Bac M1 2018, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2018 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Este a doua sesiune a anului, cea la care se prezintă candidații care nu au promovat în iunie-iulie sau care nu s-au înscris atunci; subiectul are aceeași structură, aceeași durată și același barem ca al primei sesiuni. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali și module: scoaterea de sub modul, cu semnul expresiei dinăuntru — clasele a VIII-a – a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Inecuație de gradul întâi: compararea a două funcții de gradul întâi și scrierea mulțimii soluțiilor ca interval — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: gruparea bazelor într-un singur factor, $3^x\cdot 2^x=6^x$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe poziții a numerelor de trei cifre distincte, formate din cifre impare — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: recunoașterea unui triunghi dreptunghic din coordonate și aria lui — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: suma unghiurilor unui triunghi și teorema sinusurilor pentru raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu exponențială: determinantul unei matrice triunghiulare, relația $A(x)A(y)=A(x+y-2)$ și iterarea ei pe zece factori — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valorile $f(1)$ și $f(-1)$, divizibilitatea cu $X-2$ și determinarea parametrului din condiția ca toate rădăcinile să fie întregi — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și monotonie: derivata unui produs cu radical și logaritm, condiția $f^{\prime }(a)=0$ pentru tangenta perpendiculară pe $Oy$ și o inegalitate cu exponenți iraționali demonstrată prin monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și șiruri de integrale: integrala unui polinom, forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ și compararea a doi termeni consecutivi printr-o integrală cu semn constant — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2018. Subiectul I este cel mai accesibil dintre cele trei, dar cerința $1$ prinde pe picior greșit pe oricine scoate modulele „automat": $|1-\sqrt{2}|$ se scrie $\sqrt{2}-1$, pentru că paranteza este negativă, iar $|2-\sqrt{2}|$ rămâne $2-\sqrt{2}$ — abia așa radicalii se reduc și rezultatul iese natural. Subiectul al II-lea repetă schema familiei de matrice, dar cu o iterare pe zece factori: relația $A(x)A(y)=A(x+y-2)$ scade câte $2$ la fiecare compunere, deci pe zece factori se scade $2\cdot 9=18$. Problema $2$ este mai subtilă decât pare: la subpunctul c) rădăcinile întregi nu se ghicesc, ci se deduc din faptul că suma pătratelor lor este $6$, deci pătratele nu pot fi decât $1$, $1$ și $4$. Subiectul al III-lea are, la $9$c, una dintre cele mai frumoase cerințe ale anului: inegalitatea $2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}$, care se reduce la o comparație de valori ale funcției de la subpunctul a) în punctele $2$ și $3$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, sau expresii de forma $e^2$ și $\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: modulul scos fără discutarea semnului expresiei dinăuntru; mulțimea soluțiilor unei inecuații scrisă fără interval; produsul celor zece matrice calculat „din aproape în aproape" fără formula generală; concluzia despre rădăcinile întregi fără justificarea că pătratele lor nu pot fi decât $1$, $1$ și $4$; inegalitatea $2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}$ verificată numeric, în loc să fie demonstrată prin monotonie.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Module: $|u|=u$ dacă $u\ge 0$ și $|u|=-u$ dacă $u<0$; reperul practic este $1<\sqrt{2}<2$, adică $1,41$ cu aproximație. Inecuații de gradul întâi: se trec necunoscutele într-un membru și numerele în celălalt, iar la împărțirea cu un număr negativ se schimbă sensul; răspunsul se scrie ca interval. Ecuații exponențiale: $a^x\cdot b^x=(ab{)}^x$ — bazele diferite se grupează într-una singură. Combinatorică: numărarea pe poziții, înmulțind numerele de alegeri rămase după fiecare pas. Aria unui triunghi dreptunghic: semiprodusul catetelor; două puncte cu aceeași ordonată dau o latură orizontală, două puncte cu aceeași abscisă dau una verticală, iar cele două sunt perpendiculare. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=2R$, unde $a$ este latura opusă unghiului $A$.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; o familie $A(t)$ cu $A(x)A(y)=A(x+y-2)$ se iterează astfel: $A(x_1)A(x_2)\cdot \dots \cdot A(x_k)=A(x_1+x_2+\cdots +x_k-2(k-1))$, pentru că fiecare compunere, nu fiecare factor, scade câte $2$.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$: $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$; de aici suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$ — instrumentul care închide subpunctul c). $f$ este divizibil cu $X-k$ exact când $f(k)=0$.
• Derivate și integrale: ${\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; o tangentă este perpendiculară pe $Oy$ exact când este orizontală, adică $f^{\prime }(a)=0$. $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$. Pentru compararea a doi termeni ai unui șir de integrale se scrie diferența ca o singură integrală și i se studiază semnul integrandului.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=11-x$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-4X^2+5X+a$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=4x-x^2$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ are trei roluri: parametrul polinomului la itemul $8$, abscisa căutată la itemul $9$b și, în notația uzuală a teoremei sinusurilor, latura opusă unghiului $A$. Literele $B$ și $C$ de la itemul $6$ denumesc, ca de obicei, atât vârfurile triunghiului, cât și unghiurile din ele.
• Scrierea $f^n(x)$ de la itemul $10$c înseamnă $(f(x){)}^n$, adică puterea a $n$-a a valorii, nu compunerea funcției cu ea însăși de $n$ ori și nici derivata de ordinul $n$. Litera $e$ de la itemii $7$ și $9$ este numărul lui Euler.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n=|1-\sqrt{2}|+|2-\sqrt{2}|$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=11-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=1-11x$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $f(x)\ge g(x)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x\cdot 2^{x+1}=72$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,3)$, $B(1,3)$ și $C(1,5)$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris $△ABC$, știind că $BC=4$, $B=\frac{\pi }{3}$ și $C=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x-2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& e^{x-2}\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(1)A(2)A(3)\cdot \dots \cdot A(10)=A(m^2+m+17)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-4X^2+5X+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)-f(-1)=12$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X-2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere întregi.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este perpendiculară pe axa $Oy$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-x^2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)dx=9$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{2-x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^4{f}^n(x)dx$. Demonstrați că $I_{n+1}\le 4I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — module și radicali.

Fiecare modul se scoate după semnul expresiei dinăuntru, iar reperul este $1<\sqrt{2}<2$: prima paranteză este negativă, a doua pozitivă. $$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1,|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Adunându-le, radicalii se reduc: $$n=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1\in \mathbb{N}\text{(3 p)}.$$ (De ce $\sqrt{2}<2$: ridicând la pătrat, $2<4$, iar funcția radical este crescătoare. Control numeric: $\sqrt{2}\approx 1,4142$, deci $|1-1,4142|+|2-1,4142|=0,4142+0,5858=1$. Unde se greșește de obicei: se scoate primul modul ca $1-\sqrt{2}$, adică se ignoră semnul, și se obține $3-2\sqrt{2}$, un număr irațional. Modulul nu este „ștergerea barelor": este scrierea expresiei cu semnul care o face nenegativă.)

Itemul 2. (5 p) — inecuație de gradul întâi.

Se scrie inecuația explicit și se trec necunoscutele într-un membru, numerele în celălalt: $$11-x\ge 1-11x⟺-x+11x\ge 1-11⟺10x\ge -10\text{(3 p)}.$$ Împărțind la $10$, număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează, iar mulțimea soluțiilor se scrie ca interval: $$x\ge -1,\text{ deci }\mathbf{x}\in [-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control la capăt: pentru $x=-1$, $f(-1)=12$ și $g(-1)=12$ — egalitate, deci capătul se include, ceea ce se vede și din paranteza dreaptă. Pentru $x=0$, $f(0)=11>1=g(0)$, deci inegalitatea e adevărată la dreapta lui $-1$, cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se schimbă sensul inegalității fără motiv — el se schimbă doar la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ; sau se răspunde doar cu $x\ge -1$, fără intervalul cerut de formularea „rezolvați în mulțimea numerelor reale".)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu baze diferite.

Se desface întâi puterea, $2^{x+1}=2^x\cdot 2$, apoi se grupează cele două baze într-una singură, cu regula $a^x{b}^x=(ab{)}^x$: $$3^x\cdot 2^x\cdot 2=72⟺(3\cdot 2{)}^x\cdot 2=72⟺6^x=36\text{(3 p)}.$$ Cum $36=6^2$, iar funcția exponențială de bază $6$ este injectivă, exponenții coincid: $$6^x=6^2⟹\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $3^2\cdot 2^3=9\cdot 8=72$. Soluția este unică pentru că funcția exponențială este strict crescătoare. Unde se greșește de obicei: se logaritmează imediat și se ajunge la $x\ln 3+(x+1)\ln 2=\ln 72$ — corect, dar mult mai lung; sau se scrie $3^x\cdot 2^{x+1}=6^{x+1}$, uitând că exponenții trebuie să fie egali înainte de a grupa bazele.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică, numărare pe poziții.

Cifrele impare sunt $1$, $3$, $5$, $7$ și $9$ — cinci la număr. Cifra sutelor se poate alege în $5$ moduri (niciuna nu este $0$, deci toate sunt permise pe prima poziție) și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor, distinctă de ea, se poate alege în $4$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în $3$ moduri, deci se pot forma $$5\cdot 4\cdot 3=60\text{ de numere}\text{(3 p)}.$$ (Acesta este chiar numărul de aranjamente $A_5^3=\frac{5!}{2!}=60$, formula fiind exact numărarea de mai sus. Control pe un caz mic: cu cifrele $\{1,3,5\}$ s-ar forma $3\cdot 2\cdot 1=6$ numere, adică toate permutările lor — se verifică prin enumerare. Unde se greșește de obicei: se calculează $5^3=125$, uitând cuvântul „distincte"; sau se scade $0$ de pe prima poziție, deși printre cifrele impare nu există $0$.)

Itemul 5. (5 p) — aria unui triunghi din coordonate.

Punctele $A(-3,3)$ și $B(1,3)$ au aceeași ordonată, deci segmentul $AB$ este orizontal; punctele $B(1,3)$ și $C(1,5)$ au aceeași abscisă, deci $BC$ este vertical. Lungimile se citesc direct din coordonate: $$AB=|1-(-3)|=4,BC=|5-3|=2\text{(2 p)}.$$ O latură orizontală și una verticală sunt perpendiculare, deci $△ABC$ este dreptunghic în $B$, iar aria lui este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot 2}{2}=4\text{(3 p)}.$$ (Control cu formula determinantului, care merge la orice triunghi: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|=\frac{1}{2}|4\cdot 2-4\cdot 0|=4$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se calculează lungimile cu formula distanței fără să se observe că laturile sunt paralele cu axele, ceea ce lungește inutil calculul; sau se ia drept catetă latura $AC$, care este de fapt ipotenuza.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$, deci al treilea unghi se află prin scădere: $$A=\pi -\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$ Latura $BC$ este opusă unghiului $A$, iar teorema sinusurilor dă $\frac{BC}{\sin A}=2R$; cum $\sin \frac{\pi }{2}=1$: $$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{(3 p)}.$$ (Interpretare geometrică, care face rezultatul evident: unghiul $A$ fiind drept, latura $BC$ este ipotenuză, iar ipotenuza unui triunghi dreptunghic este chiar diametrul cercului circumscris — deci raza este jumătate din ea. Unde se greșește de obicei: se aplică teorema sinusurilor cu o latură și unghiul alăturat ei, nu cel opus; sau se uită factorul $2$ și se răspunde $R=4$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu exponențială.

a) (5 p) Pentru $x=2$ elementul $x-2$ se anulează, iar $e^{x-2}=e^0=1$, deci matricea devine chiar $I_3$; determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(2)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& e^0\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(2))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Matricea este superior triunghiulară pentru orice $x$, deci $\det (A(x))=1\cdot 1\cdot e^{x-2}=e^{x-2}$, întotdeauna nenul — familia este formată numai din matrice inversabile. În $x=2$ formula dă $e^0=1$, același rezultat. De reținut pentru subpunctul c): $A(2)=I_3$ este elementul neutru al acestei familii.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Poziția $(1,2)$ adună cele două paranteze, iar poziția $(3,3)$ înmulțește cele două exponențiale: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& (y-2)+(x-2)& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& e^{x-2}\cdot e^{y-2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cu $(y-2)+(x-2)=x+y-4$ și $e^{x-2}{e}^{y-2}=e^{x+y-4}$, se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $x+y-2$: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x+y-4& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& e^{x+y-4}\end{array}\right)\\ & =A(x+y-2),\end{array}$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

(Cheia este că parametrul lui $A(x+y-2)$ intră peste tot micșorat cu $2$: elementul din poziția $(1,2)$ este $(x+y-2)-2=x+y-4$, iar exponentul la fel. Control numeric: pentru $y=2$ formula prezice $A(x)A(2)=A(x)$ — adevărat, pentru că $A(2)=I_3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^{x-2}\cdot e^{y-2}=e^{(x-2)(y-2)}$ — la produsul a două puteri de aceeași bază exponenții se adună, nu se înmulțesc.)

c) (5 p) Se iterează relația de la b). Fiecare compunere — nu fiecare factor — scade câte $2$, iar zece factori înseamnă nouă compuneri, deci $$\begin{array}{rl}& \\ & A(1)A(2)A(3)\cdot \dots \cdot A(10)\\ & =A(1+2+\cdots +10-2\cdot 9)\\ & =A(55-18)=A(37).\end{array}$$ Egalitatea din enunț se citește pe elementul din poziția $(1,2)$, funcția $t\mapsto t-2$ fiind injectivă: $$\begin{array}{rl}A(37)& =A(m^2+m+17)\\ & ⟺m^2+m+17=37\\ & ⟺m^2+m-20=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =1+80=81$, deci $$\mathbf{m}=-5\text{ sau }\mathbf{m}=4\text{(2 p)}.$$ (De unde $1+2+\cdots +10=55$: suma primelor zece numere naturale nenule, $\frac{10\cdot 11}{2}$. Verificare: $(-5{)}^2+(-5)+17=25-5+17=37$ și $4^2+4+17=16+4+17=37$. Unde se greșește de obicei: se scade $2\cdot 10=20$ în loc de $2\cdot 9=18$ — numărul de compuneri este cu unul mai mic decât numărul de factori; cu $20$ ar ieși $A(35)$ și un cu totul alt răspuns.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valorile se obțin înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$, respectiv cu $-1$; parametrul $a$ este termen liber, deci apare nemodificat în amândouă: $$f(1)=1-4+5+a=a+2\text{(2 p)}.$$ Pentru $-1$, puterile impare schimbă semnul, iar cea pară nu: $$f(-1)=-1-4-5+a=a-10⟹f(1)-f(-1)=(a+2)-(a-10)=a+2-a+10=12\text{(3 p)}.$$ (Diferența nu depinde de $a$ tocmai pentru că parametrul apare la fel în ambele valori și se reduce. Control cu formula generală: $f(1)-f(-1)=2\left(\text{suma coeficienților termenilor de grad impar}\right)=2(1+5)=12$ — aceeași valoare, fără niciun calcul. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^3=1$ sau $-4(-1{)}^2=4$, adică se pierde controlul semnelor.)

b) (5 p) Teorema lui Bézout: un polinom este divizibil cu $X-k$ exact când valoarea lui în $k$ este nulă. Aici $k=2$: $$\text{polinomul }f\text{ este divizibil cu }X-2⟺f(2)=0\text{(2 p)}.$$ Se calculează valoarea și se rezolvă ecuația în $a$: $$f(2)=8-16+10+a=a+2,\text{ deci }a+2=0,\text{ adica˘ }\mathbf{a}=-2\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=-2$, $f=X^3-4X^2+5X-2$ și $f(2)=8-16+10-2=0$. Curiozitate utilă: $f(2)$ și $f(1)$ au aceeași expresie, $a+2$ — deci $1$ și $2$ sunt rădăcini simultan, ceea ce se va vedea limpede la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se face împărțirea lungă a polinoamelor și se pune restul egal cu zero — corect, dar de cinci ori mai lung decât Bézout.)

c) (5 p) Rădăcinile nu se ghicesc, ci se deduc. Din relațiile lui Viète pentru $X^3-4X^2+5X+a$: $$x_1+x_2+x_3=4,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=5\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor rezultă din cele două: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4^2-2\cdot 5=6$. Rădăcinile fiind numere întregi, pătratele lor sunt pătrate perfecte care se adună la $6$, iar $9>6$ exclude orice rădăcină de modul cel puțin $3$; singura descompunere posibilă este $6=1+1+4$, deci pătratele rădăcinilor sunt $1$, $1$ și $4$. Cum $x_1+x_2+x_3=4$, singura alegere de semne care dă suma $4$ este $1$, $1$ și $2$; obținem rădăcinile $1$, $1$ și $2$, deci $$a=-x_1{x}_2{x}_3=-1\cdot 1\cdot 2=-2,\text{ care convine}\text{(3 p)}.$$ (Verificare completă: $X^3-4X^2+5X-2=(X-1{)}^2(X-2)$, iar rădăcinile sunt într-adevăr $1$, $1$ și $2$, toate întregi; controlul pe a doua relație a lui Viète: $1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 2=5$. De ce trebuie verificate semnele: cu pătratele $1$, $1$, $4$ mai sunt și alte alegeri, de pildă $-1$, $1$, $2$, care dă suma $2$, sau $1$, $1$, $-2$, care dă $0$ — niciuna nu ajunge la $4$. Observație: răspunsul coincide cu cel de la subpunctul b), pentru că $2$ este rădăcină în amândouă situațiile. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcinile printre divizorii lui $a$, dar $a$ este chiar necunoscuta — de aceea drumul trece obligatoriu prin suma pătratelor.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă perpendiculară pe $Oy$ și o inegalitate cu exponenți iraționali.

a) (5 p) Funcția este un produs, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \ln x$, deci se aplică $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu ${\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x\sqrt{x}}\cdot \ln x+\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Cei doi termeni se aduc la numitorul comun $2x\sqrt{x}$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{\ln x}{2x\sqrt{x}}+\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{-\ln x+2}{2x\sqrt{x}}=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{2-0}{2}=1$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $1,000$. De unde vine derivata radicalului de la numitor: $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, deci derivata este $-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar unul dintre factori, sau se scrie ${\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, adică se pierd și semnul, și puterea.)

b) (5 p) Axa $Oy$ este verticală, deci o dreaptă perpendiculară pe ea este orizontală, adică are panta nulă; panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$: $$\text{tangenta ıˆn }(a,f(a))\text{ este perpendiculara˘ pe }Oy⟺f^{\prime }(a)=0\text{(3 p)}.$$ Numitorul $2a\sqrt{a}$ este strict pozitiv pe tot domeniul, deci fracția se anulează doar din numărător: $$2-\ln a=0⟺\ln a=2⟺\mathbf{a}={\mathbf{e}}^2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f\left(e^2\right)=\frac{2}{e}$, iar $f^{\prime }\left(e^2\right)=\frac{2-2}{2e^2\cdot e}=0$ — tangenta este dreapta orizontală $y=\frac{2}{e}$. Punctul este chiar maximul funcției, pentru că derivata trece de la plus la minus. Unde se greșește de obicei: se confundă „perpendicular pe $Oy$" cu „perpendicular pe $Ox$", care ar însemna tangentă verticală — o funcție derivabilă nu are așa ceva; sau se pune condiția $f(a)=0$ în loc de $f^{\prime }(a)=0$.)

c) (5 p) Inegalitatea se aduce la o comparație de valori ale funcției $f$. Din subpunctul a), numărătorul $2-\ln x$ este strict pozitiv exact când $\ln x<2$, adică $x<e^2$, deci $$f^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (0,e^2),\text{ deci }f\text{ este strict cresca˘toare pe }(0,e^2)\text{(2 p)}.$$ Cum $e^2\approx 7,39$, avem $0<2<3<e^2$, iar monotonia păstrează inegalitatea; scriind explicit valorile lui $f$ și înmulțind cu $\sqrt{6}>0$: $$0<2<3<e^2⟹f(2)<f(3)⟹\frac{1}{\sqrt{2}}\ln 2<\frac{1}{\sqrt{3}}\ln 3⟹\sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3,\text{ deci }{2}^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}\text{(3 p)}.$$ (Ultimul pas: $\sqrt{3}\ln 2=\ln 2^{\sqrt{3}}$ și $\sqrt{2}\ln 3=\ln 3^{\sqrt{2}}$, iar logaritmul natural este strict crescător, deci inegalitatea dintre logaritmi se transferă între numere. De ce se poate înmulți cu $\sqrt{6}$: din $\frac{\ln 2}{\sqrt{2}}<\frac{\ln 3}{\sqrt{3}}$, înmulțind cu $\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}>0$, se obține $\sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3$. Control numeric: $2^{\sqrt{3}}\approx 3,3220$ și $3^{\sqrt{2}}\approx 4,7288$. Unde se greșește de obicei: se compară exponenții, $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, și se conchide invers — la baze diferite exponenții singuri nu decid nimic; sau se calculează numeric și se declară demonstrația încheiată, ceea ce baremul nu acceptă.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale.

a) (5 p) Integrandul este un polinom, deci se integrează termen cu termen, cu $\int x^{k}dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}$: $${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^3(4x-x^2)dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, înlocuind capetele: $${\int }_0^{3}f(x)dx=\left(18-9\right)-0=9\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,3]$ dă $9,000$. Observație folositoare la subpunctul c): pe $[0,4]$ funcția $f(x)=x(4-x)$ este nenegativă, cu zerouri exact în capete — este parabola cu vârful în $(2,4)$.)

b) (5 p) Se recunoaște forma $\frac{u^{\prime }}{u}$: derivata numitorului este $(4x-x^2{)}^{\prime }=4-2x=2(2-x)$, adică dublul numărătorului. Deci integrandul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$, iar pe $[1,2]$ numitorul $4x-x^2$ ia valori între $3$ și $4$, deci este strict pozitiv și modulul din primitivă dispare: $${\int }_1^2\frac{2-x}{f(x)}dx={\int }_1^2\frac{2-x}{4x-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (4x-x^2){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $4\cdot 2-4=4$ și $4-1=3$: $${\int }_1^2\frac{2-x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln 4-\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}\approx 0,1438$, iar integrala calculată numeric dă $0,14384$. Unde se greșește de obicei: se descompune în fracții simple, ceea ce merge, dar e mult mai lung; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$, pentru că derivata numitorului este $2(2-x)$, nu $2-x$. A treia capcană: se integrează fără să se verifice că numitorul nu se anulează pe intervalul de integrare — el se anulează în $0$ și în $4$, amândouă în afara lui $[1,2]$.)

c) (5 p) Se compară cei doi termeni scriind diferența ca o singură integrală și dând factor comun $f^n(x)$: $$I_{n+1}-4I_n={\int }_0^4{f}^{n+1}(x)dx-4{\int }_0^4{f}^n(x)dx={\int }_0^4{f}^n(x)(4x-x^2-4)dx=-{\int }_0^4{f}^n(x)(x-2{)}^{2}dx\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $[0,4]$ avem $f(x)=x(4-x)\ge 0$, deci și $f^n(x)\ge 0$; înmulțit cu pătratul $(x-2{)}^2\ge 0$, integrandul este nenegativ, iar integrala unei funcții nenegative este nenegativă. Prin urmare $$f(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in [0,4]⟹f^n(x)(x-2{)}^2\ge 0,\text{ deci }{I}_{n+1}-4I_n\le 0⟹{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le 4{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}},$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (2 p).

(Cheia calculului este identitatea $4x-x^2-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2{)}^2$ — un pătrat perfect cu semn minus, exact ce trebuie ca semnul să fie clar. Control numeric: $I_1={\int }_0^4(4x-x^2)dx=\frac{32}{3}\approx 10,67$ și $I_2\approx 34,13$, iar $4I_1\approx 42,67\ge I_2$; la fel, $I_3\approx 117,0\le 4I_2\approx 136,5$. Unde se greșește de obicei: se compară integralele pe „intuiție", fără să se scrie diferența ca o singură integrală; sau se pierde semnul minus la scoaterea pătratului și se demonstrează inegalitatea inversă.)