Bac M1 2018, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2018 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a examenului de bacalaureat, proba E. c), Matematică M_mate-info, organizată pentru elevii clasei a XII-a în anul școlar 2017–2018. Spre deosebire de sesiunile de examen, la simulare nu se extrage o variantă numerotată: documentul poartă mențiunea „Simulare", iar toți elevii din țară au primit același subiect. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de simulare din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali și partea întreagă: radicalul de ordinul al treilea dintr-un cub perfect și încadrarea lui $\sqrt{5}$ între doi întregi consecutivi — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(x)$ pentru o funcție de gradul întâi cu parametru și identificarea a două expresii egale pentru orice $x$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Inecuație exponențială: baza subunitară $\frac{2}{3}$ și schimbarea sensului inegalității între exponenți — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor unei mulțimi cu zece elemente, numărat prin complement — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula paralelogramului pentru suma a doi vectori cu aceeași origine, într-un unghi drept — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: ecuație în $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$, rezolvată pe un interval dat — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice cu parametru, o relație de aditivitate în familia $A(x)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_{20}$: aducerea legii la formă factorizată, elementul care „absoarbe" toată mulțimea și divizorii lui zero modulo $20$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, monotonie, imaginea funcției: derivata unui radical, punctul de minim citit din semnul derivatei și transferul rezultatului într-o inegalitate cu exponențiale, prin substituție — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: arctangenta ca inversă a tangentei, primitiva de tipul $\int u^{\prime }u$, integrarea prin părți și încadrarea unei integrale prin majorarea integrandului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea națională din 2018. Subiectul I este neobișnuit de „lat": nu repetă capitolele clasice (complexe, logaritmi, geometrie analitică), ci trece prin radicali, funcții, exponențiale, combinatorică, vectori și trigonometrie — șase capitole diferite, fiecare cu un singur pas de dificultate. Cel mai des ratat este itemul $3$: baza $\frac{2}{3}$ este subunitară, deci inegalitatea dintre exponenți se scrie cu semnul întors. Subiectul al II-lea urmează tiparul consacrat — o familie de matrice cu parametru la problema $1$ și o lege de compoziție la problema $2$ —, dar legea este definită pe ${\mathbb{Z}}_{20}$, deci toată aritmetica se face modulo $20$, iar subpunctul c) cere un exemplu de divizori ai lui zero, adică exact fenomenul care deosebește ${\mathbb{Z}}_{20}$ de $\mathbb{R}$. Subiectul al III-lea este cel mai frumos legat din tot lotul: subpunctul c) al problemei 1 nu se rezolvă singur — inegalitatea cu exponențiale se obține punând $e^x$ în locul lui $x$ în rezultatul de la subpunctul b). La problema 2, ultimul subpunct nu cere o valoare, ci o încadrare: se integrează prin părți, apoi se majorează și se minorează integrandul rămas.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toată materia acestei probe se află în programa clasei a XII-a intrată în vigoare. Legea de compoziție de la Subiectul al II-lea lucrează în ${\mathbb{Z}}_{20}$, iar clasele de resturi și operațiile cu ele fac parte din unitatea „Legi de compoziție"; nu ai nevoie de niciun capitol de supliment ca să rezolvi această probă întreagă.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{{\pi }^2}{32}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: inecuația exponențială rezolvată fără să se spună de ce se schimbă sensul; numărul de submulțimi scris fără formula folosită; concluzia despre imaginea funcției dată fără limitele la capetele domeniului; încadrarea de la ultimul item scrisă fără majorarea explicită a integrandului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Partea întreagă: $\lfloor a\rfloor$ este singurul întreg $k$ cu $k\le a<k+1$; dacă $n$ este întreg, atunci $\lfloor n+t\rfloor =n+\lfloor t\rfloor$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(x)=f(f(x))$, calculată dinăuntru în afară. Exponențiale: pentru $b\in (0,1)$, funcția $x\mapsto b^x$ este strict descrescătoare, deci $b^u\le b^v\iff u\ge v$. Combinatorică: numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente este $2^n$, iar $\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n$. Vectori: regula paralelogramului, $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$, unde $MNQP$ este paralelogram. Trigonometrie: $\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\mathrm{tg}x}$, iar pe $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ tangenta este negativă.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile.
• Legi de compoziție: forma factorizată $x\circ y=(x+a)(y+a)+b$ se obține grupând termenii doi câte doi; în ${\mathbb{Z}}_n$, un element $u\ne \hat{0}$ pentru care există $v\ne \hat{0}$ cu $u\cdot v=\hat{0}$ se numește divizor al lui zero — în ${\mathbb{Z}}_{20}$ există, pentru că $20$ nu este prim.
• Derivate: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; limita $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ este $f^{\prime }(a)$, prin definiție; imaginea unei funcții continue pe un interval se citește din monotonie plus limitele la capete.
• Integrale: $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}x\right)=x$ doar pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$; $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$; $\int u^{\prime }udx=\frac{u^2}{2}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$; dacă $g\le h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}h$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ are în această probă două înțelesuri: la itemul $2$ este compunerea funcțiilor, $(f\circ f)(x)=f(f(x))$, iar la itemul $8$ este legea de compoziție definită în enunț pe ${\mathbb{Z}}_{20}$, $x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}$. Așa a fost tipărit subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat. La itemul $5$, în schimb, $90^{\circ }$ nu are legătură cu niciunul dintre cele două — acolo semnul înseamnă grade. La clasă, când o lege oarecare se notează cu $\ast$, semnul $\circ$ rămâne pentru compunere.
• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+m$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=2x^2-\sqrt{x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\mathrm{arctg}x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este, la itemul $7$, parametrul familiei de matrice, iar la itemii $3$, $6$, $9$ și $10$ variabila obișnuită. La itemul $8$, $x$ și $y$ sunt elemente ale lui ${\mathbb{Z}}_{20}$, deci clase de resturi, nu numere reale.
• Semnul $\hat{}$ de deasupra cifrelor ($\hat{0}$, $\hat{3}$, $\widehat{17}$) înseamnă clasa de resturi modulo $20$, nu un număr întreg: $\widehat{17}+\hat{3}=\hat{0}$, pentru că $17+3=20$, iar $20$ dă restul zero la împărțirea cu $20$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați partea întreagă a numărului real $a=\sqrt[3]{125}+\sqrt{5}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că $(f\circ f)(x)=f(x+1)$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x+1}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+5}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii $A=\{0,1,2,\dots ,9\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $MNP$ cu $MN=6$, $MP=8$ și $m(\sphericalangle M)=90^{\circ }$. Calculați lungimea vectorului $\vec{u}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$, știind că $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x+2=0$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 2x-1\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 2x-1& 0& x\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x))=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x)\cdot A(1-x)=\frac{1}{2}A\left(\frac{1}{2}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea ${\mathbb{Z}}_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\dots ,\widehat{19}\}$ se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $x,y\in {\mathbb{Z}}_{20}$.

b) (5 puncte) Determinați $a\in {\mathbb{Z}}_{20}$, știind că $a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_{20}$.

c) (5 puncte) Dați exemplu de $a,b\in {\mathbb{Z}}_{20}\setminus \left\{\widehat{17}\right\}$ pentru care $a\circ b=\hat{0}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{7}{2}$.

b) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}+\frac{3}{8}\ge 0$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{arctg}x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f\left(\mathrm{tg}x\right)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{n+2}\le (n+1){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\le \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2(n+2)}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — radicali și partea întreagă.

Radicalul de ordinul al treilea se calculează întâi, pentru că $125=5^3$ este cub perfect: $$a=\sqrt[3]{125}+\sqrt{5}=5+\sqrt{5}\text{(2 p)}.$$ Numărul $5$ este întreg, deci el iese din partea întreagă fără să o schimbe. Cum $4<5<9$, avem $2<\sqrt{5}<3$, adică $\lfloor \sqrt{5}\rfloor =2$, de unde $$\lfloor a\rfloor =5+\lfloor \sqrt{5}\rfloor =5+2=7\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci $a\approx 7,236$, iar $7\le 7,236<8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt[3]{125}=25$ sau se rotunjește $a$ la $7,24$ și se răspunde $7,2$ — partea întreagă este un întreg, cel mai mare care nu depășește numărul. Regula $\lfloor n+t\rfloor =n+\lfloor t\rfloor$ funcționează aici tocmai pentru că $n=5$ este întreg; pentru două numere oarecare partea întreagă nu este aditivă.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor cu parametru.

Se calculează separat cei doi membri, dinăuntru în afară: $$(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x+m)=(x+m)+m=x+2m,f(x+1)=(x+1)+m\text{(2 p)}.$$ Cele două expresii trebuie să coincidă pentru orice număr real $x$; termenul $x$ se reduce și rămâne $2m=1+m$, adică $$\mathbf{m}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=1$, $(f\circ f)(x)=x+2$ și $f(x+1)=x+2$ — identice. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ca o ecuație într-un singur punct, de pildă în $x=0$; aici ar ieși același $m$, dar metoda e greșită — „pentru orice $x$" înseamnă identificarea coeficienților, nu o valoare particulară.)

Itemul 3. (5 p) — inecuație exponențială cu bază subunitară.

Baza este $\frac{2}{3}\in (0,1)$, deci funcția exponențială de bază $\frac{2}{3}$ este strict descrescătoare: comparând puterile, inegalitatea dintre exponenți se scrie cu semnul întors, $${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x+1}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+5}⟺4x+1\ge 3x+5\text{(3 p)}.$$ Rezolvând inecuația de gradul întâi, $x\ge 4$, deci mulțimea soluțiilor este $$S=[4,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=4$ ambii exponenți sunt $17$, deci avem egalitate; pentru $x=5$ exponenții sunt $21$ și $20$, iar ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{21}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{20}$ — inegalitatea se verifică. Unde se greșește de obicei: se păstrează sensul inițial și se scrie $4x+1\le 3x+5$, adică $x\le 4$; capcana e pusă chiar de baza subunitară, singurul detaliu care contează în acest item.)

Itemul 4. (5 p) — numărul submulțimilor, prin complement.

Mulțimea $A$ are zece elemente, deci numărul submulțimilor cu cel puțin trei elemente este $$C_{10}^3+C_{10}^4+\cdots +C_{10}^{10}\text{(3 p)}.$$ Suma tuturor combinărilor este $2^{10}$, așa că se scad cele trei sume care lipsesc — submulțimile cu zero, unu și două elemente: $$2^{10}-C_{10}^0-C_{10}^1-C_{10}^2=1024-1-10-45=968\text{(2 p)}.$$ (Control: suma directă $120+210+252+210+120+45+10+1=968$ — aceeași valoare, pe drumul lung. Unde se greșește de obicei: se citește „cel puțin trei" ca „exact trei" și se răspunde $C_{10}^3=120$, sau se uită submulțimea vidă din scădere. Reper util: $C_{10}^0=1$, $C_{10}^1=10$, $C_{10}^2=45$.)

Itemul 5. (5 p) — suma a doi vectori cu aceeași origine.

Doi vectori cu aceeași origine se adună cu regula paralelogramului: dacă $MNQP$ este paralelogram, atunci $$\vec{u}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}\text{(2 p)}.$$ Cum $m(\sphericalangle M)=90^{\circ }$, paralelogramul $MNQP$ este dreptunghi, iar diagonalele unui dreptunghi sunt congruente, deci $MQ=NP$. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul $MNP$, $$\Vert \vec{u}\Vert =MQ=NP=\sqrt{M{N}^2+M{P}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se răspunde $6+8=14$, adică se adună lungimile în loc de vectori — suma vectorilor are lungimea egală cu suma lungimilor doar când vectorii au același sens. Control de bun-simț: latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două, deci $10<14$, cum și trebuie.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație cu tangentă și cotangentă.

Cotangenta este inversul tangentei, deci ecuația se scrie cu un singur necunoscut. Aducând la același numitor și recunoscând pătratul perfect de la numărător: $$\mathrm{tg}x+\frac{1}{\mathrm{tg}x}+2=0⟺\frac{(\mathrm{tg}x+1{)}^2}{\mathrm{tg}x}=0\text{(2 p)}.$$ O fracție este nulă doar când numărătorul este nul, deci $\mathrm{tg}x=-1$ și, cum $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, singura valoare care convine este $$\mathbf{x}=\frac{3\pi }{4}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$ și $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$, deci $-1-1+2=0$. Unde se greșește de obicei: se dă răspunsul $-\frac{\pi }{4}$, care are aceeași tangentă, dar nu se află în intervalul cerut. Observație: pe $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ tangenta este negativă, deci semnul rezultatului era de așteptat.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Determinantul se dezvoltă după linia a doua, care are un singur element nenul, sau cu regula lui Sarrus; termenii care conțin coloana din mijloc dispar: $$\begin{array}{rl}\det (A(x))& =\left|\begin{array}{ccc}x& 0& 2x-1\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 2x-1& 0& x\end{array}\right|\\ & =\frac{x^2}{2}-\frac{(2x-1{)}^2}{2}\\ & =\frac{-3x^2+4x-1}{2}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul este nul când $3x^2-4x+1=0$; discriminantul este $\Delta =16-12=4$, deci $$\mathbf{x}=\frac{1}{3}\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=1$ matricea are prima și a treia linie egale cu $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$, deci determinantul este evident nul. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ de pe linia a doua și se calculează determinantul ca și cum acolo ar fi $1$.)

b) (5 p) Se adună element cu element. Pe fiecare poziție, parametrul se reduce: la colțuri, $x+(1-x)=1$; în afara diagonalei, $(2x-1)+(2(1-x)-1)=0$; în mijloc, $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Prin urmare $$A(x)+A(1-x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea unitate se scrie ca dublul matricei din familie, luată în $\frac{1}{2}$, pentru că $A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{I}_3$: $$\begin{array}{rl}& A(x)+A(1-x)\\ & =2\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=2A\left(\frac{1}{2}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o valoare: pentru $x=3$ avem $A(3)+A(-2)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 5\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 5& 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -5\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ -5& 0& -2\end{array}\right)=I_3$. Unde se greșește de obicei: se calculează $A(1-x)$ înlocuind doar în primul element, nu în toate — în colțul din dreapta sus apare $2(1-x)-1=1-2x$, adică exact opusul lui $2x-1$.)

c) (5 p) Produsul se face „linie pe coloană". Notând $b=2x-1$, avem $A(1-x)$ cu elementele $1-x$ pe diagonala colțurilor și $1-2x=-b$ în afara ei, deci $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(1-x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-5x^2+5x-1& 0& -4x^2+4x-1\\ 0& \frac{1}{4}& 0\\ -4x^2+4x-1& 0& -5x^2+5x-1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Membrul drept este $\frac{1}{2}A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{I}_3=\frac{1}{4}{I}_3$. Egalând elementele din afara diagonalei, $-4x^2+4x-1=0$, adică $(2x-1{)}^2=0$, deci $$\mathbf{x}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Elementul din mijloc se potrivește de la sine, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, deci nu aduce nicio condiție. Baremul oficial sare peste verificarea colțurilor; noi o scriem: pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $-5\cdot \frac{1}{4}+\frac{5}{2}-1=\frac{1}{4}$, deci și diagonala se potrivește — soluția este într-adevăr bună. Unde se greșește de obicei: se pornește de la relația de la subpunctul b), care este despre sumă, nu despre produs; aici trebuie făcută înmulțirea efectivă.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_{20}$.

a) (5 p) Se grupează termenii doi câte doi, ca la descompunerea în factori: $$x\circ y=(xy+\hat{3}x)+(\hat{3}y+\hat{9})\text{(2 p)}.$$ Din prima paranteză se dă factor comun $x$, din a doua $\hat{3}$, iar paranteza rămasă este aceeași: $$x\circ y=x(y+\hat{3})+\hat{3}(y+\hat{3})=(x+\hat{3})(y+\hat{3}),\text{ pentru orice }x,y\in {\mathbb{Z}}_{20}\text{(3 p)}.$$ (Control: $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}$, deci termenul liber se potrivește. Unde se greșește de obicei: se scrie forma $(x+\hat{3})(y+\hat{3})-\hat{3}$, din obișnuința cu legile de pe $\mathbb{R}$, unde termenul liber este de obicei „cu unul mai puțin" decât pătratul; aici, $\hat{9}$ este chiar ${\hat{3}}^2$, deci nu se scade nimic.)

b) (5 p) Condiția din enunț, scrisă cu forma factorizată, devine $$(a+\hat{3})(x+\hat{3})=\hat{0},\text{ pentru orice }x\in {\mathbb{Z}}_{20}\text{(2 p)}.$$ Când $x$ parcurge toată mulțimea ${\mathbb{Z}}_{20}$, și $x+\hat{3}$ o parcurge toată; în particular ia și valoarea $\hat{1}$. Pentru $x+\hat{3}=\hat{1}$ relația devine $a+\hat{3}=\hat{0}$, adică $$a=-\hat{3}=\widehat{17}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=\widehat{17}$ avem $a+\hat{3}=\widehat{20}=\hat{0}$, iar $\hat{0}$ înmulțit cu orice clasă dă $\hat{0}$. Unde se greșește de obicei: se caută $a$ rezolvând ecuația pentru o singură valoare a lui $x$ — atunci ies mai multe soluții false; cuvintele „pentru orice $x$" sunt cele care fixează răspunsul unic.)

c) (5 p) Se cere o pereche pentru care produsul factorizat se anulează, adică $$(a+\hat{3})(b+\hat{3})=\hat{0}\text{(2 p)}.$$ Excluderea lui $\widehat{17}$ interzice ca vreunul dintre factori să fie $\hat{0}$, deci trebuie găsiți doi divizori ai lui zero în ${\mathbb{Z}}_{20}$: două clase nenule cu produsul nul. Cum $20=4\cdot 5$, alegem $a+\hat{3}=\hat{4}$ și $b+\hat{3}=\hat{5}$, adică $$a=\hat{1},b=\hat{2},\text{și atunci}a\circ b=\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{0}\text{(3 p)}.$$ (Verificare directă în lege: $\hat{1}\circ \hat{2}=\hat{1}\cdot \hat{2}+\hat{3}\cdot \hat{1}+\hat{3}\cdot \hat{2}+\hat{9}=\hat{2}+\hat{3}+\hat{6}+\hat{9}=\widehat{20}=\hat{0}$. Unde se greșește de obicei: se caută un factor egal cu $\hat{0}$, dar tocmai asta a fost interzisă prin scoaterea lui $\widehat{17}$ din mulțime. Observație de fond: în ${\mathbb{Z}}_{20}$ un produs de clase nenule poate fi nul, pentru că $20$ nu este număr prim — în $\mathbb{R}$ acest lucru este imposibil.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, imaginea funcției și o inegalitate prin substituție.

a) (5 p) Funcția este sumă de puteri, iar $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, deci $$f^{\prime }(x)=4x-\frac{1}{2\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $f(1)=2-1=1$, limita cerută este chiar definiția derivatei în punctul $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: raportul $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă $3,5000$, exact $\frac{7}{2}$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui l'Hôpital fără să se verifice că este un caz $\frac{0}{0}$ — el chiar este, pentru că $f(1)=1$; dar recunoașterea definiției derivatei este drumul cerut de barem, și cel mai scurt.)

b) (5 p) Se caută punctele în care derivata se anulează: $$f^{\prime }(x)=0⟺4x=\frac{1}{2\sqrt{x}}⟺8x\sqrt{x}=1⟺x=\frac{1}{4}\text{(1 p)}.$$ Semnul derivatei se citește din aceeași ecuație: $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in \left(0,\frac{1}{4}\right]$, deci $f$ este descrescătoare pe $\left(0,\frac{1}{4}\right]$, și $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in \left[\frac{1}{4},+\infty \right)$, deci $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{4},+\infty \right)$ (2 p).

Funcția $f$ este continuă pe $(0,+\infty )$, cu $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$; ea are deci un minim global în $x=\frac{1}{4}$, unde $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$. Prin urmare $$\mathrm{Im}f=\left[-\frac{3}{8},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$ (De ce capătul este închis: valoarea $-\frac{3}{8}$ este chiar atinsă, în $x=\frac{1}{4}$. De ce nu apare nicio gaură: pe fiecare dintre cele două ramuri funcția este continuă și monotonă, deci ia toate valorile dintre capete — pe prima, de la $0$ exclus până la $-\frac{3}{8}$ inclus, pe a doua, de la $-\frac{3}{8}$ până la $+\infty$; reuniunea celor două intervale este exact $\left[-\frac{3}{8},+\infty \right)$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $\left(0,+\infty \right)$, adică se confundă imaginea cu domeniul, sau se scrie $\left(-\frac{3}{8},+\infty \right)$, cu capăt deschis.)

c) (5 p) Inegalitatea nu se demonstrează de la zero: ea este chiar rezultatul de la subpunctul b), citit într-un alt punct. Pentru orice număr real $x$ avem $e^x>0$, deci $e^x$ este un element al domeniului lui $f$ și, minimul fiind global, $$f\left(e^x\right)\ge -\frac{3}{8},\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Scriind explicit ce înseamnă $f\left(e^x\right)$, cu $(e^x{)}^2=e^{2x}$ și $\sqrt{e^x}=e^{\frac{x}{2}}$: $$2(e^x{)}^2-\sqrt{e^x}\ge -\frac{3}{8},\text{ adica˘ }2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}+\frac{3}{8}\ge 0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial nu insistă asupra egalității $\sqrt{e^x}=e^{\frac{x}{2}}$; noi o scriem, pentru că ea este cheia trecerii de la forma cu radical la forma cu exponențiale. Când se atinge egalitatea: pentru $e^x=\frac{1}{4}$, adică $x=-2\ln 2\approx -1,386$; acolo membrul stâng este exact zero, deci inegalitatea nu poate fi îmbunătățită. Unde se greșește de obicei: se pornește să se studieze funcția $g(x)=2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}+\frac{3}{8}$ de la capăt, cu derivată și tabel — se poate, dar durează de trei ori mai mult decât substituția $t=e^x$.)

Itemul 10. (15 p) — arctangentă, integrare prin părți și încadrarea unui șir de integrale.

a) (5 p) Funcțiile $\mathrm{arctg}$ și $\mathrm{tg}$ sunt inverse una alteia pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar intervalul de integrare $[0,1]$ este cuprins acolo, deci compunerea se simplifică: $${\int }_0^{1}f\left(\mathrm{tg}x\right)dx={\int }_0^1\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}x\right)dx={\int }_0^{1}xdx\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (De ce contează intervalul: $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}x\right)=x$ numai pentru $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$; în afara lui, rezultatul diferă de $x$ printr-un multiplu de $\pi$. Cum $1<\frac{\pi }{2}\approx 1,571$, capătul de sus intră în interval. Unde se greșește de obicei: se calculează integrala lui $\mathrm{arctg}$, adică se ignoră tangenta dinăuntru.)

b) (5 p) Se recunoaște că $\frac{1}{x^2+1}$ este derivata arctangentei, deci integrandul are forma $u^{\prime }u$, cu $u=\mathrm{arctg}x$: $${\int }_0^1\frac{\mathrm{arctg}x}{x^2+1}dx={\int }_0^1(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }\mathrm{arctg}xdx=\frac{1}{2}{\mathrm{arctg}}^{2}x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cum $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{arctg}0=0$, $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}{\mathrm{arctg}}^{2}1=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{32}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{{\pi }^2}{32}\approx 0,30843$, iar integrala calculată numeric dă $0,308425$. Unde se greșește de obicei: se integrează „pe bucăți", cu $\mathrm{arctg}x$ la numărător tratat ca o constantă. Reperul corect este forma $u^{\prime }u$, a cărei primitivă este $\frac{u^2}{2}$ — aceeași regulă ca la $\int \sin x\cos xdx$.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, luând $x^n=\frac{(x^{n+1}{)}^{\prime }}{n+1}$, ca să dispară puterea: $$(n+1){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx={\int }_0^1(x^{n+1}{)}^{\prime }\mathrm{arctg}xdx=x^{n+1}\mathrm{arctg}x{|}_0^1-{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx=\frac{\pi }{4}-{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx\text{(2 p)}.$$ Rămâne de încadrat integrala scăzută. Pentru $x\in [0,1]$ avem $1\le x^2+1\le 2$, deci $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x^2+1}\le 1$; înmulțind cu $x^{n+1}\ge 0$ și integrând, $$\frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^{n+1}dx\le {\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx\le {\int }_0^1{x}^{n+1}dx,\text{ iar }{\int }_0^1{x}^{n+1}dx=\frac{1}{n+2},$$ $$\text{de unde}\frac{\pi }{4}-\frac{1}{n+2}\le (n+1){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\le \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2(n+2)},\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ (Atenție la sensul inegalităților: integrala se scade, deci majorarea ei dă marginea de jos a rezultatului, iar minorarea ei dă marginea de sus — aici se pierd cel mai des punctele. Control numeric pentru $n=3$: încadrarea cere $0,585\le (n+1){\int }_0^1{x}^3\mathrm{arctg}xdx\le 0,685$, iar valoarea calculată numeric este $0,6667$. Unde se greșește de obicei: se ia $u=\mathrm{arctg}x$ și $v^{\prime }=x^n$ fără să se scoată factorul $n+1$, iar apoi se uită înmulțirea finală.)