Bac M1 2019, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul a două numere conjugate și formula $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: condiția ca un punct să aparțină graficului unei funcții — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială de tipul $t+\frac{1}{t}=2$, adusă la un pătrat perfect prin substituție — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe mulțimea numerelor naturale de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte, condiția de perpendicularitate $m_1{m}_2=-1$ și ecuația dreptei printr-un punct — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele $\sin (a\pm b)$ și identitatea fundamentală, într-o identitate care se demonstrează — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice cu parametru, o relație funcțională de tipul $A(a)\cdot A(b)=2A(ab)$ și un produs telescopic de logaritmi — clasele a X-a – a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valorile unui polinom în $-1$, $0$ și $1$, divizibilitatea cu $X^2-1$ și relațiile lui Viète cu suma cuburilor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, monotonie și numărul de soluții: derivarea unui produs cu exponențială, tabloul de monotonie și discuția unei ecuații de forma $f(x)=a$ cu ajutorul monotoniei și al limitelor — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită, aria și un șir de integrale: simplificarea integrandului, integrarea prin părți a logaritmului, aria subgraficului și limita unui șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2019. Subiectul I nu are nicio cerință de calcul lung, dar are două locuri în care rezultatul „se vede" și totuși trebuie demonstrat: itemul 3, unde ecuația exponențială se rezolvă printr-un pătrat perfect, nu prin ghicire, și itemul 6, unde identitatea trigonometrică cere drumul complet de la formulele $\sin (a\pm b)$ la ${\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$. Subiectul al II-lea a pus în slotul de algebră o familie de matrice cu o lege de tipul $A(a)A(b)=2A(ab)$ și un polinom cu doi parametri; ambele probleme se termină cu un subpunct în care relația demonstrată la b) se folosește de mai multe ori la rând. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată → monotonie → numărul de soluții, adică exact tipul de raționament în care tabloul de variație devine argument, iar la problema 2 un șir de integrale care se calculează explicit, prin părți, și abia apoi se trece la limită.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e^2$ și $4e^{-2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: identitatea trigonometrică „verificată" pe un exemplu numeric în loc să fie demonstrată; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația dreptei scrisă fără calculul separat al pantei; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei; concluzia „are trei soluții" fără limitele la capete și fără continuitate.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; produsul unui număr cu conjugatul lui, $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, transformă un produs de doi complecși conjugați într-un număr real. Funcții: un punct $A(x_0,y_0)$ aparține graficului funcției $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Ecuații exponențiale: substituția $t=c^x$, cu $t>0$, transformă ecuația într-una algebrică; $c^{-x}=\frac{1}{c^x}$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte sunt perpendiculare când $m_1\cdot m_2=-1$; dreapta prin $A$ de pantă $m$ are ecuația $y-y_A=m(x-x_A)$. Trigonometrie: $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$ și ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; produsul „linie pe coloană"; o relație de tipul $A(a)A(b)=2A(ab)$ se aplică în lanț și scoate de fiecare dată un factor numeric.
• Logaritmi: formula schimbării bazei, ${\log }_{u}v\cdot {\log }_{v}w={\log }_{u}w$, face ca un produs de logaritmi „în lanț" să se telescopeze; ${\log }_{2}16=4$.
• Polinoame: $f(x_0)$ se obține înlocuind $X$ cu $x_0$; $f$ se divide cu $X^2-1=(X-1)(X+1)$ exact când $f(1)=0$ și $f(-1)=0$; relațiile lui Viète pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$ sunt $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$, iar suma cuburilor se scoate din ele cu $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$; semnul derivatei dă monotonia, iar monotonia plus continuitatea plus limitele la capete dau numărul de soluții ale ecuației $f(x)=a$ pe fiecare interval de monotonie.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$, este rețeta standard pentru $\ln x$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+a$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+X^2+mX+n$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=x^2{e}^{-x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x^2+\ln x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ apare în patru roluri: necunoscută la itemul $2$, unghi (număr real oarecare) la itemul $6$, parametrul familiei de matrice la itemul $7$ și pragul din intervalul $(0,4e^{-2})$ la itemul $9$, subpunctul c). La itemul $7$ ea poate lua orice valoare reală, inclusiv zero — matricea $A(0)$ este perfect legitimă.
• Litera $A$ denumește punctul $A(a,3)$ de la itemul $2$, punctul $A(3,-3)$ de la itemul $5$ și matricea $A(a)$ de la itemul $7$. Litera $B$ este punctul $B(2,-2)$ la itemul $5$ și matricea-produs de la itemul $7$, subpunctul c).
• Litera $n$ este numărul întreg cerut la itemul $1$, coeficientul liber al polinomului la itemul $8$ și indicele șirului de integrale la itemul $10$, subpunctul c). Sunt trei obiecte fără nicio legătură între ele.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n=(3-i\sqrt{2})(3+i\sqrt{2})$ este întreg, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(a,3)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2019^x+2019^{-x}=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,-3)$ și $B(2,-2)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin $A$ și este perpendiculară pe $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin (a-b)\sin (a+b)=(\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -a\\ 0& 2& 0\\ -a& 0& a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(a))=0$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)\cdot A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Demonstrați că matricea $B=A\left({\log }_{2}3\right)\cdot A\left({\log }_{3}4\right)\cdot A\left({\log }_{4}5\right)\cdot \dots \cdot A\left({\log }_{15}16\right)$ are toate elementele numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2+mX+n$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)-2f(0)+f(1)=2$, pentru orice numere reale $m$ și $n$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ și $n$, știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X^2-1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $3(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_3)-(x_1^3+x_2^3+x_3^3)=1$, pentru orice numere reale $m$ și $n$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=x(2-x)e^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $a\in (0,4e^{-2})$, ecuația $f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=\frac{7}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria egală cu $e^2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{e^{-1}}^1{x}^n(f(x)-x^2)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — produsul a două numere complexe conjugate.

Cei doi factori sunt de forma $u-v$ și $u+v$, cu $u=3$ și $v=i\sqrt{2}$, deci produsul lor este diferența pătratelor: $$n=(3-i\sqrt{2})(3+i\sqrt{2})=3^2-(i\sqrt{2}{)}^2\text{(2 p)}.$$ Se calculează pătratul de la scăzător, $(i\sqrt{2}{)}^2=i^2\cdot 2=2i^2$, și se înlocuiește $i^2=-1$: $$n=9-2i^2=9+2=11\in \mathbb{Z}\text{(3 p)}.$$ (Control prin desfacerea completă: $9+3i\sqrt{2}-3i\sqrt{2}-i^2\cdot 2=9+2=11$ — termenii cu $i$ se reduc, exact cum se întâmplă la orice pereche de numere conjugate. Unde se greșește de obicei: se scrie $(i\sqrt{2}{)}^2=-\sqrt{2}$ sau $2$, uitând că se ridică la pătrat și radicalul, și că $i^2$ este negativ.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții de gradul întâi.

Un punct aparține graficului funcției exact când coordonatele lui verifică formula funcției: abscisa pusă în locul lui $x$ trebuie să dea ordonata. Pentru $A(a,3)$ și $f(x)=2x+a$: $$f(a)=3⟹2a+a=3\text{(3 p)}.$$ Ecuația $3a=3$ este de gradul întâi, deci are soluție unică, $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=1$ funcția este $f(x)=2x+1$, iar punctul devine $A(1,3)$; într-adevăr $f(1)=3$. Unde se greșește de obicei: se uită că litera $a$ apare în două locuri — și ca abscisă a punctului, și ca termen liber al funcției — și se rezolvă $2a=3$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială adusă la un pătrat perfect.

Se trece totul într-un membru și se recunoaște pătratul perfect, după ce se scrie $2019^{-x}=\frac{1}{2019^x}$ și se înmulțește cu $2019^x$, care este strict pozitiv: $$2019^x+2019^{-x}-2=0⟺(2019^x-1{)}^2=0\text{(3 p)}.$$ Un pătrat este nul doar când baza lui este nulă, deci $2019^x=1=2019^0$; funcția exponențială fiind injectivă, rezultă $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(De unde vine pătratul: notând $t=2019^x>0$, ecuația este $t+\frac{1}{t}=2$, adică $t^2-2t+1=0$, adică $(t-1{)}^2=0$. Unde se greșește de obicei: se „ghicește" soluția $x=0$ și se oprește acolo — baremul cere argumentul care arată că nu mai există alta. Control: pentru $x=1$ suma este $2019+\frac{1}{2019}>2$, iar pentru $x=-1$ la fel, deci $x=0$ chiar este punctul de minim.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cifra unităților poate fi impară în cinci feluri ($1$, $3$, $5$, $7$, $9$), iar cifra zecilor se alege în nouă feluri (de la $1$ la $9$), deci numerele favorabile sunt $9\cdot 5=45$ la număr (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Control fără numărare: numerele de două cifre alternează par–impar de la $10$ la $99$, iar șirul are lungime pară, deci exact jumătate dintre ele au cifra unităților impară. Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră, sau se confundă „număr impar" cu „cifra unităților impară" — aici cele două coincid, dar motivul trebuie știut.)

Itemul 5. (5 p) — dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată.

Panta dreptei $AB$ se calculează din coordonatele celor două puncte, $m_{AB}=\frac{-2-(-3)}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$. Două drepte neverticale sunt perpendiculare exact când produsul pantelor lor este $-1$, deci $$m_{AB}=-1⟹m_d=1\text{(2 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $A(3,-3)$ și are panta $1$, deci ecuația ei este $y-y_A=m_d(x-x_A)$, adică $y+3=x-3$: $$d:\mathbf{y}=\mathbf{x}-6\text{(3 p)}.$$ (Control: punctul $A(3,-3)$ verifică ecuația, pentru că $3-6=-3$; iar produsul pantelor este $(-1)\cdot 1=-1$, deci perpendicularitatea este asigurată. Unde se greșește de obicei: se scrie $m_d=-m_{AB}$ în loc de $m_d=-\frac{1}{m_{AB}}$ — aici cele două formule dau din întâmplare același rezultat, pentru că $m_{AB}=-1$, dar formula rămâne cea cu inversul.)

Itemul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Se desfac ambii factori cu formulele $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$; produsul are din nou forma $(u-v)(u+v)$, deci este diferența pătratelor: $$\sin (a-b)\sin (a+b)=(\sin a\cos b-\cos a\sin b)(\sin a\cos b+\cos a\sin b)={\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}b-{\sin }^{2}b\cdot {\cos }^{2}a\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiesc cosinusurile cu ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$; termenii în ${\sin }^{2}a{\sin }^{2}b$ se reduc: $$={\sin }^{2}a(1-{\sin }^{2}b)-{\sin }^{2}b(1-{\sin }^{2}a)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b=(\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b),$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$ (3 p).

(Control numeric: pentru $a=\frac{\pi }{2}$ și $b=\frac{\pi }{6}$, membrul stâng este $\sin \frac{\pi }{3}\cdot \sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$, iar membrul drept $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$. Unde se greșește de obicei: se verifică identitatea pe un exemplu numeric și se consideră demonstrată — un exemplu nu demonstrează nimic; se cere lanțul de egalități valabil pentru orice $a$ și $b$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei, cu parametrul lăsat ca literă: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}a& 0& -a\\ 0& 2& 0\\ -a& 0& a\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =2a^2+0+0-2a^2-0-0\\ & =0,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul scurt: prima și a treia coloană sunt opuse, $C_3=-C_1$, iar un determinant cu două coloane proporționale este nul — se vede fără niciun calcul. Verificare pe dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(a))=2\cdot \left|\begin{array}{cc}a& -a\\ -a& a\end{array}\right|=2(a^2-a^2)=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul pentru câteva valori ale lui $a$ și se conchide „deci este nul mereu".)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Pe fiecare poziție cei doi termeni nenuli se adună, nu se reduc, și dau un dublu: $$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{ccc}2ab& 0& -2ab\\ 0& 4& 0\\ -2ab& 0& 2ab\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scoțând factorul comun $2$ din toate elementele se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $ab$: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(b)\\ & =2\left(\begin{array}{ccc}ab& 0& -ab\\ 0& 2& 0\\ -ab& 0& ab\end{array}\right)=2A(ab),\\ & \text{ pentru orice numere reale }a\text{și }b\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $a\cdot b+0\cdot 0+(-a)(-b)=ab+ab=2ab$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $b=1$ formula prezice $A(a)A(1)=2A(a)$, iar produsul calculat direct chiar dă $\left(\begin{array}{ccc}2a& 0& -2a\\ 0& 4& 0\\ -2a& 0& 2a\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Produsul are $14$ factori, de la $A\left({\log }_{2}3\right)$ până la $A\left({\log }_{15}16\right)$; fiecare aplicare a relației de la b) unește doi factori și scoate un $2$, deci după $13$ aplicări rămâne un singur $A$ și un factor $2^{13}$. Argumentul rămas este produsul tuturor logaritmilor, care se telescopează prin formula schimbării bazei: $$\begin{array}{rl}& B\\ & =2^{13}A({\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdot \dots \cdot {\log }_{15}16)\\ & =2^{13}A\left({\log }_{2}16\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cum ${\log }_{2}16=4$, matricea este $$\begin{array}{rl}B& =2^{13}A(4)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}32768& 0& -32768\\ 0& 16384& 0\\ -32768& 0& 32768\end{array}\right),\end{array}$$ care are toate elementele numere întregi (2 p).

(De ce se telescopează: ${\log }_{u}v\cdot {\log }_{v}w={\log }_{u}w$, deci lanțul ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot \dots \cdot {\log }_{15}16$ se strânge pas cu pas la ${\log }_{2}16$. Unde se greșește de obicei: se uită factorii $2$ — sunt $13$, nu $14$, pentru că un produs de $14$ matrice cere $13$ înmulțiri. Control: $2^{13}=8192$, iar $8192\cdot 4=32768$ și $8192\cdot 2=16384$ — toate întregi, cum trebuia arătat.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu doi parametri.

a) (5 p) Se calculează cele trei valori cerute, înlocuind pe rând $X$ cu $-1$, cu $0$ și cu $1$: $$f(-1)=-1+1-m+n=-m+n,f(0)=n\text{(2 p)}.$$ A treia valoare este $f(1)=1+1+m+n=2+m+n$, iar combinația din enunț se reduce: $$f(-1)-2f(0)+f(1)=(-m+n)-2n+(2+m+n)=2,$$ pentru orice numere reale $m$ și $n$ (3 p).

(De ce se reduce: coeficientul lui $m$ este $-1+0+1=0$, iar al lui $n$ este $1-2+1=0$; rămâne doar partea fără parametri, adică $(-1+1)-0+(1+1)=2$. Unde se greșește de obicei: se uită înmulțirea cu $-2$ a lui $f(0)$, sau se calculează $f(-1)$ ignorând că $(-1{)}^3=-1$, dar $(-1{)}^2=1$.)

b) (5 p) Polinomul $X^2-1$ se descompune în $(X-1)(X+1)$, deci $f$ se divide cu el exact când se divide și cu $X-1$, și cu $X+1$. Cu teorema lui Bézout, asta înseamnă: $$f\text{ divizibil cu }{X}^2-1⟺f(-1)=0\text{ și }f(1)=0\text{(3 p)}.$$ Folosind valorile de la subpunctul a), sistemul este $-m+n=0$ și $2+m+n=0$, de unde $m=n$ și $2+2m=0$: $$\mathbf{m}=-1,\mathbf{n}=-1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=n=-1$ polinomul este $f=X^3+X^2-X-1=X^2(X+1)-(X+1)=(X+1)(X^2-1)=(X+1{)}^2(X-1)$ — într-adevăr divizibil cu $X^2-1$. Unde se greșește de obicei: se pune doar condiția $f(1)=0$, uitând că $X^2-1$ are două rădăcini.)

c) (5 p) Se scriu relațiile lui Viète pentru $f=X^3+X^2+mX+n$ și se calculează suma cuburilor cu formula $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$: $$x_1+x_2+x_3=-1,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m,x_1{x}_2{x}_3=-n,x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1+3m-3n\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiește totul în expresia din enunț; termenii cu $m$ și cu $n$ se reduc: $$3(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_3)-(x_1^3+x_2^3+x_3^3)=3(m-n)-(-1+3m-3n)=1\text{(2 p)}.$$ (Cum vine suma cuburilor: $s_1^3=-1$, $-3s_1{s}_2=-3\cdot (-1)\cdot m=3m$ și $3s_3=3(-n)=-3n$, deci $-1+3m-3n$. Control pe un caz concret: pentru $m=n=-1$ rădăcinile sunt $-1$, $-1$ și $1$; atunci $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1$, $x_1{x}_2{x}_3=1$, iar suma cuburilor este $-1-1+1=-1$, deci expresia dă $3(-1+1)-(-1)=1$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=n$ în loc de $-n$ — la un polinom de gradul al treilea, produsul rădăcinilor poartă semnul $(-1{)}^3$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și numărul de soluții ale unei ecuații.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, unde $u(x)=x^2$ și $v(x)=e^{-x}$, cu $v^{\prime }(x)=-e^{-x}$: $$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $e^{-x}$, apoi $x$: $$f^{\prime }(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=1\cdot 1\cdot e^{-1}\approx 0,3679$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,3679$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{-x}$ ca $e^{-x}$, uitând semnul minus din interior — de acolo vine tot semnul lui $f^{\prime }$.)

b) (5 p) Derivata se anulează unde se anulează factorii ei; exponențiala este strict pozitivă și nu contribuie cu nicio rădăcină: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=0\text{ sau }x=2\text{(2 p)}.$$ Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul trinomului $x(2-x)$, care are coeficientul dominant negativ, deci este negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele: $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }(-\infty ,0],f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }[0,2],f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }[2,+\infty ),$$ deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,0]$, crescătoare pe $[0,2]$ și descrescătoare pe $[2,+\infty )$ (3 p).

(Control numeric: $f(-1)=e\approx 2,72$, $f(0)=0$, $f(1)=e^{-1}\approx 0,37$, $f(2)=4e^{-2}\approx 0,54$, $f(3)=9e^{-3}\approx 0,45$ — valorile scad, apoi cresc, apoi scad din nou, exact ca în tablou. Unde se greșește de obicei: se scriu intervalele deschise sau se uită capătul $0$ dintr-unul dintre ele; punctele $0$ și $2$ intră în ambele intervale vecine, pentru că monotonia se păstrează pe intervale închise.)

c) (5 p) Se compară valorile din tabloul de variație cu pragul $a$. Minimul local este $f(0)=0$, maximul local este $f(2)=4e^{-2}$, iar la $+\infty$ funcția coboară spre zero: $$f(0)=0<a,f(2)=4e^{-2}>a,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0<a,\text{ pentru orice }a\in (0,4e^{-2})\text{(3 p)}.$$ Cum $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și este strict monotonă pe $(-\infty ,0)$, pe $(0,2)$ și pe $(2,+\infty )$, ecuația $f(x)=a$ are exact o soluție pe fiecare dintre cele trei intervale, deci exact trei soluții reale (2 p).

(De ce fix trei: pe fiecare interval de monotonie strictă ecuația are cel mult o soluție (injectivitate), iar valorile de la capete o încadrează pe $a$, deci are cel puțin una (proprietatea lui Darboux). Trei intervale, câte o soluție pe fiecare. Control numeric: pentru $a=0,3$, soluțiile aproximative sunt $-0,44$, $0,83$ și $3,95$ — chiar câte una în fiecare interval. Unde se greșește de obicei: se sare peste limita la $-\infty$; fără ea nu se știe că prima ramură urcă până sus și chiar taie nivelul $a$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, arie și un șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: din $f(x)=x^2+\ln x$ scădem chiar $\ln x$ și rămâne un pătrat, $${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx={\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{7}{3}\approx 2,333$, iar integrala lui $x^2$ pe $[1,2]$ calculată numeric dă $2,33333$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\ln x$ degeaba, deși el se simplifică din prima; sau se uită scăderea capătului de jos, care aici nu este zero.)

b) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit; termenii în $x^2$ se reduc: $$g(x)=2x-x^2+f(x)=2x-x^2+x^2+\ln x=2x+\ln x.$$ Pe intervalul $[1,e]$ avem $2x\ge 2$ și $\ln x\ge 0$, deci $g$ este continuă și strict pozitivă, iar aria este chiar integrala, fără modul. Logaritmul se integrează prin părți, cu $u^{\prime }=1$ și $v=\ln x$: $$\mathcal{S}={\int }_1^e|g(x)|dx={\int }_1^e(2x+\ln x)dx=x^2{|}_1^e+x\ln x{|}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: $$\mathcal{S}=(e^2-1)+(e-0)-(e-1)={\mathbf{e}}^2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $e^2\approx 7,389$, iar integrala lui $2x+\ln x$ pe $[1,e]$ calculată numeric dă $7,38906$. Unde se greșește de obicei: se scrie aria fără să se spună de ce funcția este pozitivă — modulul din formula ariei se scoate numai cu motivul scris; a doua capcană este primitiva lui $\ln x$, care este $x\ln x-x$, nu $\frac{1}{x}$.)

c) (5 p) Se simplifică întâi integrandul, $f(x)-x^2=\ln x$, apoi se calculează integrala prin părți, cu $u^{\prime }=x^n$ și $v=\ln x$: $${\int }_{e^{-1}}^1{x}^n(f(x)-x^2)dx={\int }_{e^{-1}}^1{x}^n\ln xdx=\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}\right){|}_{e^{-1}}^1=\frac{1}{(n+1)e^{n+1}}-\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2{e}^{n+1}}\text{(3 p)}.$$ Toate cele trei fracții au numitorul crescător nemărginit, deci fiecare tinde la zero: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{e^{-1}}^1{x}^n(f(x)-x^2)dx=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{(n+1)e^{n+1}}-\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2{e}^{n+1}}\right)=0\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $n=5$ integrala valorează aproximativ $-0,02730$, pentru $n=20$ aproximativ $-0,00227$, iar pentru $n=100$ aproximativ $-0,000098$ — chiar coboară spre zero. Unde se greșește de obicei: se trece la limită sub semnul integralei fără nicio justificare; drumul cerut de barem este calculul explicit al integralei, urmat de limita unui șir de fracții. A doua capcană este semnul: pe $[e^{-1},1]$ logaritmul este negativ, deci integrala este negativă, iar limita se apropie de zero „de jos".)