Bac M1 2019, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, la examenul național de bacalaureat 2019, de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Ce este „modelul" și cu ce diferă de un subiect de sesiune. Modelul se publică la începutul anului școlar, cu multe luni înaintea examenului, și are un singur rol: să arate structura, nivelul și tipul de cerințe ale probei din acel an. Nu este extras dintr-un plic în ziua examenului și nu poartă număr de variantă — în locul lui, în colțul din dreapta sus scrie chiar cuvântul „Model". Baremul lui este însă la fel de oficial ca al oricărei sesiuni și se citește la fel: pe pași, cu punctaje fixe. Pentru un elev, modelul este prima probă a anului: se dă în octombrie–noiembrie, ca să vadă din timp ce i se cere.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Divizibilitate în mulțimea numerelor întregi: condiția ca o fracție cu numărător fix să fie număr natural — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea: folosirea faptului că fiecare rădăcină verifică ecuația, ca scurtătură la relațiile lui Viète — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și logaritmi: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe o mulțime de logaritmi — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mediatoarea unui segment, ca dreaptă prin mijloc, perpendiculară pe segment — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor într-un triunghi oarecare — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice, determinanți și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, condiția de soluție unică și rezolvarea unui sistem compatibil nedeterminat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea legii la formă factorizată, ecuația $x\ast x\ast x=x$ și inexistența unui simetric natural, demonstrată prin paritate — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangente și numărul de soluții: derivarea unei diferențe dintre $x$ și un logaritm, condiția de paralelism a tangentei cu o dreaptă dată și discuția ecuației $f(x)+n=0$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită, aria și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, aria dintre grafic și axa $Ox$ cu funcție care schimbă semnul, integrarea prin părți și criteriul cleștelui — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2019. Modelul este, prin construcție, o probă completă: acoperă toată programa de examen, inclusiv aplicațiile integralei, pe care subiectele anului 2020 aveau să le piardă din cauza pandemiei. Este și o probă cu trei momente de dificultate reală, toate la subpunctele c): sistemul compatibil nedeterminat de la itemul $7$, unde soluțiile se scriu cu parametru și abia apoi se pune condiția; argumentul de paritate de la itemul $8$, care este singurul din întreaga probă unde nu se calculează nimic, ci se raționează; și discuția ecuației $f(x)+n=0$ de la itemul $9$, unde trebuie separate două intervale și arătat pe fiecare câte soluții există. La itemul $10$, subpunctul b) cere aria unei suprafețe delimitate de o funcție care schimbă semnul în zero, deci integrala se sparge în două — capcana obișnuită a ariei.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toate capitolele acestei probe se află în programa actuală, iar modelul este, dintre probele acestui an, cea mai apropiată de structura pe care o dau sesiunile de azi. Nu apar nici polinoame, nici inele sau corpuri, deci proba se poate folosi ca simulare completă, fără nicio rezervă.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2-\frac{2}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise — modelul o spune chiar în titlul fiecărui subiect. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; sistemul nedeterminat „rezolvat" cu o singură soluție particulară; simetricul unui element căutat fără a fi găsit întâi elementul neutru; aria scrisă ca o singură integrală, deși funcția schimbă semnul pe interval; limita $\lim (n+2)I_n$ afirmată fără integrarea prin părți care o produce.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Divizibilitate: $\frac{k}{d}\in \mathbb{N}$ cere ca $d$ să fie divizor al lui $k$ și ca raportul să fie nenegativ — deci divizorii negativi se resping. Ecuația de gradul al doilea: fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_i^2=m{x}_i+1$; adesea această înlocuire este mai scurtă decât relațiile lui Viète. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu condiția $v(x)\ge 0$ și verificarea soluțiilor. Logaritmi: ${\log }_{2}n\in \mathbb{N}\iff n$ este putere a lui $2$. Mediatoarea: trece prin mijlocul segmentului și are panta $-\frac{1}{m}$, unde $m$ este panta segmentului. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$; latura se pune mereu peste sinusul unghiului opus.
• Matrice și sisteme: sistemul are soluție unică $\iff \det \ne 0$; când determinantul se anulează, sistemul este incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar în al doilea caz soluțiile se scriu cu un parametru, $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ în funcție de $\alpha$.
• Legi de compoziție: forma factorizată $x\ast y=\alpha (x-c)(y-c)+c$ rezolvă tot: elementul neutru este $e=c+\frac{1}{\alpha }$, iar puterea $n$-a în raport cu legea se citește direct. Simetricul lui $x$ este $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=e$.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, deci tangenta în punctul de abscisă $a$ este paralelă cu $y=mx+n$ exact când $f^{\prime }(a)=m$; o funcție continuă și strict monotonă pe un interval ia fiecare valoare dintre limitele de la capete exact o dată.
• Integrale și arii: $\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+\mathcal{C}$ (prin părți); aria dintre grafic și axa $Ox$ pe $[a,b]$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar când funcția schimbă semnul, integrala se sparge în punctul de anulare; pentru șiruri de integrale, $(n+2){\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{-x}dx={\int }_0^1{\left(x^{n+2}\right)}^{\prime }{e}^{-x}dx$ deschide integrarea prin părți.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $M$ denumește trei obiecte diferite: mulțimea $M$ de la itemul $1$, punctul $M(0,2)$ de la itemul $5$ și familia de matrice $M(m)$ de la itemul $7$.
• Litera $m$ este parametrul ecuației de gradul al doilea la itemul $2$, parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$ și, la itemul $6$, apare în scrierea $m\left(\sphericalangle A\right)$, unde nu este un număr, ci prescurtarea cuvântului „măsura". Trei roluri, dintre care unul nici măcar nu este o necunoscută.
• Litera $n$ este numărul natural care indexează logaritmul la itemul $4$, numărul natural căutat la itemul $8$, subpunctul c) — cel al cărui simetric $n^{\prime }$ se caută —, și indicele șirurilor de la itemii $9$ și $10$, subpunctele c). La itemul $5$, în plus, $n$ este termenul liber al unei drepte $y=mx+n$.
• Litera $f$ denumește două funcții diferite: $f(x)=x-\ln \left(x^2+x+1\right)$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x}{e^x}$ la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați elementele mulțimii $M=\left\{x\in \mathbb{Z}|\frac{3}{x+1}\in \mathbb{N}\right\}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-mx-1=0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că $\frac{x_1^2-1}{x_1}+\frac{x_2^2-1}{x_2}=2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2-x}-x=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\left\{{\log }_{2}n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\le 20\right\}$, acesta să fie număr natural.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,2)$ și $P(1,1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $MP$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=5\sqrt{2}$, $m\left(\sphericalangle A\right)=45^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle C\right)=30^{\circ }$. Determinați lungimea laturii $BC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$M(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& m& -1\\ m& 1& 3\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+2y+4z=5\\ -x+my-z=-2\\ mx+y+3z=4\end{array},$$ unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(0))=3$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) Pentru $m=1$, determinați soluțiile $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ale sistemului pentru care $4y_0^2={\left(x_0+z_0\right)}^2$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, $x\ast y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{9}{4}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.

c) (5 puncte) Demonstrați că nu există niciun număr natural $n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$\ast$" să fie număr natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln \left(x^2+x+1\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-1)}{x^2+x+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=-\frac{1}{7}x+2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul $n$, ecuația $f(x)+n=0$ are soluție unică.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2{e}^{x}f(x)dx=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=1$ are aria egală cu $2-\frac{2}{e}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră $I_n={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }(n+2)I_n=\frac{1}{e}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — divizibilitate în mulțimea numerelor întregi.

Ca fracția $\frac{3}{x+1}$ să fie număr natural, numitorul trebuie să fie divizor al lui $3$, iar câtul trebuie să fie nenegativ — deci numitorul trebuie să fie divizor pozitiv: $$\frac{3}{x+1}\in \mathbb{N}⟹x+1=1\text{ sau }x+1=3\text{(3 p)}.$$ Din cele două ecuații rezultă $$\text{elementele mulțimii }M\text{ sunt }0\text{ și }2\text{(2 p)}.$$ (De ce se resping divizorii negativi: pentru $x+1=-1$ fracția ar da $-3$, iar pentru $x+1=-3$ ar da $-1$ — numere întregi, dar nu naturale. Control: $\frac{3}{0+1}=3\in \mathbb{N}$ și $\frac{3}{2+1}=1\in \mathbb{N}$. Unde se greșește de obicei: se caută valorile lui $x$ care fac fracția întreagă, și atunci mulțimea ar avea patru elemente, $\{-4,-2,0,2\}$; enunțul cere însă „natural", deci semnul contează. A doua capcană: se uită că $x+1\ne 0$, adică $x\ne -1$.)

Itemul 2. (5 p) — ecuația de gradul al doilea, cu rădăcinile puse înapoi în ecuație.

Fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_i^2-m{x}_i-1=0$, adică $x_i^2-1=m{x}_i$. Aceasta este chiar forma numărătorilor din enunț: $$x_1^2-1=m{x}_1,x_2^2-1=m{x}_2,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ Înlocuind, fiecare fracție se simplifică prin rădăcina de la numitor: $$\frac{m{x}_1}{x_1}+\frac{m{x}_2}{x_2}=2,\text{ adica˘ }m+m=2,\text{ deci }\mathbf{m}=1\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea este permisă pentru că nicio rădăcină nu este nulă: produsul lor este $x_1{x}_2=-1\ne 0$. Ecuația are, de altfel, întotdeauna două rădăcini reale distincte, fiindcă $\Delta =m^2+4>0$ pentru orice $m$. Control pentru $m=1$: rădăcinile sunt $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\approx 1,618$ și $\approx -0,618$, iar suma cerută dă exact $2$. Drumul lung, prin Viète, duce la același rezultat: suma este $\left(x_1+x_2\right)-\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)=m-\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=m-\frac{m}{-1}=2m$. Unde se greșește de obicei: se desface fracția greșit, ca $x_i-1$ în loc de $x_i-\frac{1}{x_i}$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ecuația se scrie $\sqrt{2-x}=x$. Membrul stâng este nenegativ, deci orice soluție trebuie să verifice $x\ge 0$; ridicând la pătrat: $$\sqrt{2-x}=x⟹2-x=x^2⟹x^2+x-2=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =1+8=9$ și rădăcinile $-2$ și $1$; se verifică amândouă în ecuația inițială: $$x=-2,\text{ care nu convine},\text{ sau }\mathbf{x}=1,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificarea, scrisă: pentru $x=-2$, membrul stâng este $\sqrt{4}=2$, iar membrul drept $-2$ — o rădăcină pătrată nu poate fi negativă, deci valoarea se respinge; pentru $x=1$, $\sqrt{1}=1$, adevărat. Unde se greșește de obicei: se sare peste verificare și se dau ambele rădăcini. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: ea adaugă exact soluțiile care ar face membrul drept negativ.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de logaritmi.

Funcția logaritm este injectivă, deci celor $20$ de valori distincte ale lui $n$ le corespund $20$ de logaritmi distincți: $$\text{ıˆn mulțimea }A\text{ sunt }20\text{ de numere, deci sunt }20\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Un logaritm în baza $2$ este număr natural exact când argumentul este o putere naturală a lui $2$: $$\text{pentru }n\le 20,\text{ obținem }{\log }_{2}n\in \mathbb{N}⟺n\in \{1,2,4,8,16\},\text{ deci sunt }5\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul celor două numere: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial al acestui item are, prin excepție, trei rânduri, nu două: cazurile posibile, cazurile favorabile și raportul lor, punctate separat — de aceea și rezolvarea de aici are trei etape. Valorile favorabile sunt ${\log }_{2}1=0$, ${\log }_{2}2=1$, ${\log }_{2}4=2$, ${\log }_{2}8=3$, ${\log }_{2}16=4$; următoarea putere a lui $2$ este $32>20$. Unde se greșește de obicei: se uită $n=1$, pentru care ${\log }_{2}1=0$, iar zero este număr natural; sau se crede că mulțimea $A$ are mai puține elemente, din cauza logaritmilor care „arată la fel".)

Itemul 5. (5 p) — mediatoarea unui segment în reper cartezian.

Mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci panta ei se obține din panta lui $MP$ cu regula produsului egal cu $-1$: $$m_{MP}=\frac{1-2}{1-0}=-1,\text{ deci panta mediatoarei segmentului }MP\text{ este }m=1\text{(2 p)}.$$ Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, ale cărui coordonate sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$Q\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\text{ este mijlocul lui }MP,\text{ deci ecuația mediatoarei este }y-\frac{3}{2}=x-\frac{1}{2}⟺\mathbf{y}=\mathbf{x}+1\text{(3 p)}.$$ (Control: mijlocul $Q\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ verifică ecuația, pentru că $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$; iar produsul pantelor este $(-1)\cdot 1=-1$. Al doilea control, prin definiție: distanța de la un punct oarecare al dreptei, de pildă $(0,1)$, la $M(0,2)$ este $1$, iar la $P(1,1)$ este tot $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie dreapta prin mijloc cu panta lui $MP$ — aceea este chiar dreapta $MP$, nu mediatoarea.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

În triunghiul $ABC$, latura $AB$ este opusă unghiului $C$, iar latura $BC$ este opusă unghiului $A$. Teorema sinusurilor leagă fiecare latură de sinusul unghiului opus: $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}⟺\frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $10\sqrt{2}$, deci $$BC=10\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\text{(2 p)}.$$ (Valorile folosite: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Control de plauzibilitate: unghiul $A$ este mai mare decât $C$, deci latura $BC$, opusă lui $A$, trebuie să fie mai lungă decât $AB\approx 7,07$ — și chiar este, $10>7,07$. Unde se greșește de obicei: se pune latura peste sinusul unghiului alăturat, adică $\frac{AB}{\sin A}$ — în teorema sinusurilor, latura și unghiul sunt întotdeauna opuse.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $m=0$ se înlocuiește parametrul în fiecare element: $$\begin{array}{rl}& M(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& 0& -1\\ 0& 1& 3\end{array}\right)⟹\det (M(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& 0& -1\\ 0& 1& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (M(0))\\ & =0+(-4)+0-0-(-6)-(-1)\\ & =3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drum mai scurt: se dezvoltă după linia a doua, care are un zero: $\det =-(-1)\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right|+0-(-1)\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=2+1=3$. Aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se pierde unul dintre semnele minus ale elementelor negative — aici sunt trei, deci trei ocazii.)

b) (5 p) Determinantul se calculează o singură dată, cu parametrul general: $$\begin{array}{rl}& \det (M(m))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& m& -1\\ m& 1& 3\end{array}\right|=-4m^2+m+3,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.\end{array}$$ Sistemul are soluție unică exact când acest determinant este nenul; rădăcinile trinomului se află cu discriminantul $\Delta =1+48=49$: $$\begin{array}{rl}& \det (M(m))\\ & =0⟺m=-\frac{3}{4}\text{ sau }m=1,\\ & \text{ deci sistemul are soluție unica˘ pentru }\mathbf{m}\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{4},1\right\}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Desfacerea determinantului, pas cu pas: $1\cdot (3m+1)-2\cdot (-3+m)+4\cdot (-1-m^2)=3m+1+6-2m-4-4m^2=-4m^2+m+3$. Control numeric: la $m=0$ formula dă $3$ — exact valoarea de la subpunctul a); la $m=2$ dă $-11$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& 2& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ dă tot $-11$. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu valorile pentru care determinantul se anulează, deși enunțul cere exact contrariul.)

c) (5 p) Pentru $m=1$ determinantul este nul, deci sistemul nu mai are soluție unică. Adunând primele două ecuații se obține $3y+3z=3$, adică $y+z=1$; înlocuind în a treia rezultă $x=3-2z$. Notând $z=\alpha$: $$\begin{array}{rl}& \text{pentru }m\\ & =1,\\ & \text{ sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt }\left(3-2\alpha ,1-\alpha ,\alpha \right),\\ & \text{ unde }\alpha \\ & \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Condiția din enunț devine o ecuație în $\alpha$, pentru că $x_0+z_0=3-2\alpha +\alpha =3-\alpha$: $$\begin{array}{rl}& 4(1-\alpha {)}^2\\ & =(3-\alpha {)}^2⟺\alpha =-1\text{ sau }\alpha =\frac{5}{3},\\ & \text{ deci soluțiile sunt }(5,2,-1)\text{ sau }\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Rezolvarea ecuației în $\alpha$: din $4(1-\alpha {)}^2=(3-\alpha {)}^2$ se scoate radicalul, $2|1-\alpha |=|3-\alpha |$, deci $2(1-\alpha )=3-\alpha$ sau $2(1-\alpha )=-(3-\alpha )$; prima dă $\alpha =-1$, a doua $\alpha =\frac{5}{3}$. Control: pentru $\alpha =-1$, tripletul $(5,2,-1)$ verifică toate trei ecuațiile — $5+4-4=5$, $-5+2+1=-2$, $5+2-3=4$ — iar condiția $4\cdot 4=16=(5-1{)}^2$ se închide. ⚠️ În baremul oficial, la acest subpunct, parametrul este scris „$\alpha \in \mathbb{C}$"; sistemul este însă un sistem cu coeficienți reali, rezolvat în mulțimea numerelor reale, iar ambele soluții cerute sunt reale — deci parametrul corect este $\alpha \in \mathbb{R}$, așa cum l-am scris. Unde se greșește de obicei: se caută o singură soluție, deși sistemul are o infinitate, iar condiția suplimentară alege exact două dintre ele.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă, cu element neutru.

a) (5 p) Se desfac întâi toți termenii, scriind $\frac{9}{4}$ ca $\frac{3}{4}+\frac{6}{4}$ — cele două bucăți vor merge în locuri diferite: $$x\ast y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}+\frac{6}{4}\text{(2 p)}.$$ Se dă factor comun $y-\frac{3}{2}$ din primii doi termeni grupați convenabil, iar $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ rămâne liber: $$x\ast y=\frac{1}{3}x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2},\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (De ce iese: $\frac{1}{3}x\left(y-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}x$ și $-\frac{1}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}$; factorul comun al celor două este $y-\frac{3}{2}$, iar ce rămâne, $\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}$, este chiar $\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)$. Control numeric: la $x=0$ și $y=0$, forma din enunț dă $\frac{9}{4}$, iar forma factorizată $\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{4}+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$. Unde se greșește de obicei: se desface forma factorizată și se verifică „la întâmplare", fără să se ajungă la egalitatea de coeficienți.)

b) (5 p) Cu forma factorizată, notând $t=x-\frac{3}{2}$, legea devine „înmulțire cu factorul $\frac{1}{3}$", deci compunerile succesive se calculează imediat: $$x\ast x=\frac{1}{3}{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{2},x\ast x\ast x=\frac{1}{9}{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^3+\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Ecuația din enunț devine $\frac{1}{9}{t}^3=t$, adică $t\left(t^2-9\right)=0$: $$\frac{1}{9}{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^3+\frac{3}{2}=x⟺\mathbf{x}=-\frac{3}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{3}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{9}{2}\text{(3 p)}.$$ (De ce legea se poartă așa: dacă notăm $u=x-\frac{3}{2}$ și $v=y-\frac{3}{2}$, atunci $x\ast y-\frac{3}{2}=\frac{uv}{3}$ — legea este, până la o translație, înmulțirea împărțită la trei. De aceea $x\ast x\ast x-\frac{3}{2}=\frac{t^3}{9}$. Ecuația $t^3=9t$ are rădăcinile $0$, $3$ și $-3$, deci $x=\frac{3}{2}$, $x=\frac{9}{2}$ și $x=-\frac{3}{2}$. Control: pentru $x=\frac{9}{2}$ avem $t=3$, deci $x\ast x=\frac{1}{3}\cdot 9+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$, iar apoi $\frac{9}{2}\ast \frac{9}{2}=\frac{9}{2}$ — chiar ecuația cerută. Unde se greșește de obicei: se simplifică ecuația prin $t$ și se pierde soluția $x=\frac{3}{2}$.)

c) (5 p) Întâi se găsește elementul neutru, pe care enunțul îl garantează, dar nu îl dă. Cu forma factorizată, $x\ast e=x$ înseamnă $\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(e-\frac{3}{2}\right)=x-\frac{3}{2}$ pentru orice $x$, deci $e-\frac{3}{2}=3$: $$x\ast \frac{9}{2}=\frac{9}{2}\ast x=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)},$$ deci $e=\frac{9}{2}$ este elementul neutru al legii „$\ast$". Simetricul $n^{\prime }$ al lui $n$ se definește prin $n\ast n^{\prime }=e$; scriind condiția și înmulțind cu $4$ pentru a scăpa de numitori, se obține o egalitate între un număr par și unul impar: $$n\ast n^{\prime }=n^{\prime }\ast n=\frac{9}{2}⟺4n{n}^{\prime }-6n-6n^{\prime }=27,\text{ unde }{n}^{\prime }\text{ este simetricul lui }n$$ și, cum pentru $n,n^{\prime }\in \mathbb{N}$ numărul $4n{n}^{\prime }-6n-6n^{\prime }$ este par, obținem că nu există niciun număr natural $n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$\ast$" să fie număr natural (3 p).

(Lanțul de calcul: $\frac{1}{3}\left(n-\frac{3}{2}\right)\left(n^{\prime }-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ dă $\left(n-\frac{3}{2}\right)\left(n^{\prime }-\frac{3}{2}\right)=9$; înmulțind cu $4$, $(2n-3)(2n^{\prime }-3)=36$, adică $4n{n}^{\prime }-6n-6n^{\prime }+9=36$. Fiecare dintre cei trei termeni din stânga este par — $4n{n}^{\prime }$, $6n$ și $6n^{\prime }$ au toți factor par —, deci suma lor este pară, în timp ce $27$ este impar: egalitatea este imposibilă. Control: simetricul lui $n=2$ ar fi soluția lui $\left(2-\frac{3}{2}\right)\left(n^{\prime }-\frac{3}{2}\right)=9$, adică $n^{\prime }=\frac{39}{2}$ — real, dar nu natural. Unde se greșește de obicei: se caută simetricul fără a fi găsit întâi elementul neutru; sau se conchide „nu există simetric", deși simetricul există ca număr real pentru orice $n\ne \frac{3}{2}$ — doar că nu este natural.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangente paralele cu o dreaptă dată și numărul de soluții.

a) (5 p) Al doilea termen este un logaritm compus, deci se derivează cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=x^2+x+1$ și $u^{\prime }(x)=2x+1$: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{2x+1}{x^2+x+1}\text{(3 p)}.$$ Se aduce la același numitor și se reduc termenii: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+x+1-2x-1}{x^2+x+1}=\frac{x^2-x}{x^2+x+1}=\frac{x(x-1)}{x^2+x+1},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Numitorul nu se anulează niciodată: $x^2+x+1$ are discriminantul $1-4=-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$ — de aceea funcția este definită și derivabilă peste tot. Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 1}{7}\approx 0,2857$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,2857$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln u$ ca $\frac{1}{u}$, adică se uită factorul $u^{\prime }$.)

b) (5 p) Două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, iar panta tangentei într-un punct este derivata acolo. Notând cu $a$ abscisa punctului de tangență: $$\text{tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul }(a,f(a))\text{ este paralela˘ cu dreapta de ecuație }y=-\frac{1}{7}x+2⟺f^{\prime }(a)=-\frac{1}{7}\text{(2 p)}.$$ Ecuația se aduce la formă polinomială înmulțind încrucișat; numitorul fiind strict pozitiv, nu se pierde nimic: $$\frac{a(a-1)}{a^2+a+1}=-\frac{1}{7}⟺8a^2-6a+1=0⟺\mathbf{a}=\frac{1}{4}\text{ sau }\mathbf{a}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ (Desfacerea: $7a(a-1)=-\left(a^2+a+1\right)$, adică $7a^2-7a+a^2+a+1=0$, deci $8a^2-6a+1=0$, cu $\Delta =36-32=4$ și rădăcinile $\frac{6\pm 2}{16}$. Control: $f^{\prime }\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}{\frac{21}{16}}=-\frac{3}{21}=-\frac{1}{7}$ și $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{4}}=-\frac{1}{7}$ — amândouă se închid. Unde se greșește de obicei: se cere perpendicularitate în loc de paralelism, adică $f^{\prime }(a)=7$; sau se scriu ecuațiile tangentelor, deși enunțul cere doar abscisele.)

c) (5 p) Se pornește de la datele care încadrează funcția. Din subpunctul a), $f^{\prime }$ are semnul lui $x(x-1)$: $$f\text{ este continua˘ pe }\mathbb{R},\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,f(0)=0,f(1)=1-\ln 3\in (-1,0)\text{(3 p)}.$$ Pe semidreapta pozitivă funcția coboară până în $x=1$ și apoi urcă, deci valoarea ei minimă acolo este $f(1)=1-\ln 3$, care este mai mare decât $-1$; cum $-n\le -1$ pentru orice $n$ natural nenul, ecuația nu poate fi verificată: $$f\text{ este strict descresca˘toare pe }(0,1)\text{ și }f\text{ este strict cresca˘toare pe }(1,+\infty ),\text{ deci, pentru fiecare }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },$$ ecuația $f(x)+n=0$ nu are nicio soluție în $[0,+\infty )$ (1 p).

Pe semidreapta negativă funcția este strict crescătoare, continuă, cu limita $-\infty$ la stânga și valoarea $0$ în capătul din dreapta, deci ia fiecare valoare strict negativă exact o dată: $$f\text{ este strict cresca˘toare pe }(-\infty ,0)⟹\text{ pentru fiecare }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ ecuația }f(x)+n=0\text{ are soluție unica˘ ıˆn }(-\infty ,0),$$ deci pentru fiecare $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ecuația $f(x)+n=0$ are soluție unică (1 p).

(Baremul oficial al acestui subpunct are, prin excepție, trei rânduri — datele de încadrare, apoi fiecare dintre cele două semidrepte —, de aceea și rezolvarea de aici are trei etape. Numeric: $f(1)=1-\ln 3\approx -0,0986$, deci minimul de pe $[0,+\infty )$ este cu mult deasupra lui $-1$; iar soluția pentru $n=1$ este chiar $x=-1$ (fiindcă $(-1{)}^2+(-1)+1=1$, deci $f(-1)=-1-\ln 1=-1$), pentru $n=2$ este $x\approx -1,472$ — mereu una singură, mereu negativă. Unde se greșește de obicei: se spune „funcția este continuă și ia toate valorile, deci ecuația are soluție", fără să se arate unicitatea — care vine din monotonia strictă, și numai pe intervalul unde există soluții.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, arie și un șir de integrale.

a) (5 p) Înmulțirea cu $e^x$ șterge complet numitorul funcției: $${\int }_0^2{e}^{x}f(x)dx={\int }_0^2{e}^x\cdot \frac{x}{e^x}dx={\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^2{e}^{x}f(x)dx=2-0=2\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $e^x\ne 0$ pentru orice $x$ real. Control numeric: integrala lui $x$ pe $[0,2]$ este aria triunghiului cu catetele $2$ și $2$, adică $2$. Unde se greșește de obicei: se integrează prin părți, ceea ce merge, dar consumă jumătate din timpul alocat subpunctului — simplificarea prealabilă este toată ideea.)

b) (5 p) Funcția $f(x)=x{e}^{-x}$ are semnul lui $x$: este negativă pe $[-1,0]$ și pozitivă pe $[0,1]$. Aria se scrie cu modul, iar modulul obligă la spargerea integralei în punctul de anulare. Cu primitiva $\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}$: $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^1|f(x)|dx={\int }_{-1}^0\left(-x{e}^{-x}\right)dx+{\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=(x+1)e^{-x}{|}_{-1}^0-(x+1)e^{-x}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: prima bucată dă $1-0=1$, a doua $-\left(\frac{2}{e}-1\right)$, deci $$\mathcal{S}=1-\frac{2}{e}+1=2-\frac{2}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Primitiva se obține prin părți: $\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$; verificarea se face derivând înapoi, ${\left[-(x+1)e^{-x}\right]}^{\prime }=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x{e}^{-x}$. Control numeric: $2-\frac{2}{e}\approx 1,2642$, iar aria calculată numeric dă $1,264241$. Unde se greșește de obicei: se scrie aria ca ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$, fără modul — ar ieși $1-\left(1-\frac{2}{e}\right)$… adică o valoare mai mică, pentru că bucata negativă s-ar scădea în loc să se adune. Aria nu se scrie niciodată fără discuția semnului.)

c) (5 p) Se aduce factorul $n+2$ înăuntru, recunoscând o derivată: $(n+2)x^{n+1}={\left(x^{n+2}\right)}^{\prime }$. Apoi se integrează prin părți: $$(n+2)I_n=(n+2){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx=(n+2){\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{-x}dx={\int }_0^1{\left(x^{n+2}\right)}^{\prime }{e}^{-x}dx=\frac{1}{e}+{\int }_0^1{x}^{n+2}{e}^{-x}dx\text{(2 p)}.$$ A doua integrală se încadrează, folosind că exponențiala este cuprinsă între $\frac{1}{e}$ și $1$ pe intervalul $[0,1]$: $$0\le x\le 1⟹\frac{1}{e}\le e^{-x}\le 1⟹\frac{1}{e}\cdot x^{n+2}\le x^{n+2}{e}^{-x}\le x^{n+2}⟹\frac{1}{e}{\int }_0^1{x}^{n+2}dx\le {\int }_0^1{x}^{n+2}{e}^{-x}dx\le {\int }_0^1{x}^{n+2}dx\text{(1 p)}.$$ Majorantul se calculează și tinde la zero, deci și integrala dintre paranteze: $$\text{cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n+2}dx=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+3}=0,\text{ obținem }\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n+2}{e}^{-x}dx=0⟹\underset{n\to +\infty }{\lim }(n+2)I_n=\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Baremul oficial al acestui subpunct are, prin excepție, trei rânduri, de aceea și rezolvarea are trei etape. Integrarea prin părți, scrisă întreg: ${\int }_0^1{\left(x^{n+2}\right)}^{\prime }{e}^{-x}dx=x^{n+2}{e}^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^1{x}^{n+2}{e}^{-x}dx=\frac{1}{e}+{\int }_0^1{x}^{n+2}{e}^{-x}dx$ — semnul plus vine din faptul că derivata lui $e^{-x}$ este $-e^{-x}$. Control numeric: $(n+2)I_n$ dă $0,4818$ la $n=1$, $0,3983$ la $n=10$, $0,3715$ la $n=100$, iar $\frac{1}{e}\approx 0,3679$ — șirul coboară spre limită. Unde se greșește de obicei: se scoate limita sub integrală fără justificare, sau se uită factorul $n+2$ după integrarea prin părți.)