Bac M1 2019, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2019 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 8, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează pentru elevii care participă, în perioada probelor, la olimpiade și competiții internaționale; subiectul are aceeași structură, aceeași durată și același barem ca al sesiunii obișnuite. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: calculul valorilor $f(a)$ și $f(a+1)$ și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: reducerea la o singură putere prin factor comun și trecerea la exponenți — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități pe o mulțime finită: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu o inegalitate de gradul al doilea pe cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică și vectori: egalitatea a doi vectori și mijlocul unui segment — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghiul dreptunghic: aria ca semiprodus al catetelor și teorema lui Pitagora — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu logaritm: determinantul unei matrice triunghiulare, o relație funcțională de tipul $A(a)\cdot A(b)=A(ab+a+b)$ și iterarea ei — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: determinarea unui parametru dintr-o rădăcină dată, descompunerea și rădăcinile complexe, relațiile lui Viète într-o expresie simetrică — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și monotonie: derivata unui produs cu exponențială, condiția $f^{\prime }(x_0)=0$ pentru tangenta paralelă cu $Ox$, discuția numărului de soluții ale ecuației $f(x)=a$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive, integrală definită și arie: monotonia unei primitive din semnul funcției, integrala de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și aria subgraficului calculată prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2019. Subiectul I este scurt și direct, dar are două locuri unde se pierd puncte tăcut: la cerința $4$, unde mulțimea numerelor naturale de o cifră are zece elemente, nu nouă, pentru că îl conține și pe $0$; și la cerința $5$, unde egalitatea $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ este o egalitate de vectori, nu de lungimi — de aici rezultă direct că $C$ este mijlocul lui $AB$. Subiectul al II-lea este construit pe o singură idee repetată: o familie de matrice care se închide la înmulțire (problema 1) și un polinom cu parametru ale cărui rădăcini se manevrează prin Viète, fără să fie calculate (problema 2, subpunctul c). Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un lanț complet derivată → puncte de extrem → numărul de soluții, adică citirea graficului din tabelul de variație, iar la problema 2 trei calcule în care totul stă în recunoașterea formei $\frac{u^{\prime }}{u}$ și în integrarea prin părți a logaritmului.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln 2$, $\frac{6}{e^5}$ și $e^3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea explicită a cazurilor posibile; egalitatea de vectori tratată ca egalitate de lungimi; relația $A(a)A(b)=A(ab+a+b)$ folosită la subpunctul c) fără să fie iterată corect; concluzia „ecuația are trei soluții" fără limitele la capete și fără monotonia pe fiecare interval; aria scrisă ca integrală fără menționarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; adunarea și înmulțirea se fac ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Funcția de gradul întâi: $f(x)=mx+n$ — valoarea în orice punct se obține prin simplă înlocuire, iar ecuațiile care rezultă sunt tot de gradul întâi. Ecuații exponențiale: $a^{x+1}=a\cdot a^x$; după scoaterea factorului comun se ajunge la $a^x=b$, adică la $x={\log }_{a}b$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de o cifră sunt $10$ la număr, de la $0$ la $9$. Vectori și mijloc: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ înseamnă că $C$ este mijlocul lui $AB$, deci $M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Triunghiul dreptunghic: $\mathcal{S}=\frac{\text{cateta}\cdot \text{cateta}}{2}$, plus teorema lui Pitagora.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; o familie $A(t)$ care verifică $A(a)A(b)=A(\phi (a,b))$ se iterează prin aplicarea repetată a relației, niciodată prin „ridicare la putere element cu element". Aici $\phi (a,b)=ab+a+b$, adică $(a+1)(b+1)-1$ — de aceea produsul a trei factori dă $(a+1{)}^3-1$.
• Polinoame: $x_0$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $f(x_0)=0$, adică $f$ este divizibil cu $X-x_0$; relațiile lui Viète pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$: $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$. Trucul care rezolvă subpunctul c): dacă $x_i$ este rădăcină, atunci $x_i^3+m{x}_i^2=m{x}_i-2$, deci puterile mari coboară.
• Derivate și integrale: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; tangenta la grafic este paralelă cu $Ox$ exact în punctele unde $f^{\prime }(x_0)=0$. O primitivă $F$ a lui $f$ este strict crescătoare pe un interval exact când $f>0$ acolo, pentru că $F^{\prime }=f$. $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$, obținută prin părți; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x-5$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+m{X}^2-mX+2$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=e^x(x^2+4x+1)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{\ln x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ are trei roluri: necunoscută la itemul $2$, parametrul familiei de matrice la itemul $7$ (unde este supusă condiției $a>0$, ca logaritmul să existe) și valoarea căutată la itemii $8$c, $9$c și $10$c. La itemul $8$, litera $m$ este parametrul polinomului.
• Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=3-i$ și $z_2=8-3i$. Arătați că $3z_1-z_2=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(a+1)=35$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\cdot 4^x-4^{x+1}+32=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $n(n+1)\ge 42$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(8,4)$, $B(0,6)$ și $C(m,5)$. Determinați numărul real $m$, știind că $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, știind că $AB=6$ și aria triunghiului $ABC$ este egală cu $24$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a+1& 0& 0\\ 0& 1& \ln (a+1)\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real, $a>0$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)A(b)=A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, $a>0$, $b>0$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>0$, știind că $A(a)A(a)A(a)=A(7)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+m{X}^2-mX+2$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $f(-2)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $m=1$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Se consideră $a=\frac{x_1^2+m{x}_1}{x_2{x}_3}+\frac{x_2^2+m{x}_2}{x_1{x}_3}+\frac{x_3^2+m{x}_3}{x_1{x}_2}$. Demonstrați că $a\in [3,+\infty )$, pentru orice număr real $m$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x^2+4x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x(x+5)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\ln x}$.

a) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)dx$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=e$ și $x=a$ are aria egală cu $2a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiesc cele două numere și se desfac parantezele, ținând minte că $i$ se adună și se scade ca o literă obișnuită: $$3z_1-z_2=3(3-i)-(8-3i)=9-3i-8+3i\text{(2 p)}.$$ Termenii $-3i$ și $+3i$ se reduc, deci $$3z_1-z_2=9-8=1\text{(3 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-3+3=0$, iar partea reală $9-8=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din fața parantezei a doua și se scrie $9-3i-8-3i$, adică $1-6i$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se scriu cele două valori prin simplă înlocuire în formula $f(x)=x-5$: $$f(a)=a-5,f(a+1)=(a+1)-5,\text{ deci }f(a)+f(a+1)=a-5+(a+1)-5\text{(2 p)}.$$ Reducând termenii asemenea, suma este $2a-9$, iar condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$2a-9=35⟹2a=44⟹\mathbf{a}=22\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $f(22)=17$ și $f(23)=18$, iar $17+18=35$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(a)+f(a)+1$ în loc de $f(a)+f(a+1)$ — argumentul se schimbă înăuntrul funcției, nu în afara ei.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterea $4^{x+1}$ se desface ca $4^{x+1}=4\cdot 4^x$, așa că toți termenii cu necunoscută au factorul comun $4^x$: $$2\cdot 4^x-4\cdot 4^x+32=0⟺4^x(2-4)+32=0⟺-2\cdot 4^x=-32⟺4^x=16\text{(3 p)}.$$ Cum $16=4^2$, iar funcția exponențială de bază $4$ este injectivă, exponenții sunt egali: $$4^x=4^2⟹\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Control: $2\cdot 4^2-4^3+32=32-64+32=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $4^{x+1}=4^x+4$, ca și cum exponentul s-ar desface în sumă — regula este $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, deci puterea se desface în produs. Soluția este unică pentru că funcția exponențială este strict crescătoare, deci injectivă.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este $\{0,1,2,\dots ,9\}$ și are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Se caută cifrele pentru care $n(n+1)\ge 42$. Produsul $n(n+1)$ crește odată cu $n$, iar $5\cdot 6=30<42$ și $6\cdot 7=42\ge 42$, deci convin numerele $6$, $7$, $8$ și $9$; sunt $4$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $9$ cazuri posibile, uitându-l pe $0$ — mulțimea numerelor naturale de o cifră îl conține și pe zero, spre deosebire de mulțimea numerelor de două cifre, care începe de la $10$. A doua capcană: se rezolvă inegalitatea $n^2+n-42\ge 0$ în numere reale, obținând $n\ge 6$ sau $n\le -7$, și se uită că $n$ trebuie să fie o cifră. Control: baremul oficial acordă aici trei bucăți de punctaj, $2+2+1$, adică punctează separat cazurile posibile, cazurile favorabile și raportul lor.)

Itemul 5. (5 p) — vectori și mijlocul unui segment.

Egalitatea $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ este o egalitate de vectori: cei doi vectori au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, iar cum au și extremitatea comună $C$, punctele $A$, $C$, $B$ sunt coliniare, cu $C$ între ele. Așadar $C$ este mijlocul segmentului $AB$ (2 p).

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor, deci $$m=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{8+0}{2}=4\text{(3 p)}.$$ (Control pe a doua coordonată, care nu era cerută, dar confirmă totul: $\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+6}{2}=5$ — exact ordonata dată a lui $C$. Unde se greșește de obicei: se citește $AC=CB$ ca egalitate de lungimi, care ar da doar „$C$ este pe mediatoarea lui $AB$", adică o infinitate de soluții; săgeata de deasupra schimbă complet problema.)

Itemul 6. (5 p) — triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept fiind în $A$, catetele sunt $AB$ și $AC$, iar ipotenuza este $BC$. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}⟹24=\frac{6\cdot AC}{2}⟹AC=8\text{(3 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=36+64=100$, de unde $$BC=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ (Recunoști triunghiul $6$–$8$–$10$, adică triunghiul $3$–$4$–$5$ mărit de două ori. Unde se greșește de obicei: se folosește formula ariei cu ipotenuza, $\frac{BC\cdot AC}{2}$ — semiprodusul se face cu catetele, adică exact cu laturile care formează unghiul drept. Control: ipotenuza trebuie să depășească ambele catete, iar $10>8>6$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu logaritm.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& \ln 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& \ln 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =2+0+0-0-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul ei este chiar produsul elementelor de pe diagonala principală: $2\cdot 1\cdot 1=2$ — același rezultat, într-o linie. De reținut pentru mai departe: $\det (A(a))=a+1$ pentru orice $a>0$, deci matricea este inversabilă pe tot domeniul parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Singurul element care cere atenție este cel din poziția $(2,3)$, unde apare o sumă de logaritmi: $$\begin{array}{rl}& A(a)A(b)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(a+1)(b+1)& 0& 0\\ 0& 1& \ln (a+1)+\ln (b+1)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(a+1)(b+1)& 0& 0\\ 0& 1& \ln ((a+1)(b+1))\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cum $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=(ab+a+b)+1$, matricea obținută este exact matricea din enunț, scrisă pentru $ab+a+b$: $$\begin{array}{rl}& A(a)A(b)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(ab+a+b)+1& 0& 0\\ 0& 1& \ln ((ab+a+b)+1)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(ab+a+b)\text{(2 p)},\end{array}$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$, $a>0$, $b>0$.

(Verificare pe poziția $(2,3)$: $0\cdot 0+1\cdot \ln (b+1)+\ln (a+1)\cdot 1=\ln (a+1)+\ln (b+1)$, iar suma a doi logaritmi de aceeași bază este logaritmul produsului — aici stă toată problema. Observație care deschide subpunctul c): parametrul nou, $ab+a+b$, se scrie $(a+1)(b+1)-1$, deci în „coordonata" $t\mapsto t+1$ legea devine simpla înmulțire. Control numeric: pentru $a=b=1$ formula prezice $A(1)A(1)=A(3)$, iar $A(3)$ are pe diagonală $4$, adică exact $2\cdot 2$.)

c) (5 p) Se aplică relația de la b) de două ori. Întâi pentru $b=a$: $$\begin{array}{rl}& A(a)A(a)\\ & =A(a^2+2a)=A((a+1{)}^2-1),\end{array}$$ apoi încă o dată, cu al treilea factor, folosind că parametrul $(a+1{)}^2-1$ este tot strict pozitiv: $$\begin{array}{rl}A(a)A(a)A(a)& =A((a+1{)}^3-1),\\ & \text{ pentru }a\text{ numa˘r real, }a\\ & >0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Egalitatea din enunț se citește pe elementul din colțul din stânga sus (sau, la fel de bine, pe cel din poziția $(2,3)$), pentru că funcțiile $t\mapsto t+1$ și $\ln$ sunt injective: $$\begin{array}{rl}& (a+1{)}^3-1\\ & =7⟺(a+1{)}^3=8\\ & ⟺a+1=2,\text{ deci }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De ce $a+1=2$ este singura posibilitate: funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă, iar $8=2^3$. Verificare: pentru $a=1$, $(1+1{)}^3-1=7$, deci $A(1)A(1)A(1)=A(7)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $A(a{)}^3$ ridicând fiecare element la puterea a treia — matricele nu se ridică la putere „element cu element"; singurul drum corect este iterarea relației de la b).)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea polinomului în $-2$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $-2$: $$f(-2)=(-2{)}^3+m(-2{)}^2-m(-2)+2=-8+4m+2m+2=6m-6\text{(3 p)},$$ pentru $m$ număr real. Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$6m-6=0⟹\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=1$, $f=X^3+X^2-X+2$ și $f(-2)=-8+4+2+2=0$. Unde se greșește de obicei: se pierde un semn la $-m(-2)=+2m$ — puterile impare ale lui $-2$ sunt negative, cele pare pozitive, iar minusul din fața lui $m$ se distribuie și el.)

b) (5 p) Pentru $m=1$ polinomul este $f=X^3+X^2-X+2$. Subpunctul a) ne-a dat deja o rădăcină, $x_1=-2$, deci $f$ se divide cu $X+2$; efectuând împărțirea (sau grupând termenii) se obține $$f=X^3+X^2-X+2=(X+2)(X^2-X+1)\text{(2 p)}.$$ Al doilea factor are discriminantul $\Delta =1-4=-3<0$, deci rădăcinile lui sunt complexe conjugate, $\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$: $${\mathbf{x}}_1=-2,{\mathbf{x}}_2=\frac{1-\mathbf{i}\sqrt{3}}{2},{\mathbf{x}}_3=\frac{1+\mathbf{i}\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $(X+2)(X^2-X+1)=X^3-X^2+X+2X^2-2X+2=X^3+X^2-X+2$. Control prin Viète: suma rădăcinilor este $-2+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=-2+1=-1$, adică $-m$ cu $m=1$; produsul este $-2\cdot \frac{1+3}{4}=-2$, adică $-2$ — exact ce cer relațiile. Unde se greșește de obicei: se scrie „ecuația $X^2-X+1=0$ nu are soluții" — nu are soluții reale, dar în mulțimea numerelor complexe are întotdeauna două.)

c) (5 p) Rădăcinile nu se calculează. Din relațiile lui Viète pentru $X^3+m{X}^2-mX+2$: $$x_1+x_2+x_3=-m,x_1{x}_2{x}_3=-2\text{(2 p)}.$$ Fiecare fracție se amplifică cu rădăcina care lipsește de la numitor, ca toate trei să aibă același numitor $x_1{x}_2{x}_3$; apoi, pentru că fiecare $x_i$ este rădăcină, avem $x_i^3+m{x}_i^2-m{x}_i+2=0$, adică $x_i^3+m{x}_i^2=m{x}_i-2$ — puterile mari coboară: $$a=\frac{x_1^3+m{x}_1^2}{x_1{x}_2{x}_3}+\frac{x_2^3+m{x}_2^2}{x_1{x}_2{x}_3}+\frac{x_3^3+m{x}_3^2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{(m{x}_1-2)+(m{x}_2-2)+(m{x}_3-2)}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{m(x_1+x_2+x_3)-6}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{-m^2-6}{-2}=\frac{m^2+6}{2}\ge 3,$$ deci $a\in [3,+\infty )$, pentru orice număr real $m$ (3 p).

(De ce $\frac{m^2+6}{2}\ge 3$: pătratul $m^2$ este nenegativ, deci $m^2+6\ge 6$; egalitatea, adică valoarea minimă $a=3$, se atinge exact pentru $m=0$. Control numeric: pentru $m=2$ rădăcinile lui $X^3+2X^2-2X+2$ sunt aproximativ $-2,92$ și $0,46\pm 0,69i$, iar expresia din enunț iese $5$, exact $\frac{4+6}{2}$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea ecuației de gradul al treilea pentru un $m$ oarecare — nu se poate; toată problema este să recunoști că expresia este simetrică în rădăcini, deci se exprimă prin coeficienți.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă paralelă cu $Ox$ și numărul soluțiilor.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se aplică formula $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu $u(x)=e^x$ și $v(x)=x^2+4x+1$: $$f^{\prime }(x)=e^x(x^2+4x+1)+e^x(2x+4)\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $e^x$ și se descompune trinomul rămas, care are rădăcinile $-5$ și $-1$: $$f^{\prime }(x)=e^x(x^2+6x+5)=e^x(x+5)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=1\cdot 5\cdot 1=5$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot $5,000$. Unde se greșește de obicei: se derivează „factor cu factor", adică $e^x(2x+4)$, uitând primul termen — la produs se derivează pe rând fiecare factor, celălalt rămânând neatins.)

b) (5 p) O tangentă este paralelă cu axa $Ox$ exact atunci când panta ei este nulă, iar panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$: $$\text{tangenta ıˆn }(x_0,f(x_0))\text{ este paralela˘ cu }Ox⟺f^{\prime }(x_0)=0\text{(2 p)}.$$ Cum $e^{x_0}>0$ pentru orice $x_0$ real, produsul se anulează doar din ceilalți doi factori: $$e^{x_0}(x_0+5)(x_0+1)=0⟺{\mathbf{x}}_0=-5\text{ sau }{\mathbf{x}}_0=-1\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se „simplifică" prin $e^{x_0}$ fără să se spună de ce se poate — motivul, care se punctează, este că exponențiala nu se anulează niciodată. A doua capcană: se caută punctele unde $f(x)=0$ în loc de $f^{\prime }(x)=0$ — tangenta orizontală este despre derivată, nu despre valoarea funcției. Cele două abscise sunt exact punctele de extrem local ale funcției.)

c) (5 p) Se citește graficul din tabelul de variație. Valorile de la capete și în cele două puncte de extrem sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,f(-5)=\frac{6}{e^5},f(-1)=-\frac{2}{e},\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Din semnul derivatei, $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-5)$, strict descrescătoare pe $(-5,-1)$ și strict crescătoare pe $(-1,+\infty )$; fiind continuă pe $\mathbb{R}$, ea ia o singură dată fiecare valoare pe fiecare dintre cele trei intervale. Ecuația $f(x)=a$ are deci exact trei soluții reale exact când dreapta orizontală $y=a$ taie toate cele trei ramuri, adică $$\mathbf{a}\in \left(0,\frac{6}{{\mathbf{e}}^5}\right)\text{(3 p)}.$$ (De ce capetele se exclud amândouă: pentru $a=\frac{6}{e^5}$ prima și a doua ramură se întâlnesc chiar în vârful $x=-5$, deci rămân doar două soluții; pentru $a=0$ prima ramură nu este atinsă niciodată — ea urcă spre $0$ fără să-l atingă — și rămân tot două soluții, anume $x=-2\pm \sqrt{3}$. Control numeric: pentru $a=0,02$ ecuația are trei soluții, pentru $a=0,041>\frac{6}{e^5}\approx 0,0404$ are una singură, iar pentru $a=-0,5$ are două. Unde se greșește de obicei: se scrie intervalul închis, sau se uită limita $0$ de la $-\infty$ și se pornește de la $-\infty$.)

Itemul 10. (15 p) — primitive, integrală definită și arie.

a) (5 p) Fie $F$ o primitivă oarecare a funcției $f$. Prin definiție, $F$ este derivabilă și $$F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{\ln x},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $(1,+\infty )$ avem $x>1$, deci $\ln x>0$, prin urmare $F^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (1,+\infty )$; o funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare pe acel interval, deci orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty )$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se caută o formulă explicită pentru $F$ — nu există una elementară, iar problema nici nu o cere. Tot ce trebuie este legătura $F^{\prime }=f$ și semnul lui $f$. Observație: „orice primitivă" nu e o formulă de politețe — două primitive diferă printr-o constantă, iar constanta nu schimbă monotonia.)

b) (5 p) Se scrie integrandul explicit și se recunoaște forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u(x)=\ln x$, pentru că $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)dx={\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}dx={\int }_e^{e^2}\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{\ln x}dx=\ln \left(\ln x\right){|}_e^{e^2}\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $[e,e^2]$ avem $\ln x\ge 1>0$, deci modulul din formula primitivei dispare. Înlocuind capetele, cu $\ln \left(e^2\right)=2$ și $\ln e=1$: $${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$, iar integrala calculată numeric pe $[e,e^2]$ dă $0,69315$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{1}{x\ln x}$ ca și cum ar fi $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}$ cu „regula produsului" — nu există așa ceva la integrare; drumul este substituția $u=\ln x$, care transformă integrala în ${\int }_1^2\frac{du}{u}$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit: $g(x)=\frac{1}{f(x)}=\ln x$. Pe intervalul $[e,a]$, cu $a>e$, avem $\ln x\ge 1>0$, deci $g$ este continuă și strict pozitivă și aria cerută este chiar integrala, fără modul. Integrala se calculează prin părți, cu $\ln x=(x{)}^{\prime }\ln x$: $$\mathcal{S}={\int }_e^{a}g(x)dx={\int }_e^a\ln xdx=x\ln x{|}_e^a-{\int }_e^{a}x\cdot \frac{1}{x}dx=(a\ln a-e)-(a-e)=a\ln a-a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație în $a$, care se simplifică prin $a$, strict pozitiv: $$a\ln a-a=2a⟺\ln a-1=2⟺\ln a=3,$$ și, cum $a>e$, obținem $\mathbf{a}={\mathbf{e}}^3$ (2 p).

(Cei doi termeni $-e$ și $+e$ se reduc — de asta rezultatul arată atât de curat; el se scrie și ca $x\ln x-x$ evaluat între $e$ și $a$, pentru că în $x=e$ expresia $x\ln x-x$ este chiar $0$. Control: $a=e^3\approx 20,09$ este într-adevăr mai mare decât $e$, iar aria iese $e^3\cdot 3-e^3=2e^3$, exact $2a$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\int \ln xdx=\frac{1}{x}$ sau $\frac{(\ln x{)}^2}{2}$ — logaritmul se integrează prin părți, luându-l pe $1$ drept derivata lui $x$.)