Bac M1 2020, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2020 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2020 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Anul 2020 a fost anul pandemiei. Școlile s-au închis pe 11 martie 2020, simularea națională a clasei a XII-a a fost anulată — singurul an din seria 2014–2026 fără simulare —, iar subiectele sesiunilor din 2020 au fost date pe o programă restrânsă, din care lipsea materia predată în semestrul al doilea al clasei a XII-a. Se vede direct în probă: Subiectul al III-lea nu cere nicio arie, niciun volum de rotație și nicio aplicație a integralei — doar derivate, o asimptotă și integrale calculate cu formula Leibniz–Newton. Un elev de azi, care învață pe programa întreagă, trebuie să știe că proba aceasta este mai scurtă decât cea pe care o va da el, nu mai ușoară: fiecare cerință rămasă este la fel de pretențioasă.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul a două numere conjugate, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: identificarea unui parametru dintr-o egalitate valabilă pentru orice $x$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: substituția $t=5^x$ și pătratul perfect — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea submulțimilor cu o condiție de apartenență, prin combinări — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta, condiția de perpendicularitate a două drepte și ecuația dreptei printr-un punct — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul și cosinusul aceluiași unghi ascuțit — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, determinantul unei familii cu parametru, criteriul de inversabilitate și condiția ca inversa să aibă elemente întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, aducerea legii la formă factorizată și rezolvarea ecuației $x\ast x=x$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă orizontală, inegalități: derivarea unei sume dintre o fracție și un logaritm de raport, limita la $+\infty$ și demonstrarea unei inegalități din semnul derivatei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și criteriul cleștelui pentru un șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2020. Subiectul I este cel mai „de mână" din seria ultimilor ani: cinci cerințe din șase se rezolvă în două rânduri, dar fiecare are un cuvânt care decide punctajul — „natural" la itemul $1$, „pentru orice număr real $x$" la itemul $2$, „care îl conțin pe $1$" la itemul $4$. Subiectul al II-lea nu cere niciun calcul greu, ci două idei: că un determinant cu parametru se simplifică prin operații pe linii și coloane (problema 1) și că o lege de compoziție urâtă ascunde o formă factorizată frumoasă (problema 2). Subiectul al III-lea este, la ambele probleme, o procedură lungă cu pași scurți: derivată $\to$ semn $\to$ monotonie $\to$ inegalitate, respectiv simplificare $\to$ primitivă $\to$ încadrare $\to$ limită. Cine sare un pas pierde punctele lui, chiar dacă rezultatul final iese.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toate capitolele acestei probe se află în programa actuală. Ceea ce lipsește față de o probă obișnuită sunt capitolele de la sfârșitul clasei a XII-a — aria unei suprafețe plane, volumul corpului de rotație —, scoase în 2020 din programa de examen din cauza pandemiei. Ele se dau la sesiunile de azi, deci proba de față se folosește ca antrenament parțial, nu ca simulare completă.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, radicali de ordinul al treilea din numere mici sau expresii de forma $\frac{1}{3}\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: concluzia „este număr natural" fără calculul efectiv; egalitatea valabilă „pentru orice $x$" tratată ca ecuație într-un singur punct; ecuația exponențială rezolvată fără substituție și fără pătrat perfect; inversabilitatea afirmată fără a arăta că determinantul nu se anulează; inegalitatea de la itemul $9$ dedusă fără a spune de unde vine semnul lui $f$; limita unui șir de integrale scrisă fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; produsul a două numere conjugate se calculează cu $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, deci $\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)=1-2i^2$. Egalități valabile „pentru orice $x$": se aduc ambii membri la forma redusă și se identifică coeficienții — nu se dă o valoare particulară lui $x$ decât ca verificare. Ecuații exponențiale: substituția $t=a^x>0$; $t+\frac{1}{t}=2\iff (t-1{)}^2=0$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; submulțimile care conțin un element fixat se numără eliminând acel element. Drepte perpendiculare: $m_1\cdot m_2=-1$; ecuația dreptei prin $M(x_M,y_M)$ de pantă $m$ este $y-y_M=m(x-x_M)$. Triunghiul dreptunghic: $\sin B=\frac{AC}{BC}$, $\cos B=\frac{AB}{BC}$.
• Matrice: determinantul nu se schimbă dacă la o linie (coloană) se adună altă linie (coloană) înmulțită cu un număr — de aici ies zerourile care fac calculul scurt; $A$ este inversabilă $\iff \det A\ne 0$; pentru o matrice cu elemente întregi, $A^{-1}$ are toate elementele întregi exact când $\det A\in \{-1,1\}$.
• Legi de compoziție: o lege „urâtă" se aduce la forma ${\phi }^{-1}(\phi (x)\cdot \phi (y))$ sau la o formă factorizată de tipul $\alpha (x-c)(y-c)+c$; ecuația $x\ast x=x$ devine, după factorizare, o ecuație de gradul al doilea în paranteza comună.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$; $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finit; o funcție strict descrescătoare pe un interval, cu limita $0$ la capătul din dreapta, este strict pozitivă pe tot intervalul.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; criteriul cleștelui pentru șiruri de integrale: din $0\le g_n(x)\le h_n(x)$ pe $[a,b]$ rezultă $0\le {\int }_a^b{g}_n\le {\int }_a^b{h}_n$, iar dacă majorantul tinde la zero, tinde și șirul.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=3x+a$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln \frac{x-1}{x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ (termenul liber al unei funcții de gradul întâi) și parametru la itemul $7$ (intrarea familiei de matrice). La itemul $7$ ea este cerută întreagă, iar la itemul $2$ doar reală — două condiții diferite, care se citesc din enunț, nu din obișnuință.
• Litera $A$ denumește trei obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$ de la itemul $4$, matricea $A(a)$ de la itemul $7$ și mulțimea $A=[1,+\infty )$ de la itemul $8$. La itemul $8$, $A$ este domeniul pe care este definită legea, deci condiția $x\ge 1$ face parte din rezolvare, nu este decor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $z=\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)$ este natural, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(x)+f(1-x)=7$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x+5^{-x}=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$, care îl conțin pe $1$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $M(-4,4)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $M$ și este perpendiculară pe dreapta $OM$.

Itemul 6 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $\sin B=\cos B$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& a+1& a+2\\ a^2+1& a^2+2& a^2+3\\ 1& 2& 4\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$ pentru care inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $A=[1,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3{y}^3-x^3-y^3+9}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2020=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1}$, pentru orice $x,y\in A$.

c) (5 puncte) Determinați $x\in A$ pentru care $x\ast x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln \frac{x-1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2{)}^2}$, $x\in (2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{1}{x-2}>\ln \frac{x}{x-1}$, pentru orice $x\in (2,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{3}\ln 2$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^{1}f\left(x^n\right)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — produsul a două numere complexe conjugate.

Cei doi factori diferă doar prin semnul din fața lui $i\sqrt{2}$, deci produsul este o diferență de pătrate, cu $u=1$ și $v=i\sqrt{2}$: $$z=\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)=1^2-{\left(i\sqrt{2}\right)}^2=1-2i^2=1-2(-1)\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $$z=1+2=3,\text{ care este numa˘r natural}\text{(2 p)}.$$ (Control prin desfacere directă: $\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)=1+i\sqrt{2}-i\sqrt{2}-2i^2=1+2=3$ — termenii cu $i$ se reduc, exact ca la orice pereche de conjugate. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(i\sqrt{2}\right)}^2=2$, uitând că pătratul lui $i$ este $-1$; sau se răspunde „este real" în loc de „este natural" — enunțul cere numărul întreg pozitiv, deci calculul trebuie dus până la $3$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, egalitate valabilă pentru orice $x$.

Se scriu ambele valori și se adună; termenii cu $x$ se reduc: $$f(x)+f(1-x)=3x+a+3(1-x)+a=3x+a+3-3x+a=2a+3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng nu depinde de $x$, deci condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi în $a$: $$2a+3=7⟹\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=2$ și $x=5$ avem $f(5)+f(-4)=17+(-10)=7$; pentru $x=0$, $f(0)+f(1)=2+5=7$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește o singură valoare a lui $x$ și se declară că „merge". Faptul că merge pentru orice $x$ se vede abia după reducerea termenilor în $x$ — și tocmai acest calcul este punctat.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu pătrat perfect.

Se notează $t=5^x$, care este strict pozitiv pentru orice $x$ real, deci $5^{-x}=\frac{1}{t}$. Înmulțind ecuația cu $t$ se obține un pătrat perfect: $$5^x+5^{-x}-2=0⟺t^2-2t+1=0⟺{\left(5^x-1\right)}^2=0\text{(3 p)}.$$ Un pătrat este nul doar când baza lui este nulă, deci $$5^x=1,\text{ deci }\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Înmulțirea cu $t$ este permisă tocmai pentru că $t=5^x>0$, deci nu se pierde și nu se adaugă nicio soluție. Control: pentru $x=0$ avem $1+1=2$; pentru orice $x\ne 0$, suma $5^x+5^{-x}$ este strict mai mare decât $2$, fiindcă suma dintre un număr pozitiv și inversul lui este cel puțin $2$, cu egalitate doar la $1$. Unde se greșește de obicei: se „logaritmează" direct suma, ca și cum $\ln \left(5^x+5^{-x}\right)$ s-ar desface în sumă de logaritmi.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică: submulțimi care conțin un element fixat.

O submulțime cu trei elemente care îl conține pe $1$ se obține punând lângă $1$ încă două elemente, alese din restul mulțimii. Așadar: $$\text{numa˘rul cerut}=\text{numa˘rul submulțimilor cu doua˘ elemente ale mulțimii }\{2,3,4,5\}=C_4^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula combinărilor, $$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{24}{2\cdot 2}=6\text{(2 p)}.$$ (Control prin listă completă: $\{1,2,3\}$, $\{1,2,4\}$, $\{1,2,5\}$, $\{1,3,4\}$, $\{1,3,5\}$, $\{1,4,5\}$ — șase, exact. Unde se greșește de obicei: se calculează $C_5^3=10$, adică toate submulțimile cu trei elemente, fără condiția de apartenență; sau se scade greșit, luând $C_5^3-C_4^3=10-4=6$ — care, întâmplător, dă tot răspunsul corect, dar numai pentru că submulțimile care nu îl conțin pe $1$ sunt chiar cele cu trei elemente din $\{2,3,4,5\}$.)

Itemul 5. (5 p) — dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată.

Dreapta $OM$ trece prin origine și prin $M(-4,4)$, deci panta ei este raportul dintre ordonată și abscisă: $$m_{OM}=\frac{4-0}{-4-0}=-1\text{ și, cum }{m}_{OM}\cdot m_d=-1,\text{ obținem }{m}_d=1\text{(2 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $M(-4,4)$ și are panta $1$, deci $$y-y_M=m_d(x-x_M),\text{ deci }y-4=1\cdot (x+4),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=\mathbf{x}+8\text{(3 p)}.$$ (Control: punctul $M(-4,4)$ verifică ecuația, pentru că $-4+8=4$; iar produsul pantelor este $(-1)\cdot 1=-1$, deci dreptele chiar sunt perpendiculare. Unde se greșește de obicei: se ia $m_d=-m_{OM}$ în loc de $m_d=-\frac{1}{m_{OM}}$ — aici cele două formule dau, din întâmplare, același număr, pentru că panta este $-1$; la orice altă pantă răspunsul ar fi ieșit greșit.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci ipotenuza este $BC$, iar catetele sunt $AB$ și $AC$. Sinusul unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $$\sin B=\frac{AC}{BC}\text{(2 p)}.$$ Cosinusul aceluiași unghi este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză, deci egalitatea din enunț devine o egalitate între catete: $$\cos B=\frac{AB}{BC}⟹\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}⟹AB=AC,\text{ deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}\text{(3 p)}.$$ (Al doilea drum, la fel de bun: $\sin B=\cos B$ înseamnă $\mathrm{tg}B=1$, deci $B$ măsoară $45^{\circ }$; unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare, deci și $C$ măsoară $45^{\circ }$, iar triunghiul este isoscel. Unde se greșește de obicei: se conchide direct „deci este isoscel", fără să se spună care două laturi sunt egale — baremul punctează egalitatea $AB=AC$, nu cuvântul.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește parametrul în fiecare element: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+4+3-4-0-4\\ & =-1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: scădem linia a doua din linia a treia și obținem linia $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$, deci determinantul se dezvoltă imediat: $\det (A(0))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=-1$. Aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se uită semnul minus în fața celor trei produse „ascendente".)

b) (5 p) Determinantul se calculează o singură dată, pentru parametrul general. Scădem prima coloană din celelalte două, apoi prima linie din a doua — determinantul nu se schimbă, dar apar zerouri: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ a^2+1& 1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ a^2-a+1& 0& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\right|\\ & =-\left(a^2-a+1\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Trinomul $a^2-a+1$ are discriminantul $\Delta =1-4=-3<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $a$: $$\begin{array}{rl}& a^2-a+1\\ & \ne 0,\text{ pentru orice numa˘r real }a\\ & ⟹\det (A(a))\ne 0,\end{array}$$ deci matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$ (2 p).

(Dezvoltarea din mijloc se face după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det =(-1{)}^{2+1}\left(a^2-a+1\right)\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=-\left(a^2-a+1\right)$. Control numeric: pentru $a=0$ formula dă $-1$, exact valoarea calculată la subpunctul a); pentru $a=2$ dă $-3$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 5& 6& 7\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$ dă tot $-3$. Unde se greșește de obicei: se calculează determinantul prin Sarrus cu parametru și se pierde un termen în $a^2$ — operațiile pe linii și coloane sunt aici de patru ori mai scurte.)

c) (5 p) Elementele matricei $A(a)$ sunt numere întregi, deci și complemenții algebrici, deci și matricea adjunctă $A(a{)}^{\ast }$ au toate elementele întregi. Cum $$A(a{)}^{-1}=\frac{1}{\det (A(a))}\cdot A(a{)}^{\ast },$$ inversa are toate elementele numere întregi dacă $\det (A(a))$ este divizor al lui $1$ și, cum $\det (A(a))<0$ pentru orice număr real $a$, obținem $\det (A(a))=-1$ (3 p).

Rămâne o ecuație de gradul al doilea: $$\begin{array}{rl}& -\left(a^2-a+1\right)\\ & =-1\\ & ⟺a^2-a=0⟺a(a-1)=0,\end{array}$$ deci $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=1$, care convin (2 p).

(Condiția este și necesară, nu doar suficientă: dacă $A^{-1}$ ar avea toate elementele întregi, atunci $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$ ar fi întreg, iar un întreg al cărui invers este tot întreg nu poate fi decât $-1$ sau $1$. Verificare directă: pentru $a=1$, $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$ are inversa $\left(\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 4& -1& -2\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$, cu toate elementele întregi. Unde se greșește de obicei: se cere ca elementele matricei să fie întregi și se uită împărțirea la determinant, sau se acceptă și $\det =1$, deși determinantul acestei familii este mereu negativ.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe semidreapta $[1,+\infty )$.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiția legii, cu $x=1$ și $y=2020$: $$1\ast 2020=\frac{1}{2}\sqrt[3]{1^3\cdot 2020^3-1^3-2020^3+9}\text{(3 p)}.$$ Termenii $2020^3$ și $-2020^3$ se reduc, deci sub radical rămâne un număr mic: $$1\ast 2020=\frac{1}{2}\sqrt[3]{-1+9}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{8}=\frac{1}{2}\cdot 2=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se începe calculul lui $2020^3$. Nu e nevoie: numărul apare o dată cu plus și o dată cu minus, exact pentru că $x=1$ face ca $x^3{y}^3$ să devină $y^3$. Control: același lucru se întâmplă pentru orice $y$, deci $1\ast y=1$ pentru orice $y\in A$ — elementul $1$ „absoarbe" toată legea.)

b) (5 p) Se grupează termenii de sub radical, adăugând și scăzând $1$ ca să apară factorii comuni: $$x\ast y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3{y}^3-x^3-y^3+1+8}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3\left(y^3-1\right)-\left(y^3-1\right)+8}\text{(3 p)}.$$ Factorul comun $y^3-1$ dă produsul căutat, iar coeficientul $\frac{1}{2}$ intră sub radicalul de ordinul al treilea ca $\frac{1}{8}$: $$x\ast y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+\frac{1}{8}\cdot 8}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1},\text{ pentru orice }x,y\in A\text{(2 p)}.$$ (Trucul întregului item: $\frac{1}{2}\sqrt[3]{t}=\sqrt[3]{\frac{t}{8}}$, pentru că ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$ — un coeficient intră sub radicalul de ordinul $n$ ridicat la puterea $n$. Control numeric: pentru $x=2$ și $y=3$, forma din enunț dă $\frac{1}{2}\sqrt[3]{8\cdot 27-8-27+9}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{190}$, iar forma factorizată dă $\sqrt[3]{\frac{7\cdot 26}{8}+1}=\sqrt[3]{\frac{190}{8}}$ — același număr, aproximativ $2,874$. Unde se greșește de obicei: se scoate $\frac{1}{2}$ de sub radical ca $\frac{1}{2}$, nu ca $\frac{1}{8}$.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul b), luând $y=x$: $$x\ast x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}{\left(x^3-1\right)}^2+1},\text{ pentru orice }x\in A,\text{ deci ecuația devine }\frac{1}{8}{\left(x^3-1\right)}^2+1=x^3\text{(2 p)}.$$ Se notează $t=x^3-1\ge 0$ (pentru că $x\ge 1$) și ecuația se scrie $t^2=8t$: $${\left(x^3-1\right)}^2=8\left(x^3-1\right),\text{ deci }{x}^3-1=0\text{ sau }{x}^3-1=8,$$ de unde $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=\sqrt[3]{9}$, care convin (3 p).

(Ridicarea la cub a ecuației $x\ast x=x$ este permisă pentru că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci bijectivă: două numere au cuburile egale exact când sunt egale. Verificare: pentru $x=\sqrt[3]{9}$ avem $x^3=9$, deci $\frac{1}{8}\cdot 64+1=9$, adevărat; iar $\sqrt[3]{9}\approx 2,08\ge 1$, deci soluția chiar aparține mulțimii $A$. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $x^3-1$ și se pierde soluția $x=1$ — exact soluția care se putea ghici din subpunctul a).)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Primul termen se derivează cu ${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$, al doilea cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\frac{x-1}{x}$ are derivata $u^{\prime }(x)=\frac{x-(x-1)}{x^2}=\frac{1}{x^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-2{)}^2}+\frac{x}{x-1}\cdot \frac{x-(x-1)}{x^2}=\frac{-x(x-1)+(x-2{)}^2}{x(x-1)(x-2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se desfac parantezele de la numărător, iar termenii în $x^2$ se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+x+x^2-4x+4}{x(x-1)(x-2{)}^2}=\frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2{)}^2},x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=3$ formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{-5}{3\cdot 2\cdot 1}=-\frac{5}{6}\approx -0,833$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $-0,833$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\frac{1}{x-2}$ ca $\frac{1}{(x-2{)}^2}$, fără semnul minus. Drum mai scurt: scrie mai întâi $\ln \frac{x-1}{x}=\ln (x-1)-\ln x$ și derivează $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Se calculează limita funcției la $+\infty$, termen cu termen. Raportul de sub logaritm se scrie $\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$, care tinde la $1$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+\ln \frac{x-1}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+\ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right)=0+\ln 1=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Asimptota orizontală este, aici, chiar axa $Ox$. Control numeric: $f(1000)=\frac{1}{998}+\ln \frac{999}{1000}\approx 0,0010020-0,0010005=0,0000015$ — foarte aproape de zero, dar pozitiv, ceea ce se va dovedi la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se caută o asimptotă oblică, deși limita funcției este finită — orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc.)

c) (5 p) Din subpunctul a), pe intervalul $(2,+\infty )$ numitorul $x(x-1)(x-2{)}^2$ este strict pozitiv, iar numărătorul $-3x+4$ este strict negativ (fiindcă $x>2>\frac{4}{3}$). Așadar: $$x\in (2,+\infty )⟹f^{\prime }(x)<0,\text{ deci }f\text{ este strict descresca˘toare pe }(2,+\infty )$$ și, cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, obținem că $f(x)>0$, pentru orice $x\in (2,+\infty )$ (3 p).

Inegalitatea $f(x)>0$ se rescrie mutând logaritmul în membrul drept și folosind $-\ln t=\ln \frac{1}{t}$: $$\frac{1}{x-2}+\ln \frac{x-1}{x}>0,\text{ deci }\frac{1}{x-2}>-\ln \frac{x-1}{x},\text{ de unde }\frac{1}{x-2}>\ln \frac{x}{x-1},$$ pentru orice $x\in (2,+\infty )$ (2 p).

(De ce „strict descrescătoare, cu limita $0$ la $+\infty$" înseamnă „strict pozitivă": dacă ar exista un $x_0$ cu $f(x_0)\le 0$, atunci pentru orice $x>x_0$ am avea $f(x)<f(x_0)\le 0$, iar limita la $+\infty$ nu ar mai putea fi $0$. Control numeric: la $x=2,5$, membrul stâng este $2$, iar cel drept $\ln \frac{2,5}{1,5}\approx 0,511$; la $x=100$, membrul stâng este $\approx 0,0102$, iar cel drept $\approx 0,0101$ — inegalitatea rămâne, dar marginea se subțiază. Unde se greșește de obicei: se sare peste pasul semnului logaritmului, adică peste egalitatea $-\ln \frac{x-1}{x}=\ln \frac{x}{x-1}$, care este chiar puntea dintre $f>0$ și inegalitatea cerută.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în ridicarea la pătrat a funcției: radicalul dispare, iar factorul $x^3+1$ se simplifică, $$f^2(x)={\left(\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}\right)}^2=\frac{x^2}{x^3+1},\text{deci}{\int }_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)dx={\int }_0^1\left(x^3+1\right)\frac{x^2}{x^3+1}dx={\int }_0^1{x}^{2}dx\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[0,1]$ avem $x^3+1\ge 1>0$; capătul $-1$, exclus din domeniu, nu intră în interval. Control numeric: integrala lui $x^2$ pe $[0,1]$, calculată numeric, dă $0,333333$. Unde se greșește de obicei: se citește $f^2(x)$ drept $f(x^2)$ sau drept $f(f(x))$ — notația $f^2$ înseamnă aici pătratul valorii.)

b) (5 p) Se folosește aceeași simplificare, iar la numărător se recunoaște, până la un factor, derivata numitorului: ${\left(x^3+1\right)}^{\prime }=3x^2$. $${\int }_0^1{f}^2(x)dx={\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{{\left(x^3+1\right)}^{\prime }}{x^3+1}dx\text{(3 p)}.$$ Primitiva este logaritmul numitorului, care este pozitiv pe $[0,1]$, deci modulul nu este necesar: $${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{3}\ln \left(x^3+1\right){|}_0^1=\frac{1}{3}(\ln 2-\ln 1)=\frac{1}{3}\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{1}{3}\ln 2\approx 0,23105$, iar integrala calculată numeric dă $0,231049$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $\ln \left(x^3+1\right)$ fără factorul $\frac{1}{3}$ — el vine din faptul că derivata numitorului este $3x^2$, nu $x^2$. A doua capcană: se încearcă integrarea „raportului ca raport de integrale", care nu există ca regulă.)

c) (5 p) Se scrie termenul general al șirului, înlocuind $x$ cu $x^n$ în formula funcției, și se încadrează integrandul. Pentru $x\in [0,1]$ numitorul $\sqrt{x^{3n}+1}$ este cel puțin $1$, deci raportul nu depășește numărătorul: $$I_n={\int }_0^{1}f\left(x^n\right)dx={\int }_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}dx\text{și, cum}0\le \frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\le x^n,\text{ pentru }x\in [0,1],$$ obținem, pentru fiecare număr natural nenul $n$, că $0\le I_n\le {\int }_0^1{x}^{n}dx$ (3 p).

Integrala majorantă se calculează imediat, iar criteriul cleștelui încheie: $$0\le I_n\le \frac{1}{n+1},\text{ pentru fiecare numa˘r natural nenul }n\text{ și, cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0,$$ obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ (2 p).

(De ce încadrarea funcționează: pe $[0,1]$ avem $x^{3n}\ge 0$, deci $\sqrt{x^{3n}+1}\ge 1$, iar împărțirea la un număr mai mare decât $1$ micșorează; iar $x^n\ge 0$ dă marginea de jos. Control numeric: $I_1\approx 0,4298\le \frac{1}{2}$, $I_5\approx 0,1496\le \frac{1}{6}$, $I_{20}\approx 0,0432\le \frac{1}{21}$ — încadrarea se strânge exact cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv $I_n$, ceea ce nu se poate cu funcții elementare; sau se scrie limita „prin trecere la limită sub integrală", fără încadrarea care o justifică — baremul punctează tocmai încadrarea.)