Bac M1 2018, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2018 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, la examenul național de bacalaureat din 2018. Modelul este documentul pe care Centrul Național de Evaluare și Examinare îl dă public la începutul anului școlar, ca elevii și profesorii să știe exact ce structură, ce tip de cerințe și ce nivel de dificultate vor avea subiectele din sesiunile anului; el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma a doi logaritmi de aceeași bază și raționalizarea unui produs de forma $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Intersecția a două grafice: rezolvarea ecuației $f(x)=g(x)$ și scrierea punctului obținut — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație de gradul al treilea: injectivitatea funcției putere impară, $u^3=v^3\iff u=v$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe poziții, cu restricția „cifra zecilor nu poate fi zero" — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: o relație vectorială cu trei puncte coliniare și lungimea segmentului rezultat — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere pentru $\pi -x$, $\pi +x$ și $2\pi -x$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinanți și matrice inversabile: determinant de ordinul al treilea cu doi parametri, factorizarea lui prin transformări pe linii și condiția $B^{-1}=A$ — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcina $1$ și divizibilitatea, divizibilitatea cu $X^2-1$ prin cele două rădăcini, teorema rădăcinilor raționale — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă oblică și funcții trigonometrice inverse: derivata lui $\mathrm{arctg}$, procedura în doi pași a asimptotei oblice și identitatea $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$ demonstrată prin derivată nulă — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale, concavitate și șiruri de integrale: substituția care simplifică $f\left(\sqrt{x}\right)$, semnul derivatei a doua a unei primitive și criteriul „monoton și mărginit" — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2018. Modelul este vizibil mai greu decât media sesiunilor: Subiectul I este standard, dar Subiectele al II-lea și al III-lea conțin trei cerințe de tip „demonstrație", nu „calcul". La $7$b determinantul nu se dezvoltă cu Sarrus, ci se factorizează prin scăderea liniilor, ca să se vadă semnul; la $8$c se cere teorema rădăcinilor raționale plus o estimare de creștere exponențială, $2^{n-2}>n$; la $10$c se cere criteriul de convergență al lui Weierstrass, adică monotonie plus mărginire, amândouă demonstrate. Cerința $9$c este cea mai elegantă din model: identitatea $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$ nu se verifică pe cazuri, ci se demonstrează arătând că derivata sumei este identic nulă și calculând suma într-un singur punct — tiparul „funcție cu derivata nulă pe un interval este constantă".

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire — modelul are trei cerințe de demonstrație, care cer timp de redactare.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, sau expresii de forma $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{e-1}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: relația vectorială citită ca relație între lungimi, fără să se stabilească poziția punctelor; concluzia „determinantul este pozitiv" fără forma factorizată; divizibilitatea cu $X^2-1$ argumentată dintr-o singură rădăcină; ecuația asimptotei scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; convergența unui șir dedusă doar din monotonie, fără mărginire.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$; produsul $(\sqrt{p}-q)(\sqrt{p}+q)=p-q^2$ scapă de radicali. Intersecția graficelor: se rezolvă $f(x)=g(x)$ pentru abscisă, apoi se înlocuiește în oricare dintre cele două funcții pentru ordonată. Puteri impare: $u^3=v^3\iff u=v$, pentru că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Combinatorică: se numără pe poziții, înmulțind numerele de alegeri; când cifra de pe prima poziție nu poate fi $0$, ea are cu o alegere mai puțin. Vectori: dacă $\alpha \overrightarrow{MN}+\beta \overrightarrow{NP}=\vec{0}$, atunci $\overrightarrow{NP}=-\frac{\alpha }{\beta }\overrightarrow{MN}$, deci punctele sunt coliniare. Reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\sin (2\pi -x)=-\sin x$.
• Determinanți: un determinant nu se schimbă dacă dintr-o linie se scade altă linie — de aici ies zerourile care permit factorizarea; un determinant care se scrie ca produs de pătrate și de factori nenegativi este nenegativ, fără să fie calculat efectiv. Matrice inverse: $B^{-1}=A$ înseamnă $BA=AB=I_3$; când $B=A^2$, condiția devine $A^3=I_3$.
• Polinoame: $f(x_0)=0\iff f⋮X-x_0$; din $f(1)=0$ și $f(-1)=0$ rezultă $f⋮(X-1)(X+1)=X^2-1$. Teorema rădăcinilor raționale: dacă $\frac{p}{q}$, ireductibilă, este rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi, atunci $p$ divide termenul liber și $q$ divide coeficientul dominant.
• Derivate și integrale: $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$, $(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2+1}$; o funcție cu derivata identic nulă pe un interval este constantă acolo, iar constanta se află calculând funcția într-un singur punct. Asimptota oblică spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. Concavitate: $F$ este concavă pe un interval exact când $F^{\prime \prime }\le 0$ acolo, cu egalitate doar izolat. Convergență: un șir monoton și mărginit este convergent (teorema lui Weierstrass).

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-1$ de la itemul $2$, polinomul $f=n{X}^n+X^2-nX-1$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\mathrm{arctg}x-x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=e^{-x^2}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $n$ are două roluri complet diferite: la itemul $1$ este numărul căutat, valoarea unei sume de logaritmi, iar la itemii $7$b, $8$ și $10$c este un număr natural variabil, parametrul unei familii infinite (de matrice, de polinoame, de integrale). La itemul $9$b, litera $n$ este termenul liber al asimptotei oblice.
• Literele $x$ și $y$ sunt, la itemul $7$, cei doi parametri ai matricei $A(x,y)$, nu coordonate; la itemul $2$, în schimb, $x$ și $y$ sunt chiar coordonatele punctului de intersecție. Litera $\alpha$ de la itemul $8$c denumește o rădăcină rațională presupusă, iar $d$ numitorul ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n={\log }_3(\sqrt{7}-2)+{\log }_3(\sqrt{7}+2)$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+6x+3$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x+2{)}^3=(2-x{)}^3$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii $\{0,2,4,6,8\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

Punctele $M$, $N$ și $P$ verifică relația $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}=\vec{0}$. Calculați lungimea segmentului $MP$, știind că $MN=3$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x+\sin (\pi -x)+\sin (\pi +x)+\sin (2\pi -x)=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 1& x& y\\ x& 1& y\end{array}\right),$$ unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2,3))=12$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det \left(A\right(n^2,n\left)\right)\ge 0$, pentru orice număr natural $n$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care inversa matricei $B=A(x,0)\cdot A(x,0)$ este matricea $A(x,0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=n{X}^n+X^2-nX-1$, unde $n$ este număr natural, $n\ge 3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 3$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă $n$ este număr natural impar, $n\ge 3$, atunci polinomul $f$ este divizibil cu $X^2-1$.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 5$, polinomul $f$ nu are rădăcini în mulțimea $\mathbb{Q}-\mathbb{Z}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{arctg}x-x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{x^2}{x^2+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)+g(x)=\frac{\pi }{2}$, pentru orice număr real $x$, unde $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\mathrm{arcctg}x+x$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{e-1}{e}$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx$. Demonstrați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este convergent.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului din 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — logaritmi de aceeași bază.

Suma a doi logaritmi de aceeași bază este logaritmul produsului, iar produsul se calculează cu formula diferenței de pătrate, $(\sqrt{7}{)}^2=7$: $$n={\log }_3\left(\right(\sqrt{7}-2\left)\right(\sqrt{7}+2\left)\right)={\log }_3(7-4)\text{(3 p)}.$$ Rămâne un logaritm în care argumentul este chiar baza: $$n={\log }_{3}3=1\in \mathbb{N}\text{(2 p)}.$$ (Amândoi logaritmii există: $\sqrt{7}\approx 2,646>2$, deci și $\sqrt{7}-2>0$. Unde se greșește de obicei: se încearcă evaluarea separată a celor doi logaritmi, care sunt numere iraționale urâte, în loc să se folosească regula sumei; sau se scrie ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(u+v)$ — suma logaritmilor dă logaritmul produsului, nu al sumei. Control: ${\log }_3(0,6458)+{\log }_3(4,6458)\approx -0,398+1,398=1$.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Punctele comune celor două grafice au aceeași abscisă și aceeași ordonată, deci abscisa lor verifică ecuația $f(x)=g(x)$: $$2x-1=x^2+6x+3⟺x^2+4x+4=0\text{(2 p)}.$$ Trinomul este un pătrat perfect, $(x+2{)}^2=0$, deci are rădăcina dublă $x=-2$; ordonata se obține înlocuind în oricare dintre cele două funcții: $$x=-2,y=f(-2)=2(-2)-1=-5,$$ deci punctul de intersecție este $(-2,-5)$ (3 p).

(Control pe cealaltă funcție: $g(-2)=4-12+3=-5$ — aceeași ordonată, deci calculul e corect. Rădăcina fiind dublă, dreapta nu taie parabola, ci îi este tangentă în acel punct — de asta există un singur punct comun. Unde se greșește de obicei: se răspunde doar cu $x=-2$, fără ordonată; enunțul cere coordonatele, adică ambele numere.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație cu puteri de gradul al treilea.

Funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă: două cuburi sunt egale exact când bazele lor sunt egale. Prin urmare $$(x+2{)}^3=(2-x{)}^3⟺x+2=2-x\text{(3 p)}.$$ Rămâne o ecuație de gradul întâi, $2x=0$, de unde $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $(0+2{)}^3=8$ și $(2-0{)}^3=8$. Cine desface parantezele ajunge la același rezultat, dar pe drumul lung: $(x+2{)}^3-(2-x{)}^3=2x(x^2+12)$, iar al doilea factor este strict pozitiv, deci nu aduce soluții. Unde se greșește de obicei: se „simplifică" prin extragerea rădăcinii pătrate, sau se tratează ca la $u^2=v^2$, unde apar două cazuri, $u=v$ și $u=-v$ — la puterile impare cazul cu minus nu există.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică, numărare pe poziții.

Numărul are două cifre, deci cifra zecilor nu poate fi $0$; ea se alege dintre $2$, $4$, $6$ și $8$, adică în $4$ moduri (2 p).

Cifrele trebuie să fie distincte, deci, pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se alege dintre celelalte patru elemente rămase ale mulțimii (printre care este și $0$, care aici e permis), adică tot în $4$ moduri; prin urmare se pot forma $$4\cdot 4=16\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Control prin enumerare: $20$, $24$, $26$, $28$, $40$, $42$, $46$, $48$, $60$, $62$, $64$, $68$, $80$, $82$, $84$, $86$ — șaisprezece numere. Unde se greșește de obicei: se calculează aranjamentele $A_5^2=20$, uitând că $0$ nu poate sta pe prima poziție; sau se scade greșit, socotind că $0$ este exclus de peste tot, și se obține $4\cdot 3=12$.)

Itemul 5. (5 p) — o relație vectorială.

Din relația dată, $3\overrightarrow{NP}=-2\overrightarrow{MN}$, deci $\overrightarrow{NP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$: vectorii $\overrightarrow{NP}$ și $\overrightarrow{MN}$ sunt coliniari și de sensuri opuse, iar lungimile lor sunt în raportul $\frac{2}{3}$. Cum $MN=3$, rezultă $$NP=\frac{2}{3}\cdot 3=2\text{(2 p)}.$$ Sensul opus înseamnă că, plecând din $N$, mergem înapoi pe direcția lui $\overrightarrow{MN}$: punctul $P$ aparține segmentului $MN$, pentru că $NP=2<3=MN$. Prin urmare $$MP=MN-NP=3-2=1\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat, direct pe vectori: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, deci $MP=\frac{1}{3}\cdot 3=1$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $MP=MN+NP=5$, adăugând lungimile ca și cum $P$ ar fi de partea cealaltă — semnul minus din relația vectorială este exact ce spune că nu e așa.)

Itemul 6. (5 p) — formule de reducere în trigonometrie.

Se folosesc cele trei reduceri, citite pe cercul trigonometric — unghiurile $\pi -x$ și $x$ au aceeași ordonată, iar $\pi +x$ și $2\pi -x$ au ordonata opusă: $$\sin (\pi -x)=\sin x,\sin (\pi +x)=-\sin x,\sin (2\pi -x)=-\sin x\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în sumă, termenii se anulează doi câte doi: $$\sin x+\sin (\pi -x)+\sin (\pi +x)+\sin (2\pi -x)=\sin x+\sin x+(-\sin x)+(-\sin x)=0,$$ pentru orice număr real $x$ (2 p).

(Control numeric: pentru $x=1$ radian, $\sin 1\approx 0,8415$, iar suma este $0,8415+0,8415-0,8415-0,8415=0$. Unde se greșește de obicei: se confundă reducerile sinusului cu cele ale cosinusului — la cosinus, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, adică exact invers. Reperul sigur: $\sin$ este ordonata pe cerc, deci se păstrează la simetria față de axa $Oy$, adică pentru $\pi -x$.)

Itemul 7. (15 p) — determinanți cu parametri și matrice inversabile.

a) (5 p) Pentru $x=2$ și $y=3$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(2,3)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)⟹\det (A(2,3))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente": $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(2,3))\\ & =12+18+1-4-6-9\\ & =12\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Detaliul calculului: descendentele dau $2\cdot 2\cdot 3=12$, $3\cdot 3\cdot 2=18$ și $1\cdot 1\cdot 1=1$; ascendentele dau $1\cdot 2\cdot 2=4$, $2\cdot 3\cdot 1=6$ și $3\cdot 1\cdot 3=9$. Unde se greșește de obicei: se încurcă ordinea liniilor la copierea matricei — a treia linie a lui $A(x,y)$ este $\left(\begin{array}{ccc}x& 1& y\end{array}\right)$, nu $\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right)$.)

b) (5 p) Determinantul nu se dezvoltă, ci se factorizează. Fiecare linie a matricei are aceeași sumă, $n^2+n+1$, așa că se adună coloanele a doua și a treia la prima — operație care nu schimbă valoarea determinantului — și se scoate factorul comun din prima coloană; apoi se scade prima linie din celelalte două, ca să apară zerouri: $$\begin{array}{rl}& \det \left(A\right(n^2,n\left)\right)\\ & =\left|\begin{array}{ccc}{n}^2& n& 1\\ 1& n^2& n\\ n^2& 1& n\end{array}\right|=(n^2+n+1)\left|\begin{array}{ccc}1& n& 1\\ 1& n^2& n\\ 1& 1& n\end{array}\right|\\ & =(n^2+n+1)\left|\begin{array}{ccc}1& n& 1\\ 0& n^2-n& n-1\\ 0& 1-n& n-1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dezvoltând după prima coloană și scoțând factorul comun $n-1$ din fiecare dintre cele două linii rămase, se obține forma din care semnul se citește direct: $$\begin{array}{rl}& \det \left(A\right(n^2,n\left)\right)\\ & =(n^2+n+1)(n-1{)}^2(n+1)\ge 0,\end{array}$$ pentru orice număr natural $n$ (2 p).

(De ce este nenegativ: $(n-1{)}^2$ este un pătrat, deci nenegativ; $n+1>0$ și $n^2+n+1>0$ pentru orice număr natural $n$. Control numeric: pentru $n=0$ produsul dă $1\cdot 1\cdot 1=1$, iar determinantul matricei $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ este într-adevăr $1$; pentru $n=2$ produsul dă $7\cdot 1\cdot 3=21$; pentru $n=1$ dă $0$, iar matricea $A(1,1)$ chiar are două linii egale. Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul cu Sarrus și se obține polinomul $n^5-n^3-n^2+1$, care este corect, dar din care semnul nu se vede — cerința e o demonstrație, deci forma factorizată este obligatorie.)

c) (5 p) Pentru $y=0$ matricea este $A(x,0)=\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ 1& x& 0\\ x& 1& 0\end{array}\right)$, iar $B=A(x,0)\cdot A(x,0)$ se calculează „linie pe coloană"; produsele cu $A(x,0)$ dau, în ambele ordini, aceeași matrice, pentru că $B$ este chiar o putere a lui $A(x,0)$: $$\begin{array}{rl}& B\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{x}^2+x& 1& x\\ 2x& x^2& 1\\ x^2+1& x& x\end{array}\right)\\ & ⟹B\cdot A(x,0)=A(x,0)\cdot B\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{x}^3+2x^2+1& 2x& x^2+x\\ 3x^2+x& x^3+1& 2x\\ x^3+x^2+2x& x^2+x& x^2+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Inversa matricei $B$ este matricea $A(x,0)$ exact când $B\cdot A(x,0)=A(x,0)\cdot B=I_3$; comparând, de pildă, elementele din poziția $(1,2)$, obținem $2x=0$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare completă pentru $x=0$: matricea devine $A(0,0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$, o permutare circulară a liniilor lui $I_3$, iar cubul unei asemenea matrice este chiar $I_3$ — deci condiția e îndeplinită. Toate celelalte poziții confirmă: $x^3+2x^2+1=1$, $x^3+1=1$, $x^2+1=1$ și $x^2+x=0$ se verifică toate pentru $x=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția ca $B^{-1}=A(x,0)$ și se caută inversa cu matricea adjunctă — drum corect, dar de trei ori mai lung; forma $B\cdot A=I_3$, adică $A^3=I_3$, se obține direct din definiția inversei.)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu parametru natural și rădăcini raționale.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$, iar toate puterile lui $1$ sunt egale cu $1$: $$f(1)=n\cdot 1^n+1^2-n\cdot 1-1\text{(3 p)}.$$ Termenii se reduc doi câte doi, $n$ cu $-n$ și $1$ cu $-1$: $$f(1)=n+1-n-1=0,$$ pentru orice număr natural $n$, $n\ge 3$ (2 p).

(Altă citire, la fel de bună: $f(1)$ este suma coeficienților polinomului, iar aici ei sunt $n$, $1$, $-n$ și $-1$. Consecință folosită imediat la subpunctul b): $1$ este rădăcină, deci $f$ se divide cu $X-1$, oricare ar fi $n\ge 3$.)

b) (5 p) Pentru $n$ număr natural impar, $n\ge 3$, puterea $(-1{)}^n$ este $-1$, deci $$f(-1)=n\cdot (-1{)}^n+(-1{)}^2-n\cdot (-1)-1=-n+1+n-1=0,$$ prin urmare polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$ (2 p).

Din subpunctul a) știm că $f(1)=0$, deci $f$ este divizibil și cu $X-1$. Cele două polinoame $X-1$ și $X+1$ sunt prime între ele, așa că $f$ se divide cu produsul lor: $$f⋮(X-1)(X+1)=X^2-1\text{(3 p)}.$$ (De ce este nevoie de ipoteza „$n$ impar": pentru $n$ par, $(-1{)}^n=1$ și $f(-1)=n+1+n-1=2n\ne 0$, deci $-1$ nu mai este rădăcină. Control pentru $n=3$: $f=3X^3+X^2-3X-1=(X^2-1)(3X+1)$, într-adevăr divizibil. Unde se greșește de obicei: se scrie „$f$ e divizibil cu $X-1$ și cu $X+1$, deci cu $X^2-1$" fără să se spună de ce — argumentul e că cei doi factori sunt primi între ei; două rădăcini distincte dau întotdeauna produsul factorilor, dar o rădăcină dublă nu.)

c) (5 p) Se presupune contrariul. Dacă $\alpha \in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ este o rădăcină a polinomului $f$, care are coeficienții întregi, atunci, scrisă ireductibil, $\alpha =\frac{p}{d}$ cu $p$ divizor al termenului liber $-1$ și $d$ divizor al coeficientului dominant $n$. Deci $p=\pm 1$ și, cum $\alpha$ nu este întreg, $d\ne \pm 1$; putem scrie $$\alpha =\frac{1}{d},\text{ unde }d\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\setminus \{\pm 1\}\text{ este un divizor al lui }n\text{(1 p)}.$$ Se înlocuiește în ecuație și se înmulțește cu $d^n$, ca să dispară numitorii: $$f(\alpha )=0⟹\frac{n}{d^n}+\frac{1}{d^2}-\frac{n}{d}-1=0⟹d^{n-2}(d^2+nd-1)=n⟹d^{n-2}\mid n,\text{ deci }|d{|}^{n-2}\le n\text{(2 p)}.$$ Dar $|d|\ge 2$, iar puterile lui $2$ cresc mai repede decât $n$: $$|d{|}^{n-2}\ge 2^{n-2}>n\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 5,$$ deci am obținut o contradicție; prin urmare polinomul $f$ nu are rădăcini în mulțimea $\mathbb{Q}-\mathbb{Z}$ (2 p).

(De ce pragul este exact $n\ge 5$: inegalitatea $2^{n-2}>n$ este falsă pentru $n=3$ și $n=4$, unde $2^{n-2}$ dă $2$, respectiv $4$ — deci demonstrația de mai sus nu ajunge acolo. Și la $n=3$ concluzia chiar cade: polinomul $3X^3+X^2-3X-1$ are rădăcina $-\frac{1}{3}$, care nu este întreagă — semn că ipoteza nu e decorativă. La $n=4$ concluzia rămâne adevărată, dar din alt motiv: divizorii $d=\pm 2,\pm 4$ ai lui $4$ nu verifică egalitatea $d^2(d^2+4d-1)=4$. Control: pentru toate valorile $n$ de la $4$ la $40$, căutarea directă a rădăcinilor de forma $\pm \frac{1}{d}$, cu $d$ divizor al lui $n$, nu găsește niciuna. Unde se greșește de obicei: se scrie $\alpha =\frac{p}{q}$ fără să se observe că numărătorul nu poate fi decât $\pm 1$, iar demonstrația se împotmolește.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și o identitate cu funcții trigonometrice inverse.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, folosind $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$: $$f^{\prime }(x)=(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}-1\text{(2 p)}.$$ Aducând la același numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2-1}{x^2+1}=-\frac{x^2}{x^2+1},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=-\frac{4}{5}=-0,8$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-0,800$. Observație folositoare: derivata este $\le 0$ peste tot, cu egalitate doar în $x=0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$ — nu se cere aici, dar explică forma graficului. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$, confundând cu derivata unei alte funcții inverse.)

b) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\mathrm{arctg}x}{x}-1\right)=0-1=-1\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber; scăzând $mx=-x$ înseamnă a aduna $x$: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)+x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\mathrm{arctg}x-x+x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{2},$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+\frac{\pi }{2}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De ce $\frac{\mathrm{arctg}x}{x}\to 0$: numărătorul este mărginit, cu valori în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar numitorul crește nemărginit — o cantitate mărginită împărțită la una care tinde la infinit tinde la zero. Control numeric: $f(1000)-\left(-1000+\frac{\pi }{2}\right)=\mathrm{arctg}1000-\frac{\pi }{2}\approx -0,001$, deci graficul chiar se lipește de dreaptă. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ ca $\lim (f(x)-x)$, uitând că $m$ este negativ și că formula este $f(x)-mx$; sau se scrie ecuația fără capătul $+\infty$, care se punctează separat.)

c) (5 p) Suma celor două funcții se simplifică, pentru că termenii $-x$ și $+x$ se reduc; ceea ce rămâne se derivează, iar cele două derivate sunt opuse: $$f(x)+g(x)=\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x,x\in \mathbb{R}⟹(f(x)+g(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+1}=0,$$ pentru orice număr real $x$ (3 p).

O funcție derivabilă cu derivata identic nulă pe un interval este constantă pe acel interval; constanta se află calculând funcția într-un singur punct comod, de pildă $x=0$, unde $\mathrm{arctg}0=0$ și $\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$. Cum $f(0)+g(0)=\frac{\pi }{2}$, obținem că $$f(x)+g(x)=\frac{\pi }{2},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=3$, $\mathrm{arctg}3\approx 1,249$ și $\mathrm{arcctg}3\approx 0,3217$, iar suma este $1,5708\approx \frac{\pi }{2}$. Unde se greșește de obicei: se sare peste al doilea pas — derivata nulă spune doar că suma este o constantă, nu care anume; fără calculul într-un punct, demonstrația e pe jumătate. A doua capcană: se verifică identitatea pe câteva valori și se conchide că e adevărată — verificarea numerică nu este demonstrație.)

Itemul 10. (15 p) — integrale, concavitatea unei primitive și un șir de integrale.

a) (5 p) Se compune întâi funcția: $f\left(\sqrt{x}\right)=e^{-{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=e^{-x}$, pentru $x\in [0,1]$, unde radicalul are sens. Integrala devine una elementară: $${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx={\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele: $${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx=-\frac{1}{e}+1=\frac{\mathbf{e}-1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Toată dificultatea subpunctului stă în prima linie: pătratul anulează radicalul, iar exponentul rămâne $-x$, nu $-x^2$ — funcția $f$ însăși nu are primitivă elementară, dar compusa ei da. Control numeric: $\frac{e-1}{e}\approx 0,6321$, iar integrala calculată numeric dă $0,63212$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{f(x)}$, sau se uită semnul minus din primitiva $-e^{-x}$.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă oarecare a funcției $f$. Prin definiție, $$F^{\prime }(x)=f(x)=e^{-x^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Concavitatea se citește din semnul derivatei a doua, adică din derivata lui $f$: $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}<0\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),$$ pentru că $e^{-x^2}>0$ întotdeauna și $-2x<0$ pe acest interval; deci funcția $F$ este concavă pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Control numeric: în $x=1$, $F^{\prime \prime }(1)=-2e^{-1}\approx -0,736$, iar derivata numerică a lui $f$ în acel punct dă tot $-0,7358$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $F^{\prime }$ în loc de $F^{\prime \prime }$ — semnul primei derivate dă monotonia, semnul celei de-a doua dă convexitatea. Aici $F$ este crescătoare (pentru că $f>0$) și, în același timp, concavă pe $(0,+\infty )$: crește tot mai încet.)

c) (5 p) Se compară doi termeni consecutivi. Cum $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, intervalul de integrare al lui $I_{n+1}$ îl conține pe cel al lui $I_n$, iar diferența este integrala pe bucata rămasă, dintr-o funcție pozitivă: $$I_{n+1}-I_n={\int }_{\frac{1}{n+1}}^{1}f(x)dx-{\int }_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx={\int }_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)dx\ge 0,$$ deci $I_{n+1}\ge I_n$: șirul este crescător, pentru orice număr natural nenul $n$ (1 p).

Pentru mărginire se folosește că $e^{-x^2}\le 1$ pe tot $\mathbb{R}$, deci integrala se majorează cu lungimea intervalului: $$0\le I_n={\int }_{\frac{1}{n}}^1{e}^{-x^2}dx\le {\int }_{\frac{1}{n}}^{1}1dx=1-\frac{1}{n}<1,$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

Șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este monoton și mărginit, deci, prin teorema lui Weierstrass, șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este convergent (1 p).

(Control numeric: $I_1=0$, $I_2\approx 0,2855$, $I_5\approx 0,5495$, $I_{20}\approx 0,6969$, $I_{100}\approx 0,7368$ — șirul crește către ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx\approx 0,7468$, valoare pe care nu o atinge niciodată. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al lui $I_n$ — funcția $e^{-x^2}$ nu are primitivă elementară, deci nici nu se poate; toată problema este să folosești criteriul, nu formula. A doua capcană: se demonstrează doar monotonia și se conchide convergența — un șir crescător poate foarte bine tinde la $+\infty$.)