Bac M1 2019, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Mulțimi de numere: descrierea unei mulțimi date printr-o inecuație în $\mathbb{N}$ și suma elementelor ei — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: ordonata vârfului parabolei, $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical în ambii membri: ridicarea la pătrat și verificarea — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu cel puțin $8$ elemente ale unei mulțimi cu $10$ elemente — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile lui $\cos k\pi$ după paritatea lui $k$ și însumarea unei serii alternante finite — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant numeric, o relație funcțională de tipul $A(a)A(b)=ab{I}_3+(a+b+1)A(0)$ și un produs de $2020$ de matrice redus la un factorial — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcina $1$ și determinarea parametrului, descompunerea în factori și relațiile lui Viète pentru suma cuburilor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală și inegalitate: derivarea unei sume cu logaritm de raport, limita la $+\infty$ și demonstrația că două grafice nu se intersectează, prin studiul minimului diferenței — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: pătratul unei funcții, aria unei suprafețe delimitate de o funcție care schimbă semnul și o limită de tipul $\frac{0}{0}$ cu integrală cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2019. Este o probă cu două momente de dificultate reală, amândouă la subpunctele c) ale Subiectului al II-lea și al III-lea. La itemul $7$, subpunctul c) cere un produs de $2020$ de matrice: se rezolvă doar dacă observi că relația de la b), scrisă cu $a=0$, colapsează totul într-un factor numeric — apare astfel un factorial, $2020!$, dintr-un exercițiu de matrice. La itemul $9$, subpunctul c) nu cere nicio limită și niciun grafic desenat: cere să demonstrezi că două grafice nu se ating, iar drumul este să observi că diferența lor este chiar funcția de la a) și b), al cărei minim se citește din semnul derivatei. Subiectul I este, prin contrast, scurt și direct; singura capcană este itemul $6$, unde suma pare lungă și se reduce, de fapt, la o numărătoare de semne. La itemul $10$, subpunctul b) cere aria unei suprafețe delimitate de o funcție impară, care schimbă semnul în zero — deci integrala se sparge în două, cu modul.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{10\sqrt{5}-16}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția unei ecuații iraționale dată fără verificare; ordonata vârfului confundată cu abscisa lui; aria scrisă ca integrală simplă când funcția schimbă semnul; concluzia „graficele nu se intersectează" fără studiul semnului diferenței; produsul de matrice „calculat" fără relația demonstrată la subpunctul anterior.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Funcția de gradul al doilea: vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ are coordonatele $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=\sqrt{v}\Rightarrow u=v$, cu condiția $u\ge 0$ și verificarea soluțiilor. Combinatorică: $C_n^k=C_n^{n-k}$, iar $C_{10}^8=C_{10}^2=45$. Mijlocul segmentului: $M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; distanța dintre două puncte: $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Trigonometrie: $\cos 2k\pi =1$ și $\cos (2k+1)\pi =-1$, pentru orice $k$ întreg.
• Matrice: determinantul se dezvoltă după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri; o relație funcțională între matricele unei familii se demonstrează calculând produsul o singură dată, cu parametri, nu pe cazuri.
• Polinoame: dacă $x=1$ este rădăcină, atunci suma coeficienților este nulă; relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $s_1=x_1+x_2+x_3$, $s_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$, $s_3=x_1{x}_2{x}_3$, plus identitatea $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$.
• Derivate și asimptote: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ există exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, iar atunci ecuația ei este $y=\ell$. Două grafice nu au niciun punct comun exact când ecuația $g(x)=h(x)$, adică $g(x)-h(x)=0$, nu are soluție — se studiază semnul diferenței, cu derivata.
• Integrale și arii: notația $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$; aria unei suprafețe delimitate de graficul unei funcții care schimbă semnul se calculează cu modul, $\mathcal{S}={\int }_a^b|g(x)|dx$, adică se sparge pe intervalele de semn constant; $\int u^{\prime }{u}^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+\mathcal{C}$; regula lui l'Hospital pentru cazul $\frac{0}{0}$, cu ${\left({\int }_0^{x}g\right)}^{\prime }=g(x)$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-2x+m$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln \frac{x}{x+1}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\sqrt{x^2+4}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Notația $f^2(x)$ de la itemul $10$, subpunctul a), înseamnă $(f(x){)}^2$, adică pătratul valorii, nu $f(f(x))$. La Bacalaureat, exponentul pus pe numele funcției înseamnă totdeauna putere, nu compunere; compunerea se scrie explicit cu $\circ$.
• Litera $m$ este parametru la itemul $2$ (termenul liber al trinomului) și la itemul $8$ (coeficientul din polinom), iar litera $a$ este parametru al matricei la itemul $7$. Sunt probleme diferite; fiecare literă se reia de la zero la fiecare item.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că suma elementelor mulțimii $A=\{n\in \mathbb{N}\mid n-1\le 4\}$ este egală cu $15$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că vârful parabolei asociate funcției $f$ are ordonata egală cu $2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}=\sqrt{9-x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin $8$ elemente ale unei mulțimi cu exact $10$ elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,1)$, $B(-1,3)$ și $C(8,10)$. Determinați lungimea segmentului $CD$, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $1+\cos \pi +\cos 2\pi +\cos 3\pi +\dots +\cos 2019\pi =0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a+1& 0& 0\\ 1& a& 1\\ 0& 0& a+1\end{array}\right),\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=4$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)A(b)=ab{I}_3+(a+b+1)A(0)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(0)A(1)A(2)\dots A(2019)=n!A(0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-m{X}^2+2X+3-m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $m=3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3{)}^3-12$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln \frac{x}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x(x+1{)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Se consideră funcțiile $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$ și $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=\ln \frac{x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $g$ și $h$ nu au niciun punct comun.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{13}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=xf(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=1$, are aria egală cu $\frac{10\sqrt{5}-16}{3}$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}{\int }_0^x{t}^{3}f(t)dt$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — o mulțime descrisă printr-o inecuație.

Condiția $n-1\le 4$ înseamnă $n\le 5$, iar $n$ este număr natural, deci $$n\le 5⟹A=\{0,1,2,3,4,5\}\text{(3 p)}.$$ Suma elementelor mulțimii $A$ este $0+1+2+3+4+5=15$ (2 p).

(Control cu formula lui Gauss: $1+2+\dots +5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$, iar zeroul nu schimbă suma. Unde se greșește de obicei: se uită că $0$ este număr natural și se pornește lista de la $1$ — aici suma iese aceeași, dar mulțimea scrisă ar fi greșită, iar baremul punctează chiar scrierea mulțimii. A doua capcană este citirea condiției ca $n\le 4$.)

Itemul 2. (5 p) — vârful unei parabole.

Pentru $f(x)=x^2-2x+m$ avem $a=1$, $b=-2$ și $c=m$, deci discriminantul este $$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m\text{(2 p)}.$$ Ordonata vârfului este $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$, deci condiția din enunț devine $$\frac{4m-4}{4}=2,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=3\text{(3 p)}.$$ (Verificare pe alt drum: abscisa vârfului este $x_V=-\frac{b}{2a}=1$, iar $f(1)=1-2+m=m-1$; condiția $m-1=2$ dă tot $m=3$. Unde se greșește de obicei: se calculează abscisa vârfului în loc de ordonată, sau se scapă un semn în $-\frac{\Delta }{4a}$. Controlul cel mai sigur este chiar cel de mai sus: se calculează $f$ în abscisa vârfului.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ambii membri sunt radicali, deci sunt nenegativi; ridicând la pătrat și impunând condițiile de existență $x+3\ge 0$ și $9-x\ge 0$: $$x+3=9-x⟹2x=6\text{(3 p)}.$$ De aici $x=3$, care convine (2 p).

(Verificare efectivă: $\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$ și $\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$ — cele două membre coincid, iar $x=3$ se află în intervalul $[-3,9]$ pe care ambii radicali există. Unde se greșește de obicei: se sare peste cuvântul „convine". Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, iar baremul cere proba scrisă. Aici ecuația este de gradul întâi, deci soluția este unică.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Submulțimile cu cel puțin $8$ elemente sunt cele cu $8$, cu $9$ și cu $10$ elemente, deci $$\text{o mulțime cu }10\text{ elemente are }{C}_{10}^8+C_{10}^9+C_{10}^{10}\text{ submulțimi cu cel puțin }8\text{ elemente}\text{(3 p)}.$$ Calculând combinările, cel mai comod prin formula $C_n^k=C_n^{n-k}$: $$C_{10}^8+C_{10}^9+C_{10}^{10}=45+10+1=56\text{(2 p)}.$$ (Control prin simetrie: $C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$, $C_{10}^9=C_{10}^1=10$ și $C_{10}^{10}=C_{10}^0=1$. Numărul cerut este deci același cu numărul submulțimilor cu cel mult două elemente — o observație care scurtează calculul. Unde se greșește de obicei: se citește „cel puțin" ca „exact" și se dă doar $45$; sau se pornește de la $C_{10}^0$, adică se numără submulțimile mici.)

Itemul 5. (5 p) — mijloc de segment și distanță în reper cartezian.

Mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor; pentru $A(5,1)$ și $B(-1,3)$: $$D\left(\frac{5+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=D(2,2)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $C(8,10)$ la $D(2,2)$ se calculează cu teorema lui Pitagora scrisă pe coordonate: $$CD=\sqrt{(8-2{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{(3 p)}.$$ (Control: catetele sunt $6$ și $8$, deci triunghiul dreptunghic ascuns aici este chiar $6$–$8$–$10$, adică triunghiul $3$–$4$–$5$ dublat. Unde se greșește de obicei: se scade greșit la prima coordonată, $-1-5$ în loc de $5+(-1)$ — mijlocul se obține prin sumă împărțită la doi, nu prin diferență.)

Itemul 6. (5 p) — o sumă trigonometrică alternantă.

Cosinusul unui multiplu întreg de $\pi$ ia doar două valori, după paritatea multiplicatorului: $$\cos 2k\pi =1\text{ și }\cos (2k+1)\pi =-1,\text{ unde }k\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$ Suma din enunț are un termen inițial $1$ și încă $2019$ termeni, care alternează începând cu $\cos \pi =-1$; ei se grupează doi câte doi: $$1+\cos \pi +\cos 2\pi +\cos 3\pi +\dots +\cos 2019\pi =1+(-1)+1+(-1)+1+\dots +(-1)+1+(-1)=0\text{(3 p)}.$$ (Numărătoarea, pe scurt: termenii sunt $1$ (cel din față), apoi $\cos k\pi$ pentru $k$ de la $1$ la $2019$. Dintre aceștia, cei cu $k$ par sunt $1009$ la număr și valorează $1$, iar cei cu $k$ impar sunt $1010$ și valorează $-1$. În total: $1+1009-1010=0$. Unde se greșește de obicei: se numără $2019$ termeni în loc de $2020$, uitând $1$-ul din față; sau se scrie $\cos \pi =1$. Controlul rapid: suma are un număr par de termeni, care se împerechează perfect $1+(-1)$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, cele șase produse dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =4+0+0-0-0-0=4\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt este dezvoltarea după prima coloană, care are un singur element nenul: $\det (A(1))=2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=2\cdot 2=4$. Aceeași valoare — și un control gratuit al calculului lung. De reținut: prima și a treia coloană a matricei $A(a)$ au fiecare câte două zerouri, pentru orice $a$.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Singura linie care dă ceva netrivial este a doua: $$\begin{array}{rl}& A(a)A(b)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}ab+a+b+1& 0& 0\\ a+b+1& ab& a+b+1\\ 0& 0& ab+a+b+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Rezultatul se desface în două bucăți: cea diagonală, cu $ab$, și cea care conține doar $a+b+1$: $$\begin{array}{rl}& A(a)A(b)\\ & =ab\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+(a+b+1)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =ab{I}_3+(a+b+1)A(0),\end{array}$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$ (2 p).

(Verificare pe două poziții: elementul din colțul din stânga sus al produsului este $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$, iar în membrul drept el este $ab\cdot 1+(a+b+1)\cdot 1$ — aceeași expresie; elementul din mijloc este $a\cdot b=ab$, iar în membrul drept $ab\cdot 1+(a+b+1)\cdot 0=ab$, pentru că $A(0)$ are zero în mijloc. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție". Control numeric: pentru $a=b=0$ formula prezice $A(0)A(0)=A(0)$, iar calculul direct confirmă.)

c) (5 p) Se folosește relația de la b) cu $a=0$; cum $0\cdot b=0$, primul termen dispare și rămâne doar un factor numeric: $$\begin{array}{rl}& A(0)A(a)\\ & =(a+1)A(0),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Aplicând-o de $2019$ ori, la fiecare pas iese în față câte un factor cu unu mai mare decât indicele: $$\begin{array}{rl}& A(0)A(1)A(2)\dots A(2019)\\ & =2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 2020\cdot A(0),\\ & \text{ de unde obținem }\mathbf{n}=2020\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Produsul $2\cdot 3\cdot \dots \cdot 2020$ este chiar $2020!$, pentru că factorul lipsă, $1$, nu schimbă nimic. De aceea $n!=2020!$, deci $n=2020$. Control pe un caz mic: $A(0)A(1)A(2)=2\cdot 3\cdot A(0)=6A(0)=3!A(0)$ — se potrivește cu regula „ultimul indice plus unu". Unde se greșește de obicei: se răspunde $n=2019$, adică se ia ultimul indice în loc de ultimul factor; sau se încearcă înmulțirea efectivă a matricelor, pas cu pas.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$: $$f(1)=1-m+2+3-m=6-2m\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $6-2m=0$, de unde $\mathbf{m}=3$ (2 p).

(Control: pentru $m=3$ polinomul este $X^3-3X^2+2X$, iar $f(1)=1-3+2=0$. Observație folositoare: $f(1)$ este chiar suma coeficienților, deci se poate citi direct din polinom, fără niciun calcul. Unde se greșește de obicei: se uită că parametrul apare de două ori, o dată la $X^2$ și o dată în termenul liber, și se scrie $3-m$ în loc de $6-2m$.)

b) (5 p) Pentru $m=3$ polinomul este $f=X^3-3X^2+2X$; toți termenii au factorul comun $X$, iar paranteza rămasă se descompune la rândul ei: $$f=X^3-3X^2+2X=X(X^2-3X+2)\text{(2 p)}.$$ Trinomul $X^2-3X+2$ are discriminantul $1$ și rădăcinile $1$ și $2$, deci rădăcinile polinomului sunt $${\mathbf{x}}_1=0,{\mathbf{x}}_2=1,{\mathbf{x}}_3=2\text{(3 p)}.$$ (Control cu Viète: suma rădăcinilor trebuie să fie $-\frac{-3}{1}=3$, iar $0+1+2=3$; produsul trebuie să fie $-\frac{0}{1}=0$, iar $0\cdot 1\cdot 2=0$ — se potrivesc amândouă. Unde se greșește de obicei: se uită rădăcina $x=0$, adică se dă factor comun $X$ și apoi se rezolvă doar paranteza. Termenul liber al polinomului fiind zero, $0$ este obligatoriu rădăcină.)

c) (5 p) Se scriu relațiile lui Viète pentru polinomul cu parametru și se folosește identitatea sumei cuburilor: $$x_1+x_2+x_3=m,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=2,\text{deci}{x}_1^3+x_2^3+x_3^3=m^3-3m-9\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $m^3-3m-9=m^3-12$, de unde $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(De unde vine expresia: cu $s_3=x_1{x}_2{x}_3=-(3-m)=m-3$, identitatea $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$ dă $m^3-6m+3(m-3)=m^3-3m-9$. Cei doi termeni $m^3$ se reduc, deci ecuația rămasă este de gradul întâi. Control numeric: pentru $m=1$ polinomul este $X^3-X^2+2X+2$; rădăcinile lui, calculate numeric, dau suma cuburilor $-11$, iar $(\sum x_i{)}^3-12=1-12=-11$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se folosește formula $a^3+b^3+c^3-3abc$ fără să se ajusteze pentru cazul în care suma nu este nulă; sau se scrie $s_3=3-m$, uitând semnul din relațiile lui Viète.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și grafice fără punct comun.

a) (5 p) Primul termen este constant, al doilea este o fracție, iar al treilea un logaritm compus, derivat cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\frac{x}{x+1}$ are $u^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$: $$f^{\prime }(x)=-2\left(-\frac{1}{(x+1{)}^2}\right)-\frac{x+1}{x}\cdot \frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Simplificând fiecare bucată și aducând la același numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{2x-(x+1)}{x(x+1{)}^2}=\frac{x-1}{x(x+1{)}^2},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Drumul mai scurt: se desface întâi logaritmul, $\ln \frac{x}{x+1}=\ln x-\ln (x+1)$, a cărui derivată este $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}$. Control numeric: în $x=3$, formula dă $\frac{2}{3\cdot 16}=0,041\overline{6}$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $0,0417$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus din fața fracției $\frac{2}{x+1}$ — derivata ei este $-2\cdot \left(-\frac{1}{(x+1{)}^2}\right)$, deci pozitivă; a doua capcană este $\ln$-ul unui raport desfăcut ca sumă, nu ca diferență.)

b) (5 p) Se calculează limita funcției la $+\infty$, termen cu termen. Fracția tinde la zero, iar raportul de sub logaritm tinde la $1$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{2}{x+1}-\ln \frac{x}{x+1}\right)=1-0-0=1\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(De ce al treilea termen tinde la zero: $\frac{x}{x+1}\to 1$, iar $\ln 1=0$; logaritmul fiind continuu, limita intră sub el. Control numeric: $f(10^6)\approx 0,9999990$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația asimptotei ca $y=f(x)$ sau se uită precizarea capătului $+\infty$ — ambele se punctează separat. De reținut și că asimptota orizontală și cea oblică spre același capăt se exclud reciproc.)

c) (5 p) Cheia este observația că diferența celor două funcții este chiar $f$: într-adevăr, $1-\frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}=g(x)$, deci $f=g-h$. Rămâne de arătat că $f$ nu se anulează. Din semnul derivatei de la a): $$f^{\prime }(x)\le 0,\text{pentru orice }x\in (0,1],\text{deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1]\text{ și }{f}^{\prime }(x)\ge 0,\text{pentru orice }x\in [1,+\infty ),$$ $$\text{deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )⟹f(x)\ge f(1),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Valoarea minimă este $f(1)=1-1-\ln \frac{1}{2}=\ln 2>0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$ și, cum $g(x)=h(x)\iff f(x)=0$, ecuația $g(x)=h(x)$ nu are soluție în $(0,+\infty )$, deci graficele funcțiilor $g$ și $h$ nu au niciun punct comun (2 p).

(Semnul derivatei se citește direct: numitorul $x(x+1{)}^2$ este strict pozitiv pe $(0,+\infty )$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul numărătorului $x-1$. Control numeric: $f(1)=\ln 2\approx 0,693$, iar la capete $f(0,001)\approx 5,911$ și $f(100)\approx 0,990$ — funcția chiar coboară până la $\ln 2$ și apoi urcă spre $1$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea directă a ecuației $\frac{x-1}{x+1}=\ln \frac{x}{x+1}$, care nu se poate rezolva algebric; sau se spune „graficele nu se ating pentru că funcțiile sunt diferite" — două funcții diferite se pot intersecta oricând. Argumentul corect trece prin minimul diferenței.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) Notația $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, iar pătratul unui radical este chiar expresia de sub radical: $${\int }_0^1{f}^2(x)dx={\int }_0^1(x^2+4)dx=\left(\frac{x^3}{3}+4x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{3}+4-0=\frac{13}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea $(\sqrt{u}{)}^2=u$ este legitimă pentru că $x^2+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $4,33333$, iar $\frac{13}{3}\approx 4,3333$. Unde se greșește de obicei: se citește $f^2(x)$ ca $f(f(x))$ și se pornește o compunere inutilă; a doua capcană este uitarea capătului de jos — chiar și când dă zero, el se scrie.)

b) (5 p) Funcția $g(x)=x\sqrt{x^2+4}$ este impară și schimbă semnul în $x=0$: este negativă pe $[-1,0]$ și pozitivă pe $[0,1]$. Aria se calculează deci cu modul, spărgând integrala pe cele două intervale de semn constant: $$g(x)=x\sqrt{x^2+4}⟹\mathcal{S}={\int }_{-1}^1|g(x)|dx=-{\int }_{-1}^{0}x\sqrt{x^2+4}dx+{\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+4}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $x\sqrt{x^2+4}$ este $\frac{1}{3}(x^2+4{)}^{\frac{3}{2}}$, pentru că sub radical stă chiar $u$, iar $x$ este jumătate din $u^{\prime }$. Înlocuind capetele: $$\mathcal{S}=-\frac{1}{3}(x^2+4{)}^{\frac{3}{2}}{|}_{-1}^0+\frac{1}{3}(x^2+4{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1=-\frac{1}{3}(8-5\sqrt{5})+\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-8)=\frac{10\sqrt{5}-16}{3}\text{(3 p)}.$$ (De ce apare $5\sqrt{5}$: $(1^2+4{)}^{\frac{3}{2}}=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}$, iar $(0+4{)}^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=8$. Cele două bucăți sunt egale, pentru că funcția este impară — deci aria putea fi calculată și ca $2{\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+4}dx$. Control numeric: $\frac{10\sqrt{5}-16}{3}\approx 2,1202$, iar integrala modulului calculată numeric dă $2,12023$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct ${\int }_{-1}^{1}g$, care iese zero — funcția fiind impară, cele două bucăți se anulează. O arie nu poate fi zero, iar acesta este chiar semnalul că modulul a fost uitat.)

c) (5 p) Numărătorul și numitorul tind amândouă la zero, deci se aplică regula lui l'Hospital; derivata integralei cu capătul variabil este chiar integrandul, calculat în $x$: $$\text{Din teorema lui l’Hospital,}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}{\int }_0^x{t}^{3}f(t)dt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{3}f(x)}{4x^3}\text{(3 p)}.$$ Simplificând cu $x^3$ și înlocuind funcția: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+4}}{4}=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea cu $x^3$ este permisă pentru că $x\ne 0$ pe tot parcursul limitei — limita nu vorbește despre valoarea din $0$, ci despre valorile din jurul lui. Control numeric: pentru $x=10^{-3}$, raportul dă $0,500000$. Unde se greșește de obicei: se derivează greșit numitorul, scriind $x^3$ în loc de $4x^3$; sau se aplică l'Hospital de două ori, ceea ce ar strica rezultatul — după prima aplicare nu mai există nedeterminare.)