Bac M1 2017, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2017 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială din 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează înaintea sesiunii obișnuite din iunie-iulie, pentru elevii care participă în acea perioadă la olimpiadele și concursurile internaționale sau la competiții sportive de nivel înalt; subiectul are exact aceeași structură, aceeași durată și același barem ca la sesiunea principală. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în sesiunea specială din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere reale: suma numerelor întregi dintr-un interval deschis, calculată prin gruparea termenilor opuși — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)$ pentru o funcție de gradul al doilea, calculată dinăuntru în afară — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională de tipul $\sqrt{u(x)}=v(x)$: ridicarea la pătrat și verificarea obligatorie a soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu multiplii lui $11$ dintr-o mulțime finită — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două puncte și un punct egal depărtat de alte două, căutat pe axa $Ox$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor, folosită pentru raza cercului circumscris — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant numeric, determinant cu exponențiale adus la formă descompusă prin transformări elementare și o sumă de $2017$ matrice, calculată cu sume de progresii geometrice și aritmetice — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea legii la forma cu paranteze translatate, o ecuație în care legea se aplică de două ori și o problemă de divizibilitate în numere naturale — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivata unui raport cu exponențială, ecuația tangentei într-un punct și încadrarea valorilor între minim și maxim, pe o semidreaptă — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului cu radical, monotonia unei primitive citită din semnul funcției și aria subgraficului, pusă egală cu o expresie cu parametru — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2017. Subiectul I este cel mai scurt din anul acela: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în trei rânduri, iar singura capcană reală este la itemul $3$, unde una dintre rădăcini nu convine. Subiectul al II-lea conține însă cerința cea mai spectaculoasă a probei: la itemul $7$, subpunctul c), se cere suma a $2017$ matrice, adică, de fapt, patru sume separate — două geometrice ($2^k$ și $4^k$) și două aritmetice ($k$ și $2k$) — așezate în cele nouă poziții ale unei matrice de ordinul al treilea. Problema $2$ este o lege de compoziție care se descompune ca $x\ast y=7(x+1)(y+1)-1$, iar de acolo totul devine calcul cu puteri. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, o încadrare $-2e\le f(x)\le \frac{6}{e^3}$ care nu se poate obține fără tabloul de variație complet, iar la problema $2$ leagă trei idei diferite despre aceeași funcție: o integrală, monotonia primitivelor și o arie din care se scoate un parametru.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln \frac{3}{2}$ și $\frac{6}{e^3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația tangentei scrisă fără calculul separat al valorii funcției și al derivatei în punct; încadrarea afirmată fără tabloul de variație; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere întregi: într-un interval simetric față de zero, termenii se grupează în perechi opuse și suma se anulează. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu condiția $v(x)\ge 0$ și verificarea soluțiilor. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Distanța dintre două puncte: $PM=\sqrt{(x_M-x_P{)}^2+(y_M-y_P{)}^2}$; un punct de pe axa $Ox$ are ordonata nulă. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris.
• Matrice: determinantul nu se schimbă dacă dintr-o linie se scade altă linie — transformarea prin care apar zerouri și se poate da factor comun; suma unei progresii geometrice, $a+a^2+\dots +a^n=a\cdot \frac{a^n-1}{a-1}$ pentru $a\ne 1$; suma primelor $n$ numere naturale nenule, $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.
• Legi de compoziție: multe legi de forma $\alpha xy+\beta x+\beta y+\gamma$ se scriu $x\ast y=\alpha (x-c)(y-c)+c$, unde $c$ este elementul care rămâne pe loc; aici $x\ast y+1=7(x+1)(y+1)$, deci compunerea repetată devine înmulțire de paranteze.
• Derivate și integrale: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; o funcție continuă pe un interval închis și mărginit își atinge minimul și maximul, iar ele se caută printre punctele critice și capete. Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}g(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă. Primitive: dacă $F^{\prime }=f>0$ pe un interval, atunci $F$ este strict crescătoare acolo.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-1$ de la itemul $2$, $f(x)=\frac{x^2-3}{e^x}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1{)}^2}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $C$ este vârf de triunghi la itemul $6$ (unde $C=\frac{\pi }{4}$ este un unghi) și una dintre necunoscutele naturale de la itemul $8$, subpunctul c). La itemul $7$, în schimb, litera $x$ este exponent în $2^x$ și $4^x$, dar și element obișnuit pe ultima linie a matricei.
• Semnul $\ast$ de la itemul $8$ este o lege de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită; enunțul precizează chiar că este asociativă, ceea ce dă dreptul să se scrie $a\ast b\ast c$ fără paranteze. Semnul $\circ$ de la itemul $2$ este, în schimb, compunerea funcțiilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați suma numerelor întregi din intervalul $(-5,5)$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. Calculați $(f\circ f)(1)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}=x-3$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$, acesta să fie multiplu de $11$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,2)$ și $N(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $P$, situat pe axa $Ox$, astfel încât $PM=PN$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi $ABC$, în care $AB=6\sqrt{2}$ și $C=\frac{\pi }{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2^x& 4^x\\ 1& x& 2x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(x))=(2^x-1)(2^x+x-x\cdot 2^x)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Arătați că $$\begin{array}{rl}& A(1)+A(2)+A(3)+\dots +A(2017)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2017& 2017& 2017\\ 2017& 2(2^{2017}-1)& \frac{4}{3}(4^{2017}-1)\\ 2017& 2017\cdot 1009& 2017\cdot 2018\end{array}\right).\end{array}$$

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=7xy+7x+7y+6$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=7(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere naturale astfel încât $a\ast b\ast c=48$, atunci numerele $a$, $b$ și $c$ sunt egale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=-1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-2e\le f(x)\le \frac{6}{e^3}$, pentru orice $x\in [-1,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1{)}^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx=\ln \frac{3}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, $m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}(x+1)f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$ are aria egală cu $1-\ln \frac{m+1}{m}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — suma numerelor întregi dintr-un interval.

Intervalul $(-5,5)$ este deschis la ambele capete, deci $-5$ și $5$ nu intră. Numerele întregi din el sunt: $$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=\text{(3 p)}$$ Grupând termenii opuși, fiecare pereche dă zero, deci suma este $0$ (2 p).

(Control: mulțimea este simetrică față de $0$, deci suma este obligatoriu nulă — nu e nevoie de niciun calcul, dar scrierea termenilor este pasul punctat. Unde se greșește de obicei: se includ capetele $-5$ și $5$; ele nu schimbă rezultatul, dar arată că nu s-a citit tipul intervalului. A doua capcană: se numără nouă termeni și se răspunde „nouă" în loc de suma lor.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară. Întâi valoarea din interior: $$f(1)=1^2-1=0\text{(2 p)}.$$ Acest rezultat intră apoi ca argument în a doua aplicare a funcției: $$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(0)=0^2-1=-1\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)\cdot f(1)=0$ sau $2f(1)=0$ în loc de compunere — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs și nu sumă. Control: compunerea explicită dă $(f\circ f)(x)=(x^2-1{)}^2-1$, iar în $x=1$ aceasta este $0-1=-1$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ; prin urmare orice soluție trebuie să verifice $x-3\ge 0$. Ridicând la pătrat: $$x+3=x^2-6x+9⟹x^2-7x+6=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =49-24=25$, deci rădăcinile sunt $1$ și $6$. Verificarea arată că $\mathbf{x}=1$ nu convine, pentru că $\sqrt{4}=2$, dar $1-3=-2$, iar $\mathbf{x}=6$ convine, pentru că $\sqrt{9}=3=6-3$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se dau ambele rădăcini. Ridicarea la pătrat „uită" semnul membrului drept, deci poate adăuga soluții străine — exact ce se întâmplă aici. Control rapid, fără calcul: condiția $x\ge 3$ elimină din start valoarea $1$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$ are $100$ de elemente, deci sunt $100$ de cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $11$ din $A$ sunt $11,22,33,44,55,66,77,88,99$, adică $9$ numere, deci sunt $9$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{100}\text{(1 p)}.$$ (Control: cel mai mare multiplu de $11$ până la $100$ este $99=11\cdot 9$, deci numărul lor este $9$ — se poate scrie direct ca partea întreagă a raportului $\frac{100}{11}$. Unde se greșește de obicei: se numără și $110$, sau se ia $100:11\approx 9,09$ și se rotunjește la $10$. Fracția $\frac{9}{100}$ este deja ireductibilă.)

Itemul 5. (5 p) — punct egal depărtat de două puncte date.

Punctul $P$ este situat pe axa $Ox$, deci ordonata lui este nulă: $$P\in Ox⟹y_P=0\text{(2 p)}.$$ Condiția $PM=PN$ se scrie cu formula distanței; pătratele se pot egala direct, distanțele fiind nenegative: $$(2-x_P{)}^2+(2-0{)}^2=(4-x_P{)}^2+(2-0{)}^2⟺x_P=3,$$ deci $\mathbf{P}(3,0)$ (3 p).

(Control: $PM=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ și $PN=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ — egale, cum trebuia. Observație geometrică: punctele $M$ și $N$ au aceeași ordonată, deci mediatoarea segmentului $MN$ este dreapta verticală $x=3$, iar $P$ este intersecția ei cu axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se lucrează cu distanțele sub radical și se pierde timp; ridicarea la pătrat este aici o transformare echivalentă, pentru că ambii membri sunt nenegativi.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Latura $AB$ se opune unghiului $C$, deci teorema sinusurilor dă direct raza cercului circumscris, cu $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\frac{AB}{\sin C}=2R⟹R=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este $\sqrt{2}$, deci $$R=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6\text{(2 p)}.$$ (Control: coarda $AB$ trebuie să fie cel mult diametrul, iar $6\sqrt{2}\approx 8,49<12=2R$ — deci valoarea găsită este posibilă. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{AB}{\sin C}=R$, fără factorul $2$, sau se folosește unghiul $A$ în loc de $C$; regula este că în teorema sinusurilor latura și unghiul trebuie să fie opuse.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu exponențiale.

a) (5 p) Pentru $x=1$ avem $2^1=2$ și $4^1=4$, deci matricea și determinantul ei se scriu: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =4+1+4-2-4-2=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control cu formula de la subpunctul b), pentru $x=1$: $(2-1)(2+1-1\cdot 2)=1\cdot 1=1$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se citește ultima linie ca $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right)$ pentru orice $x$; ea este de fapt $\left(\begin{array}{ccc}1& x& 2x\end{array}\right)$ și coincide cu aceasta doar în $x=1$.)

b) (5 p) Determinantul nu se schimbă dacă din liniile a doua și a treia se scade prima linie; astfel apar două zerouri pe prima coloană, iar determinantul se reduce la unul de ordinul al doilea. Folosind apoi $4^x-1=(2^x{)}^2-1=(2^x-1\left)\right(2^x+1)$, se poate da factor comun $2^x-1$ pe prima linie a determinantului rămas: $$\begin{array}{rl}& \det (A(x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2^x-1& 4^x-1\\ 0& x-1& 2x-1\end{array}\right|\\ & =(2^x-1)\left|\begin{array}{cc}1& 2^x+1\\ x-1& 2x-1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dezvoltând determinantul de ordinul al doilea și reducând termenii: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(x))\\ & =(2^x-1)(2x-1-x\cdot 2^x+2^x-x+1)\\ & =(2^x-1)(2^x+x-x\cdot 2^x),\\ & \end{array}$$ pentru orice număr real $x$ (2 p).

(Control numeric pentru $x=2$: matricea are pe liniile a doua și a treia $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 16\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\end{array}\right)$, iar determinantul calculat direct este $-6$; formula dă $(4-1)(4+2-8)=3\cdot (-2)=-6$. Unde se greșește de obicei: se tratează $4^x$ ca $2\cdot 2^x$ în loc de $(2^x{)}^2$ — descompunerea $4^x-1=(2^x-1)(2^x+1)$ este cheia întregului subpunct.)

c) (5 p) Matricele se adună element cu element, deci fiecare poziție a sumei este o sumă separată. Pe pozițiile cu $1$ se adună $2017$ termeni egali, pe pozițiile cu $2^x$ și $4^x$ apar progresii geometrice, iar pe cele cu $x$ și $2x$ progresii aritmetice: $$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^{2017}A(k)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2017& 2017& 2017\\ 2017& 2^1+2^2+\dots +2^{2017}& 4^1+4^2+\dots +4^{2017}\\ 2017& 1+2+\dots +2017& 2(1+2+\dots +2017)\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se calculează cele patru sume: $2+2^2+\dots +2^{2017}=2\cdot \frac{2^{2017}-1}{2-1}=2(2^{2017}-1)$, apoi $4+4^2+\dots +4^{2017}=4\cdot \frac{4^{2017}-1}{4-1}=\frac{4}{3}(4^{2017}-1)$, iar $1+2+\dots +2017=\frac{2017\cdot 2018}{2}=2017\cdot 1009$, dublul ei fiind $2017\cdot 2018$. Înlocuind, se obține exact matricea din enunț (2 p).

(Control pe un caz mic: pentru suma primelor două matrice, $A(1)+A(2)$, poziția din mijloc este $2+4=6$, iar formula $2(2^2-1)=6$ o confirmă; poziția vecină este $4+16=20$, iar $\frac{4}{3}(4^2-1)=20$. Unde se greșește de obicei: se folosește formula progresiei geometrice pornind de la $a^0=1$, adică se adaugă un termen care nu există în sumă — aici primul termen este $2^1$, nu $2^0$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se pornește din forma dată și se pregătește gruparea, scriind $6=7-1$: $$x\ast y=7xy+7x+7y+7-1\text{(2 p)}.$$ Se dă factor comun pe grupe, $y+1$ fiind factorul care apare de două ori: $$x\ast y=7x(y+1)+7(y+1)-1=7(x+1)(y+1)-1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control pe valori: $1\ast 2=14+7+14+6=41$, iar forma descompusă dă $7\cdot 2\cdot 3-1=41$. Observație-cheie pentru tot itemul: adunând $1$ la ambii membri se obține $x\ast y+1=7(x+1)(y+1)$, deci după translația $u=x+1$ legea devine simplă înmulțire cu factorul $7$ — de aici vin puterile de la subpunctele b) și c).)

b) (5 p) Aplicând de două ori regula de mai sus și folosind asociativitatea, obținem $x\ast x\ast x+1=7^2(x+1{)}^3$, adică $$x\ast x\ast x=7^2(x+1{)}^3-1,\text{ deci ecuația devine }{7}^2(x+1{)}^3-1=x\text{(2 p)}.$$ Trecând totul în stânga și scriind $x=(x+1)-1$, termenii liberi se reduc și rămâne un factor comun: $$(x+1)(7^2(x+1{)}^2-1)=0⟺\mathbf{x}=-\frac{8}{7}\text{ sau }\mathbf{x}=-1\text{ sau }\mathbf{x}=-\frac{6}{7}\text{(3 p)}.$$ (De unde vin cele trei valori: fie $x+1=0$, deci $x=-1$; fie $(x+1{)}^2=\frac{1}{49}$, deci $x+1=\pm \frac{1}{7}$, adică $x=-\frac{6}{7}$ sau $x=-\frac{8}{7}$. Verificare pentru $x=-1$: $(-1)\ast (-1)=7\cdot 0\cdot 0-1=-1$, iar apoi $(-1)\ast (-1)=-1$ — egalitatea se închide. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $x+1$ și se pierde soluția $x=-1$.)

c) (5 p) Cu aceeași translație, condiția din enunț se scrie ca un produs de trei paranteze: $$a\ast b\ast c=7^2(a+1)(b+1)(c+1)-1=48⟺(a+1)(b+1)(c+1)=1\text{(2 p)}.$$ Cum $a$, $b$ și $c$ sunt numere naturale, fiecare paranteză este un număr natural cel puțin egal cu $1$; un produs de trei asemenea numere este egal cu $1$ doar dacă toate sunt egale cu $1$. Așadar $a+1=b+1=c+1=1$, deci $\mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{c}=0$, adică cele trei numere sunt egale (3 p).

(Verificare: $0\ast 0=6$, iar $6\ast 0=0+42+0+6=48$ — exact valoarea din enunț. Unde se greșește de obicei: se caută descompuneri ale lui $48$ în trei factori, uitând că translația transformă condiția într-un produs egal cu $1$, nu cu $48$. A doua capcană: se lucrează cu numere întregi, unde $(-1)\cdot (-1)\cdot 1=1$ ar da și alte soluții — enunțul cere însă numere naturale.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și încadrarea valorilor.

a) (5 p) Se derivează raportul, cu ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numitorul este $e^x$, care este propria lui derivată: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-3{)}^{\prime }{e}^x-(x^2-3\left)\right(e^x{)}^{\prime }}{(e^x{)}^2}=\frac{2x{e}^x-(x^2-3)e^x}{(e^x{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $e^x$ la numărător și se simplifică: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(2x-x^2+3)}{(e^x{)}^2}=\frac{-x^2+2x+3}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=0$, formula dă $f^{\prime }(0)=3$, iar raportul incremental $\frac{f(0,000001)-f(-0,000001)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula raportului, adică se scrie $2x{e}^x+(x^2-3)e^x$ la numărător — atunci semnul derivatei, de care depinde tot subpunctul c), iese pe dos.)

b) (5 p) Se calculează valoarea funcției și a derivatei în punctul dat, folosind $e^{-1}=\frac{1}{e}$: $$f(-1)=\frac{1-3}{e^{-1}}=-2e,f^{\prime }(-1)=\frac{-1-2+3}{e^{-1}}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, deci $$y-(-2e)=0\cdot (x+1),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=-2e\text{(3 p)}.$$ (Ce înseamnă rezultatul: panta fiind nulă, tangenta este orizontală — semn că $x=-1$ este punct de extrem al funcției, lucru folosit direct la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)$ ca $\frac{-2}{e}$, adică se uită că împărțirea la $e^{-1}$ înseamnă înmulțire cu $e$.)

c) (5 p) Se caută întâi punctele critice, rezolvând $-x^2+2x+3=0$, adică $x^2-2x-3=0$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1\text{ sau }x=3\text{(1 p)}.$$ Numitorul $e^x$ fiind mereu pozitiv, semnul derivatei este dat de trinomul $-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)$. Pentru $x\in [-1,3]$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-1,3]$, iar pentru $x\in [3,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[3,+\infty )$ (2 p).

Prin urmare, pe semidreapta $[-1,+\infty )$, funcția crește de la $f(-1)=-2e$ până la $f(3)=\frac{6}{e^3}$, apoi scade către $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, care este mai mare decât $-2e$. Așadar minimul este $-2e$, maximul este $\frac{6}{e^3}$, deci $$-2e\le f(x)\le \frac{6}{e^3},\text{ pentru orice }x\in [-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $-2e\approx -5,4366$ și $\frac{6}{e^3}\approx 0,29872$; parcurgând intervalul din pas în pas, cea mai mică valoare întâlnită este $-5,4366$, iar cea mai mare $0,29872$. Unde se greșește de obicei: se opresc calculele la $f(-1)$ și $f(3)$, fără să se spună ce se întâmplă „la infinit" — pe o semidreaptă nemărginită, minimul poate fi la capătul din dreapta, iar aici se salvează exact prin faptul că limita este $0>-2e$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, primitive și arie.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: radicalul de la numărătorul lui $f$ se reduce cu cel de la numitorul factorului, iar o putere a lui $x+1$ se simplifică: $${\int }_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx={\int }_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{(x+1{)}^2}dx={\int }_1^2\frac{1}{x+1}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a integrandului rămas este $\ln (x+1)$, pozitiv pe tot intervalul, deci $${\int }_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx=\ln (x+1){|}_1^2=\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\ln \frac{3}{2}\approx 0,405465$, iar integrala calculată numeric dă aceeași valoare. Simplificarea este legitimă pentru că pe $[1,2]$ avem $x>0$ și $x+1\ne 0$. Unde se greșește de obicei: se încearcă integrarea funcției $f$ ca atare, cu radical la numărător — enunțul a fost construit special ca produsul să se simplifice.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă oarecare a funcției $f$. Prin definiție, $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $(0,+\infty )$ numărătorul $\sqrt{x}$ este strict pozitiv, iar numitorul $(x+1{)}^2$ la fel, deci $$F^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1{)}^2}>0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),$$ deci $F$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(De ce „orice primitivă": două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar adunarea unei constante nu schimbă monotonia — deci concluzia nu depinde de care primitivă am ales. Unde se greșește de obicei: se caută efectiv o primitivă a lui $f$, ceea ce este mult mai greu decât cerința; aici nu trebuie calculată, ci doar folosită definiția.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit; radicalii se înmulțesc, $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$, iar o putere a lui $x+1$ se simplifică: $$g(x)=\sqrt{x}(x+1)f(x)=\frac{x}{x+1},x\in (0,+\infty ).$$ Funcția $g$ este continuă și strict pozitivă pe $[1,2]$, deci aria cerută este chiar integrala, fără modul. Împărțind cu rest, $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$: $$\mathcal{S}={\int }_1^{2}g(x)dx={\int }_1^2\frac{x}{x+1}dx=(x-\ln (x+1)){|}_1^2=(2-\ln 3)-(1-\ln 2)=1-\ln \frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $1-\ln \frac{m+1}{m}=1-\ln \frac{3}{2}$, adică $\frac{m+1}{m}=\frac{3}{2}$, de unde $2m+2=3m$, deci $\mathbf{m}=2$ (2 p).

(Control numeric: $1-\ln \frac{3}{2}\approx 0,594535$, iar integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $0,594535$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{x}{x+1}$ „ca un raport", cu logaritm la numitor; rețeta corectă este împărțirea cu rest. A doua capcană: din egalitatea logaritmilor se trece direct la $m+1=3$ și $m=2$ printr-o coincidență fericită — corect este să se egaleze rapoartele, pentru că funcția logaritm este injectivă.)