coeficientul lui $X^2$) și necunoscută la itemul $9$, subpunctul b) (abscisa unui punct de pe tangentă). Sunt probleme diferite; litera se reia de la zero la fiecare item. La itemul $6$, tot litera $a$ nu apare deloc — formula generală $\cos (a-b)$ o folosim doar noi, în explicație.
• Notațiile $A(x)$ și $B(x)$ de la itemul $7$ desemnează matrice, nu puncte în plan; $A(a,2020)$ de la itemul $9$, subpunctul b), desemnează în schimb chiar un punct din reperul cartezian. Litera $A$ are deci două înțelesuri în aceeași probă, iar fiecare se citește din context.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=2+3i$ și $z_2=4-6i$. Arătați că numărul $z_1{z}_2+2z_1+z_2$ este real.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați $(f\circ g)(0)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+x+1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(x^2-4)={\log }_5(5x-8)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $7$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x-2017$ și punctul $A(1,0)$. Determinați ecuația paralelei duse prin punctul $A$ la dreapta $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\sin x+\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cos x=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}A(x)& =\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& x\\ 0& x& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(2))$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(x)+B(x))=\det (B(x))$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ și $p$, știind că $A(n)B(p)=B(3)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+8X+3$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=6$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+5X+3$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $a\in (-4,4)$, atunci polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2018}+2018x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2018(x^{2017}+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(a,2020)$ aparține tangentei la graficul funcției $f$ care trece prin punctul de abscisă $x=0$ situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+2x+2}dx$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(x^2+2x+2)dx$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\frac{1}{n}$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{5}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiesc cele două numere și se desfac parantezele, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$z_1{z}_2+2z_1+z_2=(2+3i)(4-6i)+2(2+3i)+4-6i\text{(2 p)}.$$ Efectuând înmulțirile și folosind $i^2=-1$, toți termenii cu $i$ se reduc: $$z_1{z}_2+2z_1+z_2=8-12i+12i-18i^2+4+6i+4-6i=34,\text{care este numa˘r real}\text{(3 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-12+12+6-6=0$, iar partea reală $8+18+4+4=34$. Un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă — de aceea concluzia „este real" trebuie scrisă, nu doar rezultatul. Unde se greșește de obicei: se scrie $-18i^2=-18$ în loc de $+18$; semnul se schimbă pentru că $i^2=-1$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară. Întâi valoarea funcției interioare: $$g(0)=0^2+0+1=1\text{(2 p)}.$$ Acest rezultat intră ca argument în funcția exterioară: $$(f\circ g)(0)=f(g(0))=f(1)=2\cdot 1-1=1\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se compune în ordine inversă, adică se calculează $(g\circ f)(0)=g(-1)=1$ — aici, din întâmplare, iese aceeași valoare, dar ordinea contează și baremul punctează scrierea corectă $f(g(0))$. A doua capcană este produsul $f(0)\cdot g(0)=-1$, care nu are nicio legătură cu compunerea.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii având aceeași bază, ecuația se reduce la egalarea argumentelor: $$x^2-4=5x-8⟹x^2-5x+4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $1$ și $4$, dar ele trebuie trecute prin condițiile de existență, $x^2-4>0$ și $5x-8>0$: $$x=1,\text{care nu verifica˘ ecuația};x=4,\text{care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$ (De ce cade $x=1$: argumentul primului logaritm ar deveni $1-4=-3<0$, iar logaritmul unui număr negativ nu există. Verificare pentru $x=4$: ${\log }_5(16-4)={\log }_{5}12$ și ${\log }_5(20-8)={\log }_{5}12$ — cele două membre coincid. Unde se greșește de obicei: se dau ambele rădăcini, fără nicio verificare. La ecuațiile logaritmice, condițiile de existență sunt parte din soluție, nu o formalitate.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$, deci $$\text{sunt }90\text{ de numere naturale de doua˘ cifre, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Multiplii lui $7$ dintre ele sunt $14,21,28,\dots ,98$, adică $7k$ cu $k$ de la $2$ la $14$: $$\text{sunt }13\text{ numere naturale de doua˘ cifre, multipli de }7,\text{deci sunt }13\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul dintre cele două numărători: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{13}{90}\text{(2 p)}.$$ (Numărătoarea, pe scurt: multiplii lui $7$ de la $10$ la $99$ sunt $7\cdot 2$ până la $7\cdot 14$, deci $14-2+1=13$. Fracția $\frac{13}{90}$ este ireductibilă, pentru că $13$ este prim și nu divide $90$. Unde se greșește de obicei: se numără $\lfloor \frac{99}{7}\rfloor =14$ multipli, uitând că $7$ însuși are o singură cifră; sau se iau $100$ de cazuri posibile. Observă că acest item are trei rânduri de barem, nu două — punctajul se acordă separat pentru cazurile posibile, pentru cele favorabile și pentru raport.)

Itemul 5. (5 p) — paralelă la o dreaptă dată.

Două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar panta dreptei $d$ se citește direct din forma $y=mx+n$: $$\text{dreapta paralela˘ cu dreapta }d\text{are panta egala˘ cu }3\text{(2 p)}.$$ Dreapta de pantă $3$ care trece prin $A(1,0)$ are ecuația $y-0=3(x-1)$, adică $$\text{ecuația paralelei duse prin punctul }A\text{la dreapta }d\text{este}\mathbf{y}=3x-3\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $x=1$ ecuația dă $y=0$, deci dreapta trece într-adevăr prin $A$; iar coeficientul lui $x$ este $3$, la fel ca la $d$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și termenul liber al dreptei $d$, adică se scrie $y=3x-2017$ — aceeași dreaptă, nu o paralelă prin $A$. Termenul liber este singurul lucru care se schimbă la o translație.)

Itemul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Expresia are exact forma din formula cosinusului diferenței, $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, citită de la dreapta la stânga, cu $a=\frac{\pi }{2}+x$ și $b=x$: $$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\sin x+\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cos x=\cos \left(\frac{\pi }{2}+x-x\right)\text{(3 p)}.$$ Paranteza se simplifică la $\frac{\pi }{2}$, iar cosinusul acestui unghi este nul: $$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\sin x+\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cos x=\cos \frac{\pi }{2}=0,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, la fel de corect: se folosesc formulele de reducere $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x$, iar expresia devine $\cos x\sin x-\sin x\cos x=0$. Control numeric: pentru $x=0,7$ expresia calculată direct dă $0,0000000$. Unde se greșește de obicei: se aplică formula sumei, $\cos (a+b)$, în loc de cea a diferenței — semnul plus dintre cele două produse cere diferență, nu sumă.)

Itemul 7. (15 p) — două familii de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $x=2$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(2)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Matricea fiind diagonală, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $$\det (A(2))=2\cdot 2\cdot 1=4\text{(3 p)}.$$ (Regula, în general: determinantul unei matrice diagonale — sau triunghiulare — este produsul elementelor de pe diagonala principală. Toate celelalte produse din regula lui Sarrus conțin cel puțin un zero. Unde se greșește de obicei: se adună elementele în loc să se înmulțească.)

b) (5 p) Se adună cele două matrice element cu element și se calculează determinantul sumei, dezvoltând după linia a doua, care are un singur element nenul: $$\begin{array}{rl}& A(x)+B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& 0& x\\ 0& 2x& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\\ & ⟹\det (A(x)+B(x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}x& 0& x\\ 0& 2x& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right|=2x^2-4x^2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul lui $B(x)$ se calculează la fel de comod, dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \det (A(x)+B(x))\\ & =-2x^2=\det (B(x)),\\ & \text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Calculul lui $\det (B(x))$, pe scurt: singurul element nenul din prima linie este $x$, pe coloana a treia, deci $\det (B(x))=x\cdot \left|\begin{array}{cc}0& x\\ 2& 0\end{array}\right|=x\cdot (-2x)=-2x^2$. Control numeric pentru $x=3$: ambii determinanți dau $-18$. Unde se greșește de obicei: se crede că $\det (A+B)=\det A+\det B$ — fals în general; aici egalitatea cerută este cu $\det B$ singur, iar ea se demonstrează prin calcul, nu prin vreo regulă. De altfel $\det (A(x))=x^2$, deci suma determinanților ar fi $x^2-2x^2=-x^2$, altceva.)

c) (5 p) Se calculează întâi produsul cu parametri, apoi se compară cu matricea din membrul drept: $$\begin{array}{rl}& A(n)B(p)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}n& 0& 0\\ 0& n& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& p\\ 0& p& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& np\\ 0& np& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right),\\ B(3)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid, deci $$\begin{array}{rl}& A(n)B(p)\\ & =B(3)⟺np\\ & =3\text{ și, cum }n\text{ și }p\text{ sunt numere naturale, obținem }\mathbf{n}=1,\mathbf{p}=3\text{ sau }\mathbf{n}=3,\mathbf{p}=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De ce doar aceste două perechi: $3$ este număr prim, deci se scrie ca produs de două numere naturale doar ca $1\cdot 3$ sau $3\cdot 1$. Control: pentru $n=1$, $A(1)$ este matricea unitate, iar produsul este chiar $B(3)$; pentru $n=3$ și $p=1$, factorul $3$ intră prin $A$. Unde se greșește de obicei: se dă o singură pereche, deși enunțul cere „numerele naturale $n$ și $p$" — sunt două soluții; sau se acceptă valori negative, excluse de condiția „naturale".)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$: $$f(1)=0⟺1^3+a\cdot 1^2+8\cdot 1+3=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $12+a=0$, de unde $\mathbf{a}=-12$ (3 p).

(Control: pentru $a=-12$ polinomul este $X^3-12X^2+8X+3$, iar suma coeficienților este $1-12+8+3=0$ — exact $f(1)$. Unde se greșește de obicei: se uită unul dintre termenii constanți, $8$ sau $3$. Reper util: $f(1)$ este întotdeauna suma coeficienților polinomului, deci se poate citi direct.)

b) (5 p) Pentru $a=6$ polinomul este $f=X^3+6X^2+8X+3$. Efectuând împărțirea, primul termen al câtului este $X$, iar după scădere rămâne $X^2+5X+3$, adică exact împărțitorul, deci al doilea termen al câtului este $1$: $$a=6⟹f=X^3+6X^2+8X+3\text{ și caˆtul este }\mathbf{X}+1\text{(3 p)}.$$ Restul este $0$ (2 p).

(Verificare prin desfacere: $(X^2+5X+3)(X+1)=X^3+X^2+5X^2+5X+3X+3=X^3+6X^2+8X+3$, adică exact $f$. Restul fiind nul, împărțitorul este divizor al lui $f$. Unde se greșește de obicei: se oprește împărțirea prea devreme și se declară rest un polinom de gradul întâi; restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât $2$, iar aici a ieșit chiar $0$. Control rapid: $f(-1)=-1+6-8+3=0$ și $(X^2+5X+3)$ în $-1$ dă $-1$, deci $-1$ este rădăcină a câtului.)

c) (5 p) Se scriu relațiile lui Viète și se calculează suma pătratelor rădăcinilor, care este expresia-cheie a subpunctului: $$x_1+x_2+x_3=-a,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=8⟹x_1^2+x_2^2+x_3^2=a^2-16\text{(3 p)}.$$ Pentru $a\in (-4,4)$ obținem $a^2-16<0$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2<0$, adică polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale (2 p).

(Argumentul, pe scurt: dacă toate cele trei rădăcini ar fi reale, pătratele lor ar fi numere nenegative, iar suma lor nu ar putea fi negativă. Contradicția arată că cel puțin una este complexă nereală — de fapt două, pentru că rădăcinile complexe nereale ale unui polinom cu coeficienți reali vin în perechi conjugate. Formula folosită este $x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2=a^2-2\cdot 8$. Control numeric pentru $a=0$: polinomul $X^3+8X+3$ are o singură rădăcină reală, aproximativ $-0,373$, și două complexe conjugate. Unde se greșește de obicei: se încearcă discriminantul unei ecuații de gradul al treilea, care nu este în programă; sau se uită factorul $2$ din $s_1^2-2s_2$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și numărul de soluții.

a) (5 p) Derivata unei sume este suma derivatelor, iar puterea se derivează cu $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, oricât de mare ar fi exponentul: $$f^{\prime }(x)=(x^{2018}{)}^{\prime }+(2018x{)}^{\prime }+2^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Calculând fiecare termen și dând factor comun $2018$: $$f^{\prime }(x)=2018x^{2017}+2018=2018({\mathbf{x}}^{2017}+1),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Derivata unei constante este zero, de aceea termenul $2$ dispare. Factorul comun $2018$ apare pentru că exponentul funcției și coeficientul termenului liniar sunt egali — o coincidență voită a subiectului, care pregătește subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se scrie exponentul $2018$ în loc de $2017$ la derivată; regula coboară exponentul în față și îl micșorează cu unu.)

b) (5 p) Punctul de abscisă $x=0$ de pe grafic are ordonata $f(0)=2$, iar panta tangentei acolo este $f^{\prime }(0)=2018(0+1)=2018$. Ecuația tangentei se scrie cu formula $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$: $$\text{ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{adica˘}y=2018x+2\text{(3 p)}.$$ Punctul $A(a,2020)$ aparține acestei drepte exact când coordonatele lui o verifică: $$2020=2018a+2⟺\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $a=1$, punctul este $A(1,2020)$, iar tangenta în $x=1$ dă $2018\cdot 1+2=2020$ — se verifică. Atenție: $A$ este pe tangentă, nu neapărat pe graficul funcției; într-adevăr, $f(1)=1+2018+2=2021\ne 2020$. Unde se greșește de obicei: se confundă abscisa punctului de tangență, $x=0$, cu abscisa lui $A$; sau se scrie tangenta fără termenul liber $f(0)=2$.)

c) (5 p) Se studiază monotonia din semnul derivatei. Cum $2018>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^{2017}+1$, iar exponentul fiind impar funcția $x\mapsto x^{2017}$ este strict crescătoare, deci $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1\text{(2 p)},$$ cu $f^{\prime }<0$ pe $(-\infty ,-1)$ și $f^{\prime }>0$ pe $(-1,+\infty )$. Se citește apoi tabloul de variație, cu limitele la capete: $$\text{Cum}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,f(-1)=-2015,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\text{ecuația }f(x)=0\text{are exact doua˘ soluții reale distincte}\text{(3 p)}.$$ (Cum se citește concluzia: pe $(-\infty ,-1)$ funcția scade continuu de la $+\infty$ la $-2015<0$, deci traversează axa exact o dată; pe $(-1,+\infty )$ crește continuu de la $-2015$ la $+\infty$, deci traversează din nou exact o dată. Stricta monotonie garantează că nu există mai mult de o soluție pe fiecare ramură, iar continuitatea plus schimbarea de semn garantează că există cel puțin una. Valoarea minimului: $f(-1)=(-1{)}^{2018}+2018\cdot (-1)+2=1-2018+2=-2015$; exponentul $2018$ fiind par, puterea este $+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^{2018}=-1$; sau se sare peste limitele la capete, care sunt exact partea ce demonstrează existența soluțiilor.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale, recurență și limită.

a) (5 p) Integrala este a unei funcții polinomiale, deci se calculează termen cu termen: $${\int }_0^1(x^2+2x+2)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2\cdot \frac{x^2}{2}+2x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele: $${\int }_0^1(x^2+2x+2)dx=\frac{1}{3}+1+2=\frac{10}{3}\text{(2 p)}.$$ (Acest subpunct este pregătitor: el pune în față chiar numitorul șirului $I_n$, adică trinomul $x^2+2x+2$, care va fi recompus la subpunctul b). Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $3,33333$. Unde se greșește de obicei: se uită capătul de jos, care aici chiar dă zero, sau se scrie primitiva lui $2x$ ca $2x^2$ în loc de $x^2$.)

b) (5 p) Se adună cele trei integrale într-una singură, folosind liniaritatea; toate au același numitor: $$I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}={\int }_0^1\frac{x^{n+1}+2x^n+2x^{n-1}}{x^2+2x+2}dx\text{(2 p)}.$$ La numărător se dă factor comun $x^{n-1}$, iar paranteza rămasă este chiar numitorul, care se simplifică: $$I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}={\int }_0^1\frac{x^{n-1}(x^2+2x+2)}{x^2+2x+2}dx={\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\frac{x^n}{n}{|}_0^1=\frac{1}{\mathbf{n}},$$ pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$ (3 p).

(De ce se cere $n\ge 2$: pentru $n=1$ ar apărea $I_0$, iar șirul este definit doar pentru $n$ natural nenul; în plus, la $n=1$ integrandul $x^{n-1}=x^0$ ar fi tot bun, dar recurența trebuie să lege termeni existenți. Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1\ge 1>0$ pe tot $[0,1]$. Control numeric pentru $n=3$: $I_4+2I_3+2I_2$ calculat numeric dă $0,333333$, adică $\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se încearcă efectuarea fiecărei integrale separat, ceea ce cere descompunerea în fracții simple a unui trinom fără rădăcini reale — un drum lung și inutil.)

c) (5 p) Se arată întâi că șirul este descrescător, prin semnul diferenței a doi termeni consecutivi. Pe $[0,1]$ avem $x-1\le 0$, deci integrandul este negativ: $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1\frac{x^n(x-1)}{x^2+2x+2}dx\le 0,\text{deci }{I}_{n+1}\le I_n,\text{pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(1 p)}.$$ Cu monotonia, cei trei termeni din recurență se pot înlocui prin cel mai mic, respectiv prin cel mai mare: $$5I_{n+1}\le I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}\le 5I_{n-1}⟹5I_{n+1}\le \frac{1}{n}\le 5I_{n-1},\text{pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(2 p)}.$$ Rescriind cele două inegalități cu indicele $n$ și înmulțind cu $n$, se obține încadrarea care închide problema: $$\text{pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2,\frac{n}{5(n+1)}\le n{I}_n\le \frac{n}{5(n-1)},\text{deci}\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$ (Cum se rescriu inegalitățile: din $5I_{n+1}\le \frac{1}{n}$, înlocuind $n$ cu $n-1$, iese $5I_n\le \frac{1}{n-1}$, deci $n{I}_n\le \frac{n}{5(n-1)}$; din $\frac{1}{n}\le 5I_{n-1}$, înlocuind $n$ cu $n+1$, iese $\frac{1}{n+1}\le 5I_n$, deci $n{I}_n\ge \frac{n}{5(n+1)}$. Ambele margini tind la $\frac{1}{5}$, iar criteriul cleștelui dă limita. Control numeric: $n{I}_n$ pentru $n=2000$ dă aproximativ $0,1999$. Unde se greșește de obicei: se spune „$I_n\to 0$, deci $n{I}_n\to 0$" — o nedeterminare de tipul $\infty \cdot 0$, care nu se rezolvă așa; sau se aplică l'Hospital, imposibil pe un șir. Observă că acest subpunct are trei rânduri de barem, nu două. Reperul $\frac{1}{5}$ vine din valoarea numitorului în capătul $x=1$: $1+2+2=5$ — acolo se concentrează masa integralei când $n$ crește.)