Bac M1 2018, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2018 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează, înaintea sesiunii obișnuite din iunie-iulie, pentru candidații care participă la competiții internaționale recunoscute de minister. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr complex în formă algebrică și verificarea unei ecuații de gradul al doilea — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcții de gradul întâi: punctul comun a două grafice, citit prin înlocuirea coordonatelor — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: scrierea lui $1$ ca ${\log }_{3}3$ și trecerea la egalitatea argumentelor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numărarea numerelor de două cifre care au ambele cifre pare — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: simetricul unui punct față de alt punct și distanța dintre două puncte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghi: aria unui paralelogram scrisă cu sinusul unghiului dintre o latură și o diagonală — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme: determinantul factorizat al unei matrice cu parametru, condiția de sistem cramerian și o relație între componentele soluției unice — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea legii la formă factorizată, o inecuație rezolvată prin pătrat perfect și folosirea elementului absorbant într-un produs cu $2018$ factori — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, monotonie, valoare minimă: derivarea unui logaritm compus și aducerea derivatei la o singură fracție, minimul citit din semnul derivatei și o limită de tipul $\frac{0}{0}$ cu radical — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului prin $e^{-x}$, legătura dintre derivata a doua a unei primitive și punctele ei de inflexiune, și limita mediei integrale pe un interval care se strânge — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2018. Este o probă de sesiune specială, adică dată unui grup mic de candidați foarte buni, și se vede: fiecare subpunct c) cere o idee, nu o rețetă. La Subiectul I lucrurile rămân clasice, cu o singură cursă — itemul $6$, unde unghiul dat este între o latură și o diagonală, nu între două laturi, deci aria paralelogramului este dublul ariei triunghiului $ABC$. Subiectul al II-lea cere, la problema $1$, rezolvarea efectivă a unui sistem cu parametru și apoi o condiție neliniară între componentele soluției; la problema $2$, subpunctul c) este cel mai elegant din tot lotul: printre cei $2018$ factori se află ${\log }_{2}1024=10$, iar $10$ este element absorbant pentru lege, deci tot produsul se prăbușește la $10$. Subiectul al III-lea încheie cu două probleme scurte, dar cu enunț „cu capcană": la problema 1, radicalul din limită cere trecerea prin $|x|$; la problema 2, punctele de inflexiune ale unei primitive se citesc din derivata a doua a ei, adică din derivata întâi a lui $f$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toată materia acestei probe se află în programa clasei a XII-a intrată în vigoare. Legea de compoziție de la Subiectul al II-lea este din unitatea „Legi de compoziție", iar la Subiectul al II-lea nu apare niciun item de polinoame — deci nu ai nevoie de niciun capitol de supliment ca să rezolvi această probă întreagă.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau intervale de forma $[9,11]$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației logaritmice dată fără verificarea condițiilor de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; valorile parametrului obținute la itemul $7$ fără verificarea că sistemul chiar rămâne cramerian; concluzia despre minim dată fără tabloul de semn al derivatei.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$. Grafice de funcții: un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică formula funcției. Logaritmi: $1={\log }_{a}a$, iar ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$, cu $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Simetricul unui punct: $B$ este mijlocul lui $AM$, deci $M(2x_B-x_A,2y_B-y_A)$. Aria: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (\sphericalangle BAC)$, iar diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri congruente.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul lui este nenul; când determinantul se factorizează, valorile „interzise" ale parametrului se citesc direct.
• Legi de compoziție: forma factorizată $x\ast y=\frac{1}{k}(x-c)(y-c)+c$ arată imediat că $c$ este element absorbant, adică $x\ast c=c$ pentru orice $x$; într-un produs asociativ, un singur factor absorbant duce tot rezultatul la $c$.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; o funcție continuă pe un interval, descrescătoare până într-un punct și crescătoare după el, are acolo minim global; regula lui l'Hôpital se aplică doar la cazuri $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, cu verificarea ipotezelor.
• Integrale și primitive: $F^{\prime }=f$ și $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, deci punctele de inflexiune ale unei primitive sunt punctele în care $f^{\prime }$ își schimbă semnul; $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=f(0)$, pentru $f$ continuă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+a$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln (x+1)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=(x^2+x+1)e^x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ (coeficientul unei funcții de gradul întâi) și parametru la itemul $7$ (parametrul matricei și al sistemului). La itemul $7$ ea nu are voie să ia valorile $-1$ și $-2$, altfel sistemul nu mai are soluție unică.
• Litera $x$ este variabilă la itemii $2$, $3$, $9$ și $10$, dar la itemul $8$ este argumentul legii de compoziție, iar la itemul $7$ apare ca necunoscută a sistemului, cu indicele $0$ pentru componenta soluției: $x_0$, $y_0$, $z_0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1-2i$. Arătați că $z^2-2z+5=0$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, pentru care graficele funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=bx+2$ se intersectează în punctul $M(2,8)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(4x+5)=1+{\log }_3(x+3)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele pare.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(4,1)$ și $C(0,8)$. Determinați lungimea segmentului $CM$, știind că $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați aria paralelogramului $ABCD$, știind că $AB=6$, $AC=10$ și $m(\sphericalangle BAC)=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a+1& -1& 1\\ 1& 1& -a\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ (a+1)x-y+z=0\\ x+y-az=1\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(-1))=0$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (M(a))=0$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $2x_0+y_0{z}_0=0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\frac{1}{10}xy-(x+y)+20$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast x\le \frac{101}{10}$.

c) (5 puncte) Calculați ${\log }_{2}1\ast {\log }_{2}2\ast {\log }_{2}3\ast \dots \ast {\log }_{2}2018$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{6x^3}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că valoarea minimă a funcției $f$ este $0$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{f(x)}}{x}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+x+1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx=\frac{11}{6}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiește $z$ în expresie și se ridică la pătrat cu formula binomului: $$z^2-2z+5=(1-2i{)}^2-2(1-2i)+5\text{(2 p)}.$$ Desfăcând, $(1-2i{)}^2=1-4i+4i^2$, iar $-2(1-2i)=-2+4i$; cu $i^2=-1$ termenii în $i$ se reduc: $$z^2-2z+5=1-4i+4i^2-2+4i+5=1-4-2+5=0\text{(3 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-4+4=0$, iar partea reală $1-4-2+5=0$. Observație de fond: $1-2i$ este rădăcină a ecuației $z^2-2z+5=0$, cu discriminantul $\Delta =4-20=-16<0$; cealaltă rădăcină este conjugata, $1+2i$ — la o ecuație cu coeficienți reali rădăcinile complexe vin întotdeauna în pereche. Unde se greșește de obicei: se scrie $4i^2=4$.)

Itemul 2. (5 p) — punctul comun a două grafice.

Un punct aparține graficului unei funcții exact când coordonatele lui verifică formula. Pentru $M(2,8)$ pe graficul lui $f$: $$f(2)=8⟹4+a=8⟹\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$ La fel pentru graficul lui $g$: $$g(2)=8⟹2b+2=8⟹\mathbf{b}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f(x)=2x+4$ dă $f(2)=8$, iar $g(x)=3x+2$ dă $g(2)=8$ — cele două drepte chiar trec prin același punct. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația $f(x)=g(x)$ fără să se folosească abscisa dată; se ajunge la o relație între $a$ și $b$, nu la valorile lor. Ideea corectă este că punctul se află pe fiecare dintre cele două grafice, deci dă două condiții separate.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Numărul $1$ se scrie ca ${\log }_{3}3$, ca să existe logaritmi în ambii membri; apoi se folosește ${\log }_{3}u+{\log }_{3}v={\log }_3(uv)$: $${\log }_3(4x+5)={\log }_{3}3(x+3)⟹4x+5=3x+9\text{(3 p)}.$$ De aici $x=4$; condițiile de existență cer $4x+5>0$ și $x+3>0$, iar pentru $x=4$ avem $21>0$ și $7>0$, deci $$\mathbf{x}=4,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: ${\log }_{3}21={\log }_3(3\cdot 7)=1+{\log }_{3}7$ — exact ce cere ecuația. Unde se greșește de obicei: se „simplifică" logaritmii, scriind $4x+5=1+x+3$; logaritmul unei sume nu este suma logaritmilor, iar $1$ trebuie transformat în logaritm înainte de orice.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

Un număr de două cifre cu ambele cifre pare are cifra zecilor în $\{2,4,6,8\}$ — nu și $0$, altfel n-ar mai avea două cifre — și cifra unităților în $\{0,2,4,6,8\}$. Prin regula produsului sunt $4\cdot 5=20$ astfel de numere, deci $20$ de cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\text{(2 p)}.$$ (Control prin listare pe zeci: $20,22,24,26,28$, apoi la fel pentru $4$, $6$ și $8$ — patru grupe de câte cinci numere, deci $20$. Unde se greșește de obicei: se ia și $0$ drept cifră a zecilor, ajungând la $25$ de cazuri favorabile; sau se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră.)

Itemul 5. (5 p) — simetricul unui punct și distanța.

„$M$ este simetricul lui $A$ față de $B$" înseamnă exact că $B$ este mijlocul segmentului $AM$, deci coordonatele lui $M$ se obțin din $x_B=\frac{x_A+x_M}{2}$ și analog pentru ordonate: $$x_M=2\cdot 4-2=6,y_M=2\cdot 1-2=0,\text{ deci }M(6,0)\text{(3 p)}.$$ Distanța de la $C(0,8)$ la $M(6,0)$ este $$CM=\sqrt{(6-0{)}^2+(0-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ (Control: mijlocul lui $AM$ este $\left(\frac{2+6}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(4,1)$, adică exact $B$. Unde se greșește de obicei: se calculează $M$ ca simetricul lui $B$ față de $A$, adică se inversează rolurile, sau se ia $M$ drept mijlocul lui $AB$.)

Itemul 6. (5 p) — aria paralelogramului.

Diagonala $AC$ împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri congruente, $ABC$ și $ACD$, deci aria paralelogramului este dublul ariei triunghiului $ABC$. Aria unui triunghi în care se cunosc două laturi și unghiul dintre ele este $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (\sphericalangle BAC)$, așa că $${\mathcal{S}}_{ABCD}=2{\mathcal{S}}_{ABC}=AB\cdot AC\cdot \sin (\sphericalangle BAC)=6\cdot 10\cdot \sin \frac{\pi }{6}\text{(3 p)}.$$ Cum $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $${\mathcal{S}}_{ABCD}=6\cdot 10\cdot \frac{1}{2}=30\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se folosește formula $AB\cdot AD\cdot \sin (\sphericalangle A)$, cu $AD$ latura a doua — dar aici nu se dă o latură, ci diagonala $AC$, iar unghiul dat este cel dintre latura $AB$ și diagonala $AC$. Control de bun-simț: aria nu poate depăși $AB\cdot AC=60$, iar $30$ este exact jumătate, cum cere $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Se înlocuiește $a=-1$ în matrice și se scrie determinantul: $$\begin{array}{rl}& M(-1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (M(-1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (M(-1))\\ & =(-1)+0+1-(-1)-0-1\\ & =0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul de o secundă: prima și a treia linie sunt identice, iar un determinant cu două linii egale este nul — nu mai e nevoie de niciun calcul. Merită scris ca observație, chiar dacă baremul cere calculul; la examen, „linii egale" este o justificare acceptată.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametru, de pildă dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \det (M(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a+1& -1& 1\\ 1& 1& -a\end{array}\right|\\ & =(a-1)+(a^2+a+1)+(a+2)\\ & =a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci $$\mathbf{a}=-2\text{ sau }\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $a=-1$ am obținut deja $0$ la subpunctul a); pentru $a=-2$, matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, cu primele două coloane identice — determinant nul. Unde se greșește de obicei: se lasă determinantul desfăcut, $a^2+3a+2$, și se rezolvă cu discriminantul; merge, dar forma factorizată se citește mai repede.)

c) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când este cramerian, adică $\det (M(a))\ne 0$, deci $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1\}$. Scăzând prima ecuație din a treia se obține $z(1+a)=1$; adunând primele două ecuații rămâne $(a+2)x+2z=2$, iar $y$ se scoate din prima. Soluția este $$\begin{array}{rl}& (x_0,y_0,z_0)\\ & =\left(\frac{2a}{(a+1)(a+2)},\frac{2a^2+3a+2}{(a+1)(a+2)},\frac{1}{a+1}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Condiția din enunț devine, după înmulțirea cu $(a+1{)}^2(a+2)$: $$\begin{array}{rl}& \frac{4a}{(a+1)(a+2)}+\frac{2a^2+3a+2}{(a+1{)}^2(a+2)}\\ & =0⟺6a^2+7a+2\\ & =0,\text{ deci }\mathbf{a}=-\frac{2}{3}\text{ sau }\mathbf{a}=-\frac{1}{2},\\ & \text{ care convin}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De ce „care convin": amândouă valorile sunt diferite de $-1$ și $-2$, deci sistemul chiar rămâne cramerian — pasul acesta este obligatoriu în redactare. Control numeric pentru $a=-\frac{1}{2}$: $x_0=\frac{-1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$, $z_0=2$, $y_0=2-x_0-z_0=\frac{4}{3}$, iar $2x_0+y_0{z}_0=-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0$. Unde se greșește de obicei: se uită condiția $\det \ne 0$ și se acceptă și valori care anulează numitorii.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se pornește din membrul stâng și se pregătește gruparea, scriind $20$ ca $10+10$: $$x\ast y=\frac{1}{10}xy-x-y+10+10\text{(2 p)}.$$ Se dă factor $\frac{1}{10}x$ din primii doi termeni și se grupează restul: $$x\ast y=\frac{1}{10}x(y-10)-(y-10)+10=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10,\text{ pentru orice numere reale }x\text{și}y\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10=\frac{1}{10}(xy-10x-10y+100)+10=\frac{1}{10}xy-x-y+10+10$ — exact legea dată. Ce se vede imediat din forma factorizată: pentru $x=10$ produsul se anulează și rămâne $10$, deci $10$ este element absorbant — cheia subpunctului c).)

b) (5 p) Cu forma de la a), pentru $y=x$ se obține un pătrat perfect: $$\frac{1}{10}(x-10{)}^2+10\le \frac{101}{10}⟺(x-10{)}^2\le 1\text{(3 p)}.$$ Inecuația $(x-10{)}^2\le 1$ înseamnă $|x-10|\le 1$, adică $-1\le x-10\le 1$, deci $$x\in [9,11]\text{(2 p)}.$$ (Control la capete: pentru $x=11$ avem $x\ast x=\frac{1}{10}+10=\frac{101}{10}$, deci egalitate — capătul intră în soluție. Pentru $x=12$ iese $\frac{4}{10}+10>\frac{101}{10}$. Unde se greșește de obicei: se extrage radicalul din $(x-10{)}^2$ fără modul și se scrie doar $x-10\le 1$, pierzând jumătate din interval.)

c) (5 p) Din forma factorizată se citește că $10$ este element absorbant: $$x\ast 10=10\text{ și }10\ast x=10,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Printre cei $2018$ factori se află ${\log }_{2}1024=10$, pentru că $1024=2^{10}$ și $1024\le 2018$. Legea fiind asociativă, produsul se poate grupa oricum, deci $${\log }_{2}1\ast \dots \ast {\log }_{2}2018=\left(\right({\log }_{2}1\ast \dots \ast {\log }_{2}1023)\ast 10)\ast {\log }_{2}1025\ast \dots \ast {\log }_{2}2018=10\ast ({\log }_{2}1025\ast \dots \ast {\log }_{2}2018)=10\text{(3 p)}.$$ (De ce este nevoie de asociativitate: fără ea, „produsul" celor $2018$ factori nici n-ar fi bine definit fără paranteze, iar gruparea din jurul lui $10$ n-ar fi permisă. Enunțul o dă din start, tocmai pentru asta. Unde se greșește de obicei: se caută elementul neutru al legii (care este $20$, pentru că $x\ast 20=x$) în loc de cel absorbant; sau se încearcă un calcul efectiv, imposibil pentru $2018$ factori. Control: ${\log }_{2}1=0$, iar $0\ast 10=\frac{1}{10}(-10)(0)+10=10$ — absorbantul câștigă chiar și în fața lui zero.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, valoare minimă și o limită cu radical.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, iar ultimul termen cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=6x^2-6x+6-\frac{6}{x+1}\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul comun $x+1$, toți termenii de grad mic se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{6x^3+6x^2-6x^2-6x+6x+6-6}{x+1}=\frac{6x^3}{x+1},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{6}{2}=3$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $3,000$. Unde se greșește de obicei: se derivează $6\ln (x+1)$ ca $\frac{6}{x}$, adică se uită că argumentul logaritmului este $x+1$; sau se oprește calculul la prima formă, fără să se aducă la o singură fracție — forma cerută de enunț este cea simplificată.)

b) (5 p) Se caută zerourile derivatei. Pe $(-1,+\infty )$ numitorul $x+1$ este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^3$, adică semnul lui $x$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=0\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in (-1,0]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-1,0]$, și $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [0,+\infty )$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$ (2 p).

Din tabloul de variație, $f(x)\ge f(0)$ pentru orice $x\in (-1,+\infty )$, iar $f(0)=0-0+0-6\ln 1=0$, deci valoarea minimă a funcției $f$ este $$0\text{(2 p)}.$$ (Consecință folosită la subpunctul c): $f(x)\ge 0$ pe tot domeniul, deci $\sqrt{f(x)}$ are sens acolo — baremul nu insistă, dar fără această observație radicalul din c) ar putea să nu existe. Unde se greșește de obicei: se spune „minim local" și se oprește; aici minimul este global, pentru că funcția scade pe toată prima ramură și crește pe toată a doua.)

c) (5 p) Limita este de tipul $\frac{0}{0}$, pentru că $f(0)=0$. Se lucrează întâi cu pătratul, ca să scape de radical; aplicând regula lui l'Hôpital și formula de la a): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2}{x+1}=0\text{(2 p)}.$$ Cum $\frac{\sqrt{f(x)}}{|x|}=\sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}$, limita acestui raport este $\sqrt{0}=0$; iar dacă valoarea absolută a unei expresii tinde la zero, tinde la zero și expresia însăși: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{f(x)}}{|x|}=0⟹\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{f(x)}}{x}=0\text{(3 p)}.$$ (De ce apare modulul: $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$ — la stânga lui zero, $x$ este negativ. Trecerea de la modul la expresia cu semn se face aici pentru că limita este $0$: dacă $|u(x)|\to 0$, atunci $u(x)\to 0$. Control numeric: pentru $x=0,001$ raportul este $0,00122$, iar pentru $x=-0,001$ este $-0,00123$ — amândouă aproape de zero, din părți opuse. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hôpital direct pe $\frac{\sqrt{f(x)}}{x}$, ceea ce duce la un calcul mult mai greu, sau se scrie $\sqrt{x^2}=x$ și se pierde jumătate din vecinătate.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, inflexiunile primitivelor și media integrală.

a) (5 p) Factorul $e^{-x}$ se simplifică cu exponențiala din $f$, pentru că $e^x\cdot e^{-x}=1$: $${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx={\int }_0^1(x^2+x+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, $${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1-0=\frac{11}{6}\text{(2 p)}.$$ (Control: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1=\frac{2+3+6}{6}=\frac{11}{6}\approx 1,8333$, iar integrala calculată numeric dă $1,83333$. Unde se greșește de obicei: se încearcă integrarea prin părți a produsului $(x^2+x+1)e^x\cdot e^{-x}$ fără să se observe simplificarea — trei integrări prin părți în loc de o linie.)

b) (5 p) Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o primitivă oarecare a lui $f$. Atunci $F^{\prime }=f$, deci derivata a doua a lui $F$ este chiar derivata lui $f$: $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=(2x+1)e^x+(x^2+x+1)e^x=(x^2+3x+2)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cum $e^x>0$, semnul lui $F^{\prime \prime }$ este semnul trinomului $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$: avem $F^{\prime \prime }(-2)=0$, $F^{\prime \prime }(-1)=0$, $F^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (-\infty ,-2)$, $F^{\prime \prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (-2,-1)$ și $F^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (-1,+\infty )$; derivata a doua își schimbă semnul de exact două ori, deci $F$ are exact două puncte de inflexiune (3 p).

(Ce nu depinde de primitiva aleasă: două primitive diferă printr-o constantă, iar constanta dispare la derivare, deci $F^{\prime \prime }$ este aceeași pentru toate — de asta concluzia este valabilă pentru orice primitivă. Unde se greșește de obicei: se caută punctele în care $F^{\prime \prime }=0$ și se opresc acolo; anularea derivatei a doua nu este suficientă, trebuie schimbare de semn — de pildă la $F(x)=x^4$ derivata a doua se anulează în zero fără să existe inflexiune. Control: $x^2+3x+2$ are $\Delta =1>0$, deci chiar are două rădăcini distincte, amândouă simple.)

c) (5 p) Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Integrala se scrie $F(t)-F(0)$, iar raportul devine chiar raportul din definiția derivatei în zero; cu regula lui l'Hôpital pe cazul $\frac{0}{0}$: $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{F(t)-F(0)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{F^{\prime }(t)}{1}\text{(3 p)}.$$ Cum $F^{\prime }=f$ și $f$ este continuă, $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=f(0)=(0+0+1)e^0=1\text{(2 p)}.$$ (Ce spune rezultatul: media valorilor lui $f$ pe intervalul $[0,t]$ tinde la valoarea funcției în capăt, atunci când intervalul se strânge — proprietate valabilă pentru orice funcție continuă. Control numeric: pentru $t=0,001$ media este $1,0010$, iar pentru $t=-0,001$ este $0,9990$. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al primitivei lui $(x^2+x+1)e^x$ — se poate (ea este $(x^2-x+2)e^x$), dar nu e nevoie: existența primitivei, garantată de continuitate, este tot ce trebuie.)