Bac M1 2018, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2018 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: conjugatul unui număr complex și identificarea părților reală și imaginară — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: vârful parabolei și legătura dintre $y_V$ și discriminant — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: raport de logaritmi zecimali, condiții de existență și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numere de două cifre distincte și impare — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și condiția de perpendicularitate $m_1{m}_2=-1$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de adunare pentru sinus și cosinus — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme cu parametru: determinant de ordinul al treilea cu parametru, factorizarea lui și studiul soluțiilor sistemului asociat în cazul degenerat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea unei legi la forma ${\phi }^{-1}(\phi (x)\phi (y))$, iterarea ei și morfismele de la $(\mathbb{R},+)$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și monotonie: derivata unei funcții cu logaritm, ecuația tangentei într-un punct și compararea a trei valori prin monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, împărțirea cu rest la o funcție rațională și integrarea prin părți care produce o relație de recurență — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2018. Subiectul I este echilibrat, dar are două capcane de citire: la cerința $1$ bara de conjugare stă pe primul termen, $2\overline{z}-z$, nu pe al doilea — cine o mută obține $z=1-i$ în loc de $z=1+i$; iar la cerința $3$ ecuația este un raport de logaritmi, nu o diferență, deci se aduce la $2\lg x=\lg (x+2)$ și cere verificarea soluțiilor. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, un sistem în cazul în care determinantul se anulează — nu se cere rezolvarea lui, ci doar diferențele dintre necunoscute, care ies imediat scăzând ecuațiile două câte două. Problema 2 este o lege de compoziție pusă din primul subpunct în forma ei bună, $x\ast y=4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}$: odată scrisă așa, toate celelalte două subpuncte devin calcule cu produse. Subiectul al III-lea încheie cu o relație de recurență între integrale, obținută printr-o singură integrare prin părți — tiparul cel mai frecvent al problemei III.2 la Bacalaureatul M1.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2-3\ln \frac{4}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără condiții de existență și fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; concluzia „cel mult unul este întreg" fără cele trei diferențe; ecuația tangentei scrisă fără $f(1)$ și $f^{\prime }(1)$ calculate separat; recurența scrisă fără integrarea prin părți din care provine.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: dacă $z=a+bi$, atunci $\overline{z}=a-bi$; două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Funcția de gradul al doilea: vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ este $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$, deci $y_V=0\iff \Delta =0$. Ecuații logaritmice: $n\lg u=\lg u^n$; condițiile de existență se scriu înainte de calcul, iar soluțiile se verifică la sfârșit. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Drepte perpendiculare: $m_1\cdot m_2=-1$; dreapta prin $A(x_A,y_A)$ de pantă $m$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Adunarea unghiurilor: $\sin (u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$, $\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$.
• Matrice și sisteme: determinantul $\left|\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right|=(a+2b)(a-b{)}^2$ — tiparul „diagonală constantă, restul constant"; când determinantul se anulează, sistemul nu mai este de tip Cramer, dar diferențele dintre necunoscute se obțin scăzând ecuațiile două câte două.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=axy+bx+by+c$ se aduce la $x\ast y=a(x-u)(y-u)+u$, cu $u$ soluția lui $x\ast x=x$ potrivită; aici forma este $x\ast y=4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}$, deci aplicația $\phi (x)=4\left(x+\frac{3}{4}\right)$ transformă legea în înmulțirea obișnuită, iar iterarea devine ridicare la putere.
• Derivate și integrale: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. O funcție strict crescătoare păstrează inegalitățile dintre argumente. Integrarea prin părți: ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$ — mecanismul care produce relații de recurență între integralele unui șir.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-mx+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=a{e}^x-\frac{3}{4}$ de la itemul $8$c, funcția $f(x)=8x^2-\ln x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{2x+3}{x+3}$ de la itemul $10$ — în total patru apariții, cu patru formule. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Literele $a$, $b$, $c$ sunt, la itemul $7$c, cele trei componente ale unei soluții a sistemului, adică numere necunoscute; la itemul $8$c, litera $a$ este parametrul căutat al funcției exponențiale. Litera $m$ este parametru la itemii $2$ și $7$, cu roluri complet diferite: coeficient al lui $x$ în trinom, respectiv element al matricei.
• Semnul $\ast$ de la itemul $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea; iar $\lg$ de la itemul $3$ este logaritmul în baza $10$, nu logaritmul natural, care se scrie $\ln$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul complex $z$, știind că $2\overline{z}-z=1-3i$, unde $\overline{z}$ este conjugatul lui $z$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+1$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$, știind că vârful parabolei asociate funcției $f$ se află pe axa $Ox$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{\lg x}{\lg (x+2)}=\frac{1}{2}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(-5,2)$ și dreapta $d$ de ecuație $y=x+1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(m)=\left(\begin{array}{ccc}2m& 1& 1\\ 1& 2m& 1\\ 1& 1& 2m\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}2mx+y+z=-1\\ x+2my+z=0\\ x+y+2mz=1\end{array},$$ unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(0))=2$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$, știind că $\det (M(m))=0$.

c) (5 puncte) Pentru $m=-1$, demonstrați că, dacă $(a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $a$, $b$ și $c$ este întreg.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=4xy+3x+3y+\frac{3}{2}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast x\ast x=-\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $f(x)\ast f(y)=f(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{e}^x-\frac{3}{4}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x^2-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că punctul $A\left(\frac{2}{3},3\right)$ aparține tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f\left(\frac{1}{3}\right)<f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)<f\left(\frac{1}{2}\right)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+3}{x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x+3)f(x)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=2-3\ln \frac{4}{3}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{e}^x(x+3{)}^n(f(x){)}^{n}dx$. Demonstrați că $I_n+2n{I}_{n-1}=e\cdot 5^n-3^n$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe și conjugatul.

Se scrie numărul căutat în formă algebrică, $z=a+bi$ cu $a$ și $b$ numere reale, deci $\overline{z}=a-bi$, și se calculează membrul stâng: $$2\overline{z}-z=2(a-bi)-(a+bi)=2a-2bi-a-bi=a-3bi\text{(3 p)}.$$ Două numere complexe sunt egale exact când coincid și părțile reale, și părțile imaginare: $$a-3bi=1-3i⟹a=1\text{ și }-3b=-3,\text{ deci }b=1,\text{ adica˘ }\mathbf{z}=1+\mathbf{i}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $2\overline{z}-z=2(1-i)-(1+i)=2-2i-1-i=1-3i$. Unde se greșește de obicei: se citește enunțul ca $2z-\overline{z}$ — bara stă pe primul termen; cu ea mutată ar ieși $a+3bi=1-3i$, deci $z=1-i$, un răspuns aproape identic la privire și complet greșit. A doua capcană: se scrie $\overline{z}=-a+bi$, adică se schimbă semnul părții reale în loc de al celei imaginare.)

Itemul 2. (5 p) — vârful parabolei.

Vârful parabolei asociate funcției de gradul al doilea se află pe axa $Ox$ exact când ordonata lui este nulă, iar $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$, deci, coeficientul dominant fiind $1\ne 0$: $$y_V=0⟺\Delta =0\text{(3 p)}.$$ Pentru $f(x)=x^2-mx+1$ discriminantul este $\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4$, deci $$m^2-4=0⟹\mathbf{m}=-2\text{ sau }\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $m=2$: $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, cu vârful în $(1,0)$, chiar pe axa $Ox$; pentru $m=-2$, $f(x)=(x+1{)}^2$, cu vârful în $(-1,0)$. Interpretare: $\Delta =0$ înseamnă că parabola are exact un punct comun cu axa $Ox$, adică o atinge fără s-o taie. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $x_V=0$, adică se confundă „vârful este pe axa $Ox$" cu „vârful este pe axa $Oy$".)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență sunt $x>0$, $x+2>0$ și $\lg (x+2)\ne 0$, adică $x+2\ne 1$ — toate îndeplinite de orice $x>0$. Înmulțind ecuația cu $2\lg (x+2)$ și folosind $2\lg x=\lg x^2$: $$2\lg x=\lg (x+2)⟺\lg x^2=\lg (x+2)⟹x^2=x+2⟺x^2-x-2=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $-1$ și $2$; se confruntă cu condițiile de existență: $$x=-1,\text{ care nu convine},\mathbf{x}=2,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\frac{\lg 2}{\lg 4}=\frac{\lg 2}{2\lg 2}=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{\lg x}{\lg (x+2)}=\lg \frac{x}{x+2}$ — câtul a doi logaritmi nu este logaritmul câtului; ultima egalitate ar fi valabilă pentru diferența lor. A doua capcană: se sare peste eliminarea lui $x=-1$; baremul o punctează explicit, cu cuvintele „care nu convine".)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărare pe poziții.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Cifrele impare sunt $1$, $3$, $5$, $7$ și $9$ — cinci la număr, iar niciuna nu este $0$, deci oricare poate sta pe prima poziție. Cifra zecilor se alege în $5$ moduri, iar cea a unităților, distinctă de prima, în $4$ moduri; sunt deci $5\cdot 4=20$ de cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită cuvântul „distincte" și se numără $5\cdot 5=25$; sau se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră. Control: numerele favorabile sunt $13$, $15$, $17$, $19$, $31$, $35$, $37$, $39$, $51$, $53$, $57$, $59$, $71$, $73$, $75$, $79$, $91$, $93$, $95$, $97$ — douăzeci, exact cât spune numărarea.)

Itemul 5. (5 p) — drepte perpendiculare în reper cartezian.

Dreapta $d$ este scrisă în forma $y=mx+n$, deci panta ei este $m_d=1$. Două drepte neverticale sunt perpendiculare exact când produsul pantelor lor este $-1$: $$m_d\cdot m=-1⟹m=-1\text{(3 p)}.$$ Dreapta căutată trece prin $A(-5,2)$ și are panta $-1$, deci $y-2=-1(x-(-5))=-x-5$: $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}-3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=-5$ ecuația dă $y=5-3=2$, deci punctul $A$ chiar este pe dreaptă. Control geometric: dreapta $d$ face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$, iar perpendiculara pe ea trebuie să facă $135^{\circ }$, adică să aibă panta $-1$ — se vede din desen. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei egală cu $-\frac{1}{m_d}$ dar se uită semnul, sau se scrie ecuația prin $A$ cu panta $1$, adică se construiește paralela în loc de perpendiculară.)

Itemul 6. (5 p) — formulele de adunare în trigonometrie.

Se desfac cele două expresii cu formulele de adunare, $\sin (u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$ și $\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$: $$\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\sin \frac{\pi }{4}\cos x+\cos \frac{\pi }{4}\sin x-\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, factorul comun se scoate și paranteza se anulează: $$=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x-\cos x-\sin x)=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ (Drumul cel mai scurt, care merită știut: $\cos u=\sin \left(\frac{\pi }{2}-u\right)$, deci $\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)$ — cele două expresii sunt pur și simplu aceeași, scrisă în două feluri. Control numeric: pentru $x=1$ radian, ambele valorează aproximativ $0,9771$. Unde se greșește de obicei: se folosește formula cosinusului cu semn minus, $\cos u\cos v-\sin u\sin v$ — aceea este pentru $\cos (u+v)$, nu pentru $\cos (u-v)$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistemul asociat.

a) (5 p) Pentru $m=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& M(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (M(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente": $$\begin{array}{rl}& \det (M(0))\\ & =0+1+1-0-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Detaliul: descendentele dau $0\cdot 0\cdot 0=0$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $1\cdot 1\cdot 1=1$; ascendentele dau toate trei $0$, pentru că fiecare conține un element de pe diagonala principală, iar aceștia sunt nuli. Control cu formula generală de la subpunctul b): $2(m+1)(2m-1{)}^2$ în $m=0$ dă $2\cdot 1\cdot 1=2$ — aceeași valoare.)

b) (5 p) Matricea are diagonala principală constantă, $2m$, și toate celelalte elemente egale cu $1$ — tiparul pentru care determinantul se factorizează. Adunând coloanele a doua și a treia la prima, apoi scăzând prima linie din celelalte două, se ajunge la $$\begin{array}{rl}\det (M(m))& =\left|\begin{array}{ccc}2m& 1& 1\\ 1& 2m& 1\\ 1& 1& 2m\end{array}\right|\\ & =(2m+2)(2m-1{)}^2\\ & =2(m+1)(2m-1{)}^2,\end{array}$$ pentru orice număr real $m$ (3 p).

Un produs este nul exact când unul dintre factori este nul, deci $$\mathbf{m}=-1\text{ sau }\mathbf{m}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Formula generală, care merită reținută: $\left|\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right|=(a+2b)(a-b{)}^2$; aici $a=2m$ și $b=1$. Control numeric: pentru $m=1$ formula dă $2\cdot 2\cdot 1=4$, iar Sarrus pe $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ dă $8+1+1-2-2-2=4$. Observație: $m=\frac{1}{2}$ este rădăcină dublă, ceea ce se vede din pătrat — pentru acel $m$ matricea are toate elementele egale cu $1$, deci rangul $1$.)

c) (5 p) Pentru $m=-1$ sistemul devine $-2x+y+z=-1$, $x-2y+z=0$, $x+y-2z=1$, iar determinantul lui este nul, deci nu se poate rezolva cu regula lui Cramer. Nici nu e nevoie: scăzând ecuațiile două câte două, termenii se grupează singuri. Din prima minus a doua rezultă $-3a+3b=-1$; din a doua minus a treia rezultă $-3b+3c=-1$; adunându-le, se obține și a treia diferență: $$\begin{array}{rl}& a-b\\ & =\frac{1}{3},b-c\\ & =\frac{1}{3}\text{și}a-c=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Diferența a două numere întregi este întotdeauna un număr întreg. Deoarece $a-b\notin \mathbb{Z}$, $b-c\notin \mathbb{Z}$ și $a-c\notin \mathbb{Z}$, nu există nicio pereche formată din două dintre numerele $a$, $b$, $c$ care să fie amândouă întregi; prin urmare cel mult unul dintre numerele $a$, $b$ și $c$ este întreg (2 p).

(Sistemul chiar are soluții — o infinitate: adunând cele trei ecuații se obține $0=0$, deci sistemul este compatibil nedeterminat, iar soluțiile sunt $\left(t,t-\frac{1}{3},t-\frac{2}{3}\right)$ cu $t$ real. Pentru $t$ întreg, primul număr este întreg și celelalte două nu — deci marginea „cel mult unul" chiar se atinge. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea sistemului cu Cramer, se obține $\det =0$ și rezolvarea se oprește; cerința nu e să afli soluțiile, ci doar relațiile dintre ele.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se pornește din membrul drept, care este mai structurat, și se desface produsul: $$4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}=4\left(xy+\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{9}{16}\right)-\frac{3}{4}=4xy+3x+3y+\frac{9}{4}-\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$ Ultimii doi termeni se adună: $\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, deci $$4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}=4xy+3x+3y+\frac{3}{2}=x\ast y,$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(De unde vine numărul $\frac{3}{4}$: se caută elementul $u$ pentru care $u\ast y$ nu depinde de $y$, adică $4u+3=0$, de unde $u=-\frac{3}{4}$; forma obținută spune că aplicația $\phi (x)=4\left(x+\frac{3}{4}\right)$ transformă legea $\ast$ în înmulțirea obișnuită: $\phi (x\ast y)=\phi (x)\phi (y)$. Asta face ca toate celelalte subpuncte să devină calcule cu produse. Control numeric: $1\ast 2=8+3+6+1,5=18,5$, iar $4\cdot 1,75\cdot 2,75-0,75=19,25-0,75=18,5$.)

b) (5 p) Legea fiind asociativă, scrierea $x\ast x\ast x$ nu are nevoie de paranteze. Se compune de două ori, folosind forma de la subpunctul a): întâi $x\ast x=4{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{3}{4}$, apoi $$x\ast x\ast x=16{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^3-\frac{3}{4},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație în care se izolează cubul: $$16{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^3-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}⟺{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{1}{64},\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ (Detaliul de calcul: $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, iar $\frac{1/4}{16}=\frac{1}{64}$; cum $\frac{1}{64}={\left(\frac{1}{4}\right)}^3$ și funcția putere a treia este injectivă, $x+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, deci $x=-\frac{1}{2}$. Verificare: $-\frac{1}{2}\ast -\frac{1}{2}=1-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$, deci $-\frac{1}{2}$ se compune cu sine dând tot $-\frac{1}{2}$, iar a treia compunere dă la fel. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\ast x\ast x=4{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^3-\frac{3}{4}$, uitând că fiecare compunere aduce încă un factor $4$: $4\cdot 4=16$.)

c) (5 p) Se folosește forma de la a): $f(x)+\frac{3}{4}=a{e}^x$, deci compunerea celor două valori se scrie direct ca produs: $$4\left(a{e}^x-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\right)\left(a{e}^y-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}=a{e}^{x+y}-\frac{3}{4},\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $4a^2{e}^x{e}^y-\frac{3}{4}=4a^2{e}^{x+y}-\frac{3}{4}$, iar egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice $x$ și $y$; simplificând cu $e^{x+y}$, care nu se anulează niciodată, rămâne $$4a^2=a⟺a(4a-1)=0,\text{ deci }\mathbf{a}=0\text{ sau }\mathbf{a}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $a=\frac{1}{4}$: $f(x)=\frac{e^x}{4}-\frac{3}{4}$, iar $f(x)\ast f(y)=4\cdot \frac{e^x}{4}\cdot \frac{e^y}{4}-\frac{3}{4}=\frac{e^{x+y}}{4}-\frac{3}{4}=f(x+y)$. Pentru $a=0$ funcția este constanta $-\frac{3}{4}$, care este chiar elementul „absorbant" al legii: $-\frac{3}{4}\ast -\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $4a^2=a$ la $a$ și se pierde soluția $a=0$ — o soluție pe care baremul o cere explicit. Sensul rezultatului: $f$ trebuie să fie morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},\ast )$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, ecuația tangentei și monotonie.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(x^2{)}^{\prime }=2x$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=16x-\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor și recunoscând o diferență de pătrate: $$f^{\prime }(x)=\frac{16x^2-1}{x}=\frac{(4x-1)(4x+1)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{3\cdot 5}{1}=15$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $15,000$. Forma factorizată nu e un moft: din ea se citește imediat că $f^{\prime }>0$ pentru $x>\frac{1}{4}$ și $f^{\prime }<0$ pentru $0<x<\frac{1}{4}$ — exact ce se cere la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln x$ ca $\frac{1}{x^2}$ sau se pierde semnul minus din fața logaritmului.)

b) (5 p) Ecuația tangentei într-un punct al graficului cere două numere: valoarea funcției și valoarea derivatei în acel punct. Pentru $x=1$: $f(1)=8\cdot 1-\ln 1=8$ și $f^{\prime }(1)=\frac{3\cdot 5}{1}=15$, deci $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)⟺y-8=15(x-1)⟺y=15x-7\text{(3 p)}.$$ Se verifică dacă punctul $A\left(\frac{2}{3},3\right)$ satisface ecuația dreptei, înlocuind abscisa lui: $$15\cdot \frac{2}{3}-7=10-7=3,$$ deci punctul $A\left(\frac{2}{3},3\right)$ aparține tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$ (2 p).

(De reținut: $\ln 1=0$, de aceea $f(1)$ iese număr rotund. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta ca $y=f^{\prime }(1)\cdot x$, uitând termenul liber; sau se verifică punctul $A$ pe graficul funcției în loc de pe tangentă — $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{32}{9}-\ln \frac{2}{3}\approx 3,96\ne 3$, deci $A$ nu este pe grafic, dar asta nici nu se cere.)

c) (5 p) Din forma factorizată a derivatei, numitorul $x$ este pozitiv pe tot domeniul, iar produsul $(4x-1)(4x+1)$ este pozitiv exact când $x>\frac{1}{4}$. Prin urmare $$x\in \left(\frac{1}{4},+\infty \right)⟹f^{\prime }(x)>0,\text{ deci }f\text{ este strict cresca˘toare pe }\left(\frac{1}{4},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$ Cele trei abscise din enunț sunt toate în acest interval și se ordonează comparând numitorii, respectiv comparând $3$, $\sqrt{7}\approx 2,646$ și $2$: $$\text{Cum}\frac{1}{4}<\frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{7}}<\frac{1}{2},\text{obținem}\mathbf{f}\left(\frac{1}{3}\right)<\mathbf{f}\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)<\mathbf{f}\left(\frac{1}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ (Ordonarea este locul unde se pierd punctele: fracțiile cu același numărător se compară invers față de numitori, iar $2<\sqrt{7}<3$, deci $\frac{1}{2}>\frac{1}{\sqrt{7}}>\frac{1}{3}$. Control numeric: $\frac{1}{3}\approx 0,3333$, $\frac{1}{\sqrt{7}}\approx 0,3780$, $\frac{1}{2}=0,5$; iar valorile funcției sunt $f\left(\frac{1}{3}\right)\approx 1,987$, $f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\approx 2,116$ și $f\left(\frac{1}{2}\right)=2+\ln 2\approx 2,693$ — chiar în ordine crescătoare. Unde se greșește de obicei: se compară valorile calculându-le, ceea ce fără calculator nu se poate; drumul cerut este monotonia.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale cu recurență.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $x+3$ se reduce cu numitorul funcției, legitim, pentru că pe $[0,1]$ avem $x+3\ge 3\ne 0$: $${\int }_0^1(x+3)f(x)dx={\int }_0^1(x+3)\cdot \frac{2x+3}{x+3}dx={\int }_0^1(2x+3)dx=(x^2+3x){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^1(x+3)f(x)dx=1+3-0=4\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala lui $2x+3$ pe $[0,1]$ este aria unui trapez cu bazele $3$ și $5$ și înălțimea $1$, adică $\frac{3+5}{2}=4$. Unde se greșește de obicei: se integrează $f$ separat și apoi se înmulțește cu ceva — integrala unui produs nu este produsul integralelor; simplificarea trebuie făcută înainte de integrare.)

b) (5 p) Numărătorul are același grad cu numitorul, deci se face împărțirea cu rest: $2x+3=2(x+3)-3$, de unde $f(x)=2-\frac{3}{x+3}$. Integrala se desface în doi termeni elementari: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{2x+3}{x+3}dx={\int }_0^1\left(2-\frac{3}{x+3}\right)dx=2x{|}_0^1-3\ln (x+3){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul de integrare $x+3>0$, deci modulul din primitiva logaritmică dispare. Înlocuind capetele: $${\int }_0^{1}f(x)dx=2-3(\ln 4-\ln 3)=2-3\ln \frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $2-3\ln \frac{4}{3}\approx 2-3\cdot 0,2877=1,1370$, iar integrala calculată numeric dă $1,13695$. Unde se greșește de obicei: se integrează raportul „cu logaritm la numitor", $\ln (2x+3)$ împărțit la ceva — rețeta corectă pentru o fracție cu numărătorul de gradul numitorului este împărțirea cu rest. A doua capcană: se scrie $3(\ln 4-\ln 3)=3\ln 4-3\ln 3$ și se lasă așa, când forma cerută este cu raportul $\frac{4}{3}$.)

c) (5 p) Se simplifică întâi integrandul, folosind că puterea unui produs este produsul puterilor: $$(x+3{)}^n(f(x){)}^n=((x+3)f(x){)}^n=(2x+3{)}^n,\text{ deci }{I}_n={\int }_0^1{e}^x(2x+3{)}^{n}dx.$$ Se integrează prin părți, luându-l pe $e^x$ drept derivată a lui $e^x$ și derivând puterea, cu $((2x+3{)}^n{)}^{\prime }=2n(2x+3{)}^{n-1}$: $$I_n={\int }_0^1(e^x{)}^{\prime }(2x+3{)}^{n}dx=e^x(2x+3{)}^n{|}_0^1-2n{\int }_0^1{e}^x(2x+3{)}^{n-1}dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei se calculează înlocuind capetele, $2\cdot 1+3=5$ și $2\cdot 0+3=3$, iar integrala rămasă este chiar $I_{n-1}$: $$I_n=e\cdot 5^n-3^n-2n{I}_{n-1},\text{ deci }{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}+2n{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}-1}=\mathbf{e}\cdot 5^{\mathbf{n}}-3^{\mathbf{n}},$$ pentru orice număr natural $n$, $n\ge 1$ (2 p).

(Control numeric pentru $n=1$: $I_1={\int }_0^1{e}^x(2x+3)dx\approx 7,1548$ și $I_0={\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1,7183$, iar $I_1+2I_0\approx 10,5914$, exact cât $5e-3\approx 10,5914$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^x$ și se integrează puterea, adică se alege prost repartizarea la părți — puterea trebuie derivată, ca exponentul să scadă și să apară $I_{n-1}$. A doua capcană: se uită factorul $2$ din derivata lui $(2x+3{)}^n$, care e chiar cel care produce coeficientul $2n$ din enunț.)