Bac M1 2019, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea iunie-iulie 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2. Varianta de rezervă este pregătită și publicată de aceeași autoritate ca subiectul principal, pentru situațiile în care proba trebuie reluată; ea are aceeași structură, același punctaj și același nivel de dificultate. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația ca raport a doi termeni consecutivi și suma primilor termeni — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea: relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, folosite fără să se calculeze rădăcinile — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: suma logaritmilor ca logaritm al produsului, cu condițiile de existență și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul de numere de trei cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: egalitatea a doi vectori pe aceeași dreaptă și coordonatele mijlocului unui segment — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria unui triunghi cu formula $\mathcal{S}=\frac{b\cdot c\cdot \sin A}{2}$ și sinusul unui unghi obtuz — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinant cu parametru și sistem liniar: calculul unui determinant de ordinul al treilea cu parametru, factorizarea lui și un sistem compatibil nedeterminat cu soluții întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție pe $\mathbb{R}$: element absorbant, o ecuație care se reduce la $t^3=t$ prin translație și o ecuație în numere întregi — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și inegalitate: derivarea unui radical, ecuația tangentei într-un punct și demonstrarea unei inegalități prin minimul funcției — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită, inflexiune și șir de integrale: simplificarea integrandului, legătura primitivă–derivata a doua–inflexiune și încadrarea unui șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2019. Subiectul I este alcătuit din șase cerințe scurte, dar fiecare are un pas care nu se vede din rezultat: rația progresiei, relațiile lui Viète folosite fără rădăcini, condiția de existență la logaritmi (de unde vine respingerea lui $-6$), regula produsului la numerele cu cifre distincte. Subiectul al II-lea a pus în slotul de algebră un determinant cu parametru împreună cu sistemul lui — deci nu doar calcul, ci și discuția cazului $\det =0$ — și o lege de compoziție construită prin translația $t=x-2019$, care transformă totul într-o înmulțire obișnuită. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată → tangentă → inegalitate demonstrată prin minim, iar la problema 2 trei tehnici diferite: simplificarea integrandului, derivata a doua a unei primitive și încadrarea unui șir de integrale între două margini care tind la zero.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2-\ln 4$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără condițiile de existență; numărarea „cu repetiție" acolo unde cifrele trebuie să fie distincte; tangenta scrisă fără să se calculeze separat $f(1)$ și $f^{\prime }(1)$; inegalitatea „demonstrată" pe câteva valori; limita unui șir de integrale afirmată fără încadrare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: rația este $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$, iar termenul general $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Ecuația de gradul al doilea: pentru $a{x}^2+bx+c=0$, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ — se folosesc mereu când enunțul cere o expresie simetrică, nu rădăcinile. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, valabilă numai dacă $u>0$ și $v>0$; ${\log }_{a}t=k⟺t=a^k$. Combinatorică: regula produsului — dacă prima alegere se face în $p$ feluri și, pentru fiecare, a doua în $q$ feluri, atunci perechea se alege în $p\cdot q$ feluri. Geometrie analitică: mijlocul segmentului, $M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$, cu $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Determinanți și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute și $\det =0$ nu se rezolvă cu Cramer — se caută rangul, se alege un minor principal nenul și se trece necunoscuta rămasă în membrul drept ca parametru.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=(x-c)(y-c)+c$ se studiază cu translația $t=x-c$: atunci $x\ast y$ corespunde produsului $t_x{t}_y$, iar $c$ este element absorbant, pentru că $t_c=0$.
• Derivate și tangentă: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$. Inegalități prin monotonie: dacă $f$ are minimul global $f\left(x_0\right)$, atunci $f(x)\ge f\left(x_0\right)$ pentru orice $x$ din domeniu — asta este toată demonstrația.
• Integrale: dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, deci punctele de inflexiune ale primitivei sunt punctele unde $f^{\prime }$ își schimbă semnul. Încadrarea este metoda standard pentru limita unui șir de integrale: din $0\le g_n(x)\le h_n(x)$ pe $[a,b]$ rezultă $0\le {\int }_a^b{g}_n\le {\int }_a^b{h}_n$, iar dacă marginea din dreapta tinde la zero, la fel face și șirul.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește punctul $A(2,6)$ de la itemul $5$, vârful și unghiul triunghiului de la itemul $6$ (unde $A=\frac{2\pi }{3}$ înseamnă măsura unghiului din $A$) și matricea $A(a)$ de la itemul $7$. Trei obiecte diferite, în trei itemi diferiți.
• Litera $a$ este parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$, iar la itemul $6$ nu apare deloc ca literă mică — acolo parametrul este chiar unghiul $A$. Litera $m$ este parametrul ecuației de gradul al doilea la itemul $2$ și un număr întreg necunoscut la itemul $8$, subpunctul c).
• Litera $f$ denumește două funcții fără nicio legătură: $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x^2}{x^2+9}$ la itemul $10$. Litera $n$ este indicele progresiei la itemul $1$, un număr întreg la itemul $8$, subpunctul c), și indicele șirului de integrale la itemul $10$, subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=1$ și $b_2=3$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2+mx+7=0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $2x_1+2x_2+3x_1{x}_2=1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-2)+{\log }_2(x+2)=5$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,6)$ și $B(6,2)$. Determinați coordonatele punctului $M$, știind că $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3\sqrt{3}$, $AC=4$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $9$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -a& -1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+y+z=1\\ x-ay-z=1\\ x+y+az=2\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(a))=a(1-a)(1+a)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Pentru $a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $(x_0,y_0,z_0)$ cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x-2019)(y-2019)+2019$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast 2019=2019$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $(x\ast x)\ast x=x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere întregi $m$ și $n$ pentru care $m\ast n=2020$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\sqrt{x}-\ln \frac{x}{4}\ge 2$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+9}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x^2+9)f(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are un singur punct de inflexiune.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră $I_n={\int }_0^1{x}^{2n}f(x)dx$. Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Rația unei progresii geometrice este raportul dintre un termen și cel dinaintea lui, deci $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3}{1}=3$; al treilea termen se obține înmulțind încă o dată cu rația: $$q=3⟹b_3=b_2\cdot q=3\cdot 3=9\text{(3 p)}.$$ Suma cerută este suma celor trei termeni scriși: $$b_1+b_2+b_3=1+3+9=13\text{(2 p)}.$$ (Control cu formula generală: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, deci $b_3=1\cdot 3^2=9$; sau cu suma progresiei, $S_3=b_1\frac{q^3-1}{q-1}=\frac{27-1}{2}=13$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se ia rația ca diferență, $b_2-b_1=2$, adică se confundă progresia geometrică cu cea aritmetică.)

Itemul 2. (5 p) — relațiile lui Viète la o ecuație de gradul al doilea.

Expresia cerută este simetrică în $x_1$ și $x_2$, deci nu are nevoie de rădăcini: se scriu direct relațiile lui Viète pentru $x^2+mx+7=0$, unde $a=1$, $b=m$ și $c=7$: $$x_1+x_2=-m,x_1{x}_2=7\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește în condiția din enunț, $2(x_1+x_2)+3x_1{x}_2=1$: $$-2m+21=1,\text{ deci }\mathbf{m}=10\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=10$ ecuația este $x^2+10x+7=0$, cu $x_1+x_2=-10$ și $x_1{x}_2=7$; atunci $2\cdot (-10)+3\cdot 7=-20+21=1$. Observație: discriminantul $\Delta =100-28=72>0$, deci rădăcinile chiar sunt reale — dar enunțul nu cerea asta. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1+x_2=m$, uitând semnul minus din formula lui Viète.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență cer $x-2>0$ și $x+2>0$, deci $x>2$. Suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului, iar ${\log }_{2}t=5$ înseamnă $t=2^5$: $$(x-2)(x+2)=2^5⟹x^2-4=32⟹x^2-36=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația are rădăcinile $x=-6$ și $x=6$; prima nu convine, pentru că nu respectă condiția $x>2$, iar a doua convine: $$x=-6,\text{ care nu convine},\mathbf{x}=6,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $x=6$: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}8=2+3=5$. Unde se greșește de obicei: se dau amândouă rădăcinile ca soluții. Logaritmul nu este definit pentru argumente negative, iar pentru $x=-6$ ambele argumente ar fi negative — deci nici măcar nu se pot scrie logaritmii, cu atât mai puțin aduna.)

Itemul 4. (5 p) — regula produsului la numere cu cifre distincte.

Prima cifră (a sutelor) se poate alege în oricare dintre cele cinci feluri, adică din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$: $$\text{prima cifra˘: }5\text{moduri}\text{(1 p)}.$$ Cifrele trebuie să fie distincte, deci a doua cifră se alege dintre cele rămase: $$\text{pentru fiecare alegere a primei cifre, a doua cifra˘: }4\text{moduri}\text{(1 p)}.$$ La fel, a treia cifră se alege dintre cele trei rămase, iar numărul total se obține prin regula produsului: $$5\cdot 4\cdot 3=60\text{numere}\text{(3 p)}.$$ (Control cu aranjamente: numerele de trei cifre distincte formate cu cinci cifre date sunt aranjamentele de cinci luate câte trei, $A_5^3=\frac{5!}{2!}=60$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se numără $5^3=125$, adică se permit cifre repetate; sau se folosesc combinări, $C_5^3=10$, care ignoră ordinea cifrelor — dar $123$ și $321$ sunt numere diferite.)

Itemul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Vectorii $\overrightarrow{AM}$ și $\overrightarrow{MB}$ au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, iar punctul $M$ este comun celor două segmente; prin urmare $M$ se află între $A$ și $B$, la egală distanță de ele: $$\text{punctul }M\text{este mijlocul segmentului }AB\text{(3 p)}.$$ Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{2+6}{2}=4,y_M=\frac{6+2}{2}=4\text{(2 p)}.$$ (Același rezultat, direct din coordonate: egalitatea vectorilor înseamnă $(x_M-2,y_M-6)=(6-x_M,2-y_M)$, adică $2x_M=8$ și $2y_M=8$. Control: $M(4,4)$ este la distanța $2\sqrt{2}$ și de $A$, și de $B$. Unde se greșește de obicei: se citește $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ ca „$M$ este simetricul lui $A$ față de $B$" — aceea ar fi egalitatea $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$.)

Itemul 6. (5 p) — aria unui triunghi cu formula cu sinus.

Unghiul $A$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$, deci se aplică formula ariei cu sinusul unghiului dintre ele; sinusul unghiului de $\frac{2\pi }{3}$ este $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ca și al suplementului său, $\frac{\pi }{3}$: $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin \frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, deci $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{12\cdot 3}{4}=9\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $3\sqrt{3}\approx 5,196$, iar $\frac{5,196\cdot 4\cdot 0,866}{2}\approx 9,00$. Unde se greșește de obicei: se ia $\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, confundând sinusul cu cosinusul — pe cadranul al doilea sinusul rămâne pozitiv, cosinusul devine negativ. A doua capcană: se folosește formula $\frac{b\cdot h}{2}$, deși înălțimea nu este dată.)

Itemul 7. (15 p) — determinant cu parametru și sistemul asociat.

a) (5 p) Se înlocuiește $a$ cu $0$ în matrice și se scrie determinantul ei: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+1+(-1)-0-0-0\\ & =0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: dezvoltarea după prima linie dă $0\cdot (0+1)-1\cdot (0+1)+1\cdot (1-0)=-1+1=0$. De reținut: determinantul nul înseamnă că sistemul asociat nu se poate rezolva cu regula lui Cramer — exact situația de la subpunctul c).)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat ca literă, tot cu regula lui Sarrus: diagonalele descendente dau $-a^3+(-1)+1$, iar cele ascendente $-a+a+a$. După reducere rămâne $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -a& -1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=-a^3+a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se dă factor comun $a$ și se recunoaște diferența de pătrate: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =a(1-a^2)=a(1-a)(1+a),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $a=2$ formula dă $2\cdot (-1)\cdot 3=-6$, iar $-a^3+a=-8+2=-6$; pentru $a=0$ ambele dau zero, ceea ce confirmă subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se factorizează $1-a^2$ ca $(a-1)(a+1)$, adică se pierde semnul — corect este $(1-a)(1+a)$.)

c) (5 p) Pentru $a=0$ determinantul este nul, deci sistemul nu are soluție unică; el devine $$\{\begin{array}{l}y+z=1\\ x-z=1\\ x+y=2\end{array}.$$ A treia ecuație este suma primelor două, deci sistemul este compatibil nedeterminat: notând $z=\alpha$, din prima ecuație $y=1-\alpha$, iar din a doua $x=1+\alpha$. Soluțiile sunt $$(1+\alpha ,1-\alpha ,\alpha ),\text{ unde }\alpha \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Pentru orice $\alpha$ număr întreg, numerele $x_0=1+\alpha$, $y_0=1-\alpha$ și $z_0=\alpha$ sunt întregi; cum există o infinitate de valori întregi ale lui $\alpha$, sistemul are o infinitate de soluții întregi (2 p).

(Verificare pe un caz: pentru $\alpha =3$ soluția este $(4,-2,3)$, iar cele trei ecuații dau $-2+3=1$, $4-3=1$ și $4-2=2$ — toate adevărate. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui Cramer, deși $\det =0$; sau se dă o singură soluție particulară, deși enunțul cere o infinitate, deci parametrul trebuie să rămână liber.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiește $y$ cu $2019$ în definiția legii: $$x\ast 2019=(x-2019)(2019-2019)+2019\text{(3 p)}.$$ A doua paranteză este nulă, deci întregul produs se anulează, indiferent de $x$: $$x\ast 2019=0+2019=2019,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (Ce înseamnă asta: $2019$ este element absorbant pentru legea $\ast$, adică joacă rolul lui zero la înmulțire. Se vede imediat cu translația $t=x-2019$: legea devine $t_x\cdot t_y$, iar lui $2019$ îi corespunde $t=0$. Unde se greșește de obicei: se caută element neutru în loc de absorbant — neutrul acestei legi este $2020$, pentru că $t=1$.)

b) (5 p) Se calculează întâi $x\ast x$, apoi se compune încă o dată cu $x$; de fiecare dată apare încă un factor $x-2019$: $$x\ast x=(x-2019{)}^2+2019,(x\ast x)\ast x=(x-2019{)}^3+2019\text{(2 p)}.$$ Ecuația $(x-2019{)}^3+2019=x$ se scrie cu $t=x-2019$ ca $t^3=t$, adică $t(t^2-1)=0$: $$(x-2019)((x-2019{)}^2-1)=0,\text{ deci }\mathbf{x}=2018\text{ sau }\mathbf{x}=2019\text{ sau }\mathbf{x}=2020\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $x=2018$: $t=-1$, deci $(x\ast x)\ast x=(-1{)}^3+2019=2018=x$. Unde se greșește de obicei: se simplifică ecuația $t^3=t$ prin $t$ și se pierde soluția $t=0$, adică $x=2019$. Nu se împarte niciodată la o expresie care poate fi nulă.)

c) (5 p) Se scrie condiția și se trece $2019$ în membrul drept: $$(m-2019)(n-2019)+2019=2020⟺(m-2019)(n-2019)=1\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, cei doi factori sunt întregi, iar singurele descompuneri ale lui $1$ în produs de doi întregi sunt $1\cdot 1$ și $(-1)\cdot (-1)$: $$\mathbf{m}=2018,\mathbf{n}=2018\text{sau}\mathbf{m}=2020,\mathbf{n}=2020\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $(2018-2019)(2018-2019)+2019=(-1)(-1)+2019=2020$; la fel pentru perechea cu $2020$. Unde se greșește de obicei: se uită varianta cu doi factori negativi, sau se caută soluții reale — dacă $m$ și $n$ ar fi reale, ar exista o infinitate de perechi, câte una pentru fiecare $m\ne 2019$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, ecuația tangentei și o inegalitate demonstrată prin minim.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Se aduce prima fracție la numitorul $2x$, amplificând cu $\sqrt{x}$, pentru că $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}}{2x}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=9$, formula dă $f^{\prime }(9)=\frac{3-2}{18}\approx 0,0556$, iar raportul incremental $\frac{f(9,001)-f(8,999)}{0,002}$ dă tot $0,0556$. Unde se greșește de obicei: se aduce la numitorul comun $2\sqrt{x}\cdot x$ și se oprește acolo; forma cerută de enunț are numitorul $2x$, deci amplificarea se face cu $\sqrt{x}$, nu invers.)

b) (5 p) Ecuația tangentei are nevoie de două numere: valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul de abscisă $1$: $$f(1)=\sqrt{1}-\ln 1=1,f^{\prime }(1)=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Se scrie apoi formula tangentei, $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$: $$\mathbf{y}=-\frac{1}{2}\mathbf{x}+\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$ (Control: în $x=1$ dreapta dă $y=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1=f(1)$, deci trece prin punctul de tangență, iar panta ei este chiar $f^{\prime }(1)$. Unde se greșește de obicei: se folosește $f(1)$ în locul lui $f^{\prime }(1)$ ca pantă, sau se scrie tangenta „în punctul $1$" fără să se calculeze ordonata punctului de pe grafic.)

c) (5 p) Se caută minimul funcției. Derivata se anulează unde numărătorul ei se anulează, adică unde $\sqrt{x}=2$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=4\text{(1 p)}.$$ Numitorul $2x$ este pozitiv pe tot domeniul, deci semnul derivatei este semnul lui $\sqrt{x}-2$: $$x\in (0,4]⟹f^{\prime }(x)\le 0,\text{deci }f\text{este descresca˘toare pe }(0,4];x\in [4,+\infty )⟹f^{\prime }(x)\ge 0,\text{deci }f\text{este cresca˘toare pe }[4,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $x=4$ este punct de minim global, iar $f(4)=2-\ln 4$ este cea mai mică valoare a funcției; folosind $\ln x-\ln 4=\ln \frac{x}{4}$, inegalitatea $f(x)\ge f(4)$ se rescrie chiar ca cea din enunț: $$f(x)\ge 2-\ln 4⟺\sqrt{x}-\ln x\ge 2-\ln 4⟺\sqrt{x}-\ln \frac{x}{4}\ge 2,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f(4)=2-\ln 4\approx 0,6137$, iar $f(1)=1$, $f(9)\approx 0,803$, $f(0,1)\approx 2,619$ — toate mai mari decât $f(4)$. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea pe câteva valori și se consideră demonstrată; sau se scrie $\ln \frac{x}{4}=\frac{\ln x}{\ln 4}$ — logaritmul unui raport este diferența logaritmilor, nu raportul lor.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, punct de inflexiune și un șir de integrale.

a) (5 p) Factorul $x^2+9$ se simplifică exact cu numitorul funcției, deci sub integrală rămâne un pătrat: $${\int }_0^1(x^2+9)f(x)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^1(x^2+9)f(x)dx=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+9\ge 9>0$ pentru orice $x$ real, deci numitorul nu se anulează niciodată. Control numeric: integrala calculată numeric dă $0,333333$.)

b) (5 p) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F^{\prime }=f$, deci $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$; derivata lui $f$ se calculează cu formula raportului: $$F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x^2}{x^2+9},F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+9)-x^2\cdot 2x}{(x^2+9{)}^2}=\frac{18x}{(x^2+9{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci derivata a doua se anulează doar unde se anulează numărătorul: $$F^{\prime \prime }(x)=0⟺x=0\text{(1 p)}.$$ Semnul lui $F^{\prime \prime }$ este semnul lui $18x$: negativ la stânga lui zero, pozitiv la dreapta. Cum derivata a doua își schimbă semnul o singură dată, graficul lui $F$ trece din concav în convex exact o dată, deci $$x\in (-\infty ,0)\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)<0\text{ și }x\in (0,+\infty )\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)>0,\text{ deci }F\text{ are un singur punct de inflexiune}\text{(2 p)}.$$ (De ce rezultatul nu depinde de primitiva aleasă: două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar constanta dispare la derivare — deci toate au aceeași derivată a doua și aceleași puncte de inflexiune. Unde se greșește de obicei: se caută unde se anulează $f$, nu $f^{\prime }$; sau se scrie doar $F^{\prime \prime }(0)=0$ fără schimbarea de semn — anularea singură nu garantează inflexiunea.)

c) (5 p) Se încadrează integrandul pe intervalul de integrare. Pe $[0,1]$ avem $x^{2n}\ge 0$, iar funcția $f$ ia valori între $0$ și $1$, pentru că numărătorul este mai mic decât numitorul: $$x\in [0,1]⟹x^{2n}\ge 0\text{ și }0\le f(x)\le 1,\text{ deci }0\le x^{2n}f(x)\le x^{2n}\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitățile, iar integrala din dreapta se calculează direct: $$0\le I_n={\int }_0^1{x}^{2n}f(x)dx\le {\int }_0^1{x}^{2n}dx=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}{|}_0^1=\frac{1}{2n+1},\text{ iar }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2n+1}=0,\text{ deci }\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0\text{(3 p)}.$$ (Este criteriul cleștelui: un șir prins între $0$ și un șir care tinde la zero tinde și el la zero. Control numeric: $I_1\approx 0,02060$, $I_5\approx 0,00780$, $I_{20}\approx 0,00234$ — chiar coboară spre zero, și mai repede decât marginea $\frac{1}{2n+1}$, pentru că $f$ este mult mai mică decât $1$ pe acest interval. Unde se greșește de obicei: se calculează integrala exact, ceea ce duce la o expresie complicată; încadrarea este drumul scurt și singurul cerut de barem.)