Bac M1 2019, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2019, proba E. c), Matematică M_mate-info, pentru clasa a XII-a. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Ce este „simularea națională" și cu ce diferă de un subiect de sesiune. Simularea se dă în martie, în școli, la aceeași oră în toată țara, cu subiect unic trimis de minister. Nu are număr de variantă — în colțul din dreapta sus scrie chiar cuvântul „Simulare" — și nu intră în media de bacalaureat. Baremul ei este însă la fel de oficial ca al oricărei sesiuni, iar dificultatea este calibrată pe examenul din iunie. Pentru un elev de clasa a XII-a, simularea din martie este repetiția generală: se dă la trei luni de examen, când mai există timp de recuperat.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de simulare din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea în formă algebrică și modulul $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: semnul constant al unui trinom, adică discriminantul negativ sau nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu schimbarea bazei: ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu cel mult două elemente, $C_n^0+C_n^1+C_n^2$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula mijlocului scrisă vectorial, într-un triunghi cu două mijlocuri suprapuse — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ și alegerea soluției dintr-un interval dat — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant cu parametru, criteriul minorului caracteristic pentru un sistem incompatibil și condiția ca soluția unică să fie formată din numere întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: aducerea unei legi la formă factorizată, ecuații în numere naturale și un argument de paritate pe iterarea legii — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă oblică și imaginea funcției: derivarea unui radical, procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $-\infty$ și imaginea unei funcții strict monotone și continue — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, integrarea prin părți cu o primitivă aleasă inteligent și o limită de tipul $\frac{0}{0}$ rezolvată cu regula lui l'Hospital — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2019. Este o probă cu puține calcule lungi și multe capcane de redactare. Subiectul I nu are nicio cerință de rutină: la itemul $3$ soluția este $\frac{1}{\sqrt{2}}$, adică exact valoarea pe care o pierde cine trece prea repede de la ${\log }_{2}x=-\frac{1}{2}$ la $x$; la itemul $5$ se cere o egalitate vectorială, nu numerică; la itemul $6$ intervalul dat elimină una dintre rădăcinile ecuației în $\cos x$. Subiectul al II-lea este cel mai greu din probă: problema $1$ cere criteriul minorului caracteristic — singura metodă din programă prin care se demonstrează că un sistem este incompatibil — iar problema $2$ se încheie cu un argument de paritate pe $2^n-1$, adică o demonstrație fără niciun calcul de rutină. Subiectul al III-lea aduce la problema $1$ un lanț complet derivată → asimptotă → imaginea funcției, cu capcana $\sqrt{x^2}=|x|$ la $-\infty$, iar la problema $2$ trei integrale în care toată dificultatea stă în prelucrarea integrandului înainte de a integra.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\frac{2\pi }{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără cuvântul „convin"; incompatibilitatea unui sistem afirmată fără minorul caracteristic; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; imaginea funcției scrisă fără monotonie și continuitate; concluzia „nu este natural" fără argumentul de paritate.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; modulul lui $z=a+bi$ este $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Semnul trinomului: $a{x}^2+bx+c\ge 0$ pentru orice $x$ real exact când $a>0$ și $\Delta \le 0$. Logaritmi: ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ (schimbarea bazei), iar condiția de existență este $x>0$, $x\ne 1$. Combinatorică: numărul submulțimilor cu cel mult două elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^0+C_n^1+C_n^2=1+n+\frac{n(n-1)}{2}$. Vectori: dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, atunci $\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MN}$ pentru orice punct $N$. Trigonometrie: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (regula lui Cramer). Când determinantul este nul, se caută un minor principal nenul de ordin maxim; sistemul este incompatibil dacă există un minor caracteristic nenul, adică un minor obținut bordând minorul principal cu o linie rămasă și cu coloana termenilor liberi.
• Legi de compoziție: aducerea la forma factorizată $x\circ y={\phi }^{-1}(\phi (x)\phi (y))$ transformă ecuațiile în ecuații obișnuite; aici $x^2{y}^2+x^2+y^2=(x^2+1)(y^2+1)-1$.
• Derivate și asimptote: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $-\infty$: $m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. ⚠️ La $-\infty$, $\sqrt{x^2+\dots }=-x\sqrt{1+\dots }$, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ când $x<0$. Imaginea unei funcții continue și strict monotone pe un interval: intervalul deschis dintre limitele de la capete.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$ — primitiva lui $u^{\prime }$ se poate alege cu o constantă convenabilă, aici $\frac{x^2-1}{2}$ în loc de $\frac{x^2}{2}$; regula lui l'Hospital pentru cazul $\frac{0}{0}$, cu ${\left({\int }_0^{t}f\right)}^{\prime }=f(t)$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ înseamnă în această probă legea de compoziție de la itemul $8$, nu compunerea funcțiilor. Așa a fost tipărit subiectul oficial și așa l-am transcris. În această probă nu apare nicio compunere de funcții, deci nu există ambiguitate în rezolvare; la clasă însă, când o lege oarecare se notează cu $\ast$, semnul $\circ$ rămâne pentru compunere.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x+1$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x\ln (x+1)$ de la itemul $10$ — plus, la itemul $2$, funcția subînțeleasă în spatele trinomului. Fiecare item se citește separat; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametru al matricei și al sistemului la itemul $7$, dar necunoscută naturală la itemul $8$, subpunctul b). Sunt două probleme diferite, iar litera se reia de la zero la fiecare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați modulul numărului complex $z=(2-i)(3+2i)-4(1+i)$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $x^2-(2m+1)x+m(m-1)\ge 0$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2{\log }_{2}x-{\log }_{x}2=1$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$, știind că mulțimea $A$ are exact $16$ submulțimi cu cel mult două elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $M$ mijlocul laturii $BC$ și punctul $N$ mijlocul segmentului $AM$. Demonstrați că $2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\vec{0}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, știind că $1+3\cos x=\cos 2x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 2& a& 4\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y+az=2\\ 2x+ay+4z=3\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(a))=a(3-a)$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\sqrt{x^2{y}^2+x^2+y^2}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $a$ și $b$, știind că $a\circ b=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$, numărul $\underset{1\text{ de }n\text{ ori}}{\underbrace{1\circ 1\circ \dots \circ 1}}$ nu este natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x+1-\sqrt{x^2+2x+2}}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\frac{(3x-2)f(x)}{\ln (x+1)}dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t^3}{\int }_0^{t}f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — modulul unui număr complex.

Se desfac întâi produsul și paranteza, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită și că $i^2=-1$: $$z=6-3i+4i-2i^2-4-4i=4-3i\text{(3 p)}.$$ Modulul unui număr complex scris în formă algebrică este rădăcina din suma pătratelor părții reale și părții imaginare: $$|z|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: $(2-i)(3+2i)=8+i$, iar $8+i-4-4i=4-3i$ — aceeași valoare pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se calculează modulul ca $|4|+|-3|=7$. Modulul nu este suma, ci ipotenuza: $4$, $3$, $5$ este chiar triunghiul dreptunghic cunoscut.)

Itemul 2. (5 p) — semnul constant al unui trinom.

Coeficientul lui $x^2$ este $1>0$, deci parabola are ramurile în sus; ea stă deasupra axei pentru orice $x$ exact când nu taie axa, adică atunci când discriminantul este cel mult zero. Se calculează întâi discriminantul: $$\Delta =(2m+1{)}^2-4m(m-1)=4m^2+4m+1-4m^2+4m=8m+1\text{(2 p)}.$$ Condiția $\Delta \le 0$ dă $8m+1\le 0$, adică $$m\in \left(-\infty ,-\frac{1}{8}\right]\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $m=-\frac{1}{8}$ discriminantul este zero, iar trinomul devine un pătrat perfect, ${\left(x-\frac{3}{8}\right)}^2$ — atinge axa, dar nu o traversează, deci inegalitatea nestrictă $\ge 0$ este îndeplinită; de aceea capătul intră în mulțime, cu paranteză dreaptă. Unde se greșește de obicei: se cere $\Delta <0$ și se pierde capătul, sau se uită de verificarea semnului coeficientului dominant.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență sunt $x>0$ și $x\ne 1$, pentru că $x$ este și bază de logaritm. Cu formula de schimbare a bazei, ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$, ecuația devine o ecuație de gradul al doilea în necunoscuta ${\log }_{2}x$: $$2{\log }_{2}x-\frac{1}{{\log }_{2}x}=1⟹(2{\log }_{2}x+1)({\log }_{2}x-1)=0\text{(3 p)}.$$ De aici ${\log }_{2}x=-\frac{1}{2}$ sau ${\log }_{2}x=1$, adică $$x=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{sau}x=2,\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-1+2=1$. Verificare pentru $x=2$: $2\cdot 1-1=1$. Amândouă sunt pozitive și diferite de $1$, deci convin. Unde se greșește de obicei: se citește ${\log }_{2}x=-\frac{1}{2}$ și se scrie $x=-\frac{1}{2}$ sau $x=\frac{1}{2}$. Corect este $x=2^{-1/2}$, adică $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — un logaritm este exponent, nu rezultat.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Submulțimile cu cel mult două elemente sunt cele cu zero, cu unu și cu două elemente, deci numărul lor este $$C_n^0+C_n^1+C_n^2,\text{ unde }n\text{ este numa˘rul de elemente ale mulțimii }A\text{(3 p)}.$$ Scriind combinările și punând condiția din enunț: $$1+n+\frac{n(n-1)}{2}=16⟺n^2+n-30=0,$$ de unde, cum $n$ este număr natural, obținem $\mathbf{n}=5$ (2 p).

(Control: o mulțime cu $5$ elemente are $1$ submulțime vidă, $5$ submulțimi cu un element și $C_5^2=10$ submulțimi cu două elemente, în total $1+5+10=16$ — exact cât cere enunțul. Unde se greșește de obicei: se numără doar submulțimile cu exact două elemente, adică se rezolvă $C_n^2=16$, care nici nu are soluție naturală.)

Itemul 5. (5 p) — vectori și regula mijlocului.

Cum $M$ este mijlocul laturii $BC$, pentru orice punct $N$ din plan suma vectorilor duși din $B$ și din $C$ către $N$ trece prin mijloc: $$M\text{mijlocul lui}BC⟹\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MN}\text{(2 p)}.$$ Cum $N$ este mijlocul segmentului $AM$, avem $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NA}$, deci $$2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{NA}=\vec{0}\text{(3 p)}.$$ (De ce $\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MN}$: se scrie $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}$ și $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MN}$; cum $M$ este mijloc, $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$. Unde se greșește de obicei: se lucrează cu lungimi în loc de vectori. Egalitatea cerută este vectorială — cu lungimi ea nici nu ar avea sens, fiindcă suma unor numere pozitive nu poate fi zero. Control pe coordonate: pentru $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,6)$ ies $M(2,3)$ și $N(1;1,5)$, iar suma celor trei vectori este chiar vectorul nul.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică pe un interval dat.

Cu formula unghiului dublu $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, ecuația se transformă într-o ecuație de gradul al doilea în $\cos x$: $$1+3\cos x=2{\cos }^{2}x-1⟺2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0⟺(\cos x-2)(2\cos x+1)=0\text{(3 p)}.$$ Prima paranteză ar da $\cos x=2$, imposibil, pentru că un cosinus este între $-1$ și $1$. Rămâne $\cos x=-\frac{1}{2}$ și, cum $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, obținem $$x=\frac{2\pi }{3}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, iar $1+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ — cele două membre coincid. Unde se greșește de obicei: se dă și soluția $x=\frac{4\pi }{3}$, care are într-adevăr cosinusul $-\frac{1}{2}$, dar nu se află în intervalul cerut; sau se uită să se respingă $\cos x=2$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Determinantul de ordinul al treilea se calculează cu regula lui Sarrus: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 2& a& 4\end{array}\right|=8+a+2a-4-a^2-4\text{(3 p)}.$$ Grupând termenii și dând factor comun: $$\det (A(a))=-a^2+3a=\mathbf{a}(3-\mathbf{a}),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ (Control numeric pe două valori: pentru $a=1$ formula dă $1\cdot 2=2$, iar determinantul calculat direct este $8+1+2-4-1-4=2$; pentru $a=3$ formula dă $0$, iar în matrice liniile devin într-adevăr dependente. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se uită un termen din a doua grupă de trei produse, mai ales cel cu $a^2$.)

b) (5 p) Pentru $a=0$ determinantul este $\det (A(0))=0\cdot 3=0$, deci sistemul nu are soluție unică și se trece la metoda minorilor. Un minor principal, adică un minor nenul de ordin maxim, este cel din colțul din stânga sus: $$\det (A(0))=0\text{și un minor principal este}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0\text{(2 p)}.$$ Minorul caracteristic se obține bordând minorul principal cu linia rămasă (a treia) și cu coloana termenilor liberi: $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 0& 3\end{array}\right|=3\ne 0,\text{ deci sistemul de ecuații este incompatibil}\text{(3 p)}.$$ (Teorema lui Rouché, în forma din manual: un sistem este compatibil exact când toți minorii caracteristici sunt nuli. Aici există unul nenul, deci sistemul nu are nicio soluție. Control direct: cu $a=0$, prima ecuație scăzută din a doua dă $y-z=1$, iar prima înmulțită cu $2$ și scăzută din a treia dă $-2y+2z=1$, adică $y-z=-\frac{1}{2}$ — două valori diferite pentru aceeași expresie. Unde se greșește de obicei: se spune „determinantul e zero, deci sistemul e incompatibil". Determinantul nul înseamnă doar că soluția nu e unică; sistemul poate fi la fel de bine nedeterminat.)

c) (5 p) Soluția este unică exact când determinantul este nenul, adică $a(3-a)\ne 0$. Rezolvând sistemul cu regula lui Cramer sau prin reduceri: $$\text{Sistemul are soluție unica˘}(x_0,y_0,z_0)⟹a\in \mathbb{Z}\setminus \{0,3\},\text{ iar soluția este }\left(1-\frac{2}{a},\frac{1}{a},\frac{1}{a}\right)\text{(3 p)}.$$ Cele trei componente sunt numere întregi exact când $\frac{1}{a}$ este număr întreg; cum și $a$ este număr întreg, singurele valori posibile sunt $$\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=1,\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$ (Control prin înlocuire, pentru $a=1$: soluția este $(-1,1,1)$, iar ecuațiile devin $-1+1+1=1$, $-1+2+1=2$ și $-2+1+4=3$ — toate trei verificate. Pentru $a=-1$ soluția este $(3,-1,-1)$ și se verifică la fel. Unde se greșește de obicei: se uită de excluderea valorilor $0$ și $3$, care anulează determinantul; sau se caută $a$ întreg fără să se ceară și componentele întregi. Observă că $y_0=z_0$ oricare ar fi $a$ — un control gratuit al calculului.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se pleacă de la definiție și se adaugă și se scade $1$ sub radical, ca să apară un produs: $$x\circ y=\sqrt{x^2{y}^2+x^2+y^2}=\sqrt{x^2{y}^2+x^2+y^2+1-1}\text{(2 p)}.$$ Grupând primii patru termeni doi câte doi și dând factor comun $y^2+1$: $$x\circ y=\sqrt{x^2(y^2+1)+(y^2+1)-1}=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1},\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=2$ și $y=3$, definiția dă $\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7$, iar forma factorizată dă $\sqrt{5\cdot 10-1}=\sqrt{49}=7$. Unde se greșește de obicei: se scoate radicalul peste fiecare factor, adică se scrie $\sqrt{x^2+1}\cdot \sqrt{y^2+1}-1$. Scăderea lui $1$ este sub radical, nu în afara lui — trucul „adun și scad $1$" funcționează tocmai pentru că restul se factorizează.)

b) (5 p) Cu forma de la subpunctul a), ecuația devine algebrică. Ridicând la pătrat (ambii membri sunt nenegativi): $$\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)-1}=1⟺(a^2+1)(b^2+1)=2\text{(2 p)}.$$ Cei doi factori sunt numere naturale mai mari sau egale cu $1$, iar produsul lor este $2$; deci unul este $1$ și celălalt $2$. Cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem $$\mathbf{a}=1,\mathbf{b}=0\text{sau}\mathbf{a}=0,\mathbf{b}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $1\circ 0=\sqrt{0+1+0}=1$ și $0\circ 1=\sqrt{0+0+1}=1$. Unde se greșește de obicei: se uită că enunțul cere perechi și se dă un singur răspuns; sau se caută soluții reale, unde ecuația are o infinitate. Condiția „numere naturale" este cea care închide problema.)

c) (5 p) Se calculează întâi valoarea iterată. Din forma factorizată, $\sqrt{2^k-1}\circ 1=\sqrt{2^k\cdot 2-1}=\sqrt{2^{k+1}-1}$, deci prin inducție $$\underset{1\text{ de }n\text{ ori}}{\underbrace{1\circ 1\circ \dots \circ 1}}=\sqrt{2^n-1},\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(2 p)}.$$ Rămâne de arătat că $\sqrt{2^n-1}$ nu este număr natural. Presupunem contrariul: dacă $\sqrt{2^n-1}\in \mathbb{N}$, există $k\in \mathbb{N}$ astfel încât $2^n-1=k^2$; cum $2^n-1$ este impar, rezultă $k$ impar, deci există $m\in \mathbb{N}$ astfel încât $2^n-1=(2m+1{)}^2$, de unde obținem $2^{n-1}=2m^2+2m+1$, ceea ce este imposibil, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$ (3 p).

(Argumentul de paritate, pe scurt: membrul stâng $2^{n-1}$ este par pentru $n\ge 2$, iar membrul drept $2m^2+2m+1=2m(m+1)+1$ este impar oricare ar fi $m$. Un număr nu poate fi și par, și impar — contradicția închide demonstrația. Control numeric: $2^2-1=3$, $2^3-1=7$, $2^4-1=15$, $2^5-1=31$ — niciunul nu este pătrat perfect, cum era de așteptat. Unde se greșește de obicei: se calculează valoarea, se observă că „nu pare natural" și se oprește acolo. Enunțul cere o demonstrație pentru orice $n$, iar aceasta se face prin reducere la absurd, cu paritatea.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și imaginea funcției.

a) (5 p) Radicalul se derivează cu formula $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, unde $u(x)=x^2+2x+2$ are derivata $u^{\prime }(x)=2x+2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}-1\text{(3 p)}.$$ Simplificând cu $2$ și aducând la același numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1=\frac{x+1-\sqrt{x^2+2x+2}}{\sqrt{x^2+2x+2}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$ pentru că $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1\ge 1>0$ — radicalul nu se anulează niciodată, deci nici numitorul derivatei. Control numeric: în $x=0$ formula dă $\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\approx -0,2929$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot $-0,2929$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata funcției dinăuntru, adică se scrie $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ în loc de $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; a doua capcană este semnul termenului $-x$, care aduce $-1$, nu $+1$.)

b) (5 p) Se caută întâi panta. ⚠️ La $-\infty$ se scoate $x$ de sub radical cu modul: $\sqrt{x^2+2x+2}=|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}$, pentru că $x<0$. Deci $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(-\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1+\frac{1}{x}\right)}{x}=-1-1+0=-2\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber; se amplifică cu conjugata, ca să dispară nedeterminarea $\infty -\infty$: $$n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+2x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x+2}+x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}-x-1}=0,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=-2x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De unde vine fracția: $(\sqrt{u}+x+1)(\sqrt{u}-x-1)=u-(x+1{)}^2=x^2+2x+2-x^2-2x-1=1$, deci prima paranteză este egală cu $\frac{1}{\sqrt{u}-x-1}$; la $-\infty$ numitorul tinde la $+\infty$, deci fracția tinde la zero. Control numeric: $f(-10^6)+2\cdot (-10^6)\approx 5\cdot 10^{-7}$, adică practic zero. Unde se greșește de obicei: se scoate $x$ de sub radical fără modul și iese panta $0$ în loc de $-2$; sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $-\infty$ — ordinea și capătul sunt punctate separat.)

c) (5 p) Monotonia. Pentru orice număr real $x$ avem $\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}>\sqrt{(x+1{)}^2}=|x+1|\ge x+1$, deci numărătorul derivatei este strict negativ: $$\sqrt{x^2+2x+2}>x+1⟹f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci funcția }f\text{este strict descresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Imaginea. Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind compunere și sumă de funcții elementare, iar limitele la capete sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2,\text{ deci }\mathrm{Im}f=(2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (De ce limita la $+\infty$ este $2$: $\sqrt{x^2+2x+2}-x=\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}\to 1$, iar la aceasta se adaugă $+1$ din formula funcției. O funcție continuă și strict descrescătoare pe un interval are drept imagine intervalul deschis dintre limitele de la capete, luate în ordine inversă — de aceea capetele sunt deschise: valorile $2$ și $+\infty$ nu se ating. Control numeric: $f(10^6)\approx 2,000001$ și $f(-10^6)\approx 2\cdot 10^6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\mathrm{Im}f=[2,+\infty )$, cu capătul închis; sau se dă imaginea fără să se demonstreze mai întâi monotonia și continuitatea — fără ele, limitele la capete nu spun nimic despre valorile luate între ele.)

Itemul 10. (15 p) — integrale cu logaritm.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificare: funcția de la numărător conține chiar logaritmul de la numitor, iar acesta este nenul pe $[1,2]$, unde $x+1\ge 2>1$. Deci $${\int }_1^2\frac{(3x-2)f(x)}{\ln (x+1)}dx={\int }_1^2(3x^2-2x)dx=(x^3-x^2){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2\frac{(3x-2)f(x)}{\ln (x+1)}dx=8-4-1+1=4\text{(2 p)}.$$ (Substituția care se face în minte: $\frac{(3x-2)\cdot x\ln (x+1)}{\ln (x+1)}=x(3x-2)=3x^2-2x$. Control numeric: integrala lui $3x^2-2x$ pe $[1,2]$ calculată cu metoda trapezelor dă $4,000$. Unde se greșește de obicei: se pornește direct la integrare prin părți, fără să se observe că logaritmul se simplifică. Prima privire aruncată unei integrale trebuie să fie asupra integrandului, nu asupra metodei.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, luând $\ln (x+1)$ ca factor care se derivează. Primitiva lui $x$ se alege cu o constantă convenabilă, $\frac{x^2-1}{2}$ în loc de $\frac{x^2}{2}$, tocmai ca să se anuleze în $x=1$ și să simplifice fracția care apare: $${\int }_0^{1}x\ln (x+1)dx={\int }_0^1{\left(\frac{x^2-1}{2}\right)}^{\prime }\ln (x+1)dx=\frac{x^2-1}{2}\ln (x+1){|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1(x-1)dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei este zero la ambele capete, iar integrala rămasă se calculează direct: $${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^1=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ (De ce se simplifică: $\frac{x^2-1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)}=\frac{x-1}{2}$ — dispare numitorul. Cu $\frac{x^2}{2}$ ar fi rămas ${\int }_0^1\frac{x^2}{2(x+1)}dx$, care cere încă o împărțire cu rest. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,250000$. Unde se greșește de obicei: se ia $\ln (x+1)$ drept factor care se integrează — o alegere corectă, dar mult mai lungă; sau se uită că primitiva se poate alege cu orice constantă, ceea ce este chiar trucul acestui subpunct.)

c) (5 p) Numărătorul și numitorul tind amândouă la zero când $t\to 0$, deci este cazul de nedeterminare $\frac{0}{0}$ și se aplică regula lui l'Hospital. Derivata integralei cu capătul variabil este chiar funcția de sub integrală, ${\left({\int }_0^{t}f(x)dx\right)}^{\prime }=f(t)$: $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t^3}{\int }_0^{t}f(x)dx=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t)}{3t^2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $f(t)=t\ln (t+1)$ și simplificând cu $t$, se ajunge la o limită fundamentală: $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t\ln (t+1)}{3t^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (t+1)}{3t}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Limita fundamentală folosită este $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$. Control numeric: pentru $t=10^{-4}$, raportul $\frac{1}{t^3}{\int }_0^{t}f$ dă $0,33332$, foarte aproape de $\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se derivează greșit numitorul, scriind $t^2$ în loc de $3t^2$; sau se aplică l'Hospital fără să se verifice întâi că este într-adevăr caz de nedeterminare. Teorema lui l'Hospital cere explicit forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$.)