Bac M1 2020, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2020 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2020 a examenului național de bacalaureat — a doua sesiune a anului, Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Anul 2020 a fost anul pandemiei. Școlile s-au închis pe 11 martie 2020, simularea națională a clasei a XII-a a fost anulată — singurul an fără simulare din 2014 încoace —, iar subiectele ambelor sesiuni din 2020 au fost date pe o programă restrânsă, din care lipsea materia predată în semestrul al doilea al clasei a XII-a. Se vede și aici: la Subiectul al III-lea nu se cere nicio arie și niciun volum de rotație, iar la Subiectul al II-lea nu apare nici polinomul, nici structura de grup — doar o lege de compoziție cu element neutru și parte stabilă. Cine se pregătește azi, pe programa întreagă, trebuie să știe că proba aceasta acoperă mai puțin decât cea pe care o va da el.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: puterea și operațiile în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: apartenența unui punct la grafic, adică $f(x_M)=y_M$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație cu radical de ordinul al treilea: ridicarea la cub, care este o transformare echivalentă — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și permutări: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu numere de cinci cifre distincte — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mediatoarea unui segment, scrisă ca egalitate de distanțe — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Progresii aritmetice și suma unghiurilor unui triunghi: trei termeni consecutivi și relația $2B=A+C$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, comutativitatea unei familii de matrice și un produs de cinci factori din aceeași familie — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, verificarea elementului neutru și demonstrarea faptului că o mulțime este parte stabilă — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și limite: derivata funcției exponențiale $a^x$, ecuația tangentei într-un punct și o limită de tipul $\frac{0}{0}$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitivele $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și $\int \frac{dx}{x^2+a^2}$, apoi criteriul cleștelui — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2020. Subiectul I este scurt, dar are două cerințe de numărat — itemul $4$, unde se pierd puncte dacă nu se scriu explicit ambele numere (cazuri posibile și cazuri favorabile), și itemul $6$, unde progresia aritmetică trebuie scrisă ca relație, nu presupusă. Subiectul al II-lea premiază observația, nu calculul: la problema 1, produsul a cinci matrice se face în trei rânduri dacă observi că perechile $\left(\frac{1}{3},3\right)$ și $\left(\frac{1}{2},2\right)$ se anulează sub logaritm; la problema 2, întreaga rezolvare a subpunctului c) încape într-o singură rescriere, $x\ast y=(x-4)(y-4)+a-16$. Subiectul al III-lea cere procedura completă: la problema 1, tangenta cu ambele numere ($f(0)$ și $f^{\prime }(0)$) calculate separat; la problema 2, o încadrare $0\le f(x)\le \frac{1}{3}$ obținută din semnul derivatei, nu ghicită.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toate capitolele acestei probe se află în programa actuală. Ce lipsește față de o probă de azi sunt aplicațiile integralei — aria unei suprafețe plane și volumul corpului de rotație —, scoase în 2020 din programa de examen din cauza pandemiei; ele se dau la sesiunile de acum, deci proba se folosește ca antrenament parțial.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln 4$ și $1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea separată a cazurilor posibile și a celor favorabile; elementul neutru „verificat" doar într-o parte, $x\ast e=x$, fără $e\ast x=x$; partea stabilă declarată fără a arăta că rezultatul compunerii rămâne în mulțime; ecuația tangentei scrisă fără calculul separat al lui $f(0)$ și al lui $f^{\prime }(0)$; limita unui șir de integrale afirmată fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ se aplică la fel ca la numere reale, apoi se înlocuiește $i^2$. Grafic: $M(x_M,y_M)\in G_f\iff f(x_M)=y_M$. Radical de ordinul al treilea: $u=\sqrt[3]{v}\iff u^3=v$, fără nicio condiție — funcția $t\mapsto t^3$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$. Permutări: numerele de cinci cifre distincte formate cu cifrele $1,2,3,4,5$ sunt $5!=120$. Mediatoarea: locul geometric al punctelor egal depărtate de capete, deci $CA=CB$. Progresie aritmetică: trei termeni consecutivi $A$, $B$, $C$ verifică $2B=A+C$; în triunghi, $A+B+C=\pi$.
• Matrice: două matrice se înmulțesc „linie pe coloană"; o familie de matrice care comută se poate rearanja liber într-un produs — exact ce face rezolvarea subpunctului c).
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; mulțimea $H$ este parte stabilă dacă $x,y\in H\Rightarrow x\ast y\in H$. Trucul de redactare: se aduce legea la forma $(x-c)(y-c)+k$, care face ambele verificări imediate.
• Derivate și tangente: ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (f(x))}{x}=\frac{f^{\prime }(0)}{f(0)}$ când $f(0)=1$ — este chiar derivata funcției $\ln f$ în zero.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; criteriul cleștelui pentru șiruri de integrale: din $0\le f(x)\le c<1$ pe $[0,1]$ rezultă $0\le {\int }_0^1{f}^n(x)dx\le c^n\to 0$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ înseamnă două lucruri diferite în aceeași probă: la itemul $8$, subpunctul b), $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție; la itemul $9$, subpunctul b), $e$ din $\ln (16e)$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Este cea mai periculoasă ciocnire a acestui subiect — se citește din context, nu din literă.
• Litera $a$ are patru roluri: necunoscută la itemul $2$ (termenul liber al unei funcții de gradul al doilea), necunoscută la itemul $5$ (ordonata unui punct), parametru al legii de compoziție la itemul $8$ și abscisă a unui punct la itemul $9$, subpunctul b).
• Litera $A$ denumește: punctul $A(0,1)$ la itemul $5$, unghiul $A$ al triunghiului la itemul $6$, familia de matrice $A(x)$ la itemul $7$ și punctul $A(a,\ln (16e))$ la itemul $9$.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+x+a$ la itemul $2$, $f(x)=6^x-3^x+2^x$ la itemul $9$ și $f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}$ la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z^2-4z+5=0$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(0,2)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x=\sqrt[3]{x^3+2x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$, acesta să aibă cifra zecilor egală cu $2$ și cifra unităților egală cu $3$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,3)$ și $C(4,a)$, unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $C$ este situat pe mediatoarea segmentului $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Măsurile unghiurilor $A$, $B$ și $C$ ale triunghiului $ABC$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu $\frac{\pi }{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1+\ln x\\ 0& x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x\in (0,+\infty )$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=A(y)A(x)$, pentru orice $x,y\in (0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A\left(\frac{1}{3}\right)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& n\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-4(x+y)+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $a=10$, arătați că $1\ast 2=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=20$, arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $a\in [20,+\infty )$, atunci mulțimea $H=[4,+\infty )$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=6^x-3^x+2^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(0)=\ln 4$.

b) (5 puncte) Se consideră tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,\ln (16e))$ este situat pe această tangentă.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (f(x))}{x}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(x^2+3\right)f(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{f}^n(x)dx$. Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiește $z=2+i$ și se desfac parantezele, ținând minte că $i$ se ridică la pătrat ca o literă obișnuită: $$z^2-4z+5=(2+i{)}^2-4(2+i)+5=4+4i+i^2-8-4i+5\text{(3 p)}.$$ Termenii $4i$ și $-4i$ se reduc, partea reală dă $4-8+5=1$, iar $i^2=-1$, deci $$z^2-4z+5=i^2+1=-1+1=0\text{(2 p)}.$$ (De ce iese zero: numerele $2\pm i$ sunt exact rădăcinile trinomului $t^2-4t+5$, al cărui discriminant este $16-20=-4<0$. Control cu relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este $(2+i)+(2-i)=4$, iar produsul $(2+i)(2-i)=4+1=5$ — chiar coeficienții din enunț. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2+i{)}^2=4+i^2$, adică se uită dublul produs $2\cdot 2\cdot i$.)

Itemul 2. (5 p) — apartenența unui punct la graficul unei funcții.

Un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică formula funcției: $$M(0,2)\in G_f⟺f(0)=2\text{(3 p)}.$$ Cum $f(0)=0^2+0+a=a$, rămâne $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $a=2$ funcția este $f(x)=x^2+x+2$, iar $f(0)=2$, deci punctul $(0,2)$ este chiar intersecția graficului cu axa $Oy$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește invers, $f(2)=0$, adică se confundă abscisa cu ordonata. Reper: în perechea $(x_M,y_M)$, prima coordonată intră în funcție, a doua iese din ea.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație cu radical de ordinul al treilea.

Radicalul de ordinul al treilea se elimină ridicând ambii membri la cub; transformarea este echivalentă, pentru că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă — două numere reale au cuburile egale exact când sunt egale. Prin urmare: $$x=\sqrt[3]{x^3+2x}⟺x^3=x^3+2x⟺2x=0\text{(3 p)}.$$ De aici $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\sqrt[3]{0+0}=0$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $x^3+2x\ge 0$, ca la radicalul de ordin par — la radicalul de ordinul al treilea nu există nicio condiție de existență, se extrage și din numere negative. A doua capcană: se simplifică $x^3$ din ambii membri „prin împărțire", nu prin scădere, și se pierde chiar unica soluție.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități cu numere de cifre distincte.

Numerele naturale de cinci cifre distincte formate cu cifrele $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sunt exact aranjările tuturor celor cinci cifre, deci $$5!=120,\text{ deci sunt }120\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Dacă ultimele două cifre sunt fixate — zecile $2$ și unitățile $3$ —, rămân de așezat cifrele $1$, $4$, $5$ pe primele trei poziții, în orice ordine: $$3!=6,\text{ deci sunt }6\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul celor două numere: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}\text{(1 p)}.$$ (Baremul oficial al acestui item are, prin excepție, trei rânduri, nu două: numărul cazurilor posibile, numărul celor favorabile și raportul lor, punctate separat — de aceea și rezolvarea de aici are trei etape. Control prin listă: numerele favorabile sunt $14523$, $15423$, $41523$, $45123$, $51423$, $54123$ — șase, exact. Unde se greșește de obicei: se numără $5^5$ cazuri posibile, ca și cum cifrele s-ar putea repeta, deși enunțul cere cifre distincte.)

Itemul 5. (5 p) — mediatoarea unui segment în reper cartezian.

Mediatoarea segmentului $AB$ este mulțimea punctelor egal depărtate de capete, deci condiția din enunț se scrie ca egalitate de distanțe: $$CA=CB⟺\sqrt{(4-0{)}^2+(a-1{)}^2}=\sqrt{(4-2{)}^2+(a-3{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Ambii membri fiind nenegativi, se ridică la pătrat; termenii în $a^2$ se reduc și rămâne o ecuație de gradul întâi: $$16+a^2-2a+1=4+a^2-6a+9⟺4a=-4⟺\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $C(4,-1)$ avem $C{A}^2=16+4=20$ și $C{B}^2=4+16=20$ — egale, deci $CA=CB=2\sqrt{5}$. Al doilea drum: mijlocul lui $AB$ este $(1,2)$, panta lui $AB$ este $1$, deci mediatoarea are panta $-1$ și ecuația $y=-x+3$; punând $x=4$ se obține $y=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie mediatoarea ca dreaptă prin mijloc, dar cu aceeași pantă ca $AB$ — mediatoarea este perpendiculară pe segment.)

Itemul 6. (5 p) — progresie aritmetică și suma unghiurilor unui triunghi.

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $\pi$, iar trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice au proprietatea că cel din mijloc este media aritmetică a vecinilor: $$A+B+C=\pi ,2B=A+C\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $A+C$ cu $2B$ în prima relație, rămâne o singură necunoscută: $$3B=\pi ⟹\mathbf{B}=\frac{\pi }{3}\text{(2 p)}.$$ (De reținut: rezultatul nu depinde de rație — unghiul din mijlocul unei progresii aritmetice de unghiuri ale unui triunghi este întotdeauna de $60^{\circ }$. Control cu un exemplu: unghiurile $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ sunt în progresie aritmetică cu rația $30^{\circ }$, iar cel din mijloc este chiar $60^{\circ }$. Unde se greșește de obicei: se scrie $B-A=C-B$ și se oprește acolo — este aceeași relație, dar baremul cere și suma unghiurilor, altfel nu se poate afla nimic.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea, cu logaritm.

a) (5 p) Pentru $x=1$ avem $\ln 1=0$, deci matricea devine chiar matricea unitate: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(3 p)}.\end{array}$$ Matricea este triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală; cu regula lui Sarrus se obține același lucru: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Observație folositoare mai departe: $A(1)$ nu este matricea unitate — colțul din dreapta sus este $1$, nu $0$ —, dar are același determinant. Control: pentru orice $x>0$, matricea $A(x)$ este triunghiulară, deci $\det (A(x))=1\cdot x\cdot 1=x$; la $x=1$ iese $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln 1=1$.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice „linie pe coloană". Singurele poziții care se mișcă sunt colțul din dreapta sus și mijlocul: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2+\ln (xy)\\ 0& xy& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Rezultatul depinde de $x$ și $y$ doar prin produsul $xy$ și prin $\ln (xy)$, iar înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci schimbarea ordinii nu schimbă nimic: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2+\ln (yx)\\ 0& yx& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(y)A(x),\text{ pentru orice }x,y\\ & \in (0,+\infty )\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe poziția-cheie: colțul din dreapta sus al produsului este $1\cdot (1+\ln y)+0\cdot 0+(1+\ln x)\cdot 1=2+\ln x+\ln y=2+\ln (xy)$ — aici s-a folosit $\ln x+\ln y=\ln (xy)$, valabil pentru că $x$ și $y$ sunt strict pozitive. Control numeric: pentru $x=2$ și $y=3$, colțul este $2+\ln 6\approx 3,792$, la fel în ambele ordini. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Din subpunctul b), matricele familiei comută, deci factorii se pot rearanja. Perechile alese în enunț au produsul $1$, iar $\ln 1=0$: $$\begin{array}{rl}& A\left(\frac{1}{3}\right)A(3)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A\left(\frac{1}{2}\right)A(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Rearanjând produsul și înmulțind cele trei matrice rămase — la fiecare înmulțire colțul din dreapta sus se adună: $$\begin{array}{rl}& A\left(\frac{1}{3}\right)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\\ & =A\left(\frac{1}{3}\right)A(3)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)A(2)\cdot A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\mathbf{n}=5\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Regula ascunsă în familie: dacă notăm $B(u,p)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& u\\ 0& p& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, atunci $B(u_1,p_1)B(u_2,p_2)=B(u_1+u_2,p_1{p}_2)$ — colțul se adună, mijlocul se înmulțește. Cum $A(x)=B(1+\ln x,x)$, produsul celor cinci are colțul $\sum _{k=1}^5(1+\ln x_k)=5+\ln \left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\right)=5+\ln 1=5$ și mijlocul $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1$ — exact matricea din enunț. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc efectiv cele cinci matrice, în ordine, și se pierde un logaritm pe drum.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiția legii, cu $a=10$: $$1\ast 2=1\cdot 2-4(1+2)+10\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculele, $$1\ast 2=2-12+10=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $-4\cdot 1+2$ în loc de $-4(1+2)$, adică se uită paranteza care înmulțește ambii termeni. Control: legea este comutativă, deci și $2\ast 1$ trebuie să dea tot zero — chiar așa iese, $2-12+10=0$.)

b) (5 p) Elementul neutru trebuie verificat în ambele ordini, pentru orice $x$. Cu $a=20$: $$x\ast 5=x\cdot 5-4(x+5)+20=5x-4x-20+20=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Și în cealaltă ordine: $$5\ast x=5x-4(5+x)+20=5x-20-4x+20=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x,$$ deci $\mathbf{e}=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$" (3 p).

(Aici legea este comutativă, deci a doua verificare repetă prima — dar baremul o punctează separat, iar la o lege necomutativă ea chiar este necesară: se scrie oricum. Control: elementul neutru se putea și găsi, nu doar verifica, rezolvând $xe-4x-4e+20=x$ pentru orice $x$, adică $x(e-5)=4e-20$, care este identitate exact la $e=5$. Unde se greșește de obicei: se verifică doar pentru o valoare a lui $x$, de pildă $x=1$ — „pentru orice $x$" este chiar miezul definiției.)

c) (5 p) Toată rezolvarea încape într-o rescriere a legii, care scoate la iveală numărul $4$ din definiția lui $H$: $$x\ast y=xy-4(x+y)+a=(x-4)(y-4)+a-16,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ Dacă $x,y\in H$, atunci $x-4\ge 0$ și $y-4\ge 0$, deci produsul lor este nenegativ; iar din $a\ge 20$ rezultă $a-16\ge 4$. Prin urmare: $$x,y\in H⟹x\ast y=\underset{\ge 0}{\underbrace{(x-4)(y-4)}}+\underset{\ge 4}{\underbrace{a-16}}\ge 4⟹x\ast y\in H,$$ deci $H$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$\ast$" (3 p).

(De unde vine rescrierea: $(x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16$, deci $xy-4(x+y)=(x-4)(y-4)-16$; se adaugă $a$ și se obține forma de mai sus. Control numeric: pentru $x=y=4$ și $a=20$ avem $4\ast 4=0+4=4$, chiar capătul intervalului — deci marginea $4$ este atinsă și nu poate fi îmbunătățită. Unde se greșește de obicei: se verifică stabilitatea pe câteva perechi de numere, în loc să se demonstreze pentru orice $x$ și $y$ din $H$; sau se uită condiția $a\ge 20$, fără de care afirmația este falsă — la $a=0$, de pildă, $4\ast 4=-16\notin H$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o limită cu logaritm.

a) (5 p) Fiecare termen este o funcție exponențială, iar ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$: $$f^{\prime }(x)=6^x\ln 6-3^x\ln 3+2^x\ln 2,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ În zero, toate puterile valorează $1$, iar logaritmii se adună după regulile lor: $$f^{\prime }(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2=\ln \frac{6\cdot 2}{3}=\ln 4\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\ln 4\approx 1,3863$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot $1,3863$. Unde se greșește de obicei: se derivează $6^x$ ca $x\cdot 6^{x-1}$, adică se aplică regula puterii în loc de regula exponențialei — la $x^n$ coboară exponentul, la $a^x$ apare factorul $\ln a$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere două numere, calculate separat: valoarea funcției și valoarea derivatei în punct. Cum $f(0)=1-1+1=1$ și $f^{\prime }(0)=\ln 4$: $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ deci }y=x\ln 4+1\text{(3 p)}.$$ Punctul $A(a,\ln (16e))$ este pe tangentă exact când coordonatele lui verifică ecuația. Folosind $\ln (16e)=\ln 16+\ln e=\ln 16+1$: $$\ln (16e)=a\ln 4+1⟹1+\ln 16=\ln \left(4^a\right)+1,\text{ deci }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $4^2=16$, deci $\ln \left(4^2\right)=\ln 16$ — egalitatea se închide. Control numeric: $\ln (16e)\approx 3,7726$, iar $2\ln 4+1\approx 2,7726+1=3,7726$. Aici litera $e$ înseamnă numărul lui Euler, nu elementul neutru de la itemul $8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln (16e)=\ln 16\cdot \ln e$ — logaritmul unui produs este suma logaritmilor, nu produsul lor.)

c) (5 p) Numitorul tinde la zero, iar numărătorul la $\ln (f(0))=\ln 1=0$, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital. Derivata numărătorului este $(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$, iar a numitorului este $1$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (f(x))}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{f^{\prime }(0)}{f(0)}\text{(3 p)}.$$ Cu valorile de la subpunctele a) și b), $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (f(x))}{x}=\frac{\ln 4}{1}=\ln 4\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, fără l'Hôpital: raportul este chiar raportul incremental al funcției $g=\ln f$ în zero, pentru că $g(0)=0$; deci limita este $g^{\prime }(0)=\frac{f^{\prime }(0)}{f(0)}=\ln 4$. Control numeric: la $x=10^{-7}$, raportul dă $1,38629$, adică $\ln 4$. Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hôpital fără a verifica întâi că numărătorul tinde la zero — dacă $f(0)$ nu ar fi fost $1$, limita ar fi fost infinită, nu finită.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale.

a) (5 p) Înmulțirea cu $x^2+3$ curăță ambele fracții și lasă un pătrat perfect: $$\left(x^2+3\right)f(x)=x^2+3-2x-2=x^2-2x+1=(x-1{)}^2,$$ $$\text{deci}{\int }_1^2\left(x^2+3\right)f(x)dx={\int }_1^2\left(x^2-2x+1\right)dx=\frac{(x-1{)}^3}{3}{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2\left(x^2+3\right)f(x)dx=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+3\ge 3>0$ pentru orice $x$ real — numitorul nu se anulează niciodată, deci funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$. Control numeric: integrala lui $(x-1{)}^2$ pe $[1,2]$, calculată numeric, dă $0,333333$. Unde se greșește de obicei: se recunoaște pătratul perfect, dar se scrie primitiva $\frac{(x-1{)}^3}{3}$ cu capetele $0$ și $1$, uitând că variabila rămâne $x$, nu $x-1$.)

b) (5 p) Se integrează termen cu termen. A doua fracție are la numărător, până la un semn, derivata numitorului, iar a treia este de tipul $\frac{1}{x^2+a^2}$ cu $a=\sqrt{3}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\left(1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}\right)dx=\left(x-\ln \left(x^2+3\right)-\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ și $\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx=1-\ln 4-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}+\ln 3=1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\text{(2 p)}.$$ (Cei doi logaritmi se strâng cu regula $\ln 4-\ln 3=\ln \frac{4}{3}$; iar raționalizarea $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$ se face înmulțind sus și jos cu $\sqrt{3}$. Control numeric: $1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\approx 1-0,28768-0,60460=0,10772$, iar integrala calculată numeric dă $0,107718$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $\frac{2}{x^2+3}$ drept $2\mathrm{arctg}x$, fără cei doi factori $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — unul din formulă, celălalt din argument.)

c) (5 p) Se studiază întâi funcția pe intervalul de integrare. Derivata este $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)(x+3)}{{\left(x^2+3\right)}^2}\le 0,\text{ pentru orice }x\in [0,1],$$ deci $f$ este descrescătoare pe $[0,1]$ și $f(1)\le f(x)\le f(0)$; cum $f(1)=0$ și $f(0)=\frac{1}{3}$, obținem încadrarea $0\le f(x)\le \frac{1}{3}$ (2 p).

Ridicând la puterea $n$ o încadrare între numere nenegative și integrând: $$0\le I_n\le {\int }_0^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n}dx,\text{ deci }0\le I_n\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\text{ și, cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0,$$ obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ (3 p).

(De ce ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$: este o progresie geometrică cu rația subunitară. Control numeric: $I_1\approx 0,1077$, $I_2\approx 0,0216$, $I_5\approx 0,00037$ — scad chiar mai repede decât ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$, care dă $0,333$, $0,111$, $0,0041$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „integrandul tinde la zero, deci integrala tinde la zero", fără încadrarea uniformă care justifică trecerea la limită — baremul punctează tocmai marginea $\frac{1}{3}$, obținută din monotonie.)