Bac M1 2017, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale pentru clasa a XII-a, la proba E. c), Matematică M_mate-info, din anul 2017. Subiectul de simulare se dă tuturor elevilor de a XII-a din țară, în aceeași zi, ca repetiție generală a examenului; el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Simulare". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: raționalizarea unui raport de numere complexe și suma a două rapoarte conjugate, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea și relațiile lui Viète: pătratul diferenței rădăcinilor, scris cu suma și produsul lor — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională de tipul $\sqrt{u(x)}=v(x)$: ridicarea la pătrat și verificarea obligatorie a soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor de trei cifre distincte, cu restricție pe mulțimea cifrelor și cu prima cifră nenulă — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: linia mijlocie și regula paralelogramului, folosite pentru o sumă de vectori într-un triunghi — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula sinusului unghiului dublu și ecuația trigonometrică pe un interval dat — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant cu parametru scris în formă descompusă, comutativitatea a două matrice din aceeași familie și un sistem de tip Cramer cu soluție în numere întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea legii la forma cu paranteze translatate, o ecuație în care legea se aplică de două ori și un sistem simetric rezolvat prin substituție — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivata unui raport cu radical, o limită de tipul $1^{\infty }$ rezolvată cu numărul $e$ și numărul de soluții citit din tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale definite: integrala unei funcții cu radical la numitor, o majorare a termenului general și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2017. Subiectul I este așezat exact ca la examen, dar are două cerințe în care răspunsul se pierde din redactare, nu din calcul: la itemul $3$ una dintre cele două rădăcini ale ecuației de gradul al doilea nu convine, iar la itemul $6$ intervalul este închis la stânga, deci $\frac{\pi }{2}$ intră printre soluții. Subiectul al II-lea este cel mai greu din simulare: problema $1$ leagă o matrice cu parametru de un sistem liniar și cere, la subpunctul c), o discuție de divizibilitate în numere întregi — o cerință de teoria numerelor strecurată într-o problemă de algebră liniară. Problema $2$ este o lege de compoziție care se lasă „îmblânzită" scriind $x\ast y-2=-5(x-2)(y-2)$: după translația cu $2$, totul devine un simplu produs. Subiectul al III-lea începe cu o funcție care are radical la numitor — deci derivata cere atenție — și continuă cu o limită de tipul $1^{\infty }$, singurul loc din probă unde apare numărul $e$; problema $2$ este un șir de integrale clasic, cu majorare și recurență.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2(\sqrt{2}-1)$ și $\frac{1}{e^2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificare; numărarea cifrelor fără condiția „prima cifră nu poate fi zero"; soluția trigonometrică scrisă fără capetele intervalului; concluzia despre numărul de soluții dată fără limitele la capete; recurența scrisă fără termenul provenit din integrarea prin părți.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: un raport se raționalizează amplificând cu conjugatul numitorului, iar $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$. Relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, iar $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu verificarea obligatorie a soluțiilor. Combinatorică: la numerele de trei cifre distincte, cifra sutelor se alege prima și nu poate fi $0$. Vectori: regula paralelogramului, $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}$ atunci când $BMPN$ este paralelogram; linia mijlocie este paralelă cu latura opusă. Trigonometrie: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; un sistem liniar cu determinantul nenul are soluție unică; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile în parametru.
• Legi de compoziție: multe legi de forma $\alpha xy+\beta x+\beta y+\gamma$ se scriu $x\ast y=c+\alpha (x-c)(y-c)$, unde $c$ este valoarea care „stă pe loc"; după această translație, compunerea repetată devine simplă înmulțire.
• Derivate și limite: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; limita fundamentală $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$, folosită pentru nedeterminarea $1^{\infty }$. Numărul de soluții al ecuației $f(x)=a$ se citește din tabloul de variație: pe fiecare interval de monotonie strictă există cel mult o soluție, iar existența ei se decide comparând $a$ cu limitele de la capete. Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; o inegalitate între funcții continue se transmite integralelor pe același interval.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă două funcții diferite: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$, o necunoscută la itemul $8$ (unde apare alături de $b$) și un parametru al ecuației la itemul $9$, subpunctul c). La itemul $2$, în schimb, parametrul se numește $m$ — aceeași literă $m$ reapare la itemul $7$, subpunctul b), cu alt rol.
• Semnul $\ast$ de la itemul $8$ este o lege de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită și nu compunerea funcțiilor. Toate calculele cu el se fac numai din formula dată, $x\ast y=-5xy+10x+10y-18$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{2+i}{2-i}+\frac{2-i}{2+i}=\frac{6}{5}$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2=0$. Arătați că $(x_1-x_2{)}^2=1$, pentru orice număr real $m$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-3}=5-x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$ și $P$, mijloacele laturilor $AB$, $BC$, respectiv $AC$. Demonstrați că $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$, știind că $\sin 2x=\cos x$ și $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 3\\ 1& 3& a\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+ay+3z=2\\ x+3y+az=2\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(a))=(a+1)(a-3)$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(m)A(2-m)=A(2-m)A(m)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, iar $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-5xy+10x+10y-18$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=2-5(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$, știind că $(n\ast n)\ast n=n$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă $a\ast a=b$ și $b\ast b=a$, atunci $a=b=2$ sau $a=b=\frac{9}{5}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.

a) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x){)}^{2x}=\frac{1}{e^2}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că pentru orice număr real $a$, $a\in (-\sqrt{2},-1)$, ecuația $f(x)=a$ are exact două soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ și, pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=2(\sqrt{2}-1)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $I_n\le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(2n+1)I_n=2\sqrt{2}-2n{I}_{n-1}$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe, sumă de rapoarte conjugate.

Cele două fracții se aduc la același numitor, care este produsul numitorilor: $$\frac{2+i}{2-i}+\frac{2-i}{2+i}=\frac{(2+i{)}^2+(2-i{)}^2}{(2-i)(2+i)}\text{(2 p)}.$$ Se dezvoltă pătratele și se folosește $i^2=-1$ atât sus, cât și jos: $$=\frac{4+4i+i^2+4-4i+i^2}{2^2-i^2}=\frac{4-1+4-1}{4+1}=\frac{6}{5}\text{(3 p)}.$$ (Control: cele două fracții sunt numere complexe conjugate, iar suma a două numere conjugate este un număr real — deci rezultatul trebuie să fie real, ceea ce confirmă că părțile imaginare $+4i$ și $-4i$ se reduc. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2-i)(2+i)=4-1=3$, adică se uită că $-i^2=+1$.)

Itemul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Ecuația are coeficientul dominant $1$, deci suma și produsul rădăcinilor se citesc direct din coeficienți: $$x_1+x_2=2m+3,x_1{x}_2=m^2+3m+2\text{(2 p)}.$$ Pătratul diferenței se scrie cu acestea două, folosind $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$: $$(x_1-x_2{)}^2=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ (Control pe un caz: pentru $m=0$ ecuația este $x^2-3x+2=0$, cu rădăcinile $1$ și $2$, iar diferența lor la pătrat este într-adevăr $1$. Observație: trinomul din enunț se descompune ca $(x-(m+1))(x-(m+2))$, deci rădăcinile sunt numere consecutive — de aici constanta. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$, cu factorul $2$ în loc de $4$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ; prin urmare orice soluție trebuie să verifice $5-x\ge 0$. Ridicând la pătrat: $$\sqrt{x-3}=5-x⟹x-3=(5-x{)}^2,\text{ deci }{x}^2-11x+28=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =121-112=9$, deci rădăcinile sunt $4$ și $7$. Verificarea în ecuația inițială arată că $\mathbf{x}=7$ nu convine, pentru că $\sqrt{4}=2$, dar $5-7=-2$, iar $\mathbf{x}=4$ convine, pentru că $\sqrt{1}=1=5-4$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se dau ambele rădăcini ca soluții. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: ea „uită" semnul membrului drept și adaugă soluții străine, exact ca aici. Control rapid, fără calcul: condiția $5-x\ge 0$ elimină din start orice valoare mai mare decât $5$, deci $7$ pica oricum.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică, numere cu cifre distincte.

Cifrele pare disponibile sunt $0$, $2$, $4$, $6$ și $8$, deci cinci în total. Cifra sutelor nu poate fi $0$, deci se poate alege în $4$ moduri; după alegerea ei, pentru cifra zecilor rămân tot $4$ cifre disponibile (cele cinci, mai puțin cea folosită), deci $4$ moduri (2 p).

Pentru fiecare mod de alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în câte $3$ moduri, deci se pot forma $$4\cdot 4\cdot 3=48\text{ de numere}\text{(3 p)}.$$ (Control pe alt drum: numerele de trei cifre distincte formate din cele cinci cifre pare sunt aranjamentele $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$, din care se scot cele care încep cu $0$, adică $A_4^2=4\cdot 3=12$; rămân $60-12=48$. Unde se greșește de obicei: se ia $5\cdot 4\cdot 3=60$, adică se uită că un număr nu poate începe cu zero, sau se scrie $4\cdot 5\cdot 4$, adică se uită condiția de cifre distincte.)

Itemul 5. (5 p) — vectori într-un triunghi.

Punctele $M$, $N$ și $P$ fiind mijloacele laturilor, segmentele $MP$ și $NP$ sunt linii mijlocii, deci $$MP\parallel BC\text{ și }NP\parallel AB\text{(2 p)}.$$ Prin urmare patrulaterul $BNPM$ are laturile opuse paralele două câte două, adică este paralelogram. Într-un paralelogram, diagonala dusă dintr-un vârf este suma vectorilor celor două laturi care pleacă din acel vârf, deci $$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}\text{(3 p)}.$$ (Control prin calcul vectorial, pornind din $B$: $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, iar $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ — aceeași sumă. Unde se greșește de obicei: se folosește regula paralelogramului fără a arăta întâi că $BNPM$ este paralelogram; asta este partea punctată a rezolvării.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică pe un interval.

Se înlocuiește $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și se dă factor comun, ca să nu se piardă soluții prin simplificare: $$2\sin x\cos x=\cos x⟺\cos x(2\sin x-1)=0⟺\cos x=0\text{ sau }\sin x=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Se rețin doar valorile din intervalul cerut. Cum $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$, obținem $\mathbf{x}=\frac{\pi }{2}$ (din $\cos x=0$) sau $\mathbf{x}=\frac{5\pi }{6}$ (din $\sin x=\frac{1}{2}$, ramura din cadranul al doilea) (2 p).

(Verificare: pentru $x=\frac{\pi }{2}$, $\sin \pi =0=\cos \frac{\pi }{2}$; pentru $x=\frac{5\pi }{6}$, $\sin \frac{5\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $\cos x$, ceea ce pierde soluția $x=\frac{\pi }{2}$ — și este chiar capătul intervalului, care aici este inclus. A doua capcană: din $\sin x=\frac{1}{2}$ se ia $x=\frac{\pi }{6}$, care nu aparține intervalului.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Se dezvoltă determinantul cu regula lui Sarrus: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 3\\ 1& 3& a\end{array}\right|=a^2+3+3-a-9-a\text{(3 p)}.$$ Reducând termenii asemenea și descompunând trinomul obținut: $$\det (A(a))=a^2-2a-3=(a+1)(a-3),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ (Control pe valori: pentru $a=0$ determinantul este $-3$, iar formula dă $1\cdot (-3)=-3$; pentru $a=2$ avem $4-4-3=-3$, iar formula dă $3\cdot (-1)=-3$. Observație folositoare la subpunctul c): determinantul se anulează exact pentru $a=-1$ și $a=3$, adică exact acolo unde sistemul nu are soluție unică.)

b) (5 p) Se calculează cele două produse. Matricea $A(2-m)$ se obține din $A(m)$ înlocuind peste tot $m$ cu $2-m$: $$A(m)A(2-m)=\left(\begin{array}{ccc}3& 6-m& 6-m\\ m+4& -m^2+2m+10& 7\\ m+4& 7& -m^2+2m+10\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Al doilea produs se obține din primul schimbând între ele rolurile lui $m$ și $2-m$: $$A(2-m)A(m)=\left(\begin{array}{ccc}3& m+4& m+4\\ 6-m& -m^2+2m+10& 7\\ 6-m& 7& -m^2+2m+10\end{array}\right),$$ iar cele două matrice sunt egale doar dacă $6-m=m+4$, de unde obținem $\mathbf{m}=1$ (3 p).

(Verificare: pentru $m=1$ avem $2-m=1$, deci cele două matrice sunt chiar aceeași matrice $A(1)$ — și orice matrice comută cu ea însăși. Control că nu există alte soluții: la $m=0$ produsele au pe poziția din colțul din dreapta sus valorile $6$ și $4$, deci sunt diferite. Unde se greșește de obicei: se presupune că înmulțirea matricelor este comutativă și se răspunde „orice $m$"; ea nu este, iar aici singurul caz favorabil este cel în care cele două matrice coincid.)

c) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când determinantul lui este nenul, deci $a\ne -1$ și $a\ne 3$. Scăzând prima ecuație din a doua și din a treia se obține un sistem simetric în $y$ și $z$, care dă $y_0=z_0$; înlocuind, soluția este $$(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{a-1}{a+1},\frac{1}{a+1},\frac{1}{a+1}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $a$ este număr întreg, condiția $\frac{a-1}{a+1},\frac{1}{a+1}\in \mathbb{Z}$ înseamnă că $a+1$ este divizor al lui $1$, adică $a+1\in \{-1,1\}$, deci $\mathbf{a}=-2$ sau $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Verificare pentru $a=0$: sistemul devine $x+y+z=1$, $x+3z=2$, $x+3y=2$, cu soluția $(-1,1,1)$ — și într-adevăr $\frac{a-1}{a+1}=-1$, $\frac{1}{a+1}=1$. Verificare pentru $a=-2$: soluția este $(3,-1,-1)$. Unde se greșește de obicei: se cere doar ca $x_0$ să fie întreg, uitând că enunțul le cere pe toate trei — iar condiția tare vine de la $y_0$ și $z_0$. A doua capcană: se uită excluderea valorilor $-1$ și $3$, pentru care nici măcar nu există soluție unică.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pornește din forma dată și se pregătește gruparea, scriind $-18=-20+2$: $$x\ast y=-5xy+10x+10y-20+2\text{(2 p)}.$$ Se dă factor comun pe grupe, $y-2$ fiind factorul care apare de două ori: $$x\ast y=-5x(y-2)+10(y-2)+2=2-5(x-2)(y-2),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control pe valori: $3\ast 4=-60+30+40-18=-8$, iar forma descompusă dă $2-5\cdot 1\cdot 2=-8$. Observație-cheie pentru tot itemul: numărul $2$ „stă pe loc" — $2\ast y=2$ pentru orice $y$ —, iar după translația $u=x-2$ legea devine simplă înmulțire: $(x\ast y)-2=-5(x-2)(y-2)$.)

b) (5 p) Se aplică forma de la subpunctul a) de două ori. Întâi $n\ast n=2-5(n-2{)}^2$, apoi, scăzând $2$ din amândoi membrii, $(n\ast n)-2=-5(n-2{)}^2$, deci $$(n\ast n)\ast n=2-5[(n\ast n)-2](n-2)=2+25(n-2{)}^3\text{(3 p)}.$$ Ecuația din enunț devine $2+25(n-2{)}^3=n$, adică $25(n-2{)}^3-(n-2)=0$, de unde $$(n-2)(25(n-2{)}^2-1)=0;$$ cum $n$ este număr natural, singura soluție este $\mathbf{n}=2$ (2 p).

(Verificare: $2\ast 2=2-5\cdot 0\cdot 0=2$ și $2\ast 2=2$, deci egalitatea se închide. Celelalte două rădăcini ale ecuației, $n=2\pm \frac{1}{5}$, nu sunt numere naturale. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $n-2$ și se pierde tocmai soluția căutată; factorul comun se scoate, nu se taie.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul a), prima condiție se scrie $$a\ast a=b⟺b-2=-5(a-2{)}^2\text{(1 p)}.$$ La fel, a doua condiție este $a-2=-5(b-2{)}^2$; înlocuind aici pe $b-2$ din prima relație obținem $$a-2=-5[-5(a-2{)}^2{]}^2=-125(a-2{)}^4\text{(2 p)}.$$ Trecând totul în stânga, $(a-2)[1+125(a-2{)}^3]=0$. Fie $a-2=0$, de unde $a=2$ și atunci $b=2$; fie $(a-2{)}^3=-\frac{1}{125}$, adică $a-2=-\frac{1}{5}$, de unde $\mathbf{a}=\mathbf{b}=2$ sau $\mathbf{a}=\mathbf{b}=\frac{9}{5}$ (2 p).

(Verificare pentru $a=\frac{9}{5}$: $a-2=-\frac{1}{5}$, deci $b-2=-5\cdot \frac{1}{25}=-\frac{1}{5}$, adică $b=\frac{9}{5}=a$, iar a doua condiție se verifică la fel. Unde se greșește de obicei: se presupune de la început $a=b$ — ceea ce este exact concluzia de demonstrat, nu ipoteza. Drumul corect trece prin eliminarea lui $b$ între cele două relații.)

Itemul 9. (15 p) — studiul unei funcții cu radical la numitor.

a) (5 p) Numitorul este $\sqrt{u}$ cu $u(x)=x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$, deci funcția este definită și derivabilă pe tot $\mathbb{R}$. Derivând raportul și aducând la același numitor se obține $$f^{\prime }(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}(x^2+2x+2)},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat numai de $x+2$. Pentru $x\in (-\infty ,-2]$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,-2]$ (1 p).

Pentru $x\in [-2,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-2,+\infty )$ (1 p).

(Cum se ajunge la formulă: $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{u}-x\cdot \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}{u}=\frac{2u-x{u}^{\prime }}{2u\sqrt{u}}$, iar $2u-x{u}^{\prime }=2x^2+4x+4-x(2x+2)=2x+4$, de unde se simplifică prin $2$. Control numeric: $f^{\prime }(0)=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2}\approx 0,707$, iar raportul incremental în $0$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $\sqrt{u}$ ca $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, adică se uită factorul $u^{\prime }$.)

b) (5 p) Se calculează întâi limita bazei, împărțind sus și jos prin $x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1\text{(1 p)}.$$ Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$, deci limita este de tipul $1^{\infty }$. Se observă că ridicarea la pătrat a bazei permite înjumătățirea exponentului, $(f(x){)}^{2x}={\left(\frac{x^2}{x^2+2x+2}\right)}^x$, iar apoi se scrie baza ca $1+u$ și se aduce la limita fundamentală a numărului $e$: $$(f(x){)}^{2x}={\left(1+\frac{-2x-2}{x^2+2x+2}\right)}^{\frac{x^2+2x+2}{-2x-2}\cdot \frac{-2x-2}{x^2+2x+2}\cdot x}\text{(2 p)}.$$ Paranteza mare tinde la $e$, iar exponentul rămas are limită finită, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x){)}^{2x}=e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2-2x}{x^2+2x+2}}=e^{-2}=\frac{1}{{\mathbf{e}}^2}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^4$, $(f(x){)}^{2x}\approx 0,13534$, iar $\frac{1}{e^2}\approx 0,13534$. Unde se greșește de obicei: se scrie „baza tinde la $1$, deci limita este $1$" — la $1^{\infty }$ răspunsul depinde de viteza cu care baza se apropie de $1$, iar aceasta se măsoară exact prin exponentul din formula lui $e$. Drum alternativ, la fel de corect: se logaritmează și se calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x\ln f(x)$.)

c) (5 p) Se studiază funcția ajutătoare $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-a$, ale cărei zerouri sunt exact soluțiile ecuației. Ea este continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci, după subpunctul a), $g$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-2)$ și strict crescătoare pe $(-2,+\infty )$ (2 p).

Pe fiecare dintre cele două intervale de monotonie strictă poate exista cel mult o soluție; existența ei se decide comparând valorile de la capete. Cum $$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-1-a>0,g(-2)=-\sqrt{2}-a<0,\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=1-a>0,$$ pentru orice $a\in (-\sqrt{2},-1)$, funcția $g$ schimbă semnul o dată pe fiecare interval, deci ecuația $f(x)=a$ are exact două soluții reale distincte (3 p).

(De ce contează exact acest interval: minimul funcției este $f(-2)=-\sqrt{2}$, iar limitele la capete sunt $-1$ la stânga și $1$ la dreapta; o valoare $a$ cuprinsă strict între $-\sqrt{2}$ și $-1$ este atinsă o dată pe ramura descrescătoare și o dată pe cea crescătoare. Control numeric pentru $a=-1,2$: soluțiile sunt $x\approx -5,3136$ și $x\approx -1,2318$, iar $f$ ia în amândouă valoarea $-1,2$. Unde se greșește de obicei: se spune „funcția este continuă, deci ia toate valorile" fără să se separe cele două ramuri — atunci nu se poate justifica numărul exact de soluții, doar existența lor.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale definite și recurență.

a) (5 p) Integrandul este $\frac{1}{\sqrt{x+1}}=(x+1{)}^{-\frac{1}{2}}$, iar o primitivă a lui este $2\sqrt{x+1}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx=2\sqrt{x+1}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}f(x)dx=2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $2(\sqrt{2}-1)\approx 0,8284$, iar integrala calculată numeric dă $0,82843$. Verificare a primitivei prin derivare înapoi: $(2\sqrt{x+1}{)}^{\prime }=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$. Observație: această integrală este termenul care ar corespunde lui $n=0$, dar șirul din enunț începe de la $n=1$.)

b) (5 p) Pe intervalul de integrare radicalul de la numitor este cel puțin $1$, deci fracția este cel mult $1$: $$x\in [0,1]⟹\frac{1}{\sqrt{x+1}}\le 1\text{ și }{x}^n\ge 0,\text{ deci }\frac{x^n}{\sqrt{x+1}}\le x^n,$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (2 p).

O inegalitate între funcții continue se transmite integralelor pe același interval, deci $$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x+1}}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{\mathbf{n}+1},$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Control numeric: $I_1\approx 0,3905\le \frac{1}{2}$, $I_2\approx 0,2533\le \frac{1}{3}$, $I_5\approx 0,1225\le \frac{1}{6}$. Unde se greșește de obicei: se majorează $\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ prin $\frac{1}{x}$ sau se uită condiția $x^n\ge 0$ — fără ea, înmulțirea unei inegalități cu $x^n$ ar putea schimba sensul.)

c) (5 p) Se recunoaște la numitor derivata radicalului: $(\sqrt{x+1}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, deci $\frac{x^n}{\sqrt{x+1}}=2x^n(\sqrt{x+1}{)}^{\prime }$. Integrând prin părți: $$I_n=2{\int }_0^1{x}^n(\sqrt{x+1}{)}^{\prime }dx=2x^n\sqrt{x+1}{|}_0^1-2n{\int }_0^1{x}^{n-1}\sqrt{x+1}dx=2\sqrt{2}-2n{\int }_0^1{x}^{n-1}\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}dx\text{(3 p)}.$$ Desfăcând ultima fracție în două, apar chiar $I_n$ și $I_{n-1}$: $$I_n=2\sqrt{2}-2n{\int }_0^1\frac{x^n+x^{n-1}}{\sqrt{x+1}}dx=2\sqrt{2}-2n{I}_n-2n{I}_{n-1}⟹(2n+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=2\sqrt{2}-2n{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}-1},$$ pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$ (2 p).

(Control numeric pentru $n=2$: $5I_2\approx 1,2663$, iar $2\sqrt{2}-4I_1\approx 2,8284-1,5621=1,2663$. Pentru $n=4$: $9I_4\approx 1,3326$ și $2\sqrt{2}-8I_3\approx 1,3326$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x+1}=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}$ dar nu se desface fracția, și atunci recurența nu se închide; trucul întregii probleme este că înmulțirea cu $x+1$ produce doi termeni ai aceluiași șir, nu unul nou. A doua capcană este termenul din afara integralei: la capătul $x=0$ el se anulează, dar trebuie scris.)